Algebra 3, voorjaar 2006


Het hoorcollege vindt plaats op maandag van 11:15 tot 13:00. Het werkcollege vindt plaats op woensdag van 9:00 tot 10:45. Dit werkcollege wordt gegeven door Reinier Br\"oker.

Op het werkcollege wordt huiswerk opgegeven. De regeling hierbij is typisch als volgt: er worden 6 opgaven opgegeven, waaruit er 4 dienen te worden ingeleverd. 4 van de 6 opgaven worden geacht makkelijker te zijn dan de andere 2. De 4 makkelijkere opgaven zijn elk 2 punten waard, de 2 moeilijkere (aangeduid met een *) elk 4 punten. Kiest men ervoor om alleen de 4 makkelijke opgaven te doen, dan haalt men dus maximaal 8 punten. Kiest men ervoor om sowieso de 2 moeilijke opgaven te doen, dan haalt men maximaal 12 punten. Variaties op dit thema zijn mogelijk. De wekelijkse puntenaantallen worden aan het eind van de collegereeks gemiddeld en tellen uiteindelijk als een cijfer mee bij de eindbeoordeling.

Nota bene: het is geen enkel probleem als mensen samenwerken bij opgaven, maar het schrijven van de daadwerkelijke uitwerking is een individuele aangelegenheid. Woordelijke kopieen worden niet geaccepteerd.

Het huiswerk telt uiteindelijk voor 50 % mee in het eindcijfer. De resterende 50 % wordt bepaald door een schriftelijk tentamen over de gehele stof. Dit schriftelijk tentamen vindt plaats op maandag 12 juni van 10:00 tot 13:00. Let op: er vindt in augustus GEEN schriftelijke herkansing plaats van dit vak.

Het tentamen is een open-boek tentamen. Electronische hulpmiddelen (rekenmachines, satellietverbindingen, mobiele telefoons) zijn niet toegestaan. Voor het tentamen dient men de behandelde theorie en de behandelde opgaven uit de paragrafen 21 tot en met 24 te beheersen. Daarnaast strekt het tot de aanbeveling om de stof uit de paragrafen 25 en 26 een keer goed begrepen te hebben. De sommen 23.15 tot en met 23.21 vallen buiten de tentamenstof.

Er is een vragenuur op woensdag 7 juni om 10.00. De laatste inlevermogelijkheid voor het huiswerk is dinsdag 6 juni om 9.00.

Hier is de handout bij het college.

Hier is de syllabus bij het college. Een gedrukte versie is tijdens de pauze van het eerste college verkocht.

En klik hier voor een vel extra opgaven.

6+8 februari:
Hoorcollege: domeinen, lichamen, priemlichaam, karakteristiek, lichaamshomomorfismen zijn injectief, graad, eindige uitbreidingen, torenwet, voortbrengers, cyclotomische lichamen.
Werkcollege: par. 21, sommen 1, 2, 3, 4 en extra opgaven 1, 2 en 4.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 15, 16, 19* en 23, extra opgaven 3* en 8. Inleveren op of voor 15 februari.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21 tot p. 7 ``Algebraisch en transcendent.''

Frobenius

13+15 februari:
Hoorcollege: voor K een lichaam is K[X] een hoofdideaaldomein, karakterisering van de maximale idealen in een hoofdideaaldomein, transcendente en algebraische elementen, minimumpolynoom, betekenis van de graad van het minimumpolynoom, formele adjunctie, algebraische uitbreidingen, karakterisering van eindige uitbreidingen, algebraische afsluiting in een uitbreiding, algebraisch afgesloten in een uitbreiding, torenwet voor algebraische uitbreidingen.
Werkcollege: par. 21, sommen 4, 8, 9, 10 en extra opgaven 5, 6 en 7.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 28, 29 en 30*, extra opgaven 9, 10 en 11*. Inleveren op of voor 22 februari.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21 tot en met Stelling 21.9.

Gauss

20+22 februari:
Hoorcollege: algebraisch afgesloten lichamen, diverse equivalente definities, C is algebraisch afgesloten, algebraische afsluiting, existentie en uniciteit op K-isomorfie na, ontbindingslichaam, voorbeelden, existentie en uniciteit op K-isomorfie na, bewijs van uniciteit met inductie.
Werkcollege: par. 21, sommen 25, 26, 27 en 31, en: een ontbindingslichaam van X^2+1 over F_3 heeft 9 elementen.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 20*, 35, 36, 37, 38 en 42*. Inleveren op of voor 1 maart.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 21, vanaf Definitie 21.10.

