Lineaire Algebra 1 voor Natuur- en Sterrenkundigen, najaar 2011

Korte beschrijving

Dit college begint met een inleiding in de hoger-dimensionale meetkunde: we definieren wat afstanden en hoeken zijn in de n-dimensionale ruimte. Hierna zien we hoe we stelsels lineaire vergelijkingen op een systematische manier kunnen oplossen. We voeren het begrip deelruimte in, en de dimensie van zo'n deelruimte. Ten slotte bekijken we lineaire transformaties van de n-dimensionale ruimte, en de bijbehorende matrices. We zullen zien hoe de eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix te vinden zijn. Dit soort berekeningen staat centraal in de mechanica van roterende lichamen, de analyse van trillende systemen en vele andere toepassingen.

Let op: studenten die een dubbele bachelor doen dienen het vak Lineaire Algebra 1 (docent: Ronald van Luijk) te volgen.

Literatuur

We volgen het boek Linear Algebra (3rd edition) van J.B. Fraleigh en R.A. Beauregard. We behandelen waarschijnlijk hoofdstukken 1 t/m 5 (en slaan daaruit een paar secties over).

Tentaminering

Het eindcijfer wordt opgebouwd uit drie onderdelen:


• huiswerk (20%): 5 huiswerkopdrachten. Het gemiddelde cijfer voor de beste vier ingeleverde opdrachten telt voor 20% mee in het eindcijfer.
• tussentijdse toets (20%)
• schriftelijk tentamen (60%)

De tussentijdse toets is op 27 okt van 10-12 in zalen B1, B2 en 174 van het Snelliusgebouw. De stof voor de toets is Par. 1.1 t/m Par. 1.6 en de Par. 2.1, 2.2, 2.5 uit Fraleigh/Beauregard. Er staat hier een document met korte uitwerkingen van de toetsopgaven.

Het tentamen is op 22 dec van 14-17 in zaal C1 van het Gorleaus (en NIET op het Sn zoals in het tentamenrooster staat vermeld). De stof voor het tentamen is de stof die op het hoor- en werkcollege behandeld is.

Er is een proeftentamen met uitwerkingen (met dank aan Bart de Smit). Verder is hier het tentamen van 2009/2010, het hertentamen van 2009/2010, en het tentamen van 2010/2011.

De cijfers (tentamen+eindcijfers) zijn bekend: zie dit overzicht. Onder voorbehoud van tikfouten.

Er is een hertentamen op 29 maa. Dit hertentamen vindt plaats van 14 - 17 u in zalen B1 en B2 van het Snellius.

De cijfers van het hertentamen zijn bekend: zie dit overzicht. Onder voorbehoud van tikfouten.

Werkcollege

Vrijdagen 9:00-10:45 in zaal HL 207 en 226 van 9 sep t/m 16 dec behalve 16 sep, 28 okt, 18 nov.

Huiswerk

Er komen 5 huiswerkopdrachten. Het huiswerk moet aan het begin van het werkcollege zijn ingeleverd bij een van de werkcollegeassistenten (bij henzelf, of per email, of in het postvakje op het Snelliusgebouw, 2e verdieping).
De werkcollegeassistenten zijn F. Völlering, A.E. de Jonge en R. van Bommel.
Laat huiswerk wordt niet geaccepteerd, maar iedereen kan 1 keer overslaan: het huiswerkcijfer is het gemiddelde cijfer voor de beste vier op tijd ingeleverde opdrachten.


• Huiswerk 1, inleverdatum 30 september: de opgaven van dit opgavenvel.
• Huiswerk 2, inleverdatum 21 oktober: de opgaven van dit opgavenvel.
• Huiswerk 3, inleverdatum 11 november: de opgaven van dit opgavenvel.
• Huiswerk 4, inleverdatum 2 december: de opgaven van dit opgavenvel.
• Huiswerk 5, inleverdatum 16 december: de opgaven van dit opgavenvel.

Behandelde stof

Per week vind je hieronder de behandelde stof op het hoor- en werkcollege.


• Hoorcollege 5 september: R^n, punten, vectoren, voorbeelden uit de natuurkunde, vector algebra, lineaire combinaties, standaardbasisvectoren, span.
  Stof uit het boek: paragraaf 1.1.
  Werkcollegeopgaven: een selectie uit 1.1.1 t/m 1.1.42.


