Het hoorcollege vindt plaats op maandag van 11:15 tot 13:00. Het werkcollege vindt plaats op woensdag van 9:00 tot 10:45. Dit werkcollege wordt gegeven door Reinier Br\"oker.
Op het werkcollege wordt huiswerk opgegeven. De regeling hierbij is typisch als volgt: er worden 6 opgaven opgegeven, waaruit er 4 dienen te worden ingeleverd. 4 van de 6 opgaven worden geacht makkelijker te zijn dan de andere 2. De 4 makkelijkere opgaven zijn elk 2 punten waard, de 2 moeilijkere (aangeduid met een *) elk 4 punten. Kiest men ervoor om alleen de 4 makkelijke opgaven te doen, dan haalt men dus maximaal 8 punten. Kiest men ervoor om sowieso de 2 moeilijke opgaven te doen, dan haalt men maximaal 12 punten. Variaties op dit thema zijn mogelijk. De wekelijkse puntenaantallen worden aan het eind van de collegereeks gemiddeld en tellen uiteindelijk als een cijfer mee bij de eindbeoordeling.
Nota bene: het is geen enkel probleem als mensen samenwerken bij opgaven, maar het schrijven van de daadwerkelijke uitwerking is een individuele aangelegenheid. Woordelijke kopieen worden niet geaccepteerd.
Het huiswerk telt uiteindelijk voor 50 % mee in het eindcijfer. De resterende 50 % wordt bepaald door een schriftelijk tentamen over de gehele stof. Dit schriftelijk tentamen vindt plaats op maandag 12 juni van 10:00 tot 13:00. Let op: er vindt in augustus GEEN schriftelijke herkansing plaats van dit vak.
Het tentamen is een open-boek tentamen. Electronische hulpmiddelen (rekenmachines, satellietverbindingen, mobiele telefoons) zijn niet toegestaan. Voor het tentamen dient men de behandelde theorie en de behandelde opgaven uit de paragrafen 21 tot en met 24 te beheersen. Daarnaast strekt het tot de aanbeveling om de stof uit de paragrafen 25 en 26 een keer goed begrepen te hebben. De sommen 23.15 tot en met 23.21 vallen buiten de tentamenstof.
Er is een vragenuur op woensdag 7 juni om 10.00. De laatste inlevermogelijkheid voor het huiswerk is dinsdag 6 juni om 9.00.
Hier is de handout bij het college.
Hier is de syllabus bij het college. Een gedrukte versie is tijdens de pauze van het eerste college verkocht.
En klik hier voor een vel extra opgaven.
6+8 februari:
Hoorcollege: domeinen, lichamen, priemlichaam, karakteristiek,
lichaamshomomorfismen zijn injectief, graad, eindige
uitbreidingen, torenwet,
voortbrengers, cyclotomische lichamen.
Werkcollege: par. 21, sommen 1, 2, 3, 4 en extra opgaven 1, 2 en 4.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 15, 16, 19* en 23, extra opgaven 3* en 8.
Inleveren op of voor 15 februari.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21 tot p. 7 ``Algebraisch en
transcendent.''
Frobenius
13+15 februari:
Hoorcollege: voor K een lichaam is K[X] een hoofdideaaldomein, karakterisering
van de maximale idealen in een hoofdideaaldomein, transcendente en algebraische
elementen, minimumpolynoom, betekenis van de graad van het minimumpolynoom,
formele adjunctie, algebraische uitbreidingen, karakterisering van eindige
uitbreidingen, algebraische afsluiting in een uitbreiding, algebraisch afgesloten in
een uitbreiding, torenwet voor algebraische uitbreidingen.
Werkcollege: par. 21, sommen 4, 8, 9, 10 en extra opgaven 5, 6 en 7.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 28, 29 en 30*, extra opgaven 9, 10 en 11*.
Inleveren op of voor 22 februari.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21 tot en met Stelling 21.9.
Gauss
20+22 februari:
Hoorcollege: algebraisch afgesloten lichamen, diverse equivalente definities, C
is algebraisch afgesloten, algebraische afsluiting, existentie en uniciteit op
K-isomorfie na, ontbindingslichaam, voorbeelden, existentie en uniciteit op
K-isomorfie na, bewijs van uniciteit met inductie.
