Introduction to Algebraic topology, fall 2017


This is the webpage for the course Introduction to Algebraic topology in fall 2017.

PLEASE NOTE: this course is intended for (3rd year) bachelor students. Master students interested in this topic are strongly recommended to take the mastermath course Algebraic Topology (M1).

In this course we develop two important ways to study a topological space: (1) via its coverings and its fundamental group, (2) via its singular homology.

We shall try to emphasize both formal/abstract properties and concrete examples. Part (1) will eventually focus on the equivalence (under some mild conditions on the topological space) between coverings, on the one hand, and representations of the fundamental group, on the other hand. Part (2) will end with a discussion of the famous Brouwer fixpoint theorem in arbitrary dimension, and the hairy ball theorem.

The course will use on a modest level the tools and language of category theory and homological algebra. All required notions are introduced during the course.

Schedule: Mondays from 9--10:45, in room Sn405.

Literature: we will treat parts of

  • J. M. Lee: Introduction to topological manifolds, Springer GTM 202.
  • W. Fulton: Algebraic Topology: A First Course, Springer GTM 153.
  • Both books are available as e-book through the university network, via SpringerLink.

    Prerequisites: the local courses Algebra 1--2, Linear Algebra 1--2, Topology.

    Final grade: the final grade is based on homework and a final exam (oral or written, depending on the number of students). Homework counts for 40 %, the final exam for 60 %.

    Homework: the teaching assistants for this course are Stefan van der Lugt and Martin Heemskerk. Solutions to the homework sets need to be given to them, via Stefan van der Lugt's mailbox in the common room (preferred), or by email via this mail address. Students are encouraged to work on solving the homework problems together, but everybody has to write down the solutions individually. Copying another student's solutions is not acceptable and will result in a lower grade. If you decide to hand in handwritten homework then make sure your homework is legible. If it takes too long to decypher your handwriting your homework will not be graded. LaTeX is strongly encouraged.

    Schriftelijk tentamen: dit zal plaatsvinden op maandag 15 januari, van 10:00 - 13:00 in zaal Sn 412. Aanwijzingen voor het tentamen vind je hier. Er is een vragenuur op donderdag 11 januari, van 14:30--16:00 in zaal Sn 401.

    Tentamenuitslag: hier vond je een document met de resultaten van het tentamen. Op donderdag 25 januari is er tussen 10-17 uur gelegenheid het tentamen in te zien.

    Huiswerkopgaven (voorlopige planning):

  • Huiswerkset 1, opgegeven 18 september, deadline 2 oktober.
  • Huiswerkset 2, opgegeven 16 oktober, deadline 30 oktober.
  • Huiswerkset 3, opgegeven 13 november, deadline 27 november.
  • Huiswerkset 4, opgegeven 4 december, deadline 18 december.
  • Vragenuur: De studentassistenten Stefan van der Lugt en Martin Heemskerk houden een vragenuur op donderdagen van 14:45--15:30. Lokatie: de studentassistentenkamer (kamer Sn207). Vragen kunnen ook per email gestuurd worden aan Stefan of Martin. Gebruik voor het opsturen van het huiswerk (niet voor het stellen van vragen!) dit mailadres (opmerking: op papier inleveren heeft de voorkeur. Zie boven onder "Homework").

    Behandelde stof en oefenopgaven:

    College 1 (4 september):