Galois

27 februari+1 maart:
Hoorcollege: automorfismengroepen van ontbindingslichamen: diverse voorbeelden, eindige lichamen, een eindig lichaam heeft een priemmacht aantal elementen, en gegeven een priemmacht q is er, op isomorfie na, ten hoogste een lichaam met q elementen.
Werkcollege: bepaal Aut(Q(\zeta_5)) en geef de optel- en vermenigvuldigtabel voor F_2(a) met a^3+a+1=0. Verder sommen 7 en 19 uit par. 22.
Huiswerk: vier uit par. 21, sommen 12* , 24 en 25 (sic), en par. 22, sommen 6*, 8 en 18.
Corresponderende stof uit de syllabus: pp. 14 en 15, en het begin van `Eindige lichamen', par. 22.

Dedekind

6+8 maart:
Hoorcollege: gegeven een priemmacht q is er een lichaam met q elementen, Frobenius, notatie F_q, structuur van F_q^*, deellichamen van F_q, ontbinding van X^{p^n}-X in F_p[X], de automorfismengroep van F_q, factorisatie van een irreducibel polynoom in F_p[X] in een ontbindingslichaam, separabiliteitsgraad.
Werkcollege: par. 22, sommen 1, 12, 16 en 17. Verder uit de extra opgaven sommen 14, 16 en 18. I.p.v. som 14 kan ook par. 22, som 11 gemaakt worden.
Huiswerk: vier uit par. 22, sommen 9, 13, 19, 30*, extra opgave 17 en: ``Zij p een priemgetal, en n een geheel getal groter dan 0. Bepaal de graad van het ontbindingslichaam van X^n-1 over F_p.'' (*)
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 22, en een begin met par. 23.

E. Artin

13+15 maart:
Hoorcollege: torenwet voor de separabiliteitsgraad, in een eindige uitbreiding wordt de separabiliteitsgraad naar boven begrensd door de graad, separabele elementen, noodzakelijke voorwaarden voor het bestaan van een niet-separabel algebraisch element, separabele uitbreidingen, perfecte lichamen, een lichaam is perfect desda iedere algebraische uitbreiding separabel is, stelling van het primitieve element, een eindige uitbreiding is enkelvoudig desda er slechts eindig veel tussenlichamen zijn.
Werkcollege: par. 23, sommen 9 t/m 12, en 14 t/m 16.
Huiswerk: vier uit: par. 23, sommen 17 t/m 21* en 30*.
Corresponderende stof uit de syllabus: p. 29 tot p. 34, ``Normale uitbreidingen.''

Lagrange

20+22 maart:
Hoorcollege: normale uitbreidingen, voorbeelden, equivalente karakteriseringen, normale afsluiting, #Aut_K(L) voor eindige uitbreidingen begrensd door [L:K]_s en gelijkheid treedt op desda K in L normaal, #Aut_K(L) voor eindige uitbreidingen begrensd door [L:K], #Aut_K(L)=[L:K] desda K in L normaal en separabel, invariantenlichaam, Galoisuitbreidingen, voorbeelden, als K in L Galois met K=L^G dan is G=Aut_K(L) en #G=[L:K], lemma van Artin (bewijs later), voor K in L eindig is K in L Galois equivalent met #Aut_K(L)=[L:K], conclusie: K in L Galois desda K in L normaal en separabel.
Werkcollege: par. 23, sommen 22, 23, 24 en 26, en par. 24, sommen 8, 9 en 17.
Huiswerk: vier uit: par. 24, sommen 10, 11, 14, 15, 18*, en: `Zijn s_1,...,s_n de elementair symmetrische polynomen in de variabelen t_1,...,t_n. Dan is Q(t_1,...,t_n) Galois over Q(s_1,...,s_n) met Galoisgroep isomorf met S_n.'*.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 23, `Normale uitbreidingen' en een begin met par. 24, `Galoisuitbreidingen'.