Werkcollege: par. 21, sommen 25, 26, 27 en 31, en: een ontbindingslichaam van
X^2+1 over F_3 heeft 9 elementen.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 20*, 35, 36, 37, 38 en 42*. Inleveren op of
voor 1 maart.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21, vanaf Definitie 21.10.
Galois
27 februari+1 maart:
Hoorcollege: automorfismengroepen van ontbindingslichamen: diverse voorbeelden,
eindige lichamen, een eindig lichaam heeft een priemmacht aantal elementen, en
gegeven een priemmacht q is er, op isomorfie na, ten hoogste een lichaam met q
elementen.
Werkcollege: bepaal Aut(Q(\zeta_5)) en geef de optel- en vermenigvuldigtabel voor
F_2(a) met a^3+a+1=0. Verder sommen 7 en 19 uit par. 22.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 12* , 24 en 25 (sic), en par. 22, sommen 6*,
8 en 18.
Corresponderende stof uit de syllabus: pp. 14 en 15, en het begin van `Eindige
lichamen', par. 22.
Dedekind
6+8 maart:
Hoorcollege: gegeven een priemmacht q is er een lichaam met q elementen,
Frobenius, notatie F_q, structuur van F_q^*, deellichamen van F_q, ontbinding
van X^{p^n}-X in F_p[X], de automorfismengroep van F_q, factorisatie van een irreducibel polynoom in F_p[X] in
een ontbindingslichaam, separabiliteitsgraad.
Werkcollege: par. 22, sommen 1, 12, 16 en 17. Verder uit de extra opgaven
sommen 14, 16 en 18. I.p.v. som 14 kan ook par. 22, som 11 gemaakt worden.
Huiswerk: vier uit par. 22, sommen 9, 13, 19, 30*, extra opgave 17 en: ``Zij p
een priemgetal, en n een geheel getal groter dan 0. Bepaal de graad van het
ontbindingslichaam van X^n-1 over F_p.'' (*)
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 22, en een begin met par. 23.
E.
Artin
13+15 maart:
Hoorcollege: torenwet voor de separabiliteitsgraad, in een eindige uitbreiding wordt de separabiliteitsgraad naar boven
begrensd door de graad, separabele elementen, noodzakelijke voorwaarden voor het
bestaan van een niet-separabel algebraisch element, separabele uitbreidingen,
perfecte lichamen, een lichaam is perfect desda iedere algebraische uitbreiding
separabel is, stelling van het primitieve element, een eindige uitbreiding is
enkelvoudig desda er slechts eindig veel tussenlichamen zijn.
Werkcollege: par. 23, sommen 9 t/m 12, en 14 t/m 16.
Huiswerk: vier uit: par. 23, sommen 17 t/m 21* en 30*.
Corresponderende stof uit de syllabus: p. 29 tot p. 34, ``Normale
uitbreidingen.''
Lagrange
20+22 maart:
Hoorcollege: normale uitbreidingen, voorbeelden,
equivalente karakteriseringen, normale
afsluiting, #Aut_K(L) voor eindige uitbreidingen begrensd door [L:K]_s en
gelijkheid treedt op desda K in L normaal, #Aut_K(L) voor eindige
uitbreidingen begrensd door [L:K], #Aut_K(L)=[L:K] desda K in L normaal en
separabel, invariantenlichaam, Galoisuitbreidingen, voorbeelden, als K in L
Galois met K=L^G dan is G=Aut_K(L) en #G=[L:K], lemma van Artin (bewijs later), voor K in L
eindig is K in L Galois equivalent met #Aut_K(L)=[L:K], conclusie: K in L Galois
desda K in L normaal en separabel.
Werkcollege: par. 23, sommen 22, 23, 24 en 26, en par. 24, sommen 8, 9 en 17.
Huiswerk: vier uit: par. 24, sommen 10, 11, 14, 15, 18*, en: `Zijn s_1,...,s_n
de elementair symmetrische polynomen in de variabelen t_1,...,t_n. Dan is
Q(t_1,...,t_n) Galois over Q(s_1,...,s_n) met Galoisgroep isomorf met S_n.'*.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 23, `Normale uitbreidingen' en een
begin met par. 24, `Galoisuitbreidingen'.