• Hoorcollege 12 september: norm, inproduct, hoek, Cauchy-Schwarz ongelijkheid, driehoeksongelijkheid, orthogonale (loodrechte) vectoren, matrixvergelijkingen vs. stelsels lineaire vergelijkingen, matrixvermenigvuldiging.
  Stof uit het boek: par. 1.1 en 1.2.
  Werkcollegeopgaven: geen werkcollege (DLF weekend).


• Hoorcollege 19 september: matrixvermenigvuldiging, associativiteit, non-commutativiteit, eenheidsmatrix, diagonaalmatrices, optellen en scalarvermenigvuldiging, getransponeerde, rijreductie op matrices/stelsels lineaire vergelijkingen, rijentrapvorm, gereduceerde rijentrapvorm, Gauss-eliminatie en Gauss-Jordan eliminatie ('vegen').
  Stof uit het boek: par. 1.3 en 1.4 tot p. 65.
  Werkcollegeopgaven: uit Par. 1.2: 4, 8, 12, 16, 44. Uit Par. 1.3: 6, 18, 32, 42. Uit Par. 1.4: 13, 15, 17, 19, 25, 26.
  Let op: Huiswerk 1 is beschikbaar. Inleverdatum 30 september.


• Hoorcollege 26 september: criteria voor de oplosbaarheid van het stelsel Ax=b in termen van de gereduceerde rijtrapvorm (H|c), elementaire matrices, inverse matrices, een linksinverse is automatisch een rechtsinverse (en omgekeerd), inverse van een product, bepaling van de inverse van A d.m.v. Gauss-Jordan eliminatie op (A|I), homogene stelsels, deelruimtes, een deelruimte is hetzelfde als een span van een stel vectoren.
  Stof uit het boek: par. 1.4 vanaf p. 62, par. 1.5, en par. 1.6 t/m p. 91.
  Werkcollegeopgaven (ook voor 7 oktober): uit Par. 1.4: 38, 40, 42, 43. Uit Par. 1.5: 2, 4, 6, 8 (niet onderdeel (b) bij deze 4 opgaven), 10, 12, 16, 18, 19, 20, 26, 35. Uit Par. 1.6: de even opgaven uit 1--10.


• Hoorcollege 3 oktober: geen hoorcollege.
  Werkcollegeopgaven: zie hierboven.


• Hoorcollege 10 oktober: kolomruimte en nulruimte (kern) van een matrix; affiene deelruimtes; verband met oplossingsverzameling van Ax=b; lineaire (on)afhankelijkheid; basis van een deelruimte; hoe een basis te vinden van een deelruimte die als een span gegeven is; dimensie van een deelruimte (= aantal elementen in een basis); rang en nullity van een matrix; rangenstelling.
  Stof uit het boek: Par. 1.6, Par. 2.1 en Par. 2.2.
  Werkcollegeopgaven: Uit Par. 1.6: 12, 18, 24, 26, 30, 36, 44. Uit par. 2.1: 10, 22, 32, 38. Uit Par. 2.2: 1.
  Let op: Huiswerk 2 is beschikbaar. Inleverdatum 21 oktober.


• Hoorcollege 17 oktober: meer over affiene deelruimtes: dimensie, steun- en richtingsvectoren; afstand tussen twee elkaar niet snijdende affiene deelruimtes.
  Stof uit het boek: Par. 2.5. De theorie over afstand staat niet in het boek. Zie eventueel deze handout (niet nodig voor de toets, wel stof voor het tentamen!).
  Werkcollegeopgaven: wat niet afgekomen is van vorige week, en: uit Par. 2.5: 11(b,c), 12, 14, 26, 28, 36.


• Let op: Huiswerk 2 wordt teruggegeven op dinsdag 25 oktober om 10:45 in De Sitterzaal. Op donderdag 27 oktober is er van 10-12 een toets in het Snellius, zalen B1, B2 en 174.


• Hoorcollege 31 oktober: lineaire afbeelding; standaardmatrix bij zo'n afbeelding; samenstellen van lineaire afbeeldingen correspondeert met matrixvermenigvuldiging; beeld en kern van een lineaire afbeelding; verband met kolom- en nulruimte van de bijbehorende standaardmatrix; inverteerbare lineaire afbeeldingen corresponderen met inverteerbare matrices; rotaties van het vlak zijn (inverteerbare) lineaire afbeeldingen; projectie van R^n op een lijn door de oorsprong is een (in het algemeen niet inverteerbare) lineaire afbeelding.
  Stof uit het boek: Par. 2.3 en Par. 6.1 (t/m Example 1).
  Werkcollegeopgaven: de sommen op dit extra vel; uit Par. 2.3: 1 t/m 4, 8 en 10; uit Par. 6.1: 2, 4, 6.
  Let op: Huiswerk 3 is beschikbaar. Inleverdatum 11 november.


