Inschrijven

Mededelingen

Rooster

Hoorcollege:Donderdag van 9:00 tot 10:45 in De Sitterzaal(14/2-23/5, geen college op 14/3, 18/4).
Docent: Ronald van Luijk.
Werkcollege:Donderdag van 11:00 tot 12:45 in zalen B2, B3 van het Snellius.
Assistenten:
B2: Rosa Schwarz (r.m.schwarz (op) math.leidenuniv.nl), Mirja van de Pol (mirjapol98 (op) gmail.com), Aafko Boonstra (aafkoboonstra (op) freedom.nl)
B3 (met iets meer klassikale uitleg): Tessa Hermans (tessatjd (op) hotmail.com), Wim Nijgh (wimnijgh (op) gmail.com), Alex Spieksma (alexspieksma (op) gmail.com)
Vragenuur: Tot de week van 20 mei: dinsdag 12-13, woensdag 13-14 in kamer 207 van het Snellius (dinsdag 2 april in 403; maandag 17 juni om 14:00 in 401).
Toets: Woensdag 3 april, 11:00-13:00, B1, B3, 407/409.
Tentamen: Donderdag 20 juni, 10:00-13:00, B1, B2, B3.
Hertentamen: Vrijdag 5 juli, 14:00-17:00u, Huygens 211/14.
Zie ook het meest recente rooster.

Behandeld

CollegedatumGedaan/van plan
14 februari slides inleiding (van Marco Streng), §2 tot en met 2.4 behalve 2.2: groepen, de orde, commuteren, abelse groepen, voorbeelden van groepen: \((\mathbb{R},+)\), \(\mathbb{R}^\ast\), vectorruimtes, \(GL_n(\mathbb{R})\), \(V_4\) (uit §1), \(S(X)\) (permutaties). De verzameling \(Sym(X)\) voor \(X \subseteq \mathbb{R}^2\) uit Definitie 3.7, maar zonder bewijs dat het een groep is.
21 februari§2 t/m 2.8: de orde, \(S_n\), disjunctecykelnotatie, ondergroepen, voortbrengers, inclusief opgave 2.49.
28 februariHoofdstuk 1 en 2 af: 1.7, symmetriegroep van tetraëder, cyclische groepen, tekenafbeelding, alternerende groep, opg. 2.46.
7 maartHoofdstuk 3 af, behalve meetkunde met complexe getallen.
14 maartgeen (werk-)college
21 maartHoofdstuk 4, homomorfismen, kern, beeld, (linker)nevenklasse, stelling van Lagrange, conjugatie.
28 maartHoofdstuk 4 af: isomorfiestelling, centrum, normaaldeler, quotiëntgroep.
4 aprilHoofdstuk 5: het eerste deel, tot en met 5.5.
11 aprilHoofdstuk 5 tot en met 5.10, opg. 4.58.
18 aprilgeen (werk-)college
25 aprilHoofdstuk 5 af, begin hoofdstuk 6.
2 meiHoofdstuk 6 verder.
9 meiHoofdstuk 6 af. Hoofdstuk 7: alleen sectie Discrete Logaritmen.
16 meiHoofdstuk 8 tot en met pagina 99.
23 meiBehandelen enkele opgaven van tentamen en hertentamen 2018 (de overige opgaven op werkcollege).

Huiswerk

Regeling

Merk op dat het doel van het huiswerk anders is dan dat van het tentamen. De huiswerkopgaven zijn zorgvuldig uitgekozen om je met zoveel mogelijk aspecten van de stof in aanraking te laten komen en om je die stof daarmee eigen te maken. Het tentamen is er om in relatief korte tijd te checken of dat gelukt is. Dat betekent dat huiswerkopgaven anders zijn dan tentamenopgaven. Het huiswerk is dus niet per se representatief voor het tentamen.

De meeste 8-puntsopgaven en alle "overige geschikte opgaven" zonder * zouden zonder veel moeite te doen moeten zijn voor iedereen. Maak (in klad) altijd in ieder geval alle 8-puntsopgaven en probeer zoveel mogelijk andere opgaven te maken. (Het niveau van het tentamen ligt boven dat van de 8-puntsopgaven, dus als je alleen die maakt dan is je voorbereiding suboptimaal.) Lever daarna 3 opgaven in het net in. Als je vastzit bij het maken van een opgave, kan je altijd voor hulp langslopen bij een van de werkcollegebegeleiders of de docent.