Abel
3+5 april:
Hoorcollege: hoofdstelling van de Galoistheorie, lemma van Dedekind, lemma van
Artin, Galoisgroep van een separabel polynoom, veel voorbeelden,
Galoiscorrespondentie voor een V_4- en een S_3-uitbreiding.
Werkcollege: par. 24, sommen 2, 3, 4, 16, 44 en 45.
Huiswerk: vier uit par. 24, sommen 40, 41, 42, 48, 54*, 55*, 56.
Corresponderende stof uit de syllabus: Lemma 23.15 en par. 24 tot aan Opgave 4.
del
Ferro
10+12 april:
Hoorcollege: werking van de Galoisgroep op de tussenlichamen van een
Galoisuitbreiding; verband tussen normaaldelers van de Galoisgroep en
Galoisuitbreidingen van het grondlichaam, beschrijving van de Galoisgroep in dit
geval, voorbeelden: het ontbindingslichaam van X^4-2 over Q, het cyclotomische
lichaam Q(\zeta_p), Gauss-perioden, het reele deellichaam, het cyclotomische
lichaam Q(\zeta_n), het cyclotomische polynoom \Phi_n: graad is \phi(n), het
ligt in Z[X], en het is irreducibel in Q[X].
Werkcollege (ook 19 april): par. 24, sommen 6, 19, 20, 31 t/m 35.
Huiswerk (inleveren uiterlijk 26 april): zes uit par. 24, sommen
23, 24, 27, 29, 36, 37, 38*, 52*.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 24 vanaf Opgave 4.
Tartaglia
24+26 april:
Hoorcollege: elementaire constructies met passer en lineaal, de verzameling van
punten construeerbaar uit een gegeven verzameling, de verzameling van
construeerbare getallen: gesloten onder lichaamsoperaties, gesloten onder het
nemen van kwadraatwortels uit positieve getallen, criterium voor
construeerbaarheid in termen van ketens van kwadratische uitbreidingen,
beschrijving van de Galoisgroep van het minimumpolynoom van een construeerbaar
getal, gevolgen: kwadratuur van de cirkel, verdubbeling van de kubus, driedeling
van een hoek, construeerbaarheid van de regelmatige n-hoek: criterium van Gauss,
Fermat-priemgetallen.
Werkcollege: par. 25, sommen 13, 14, 16, 20, constructie van de regelmatige
vijfhoek.
Huiswerk: vier uit par. 24, sommen 22, 46*, 47*, 49 en par. 25, sommen 15 en 21.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 tot en met stelling 25.12.
Cardano
8+10 mei:
Hoorcollege: worteluitbreidingen, uitdrukbaarheid in wortels, oplosbaarheid van
polynomen door middel van worteltrekken, voorbeelden: abc-formule, Cardano's
methode, criterium voor uitdrukbaarheid in wortels, oplosbare groepen,
voorbeelden, twee lemma's voor het criterium.
Werkcollege: par. 25, sommen 5, 6, 28, 29, 30, 31.
Huiswerk: vier uit par. 25, sommen 23, 24, 32*, 33*, 35, 37.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 pp. 63--66.
Ferrari
15+17 mei:
Hoorcollege: bewijs van het criterium voor uitdrukbaarheid in wortels, S_n is
niet oplosbaar voor n groter dan 4, irreducibele polynomen in Q[X] van graad 5
met Galoisgroep isomorf met S_5 zijn niet oplosbaar door middel van
worteltrekken, bewijs van de Hoofdstelling van de Algebra met de
Tussenwaardestelling en de Eerste Sylow-stelling.
Werkcollege: het tentamen Algebra 3 van 1 juni 2004, p. 88.
Huiswerk: het tentamen Algebra 3 van 22 mei 2002, p. 87.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 is afgerond, uit par. 26 is de
sectie `Hoofdstelling van de algebra' gedaan.
Legendre
22+24 mei:
Hoorcollege: kwadratische reciprociteit, oneindige Galoistheorie, analoga met de
theorie van de fundamentaalgroep, de absolute Galoisgroep als
algebraische fundamentaalgroep, suggesties voor verdere studie.
Werkcollege: oude tentamens.
Corresponderende stof uit de syllabus:
par. 26, `Kwadratische reciprociteit'.