• Hoorcollege 7 november: projectie van R^n op een lijn door de oorsprong is lineair; een spiegeling in een lijn door de oorsprong is lineair. Determinanten: volume van een parallellogram (in R^2) en een parallellepipedum (in R^3), relatie met 2x2- en 3x3-determinanten; algemene nxn-determinant; expansie langs een willekeurige rij of een willekeurige kolom. Determinant van een nxn-matrix is niet nul dan en slechts dan als de matrix inverteerbaar is dan en slechts dan als de kolommen van de matrix een basis vormen van R^n.
  Stof uit het boek: Par. 6.1 (t/m Example 1), Par. 4.1 en Par. 4.2 t/m p. 255.
  Werkcollegeopgaven: Par. 6.1: 2, 4, 6. Geef in alle gevallen ook de gespiegelde van het gegeven punt in de gegeven lijn, en geef bij 6.1.4 de standaardmatrix van de projectie. Verder uit par. 4.1: 20, 38 en uit 4.2: 2, 6, 8, 26, 28, 30.


• Hoorcollege 21 november: eigenschappen van determinanten; det(AB)=det(A)det(B); inverse van een 2x2-matrix; eigenwaarden en eigenvectoren van een vierkante matrix/van een lineaire afbeelding T : R^n --> R^n; voorbeelden: rotaties, loodrechte projecties, spiegelingen. Eigenruimtes. Systematische bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren.
  Stof uit het boek: Par. 4.3 t/m Example 2. Par. 5.1 t/m Example 7. Sla alle stukjes over Markovketens over.
  Werkcollegeopgaven: Par. 4.3: 2, 3, 8. Par. 5.1: 1, 2, 6, 8, 10, 18, 23, 30.
  Let op: Huiswerk 4 is beschikbaar. Inleverdatum 2 december.


• Hoorcollege 28 november: nogmaals eigenwaarden, eigenvectoren. Eigenruimtes, karakteristiek polynoom. Systematische bepaling van eigenwaarden en eigenvectoren. Fibonacci-rij (recurrente betrekking): bepaling van de k-e term met behulp van eigenwaarden en eigenvectoren van een geschikte matrix. Diagonaliseerbaarheid. Bepaling van A^k voor een diagonaliseerbare matrix A. Nogmaals de Fibonacci-rij.
  Stof uit het boek: Par. 5.1, Par. 5.2 t/m Example 1, Par. 5.3 - First application. Sla alle stukjes over Markovketens over.
  Werkcollegeopgaven: Par. 5.1: 30, 38, 46a,b; Par. 5.2: 1, 3, 7, 9, 11 en de opgave op dit extra vel.


• Hoorcollege 5 december: toepassingen van diagonaliseren: (1) machten van een matrix A snel uitrekenen, (2) standaardmatrices van projecties en spiegelingen snel uitrekenen, (3) oplossen van systemen van lineaire differentiaalvergelijkingen. Gelijkvormige matrices. Algebraische en meetkundige multipliciteit van een eigenwaarde. Een n x n matrix A is diagonaliseerbaar als A n verschillende eigenwaarden heeft.
  Stof uit het boek: Par. 5.2 t/m de box op p. 313 bovenaan, en par. 5.3.
  Werkcollegeopgaven: Par. 5.2: 14, 16, 21. Par. 5.3: 6, 8, 10, 12.
  Let op: Huiswerk 5 is beschikbaar. Inleverdatum 16 december.


• Hoorcollege 12 december: vectorruimten. Definitie, voorbeelden, deelruimte, span, eindig voortgebracht, lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie.
  Stof uit het boek: Par. 3.1 (behalve het stuk 'Universality of function spaces') en par. 3.2.
  Werkcollegeopgaven: Par. 3.1: 10, 11, 12, 13. Par. 3.2: 2, 4, 6, 8, 12, 18, 20, 21.


• Hoorcollege 19 december: vragenuur voor het tentamen 22 december.