Abel

3+5 april:
Hoorcollege: hoofdstelling van de Galoistheorie, lemma van Dedekind, lemma van Artin, Galoisgroep van een separabel polynoom, veel voorbeelden, Galoiscorrespondentie voor een V_4- en een S_3-uitbreiding.
Werkcollege: par. 24, sommen 2, 3, 4, 16, 44 en 45.
Huiswerk: vier uit par. 24, sommen 40, 41, 42, 48, 54*, 55*, 56.
Corresponderende stof uit de syllabus: Lemma 23.15 en par. 24 tot aan Opgave 4.

del Ferro

10+12 april:
Hoorcollege: werking van de Galoisgroep op de tussenlichamen van een Galoisuitbreiding; verband tussen normaaldelers van de Galoisgroep en Galoisuitbreidingen van het grondlichaam, beschrijving van de Galoisgroep in dit geval, voorbeelden: het ontbindingslichaam van X^4-2 over Q, het cyclotomische lichaam Q(\zeta_p), Gauss-perioden, het reele deellichaam, het cyclotomische lichaam Q(\zeta_n), het cyclotomische polynoom \Phi_n: graad is \phi(n), het ligt in Z[X], en het is irreducibel in Q[X].
Werkcollege (ook 19 april): par. 24, sommen 6, 19, 20, 31 t/m 35.
Huiswerk (inleveren uiterlijk 26 april): zes uit par. 24, sommen 23, 24, 27, 29, 36, 37, 38*, 52*.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 24 vanaf Opgave 4.

Tartaglia

24+26 april:
Hoorcollege: elementaire constructies met passer en lineaal, de verzameling van punten construeerbaar uit een gegeven verzameling, de verzameling van construeerbare getallen: gesloten onder lichaamsoperaties, gesloten onder het nemen van kwadraatwortels uit positieve getallen, criterium voor construeerbaarheid in termen van ketens van kwadratische uitbreidingen, beschrijving van de Galoisgroep van het minimumpolynoom van een construeerbaar getal, gevolgen: kwadratuur van de cirkel, verdubbeling van de kubus, driedeling van een hoek, construeerbaarheid van de regelmatige n-hoek: criterium van Gauss, Fermat-priemgetallen.
Werkcollege: par. 25, sommen 13, 14, 16, 20, constructie van de regelmatige vijfhoek.
Huiswerk: vier uit par. 24, sommen 22, 46*, 47*, 49 en par. 25, sommen 15 en 21.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 tot en met stelling 25.12.

Cardano

8+10 mei:
Hoorcollege: worteluitbreidingen, uitdrukbaarheid in wortels, oplosbaarheid van polynomen door middel van worteltrekken, voorbeelden: abc-formule, Cardano's methode, criterium voor uitdrukbaarheid in wortels, oplosbare groepen, voorbeelden, twee lemma's voor het criterium.
Werkcollege: par. 25, sommen 5, 6, 28, 29, 30, 31.
Huiswerk: vier uit par. 25, sommen 23, 24, 32*, 33*, 35, 37.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 pp. 63--66.

Ferrari

15+17 mei:
Hoorcollege: bewijs van het criterium voor uitdrukbaarheid in wortels, S_n is niet oplosbaar voor n groter dan 4, irreducibele polynomen in Q[X] van graad 5 met Galoisgroep isomorf met S_5 zijn niet oplosbaar door middel van worteltrekken, bewijs van de Hoofdstelling van de Algebra met de Tussenwaardestelling en de Eerste Sylow-stelling.
Werkcollege: het tentamen Algebra 3 van 1 juni 2004, p. 88.
Huiswerk: het tentamen Algebra 3 van 22 mei 2002, p. 87.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 25 is afgerond, uit par. 26 is de sectie `Hoofdstelling van de algebra' gedaan.

Legendre

22+24 mei:
Hoorcollege: kwadratische reciprociteit, oneindige Galoistheorie, analoga met de theorie van de fundamentaalgroep, de absolute Galoisgroep als algebraische fundamentaalgroep, suggesties voor verdere studie.
Werkcollege: oude tentamens.
Corresponderende stof uit de syllabus: par. 26, `Kwadratische reciprociteit'.


Laatst gewijzigd op 20 juni 2006.