Kansrekening en statistiek I

Voorjaarssemester, 2007

"It is remarkable that a science which began with the consideration of games of chance should have become the most important object of human knowledge" --- Pierre Simon, Marquis de Laplace, Théorie Analytique des Probabilités

"KS1", maandag en woensdag, 9:00--11:00 uur, Snellius 412

RE-EXAM RESULTS KS1 (bonus point incorporated)

In deze inleiding laten we zien hoe de ïntuitieve begrippen toeval en kans mathematisch geformaliseerd worden, zodat een wiskundige analyse mogelijk is van problemen waarin toeval een belangrijke rol speelt. In het bijzonder geldt dit bij statistische problemen: hoe kan men op verantwoorde wijze conclusies trekken uit gegevens die deels door toeval tot stand zijn gekomen?

Het college behandelt een aantal onderwerpen uit de kansrekening, telkens geïllustreerd door toepassingen in de statistiek, besliskunde, informatica, en natuurkunde. Begrippen zoals random variabele, kansverdeling, conditionering, onafhankelijkheid ... worden stevig verankerd in een mathematisch model; we maken kennis met belangrijke voorbeelden en stellingen (wet van grote aantallen, centrale limiet stelling) maar ook met paradoxen. De wiskundige fundament voor de kansrekening zorgt niet alleen voor een strakke verbinding met analyse en algebra maar biedt ons ook de mogelijkheid "probabilistische intuitie" te ontwikkelen en gefundeerd toe te passen (waarbij het zelfs mogelijk wordt analytische en algebraische resultaten te bewijzen door middel van probabilistische methoden).

Om dieper te gaan in de kansrekening is het vroeg of laat nodig om maat-theorie in te voeren. Hopelijk geeft deze eerste college in de kansrekening U de motivatie om daar meer van te komen te weten.

Literatuur:

We gaan in dit vernieuwde college "Kansrekening en Statistiek I" de eerste helft behandelen van het oude diktaat KS1 tesamen met het tweede gedeelte van het oude diktaat KS2. Bij elkaar dus de onderdelen die over kansrekening gaan. In het vervolg college "Kansrekening en Statistiek 2", komend semester, behandelen we het overige materiaal, dus de onderdelen die over statistiek gaan.
[Astronomen die problemen mee hebben dat het op lijkt dat ze geen statistiek krijgen: neem contact met me op. Er is een mouw aan te passen. Maar het is ook de vraag wat jullie onder statistiek nou verstaan... en het is de vraag wat jullie eigenlijk het meest nodig hebben.]
"Oude diktaat KS1": A Modern Introduction to Probability and Statistics, F.M. Dekking et al, Springer 2005, ISBN 1-85233-896-2
"Oude Diktaat KS2": kanstat2a.pdf en kanstat2b.pdf

Werkwijze:

Werkvorm : hoorcollege en werkgroep
Voorkennis : Analyse 1
Tentaminering : Schriftelijk tentamen plus wekelijks opdrachten en midterm toets.
Vakcode TUD : WI1604
In het hoorcollege probeer ik hoofdzaken aan te geven, aanvullende bespreking van de centrale concepten en resultaten, nadere bespreking van interessante voorbeelden. Soms heb ik een andere kijk op de zaken dan de auteurs van ``het boek''. Ik zal lang niet elke punt in het boek expliciet bespreken in de colleges. Sommige dingen leert u beter door zelf aandachtig te lezen en zelf na te rekenen/controleren. Bestudeer het boek grondig en oefen vooral met vele opgaven! Vragen zijn altijd welkom.

De Slides (tot nu toe...)html, pdf

Hier is de Het Schema van het Werkcollege (versie van vorig jaar), dus tegen het einde wordt het anders...

Werkcollege maandag 26 maart

De volgende twee weken is er geen werkcollege. We zijn ook nagenoeg aan het eind van de kansrekening hoofdstukken in HET BOEK. Dus voor vandaag stel ik voor dat jullie kansrekening opgaven doen uit oude tentamens. Hier is de oude tentamen bladzijde:
oude tentamens KS1
en specifiek:

hertentamen 2006
opgave 5 b, c
opgave 2
opagve 1 a, b, c

tentamen 2006
opgave 1
opgave 2
opgave 5 a, b

Verder nog een opgave: bereken verwachting en variantie van een geometrisch verdeelde random variabele. - Het aantal keer dat je "kruis" ziet als je een munt werpt tot de eerste keer dan"munt" valt, waarbij kans op munt elke keer gelijk is aan p; P(X=n)=(1-p)^n p , n=0,1,2, ...