Collegedatum Inleverdatum 8-puntsopgaven 9-puntsopgaven overige geschikte opgaven
14 februari20 februari1.15, 2.15, 2.162.24, 2.312, 2.431.91, 2.17, 2.18, 2.19, 2.22, 2.25, 2.26, 2.35*, 2.36, 2.37*, 2.44*, 2.45*
21 februari27 februari2.93,8, 2.27, 2.302.28, 2.406, 2.511.16, 1.18, 1.19, 1.20, 1.21, 1.22*, 1.23*, 2.8, 2.23*5,7, 2.324, 2.34*, 2.39*4, 2.46, 2.47, 2.50
28 februari6 maart1.17, 2.5010, 2.542.529, 2.55, 2.561.20, 1.24, 2.38*, 2.41, 2.42, 2.48*, 2.53
7 maart20 maart 3.3, 3.21, 3.27 3.13, 3.2911,12, 3.30123.8, 3.11, 3.15, 3.16, 3.17, 3.18, 3.20, 3.2415, 3.25, 3.26*13, 3.2814, 3.3112, 3.32, 3.33, 3.34
21 maart27 maart4.15, 4.16, 4.194.20, 4.27, 4.284.12, 4.13, 4.14, 4.17, 4.18, 4.21, 4.25
28 maart6 april4.942, 4.46, 4.554.29, 4.31, 4.51164.7, 4.30, 4.32, 4.33, 4.34, 4.35, 4.36, 4.44, 4.45, 4.47, 4.49, 4.50, 4.52, 4.53, 4.56, 4.58, 4.59
4 april10 april5.11, 5.1317,19, 5.204.6018, 5.14, 5.2117,20Eerste stuk hoofdstuk 5
11 april24 april5.18, 5.30, 5.3421(*)22,23, 5.4724, 5.4925 Hoofdstuk 5, grofweg tot en met 5.37
25 april1 mei5.27, 5.2827, 5.3929, 5.53265.45, 5.4628, 5.5030rest van H5, bijv. 5.29, 5.51, 5.52; kijk ook naar 5.57
2 mei8 mei5.5531, 6.432, 6.25336.1136, 6.24, 5.5734,356.15, 6.16, 6.17, 6.18, 6.19, 6.20, 6.267, 6.28, 6.30, 6.47, 6.48
9 mei15 mei6.1337, 6.4138, 7.17396.29, 6.3638, 6.43406.21, 6.22, 6.31 - 6.42, 6.49, 6.55, 7.11, 7.12, 7.15, 7.16, 7.19
16 mei22 mei8.16, 8.18, 8.28.13, 8.14, 8.15418.10, 8.11, 8.12, 8.17, 8.19, 8.20, 8.21

De links in deze tabel verwijzen naar opmerkingen over bepaalde opgaven, die onderaan deze pagina staan.

Omschrijving

In dit eerste college uit de algebracyclus wordt een aantal onderwerpen zoals gehele getallen, permutaties en symmetrie, geabstraheerd en geünificeerd in het begrip "groep". Er wordt aandacht geschonken aan toepassingen in de combinatoriek, de vlakke meetkunde, de getaltheorie en de cryptografie. Behandeld worden onder andere: permutaties, vlakke symmetrieën, groepshomomorfismen, groepswerkingen, rekenen modulo n, het RSA-cryptosysteem, producten en quotiënten van groepen en, als daar tijd voor is, abelse groepen en Sylowondergroepen.

Voorkennis: Wiskundige Structuren. We zullen soms ook voorbeelden geven die Lineaire Algebra 1 gebruiken.

Beloning: 6 EC.

Literatuur

Richtlijn voor het college is het gratis elektronisch beschikbare dictaat Algebra 1 (2017) van Peter Stevenhagen. Een papieren versie van het dictaat is te koop op het secretariaat wiskunde (kamer 203a) voor 10 euro. Hendrik Lenstra en Frans Oort hebben ook een ander dictaat geschreven dat goed aansluit bij ons vak en waarvan tegenwoordig een versie beschikbaar is die mooi getypeset is door Ben Moonen en anderen. Ook het Groningse dictaat, geschreven door Jaap Top, kan interessant zijn om te bekijken; daar worden echter geen werkingen behandeld, wat bij ons een belangrijk onderwerp is. Van dit laatste dictaat is ook een Engelse versie beschikbaar.