  • Inhoud: herinnering fundamentaalgroep, voorbeelden, functorialiteit, gedrag onder retracties, is S^{n-1} een retract van D^n?, gedrag onder homotopie-equivalenties, wanneer zijn S^m en S^n homotopie-equivalent?, en R^m en R^n homeomorf?, overdekkingsafbeeldingen, monodromiewerking, vraag naar de classificatie van overdekkingsafbeeldingen naar een gegeven topologische ruimte.
  • Literatuur: uit syllabus Topologie: secties 19--25, en/of uit Fulton: secties 11a,b en 12a,b.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 2 (11 september):
  • Inhoud: voorbeelden (en niet-voorbeelden) van overdekkingsafbeeldingen, G-overdekkingen, voorbeelden, een G-overdekking is een overdekkingsafbeelding, lifts, uniciteit van lifts, gevolgen: voor een samenhangende overdekkingsruimte is de werking van de automorfismengroep vrij; voor een samenhangende overdekkingsruimte met n bladen heeft de automorfismengroep hoogstens n elementen; voor een G-overdekking is de inclusie van G in de automorfismengroep een isomorfisme. Voorbeelden van automorfismengroepen. Discussie over 'takken' van de logaritme.
  • Literatuur: Fulton, secties 11a, b, c, d.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 3 (18 september):
  • Inhoud: bewijs van de stelling over uniciteit van lifts, vraag naar de existentie van lifts in de context van gepunte ruimtes, hoofdstelling over existentie van lifts, voorbereidingen voor het bewijs (weglifts) en bewijs.
  • Literatuur: Fulton, sectie 13a. De hoofdstelling over existentie van lifts is Proposition 13.5.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 4 (25 september):
  • Inhoud: stelling van Borsuk-Ulam voor de 2-sfeer. Er bestaat geen homeomorfisme van R^3 naar R^2. Graad (of windingsgetal) van een continue afbeelding van de cirkel naar zichzelf. Eigenschappen van de graad. Een oneven continue afbeelding van de cirkel naar zichzelf heeft oneven graad. Bewijs hiervan met behulp van existentie en uniciteit van lifts. Bewijs van Borsuk-Ulam. Universele overdekkingsafbeeldingen. Universele eigenschap. Uniciteit op uniek homeomorfisme na. Een universele overdekkingsafbeelding is een G-overdekking.
  • Literatuur: Fulton 4c, 13b, c. Het op college gegeven bewijs van Borsuk-Ulam voor de 2-sfeer is geinspireerd op Fulton pp. 185--186.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 5 (9 oktober):
  • Inhoud: werk over een ruimte X die samenhangend en lokaal wegsamenhangend is. Definitie van universele overdekkingsafbeelding. Universele eigenschap. Uniciteit op uniek homeomorfisme na. Voor overdekkingsafbeeldingen Y/X met Y samenhangend geldt dat Aut(Y/X) even werkt op Y. Galois-correspondentie. Voorbeeld: alle samenhangende overdekkingen van de cirkel, op isomorfie na. Definitie en voorbeelden van Galois-overdekking (aka reguliere overdekking).
  • Literatuur: Fulton 13b, c, d. De centrale propositie van vandaag is echter Proposition 11.38 uit 11d, ietsje uitgebreid.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 6 (16 oktober):
  • Inhoud: werk over een ruimte X die samenhangend en lokaal wegsamenhangend is. Kies een basispunt x op X. Karakterisering van reguliere overdekkingen. Voor een gepunte reguliere overdekking Y/X is er een kanoniek surjectief groepshomomorfisme van de fundamentaalgroep van (X,x) naar Aut(Y/X). In het bijzonder is voor een gepunte universele overdekking de automorfismegroep kanoniek isomorf met de fundamentaalgroep van (X,x). Voorbeeld: fundamentaalgroep van de fles van Klein. Galois-correspondentie in termen van ondergroepen van de fundamentaalgroep. Vraag naar de classificatie (op G-isomorfie na) van G-overdekkingen Y/X, voor een gegeven groep G. Neem aan dat een universele overdekkingsruimte van X bestaat. Dan is er een kanonieke bijectie met Hom(\pi_1(X,x),G) (bewijs nog niet gegeven).
  • Literatuur: Fulton 13b, c, d, 14a.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 7 (23 oktober):