11 april - GEEN COLLEGE


Probeer de opgaven van die oude tentamens hierboven, thuis. Ik plaats binnenkort een aantal hints, aanwijzingen.

Hier alvast de eerste. Er wordt in een opgave gevraagd om de conditionele verdeling van een random variabele. Ik herinner je even: de (gewone, onconditionele, onwaardelijke) verdeling van een random variabele is de familie van kansen P(X in B) waar B een willekeurig [nette] verzameling van reele getallen is. Anders gezegd: een kansverdeling IS een kansexperiment, met Omega=R, de gebeurtenissen zijn de nette deelverzamelingen B van R, de kansmaat is de familie van kansen P(X in B). Een kansverdeling wordt gekaraktereiseerd door de verdelingsfunctie, de familie van kansen P(X in (-infty,x]) waar x een reelle getal is. Sommige verdelingen yijn discreet, sommige zijn continu [sommige geen van beide]. Discrete verdelingen worden gekarakteriseerd door hun massa functies, continue verdelingen door hun dichtheden.
Nu is het eenvoudig om te zeggen wat een conditionele verdeling is. Als A een willekeurige gebeurtenis is, met P(A)>0,dan is voor elke B, nette deelverzameling van R, de voorwaardelijke kans P(X in B | A) gedefinieerd. De familie van deze kansen "is" de voorwaardelijke verdeling van X gegeven A. Het heeft een verdelingsfunctie, soms is het discreet en heeft het dan een massa functie, soms is het continu en heeft het dan een dichtheid.

Omslagpunt bereikt:
We zijn inmiddels (23 april) overgestapt van "het boek" naar deel 2 van het diktaat van KS2. Het omslagpunt is de centrale limietstelling: HET BOEK vertelt je wat het is en hoe je het kunt gebruiken, in KS2 zie je een bewijs, wat ook een bijzonder nuttig techniek gebruikt: genererende functies. Maar eerst moet je ook wat meer leren over conditionele verwachtingswaarde (de verwachtingswaarde van een conditionele verdeling). Wat leidt tot de prachtige resultaat: E(E(Y|X))=E(Y). De gemiddelde van een voorwaardelijke gemiddelde is de gemiddelde van het oorspronkelijke ding zelf. In het discrete geval is dit een triviale toepassing van definities en "the law of total probability".

Hogerejaars studenten mogen, en astronomen moeten, het college nog "oude stijl" volgen. We zorgen ook voor een aparte werkcollege voor jullie. Maar je moet je wel aanmelden, per email, aan de docent. Het stof voor jullie: De hoofdzaken (centrale begrippen en resultaten) uit hoofdstukken 19 t/m 29. Vorig jaar zijn hier 4 colleges aan besteedt. Zie schema van vorig jaar. We slaan dus hoofdstukken 15 t/m 18 over.

Door prive omstandigheden heb ik de laatste paar weken de site niet kunnen bijgehouden. Mijn verontschuldigingen. Ik hoop spoedig een en ander snel weer in orde te hebben. In het bijzonder zal ik'ns duidelijk uitleggen en opschrijven "wat is het verplichte stof" (twee versies: oude stijl, nieuwe stijl).

Bonuspunt regeling:

Wie bij nagenoeg alle werkcolleges (serieus) aanwezig is krijgt een bonuspunt. Je mag afwezigheden compenseren door serieuse pogingen van oplossingen van opgaven in te leveren. Je bent uiteraard welkom allebei te doen... (maar je kunt hoogsten 1 bonus punt verdienen).

Internetbronnen:

Er is prachtig materiaal op www te vinden. In het bijzonder, beveel ik heel sterk aan het gratis (pdf) boek Introduction to Probability by Grinstead and Snell. Kijk ook naar Probability Web, en zo is er nog veel meer ...


Back to my homepage


gill@math.leidenuniv.nl