  • Inhoud: werk over een ruimte X die samenhangend en lokaal wegsamenhangend is. Kies een basispunt x op X en een groep G. Voor een gepunte G-overdekking Y/X is er een kanoniek groepshomomorfisme van de fundamentaalgroep van (X,x) naar Aut(Y/X). Als Y samenhangend is krijgen we het homomorfisme van vorige week. Neem aan dat een universele overdekkingsruimte van X bestaat. Dan geeft deze constructie een kanonieke bijectie van de verzameling van G-isomorfieklassen van gepunte G-overdekkingen van X met Hom(\pi_1(X,x),G). Constructie van een inverse. Zij A een deelruimte van X met x in A. De kanonieke bijectie is compatibel met restrictie van G-overdekkingen naar A, aan de ene kant, en compositie met de beneden-ster van de inclusie van A in X, aan de andere kant. Pushouts van groepen, en formulering van de stelling van Van Kampen.
  • Literatuur: Fulton 14a, c.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 8 (30 oktober):
  • Inhoud: pushouts van groepen, `goede' topologische ruimtes, formulering van de stelling van Van Kampen (als in Fulton), gevolgen en voorbeelden: fundamentaalgroep van de sferen S^n voor n >= 2, fundamentaalgroep van de 8-figuur, feit: een samenhangende en lokaal enkelvoudig samenhangende ruimte is goed, bewijs van de stelling van Van Kampen via de theorie van G-overdekkingen, toepassing op grafentheorie, en op groepentheorie: ondergoep van eindige index van vrije groep op eindig veel voortbrengers is vrij en eindig voortgebracht.
  • Literatuur: Fulton 14a, b, c, d.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 9 (13 november):
  • Inhoud: affiene span, standaard simplex, singuliere p-simplex in een ruimte, vrije abelse groepen, groep van singuliere p-ketens in een ruimte, randafbeelding, cykels en randen, homologiegroepen, functorialiteit, ketencomplexen, de homologiegroepen van een punt.
  • Literatuur: Lee, uit Chapter 13, pp. 339--345 bovenaan, en Prop. 13.7.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 10 (20 november):
  • Inhoud: de H_0 van een wegsamenhangende ruimte is oneindig cyclisch, de H_p van een ruimte X is de directe som van de H_p's van de wegsamenhangscomponenten van X, de twee natuurlijke inbeddingen van X in X x [0,1] definiëren dezelfde homomorfismen op het niveau van homologie, gevolg: homotope afbeeldingen definiëren dezelfde homomorfismen op het niveau van homologie, gevolg: een homotopie-equivalentie definieert isomorfismen op het niveau van homologie, gevolg: de homologiegroepen van een samentrekbare ruimte.
  • Literatuur: Lee, uit Chapter 13, pp. 345--350.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 11 (27 november):
  • Inhoud: verband tussen fundamentaalgroep en H_1, de inclusie van het complex van U-kleine ketens in het singuliere ketencomplex induceert isomorfismen op het niveau van homologie; bewijs met behulp van barycentrische onderverdeling en een geschikte homotopie van de barycentrische onderverdeling (gezien als endomorfisme van het singuliere ketencomplex) naar de identiteit.
  • Literatuur: Lee, uit Chapter 13, pp. 351--355 en pp. 360--364.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 12 (4 december, gegeven door Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: lange exacte rij behorend bij een kort exact rijtje van complexen (zig-zag lemma), slangenlemma, natuurlijkheid van het verbindende homomorfisme, techniek van het diagrammenjagen, Mayer-Vietoris lange exacte rij, bepaling van de homologiegroepen van de sferen S^n. Leid zelf af als opgave: S^n is geen retract van B^{n+1}, S^m en S^n homotopie-equivalent impliceert m=n, R^m en R^n homeomorf impliceert m=n.
  • Literatuur: Lee, uit Chapter 13, pp. 355--359 en pp. 364--366.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 13 (11 december, gegeven door Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: graad van een zelf-afbeelding van de sfeer S^n, voorbeelden, klassieke toepassingen: een niet-surjectieve zelf-afbeelding heeft graad nul, een zelf-afbeelding zonder dekpunten heeft graad (-1)^{n+1}, de antipodale afbeelding is homotoop met de identiteit desda n oneven is, de stelling van de harige bal: een vectorveld op een even-dimensionale sfeer heeft een nulpunt.
  • Literatuur: Lee, uit Chapter 13, pp. 366-369 (tot aan Homology of CW Complexes).
  • Oefenopgaven: zie hier.