Toets

Tentamen

Cijferregeling

Het eindcijfer is het gewogen gemiddelde van het cijfer voor het huiswerk (20%), de toets (20%) en het tentamen (60%), mits het tentamencijfer niet lager is dan een 5. Als het cijfer voor de toets lager is dan het cijfer van het tentamen, dan telt de toets voor 0% en het tentamen voor 80%.

Voor het als eerste melden van een fout op het bord krijg je 0,1 extra op elk huiswerk. Dit kan ook nog na het college; dan kan ik de typo op blackboard melden bij de link naar de video.

Oude tentamens

Oude tentamens kun je vinden op de tentamenpagina van het instituut.

Fraude

De enige reden dat we huiswerk hebben is de ervaring dat studenten baat hebben bij het regelmatig gedetailleerd uitwerken van opgaven en de feedback daarop. Het doel van het huiswerk is je te helpen de theorie te doorgronden. Zoals onder het kopje 'Huiswerk' staat vermeld is samen nadenken toegestaan, maar dient iedereen daarna de opgaven individueel uit te werken. Onder samen nadenken verstaan we overleggen en het uitwisselen van ideeën, zoals bijvoorbeeld welke stellingen je voor een bewijs kunt gebruiken en waarom, of hoe je een lange berekening aan zou kunnen pakken. Hier valt niet onder het samen letterlijk opschrijven van een bewijs of het precies uitwerken van die lange berekening, ook al denk je dit later individueel nog een keer opnieuw te doen. Als je na samenwerken bij het opschrijven (bijna) niet meer hoeft na te denken, dan is dat een goede aanwijzing dat die samenwerking te ver is gegaan.

Waar het door sociale media steeds makkelijker wordt teksten met elkaar te delen, dienen studenten zich te realiseren dat het (geheel of gedeeltelijk) overschrijven van een (geheel of gedeeltelijk) door een ander geschreven tekst valt onder plagiaat en dus fraude. Dit geldt niet alleen voor publicaties en scripties, maar ook voor kleinere werkstukken en huiswerk en wordt door de universiteit zeer serieus genomen.

Omdat huiswerkuitwerkingen niet openbaar gemaakt (dienen te) worden, zijn in het geval van huiswerk bij deze vorm van fraude meestal zowel degene die overschrijft als degene van wie wordt overgeschreven betrokken. Bij het overschrijven van huiswerk telt het huiswerk van alle betrokkenen niet mee voor het eindcijfer. Daarnaast zullen de namen van alle betrokkenen worden doorgegeven aan de examencommissie die alle betrokkenen het recht van het doen van het tentamen kan ontzeggen.

Verdenking van betrokkenheid bij plagiaat is makkelijk te voorkomen. Zorg dat je bij het uitwerken van je opgaven geen tekst naast je hebt liggen die geheel of gedeeltelijk door een ander is geschreven, ook niet van degenen met wie je samengewerkt hebt. Deel je eigen uitwerkingen niet met een ander. Schrijf bij je uitwerkingen de namen van degenen met wie je samengewerkt hebt.

Fraude (en de verdenking daarvan) tijdens de toets of het tentamen wordt gemeld aan de examencommissie die dat daarna in behandeling neemt.

Opmerkingen over opgaven

  1. (1.9) De structuur van een viergroep van Klein wordt in de laatste alinea van p.9 van het dictaat gedefinieerd.
  2. (2.31) De zin tussen haakjes ("Dit is ook waar als...") hoeft niet bewezen te worden. Deze slaat bovendien alleen op het feit dat de orde van een element x ∈ G de orde van G deelt, niet op de identiteit van producten; de producten in kwestie zijn namelijk niet gedefinieerd voor niet-abelse G.
  3. (2.9) Tip: Controleer na afloop voor \(n=5\) dat je precies 120 elementen krijgt.
  4. (2.32, 2.39) Zie Lemma 2.8 voor de definitie van \(\langle S \rangle\).
  5. (2.23) Een groep \(G\) heet cyclisch als er een element \(a \in G\) is zodanig dat alle elementen van \(G\) machten van \(a\) zijn.
  6. (2.40) Een groep \(G\) heet voortgebracht door een deelverzameling \(S \subseteq G\) als ieder element van \(G\) te schrijven is als een product van elementen van \(S\) en inversen van elementen van \(S\).
  7. (2.23) Voor deze opgave mag je de opgave ervoor gebruiken. Voor opgave \(n\) geeft opgave \(n-1\) vaak een bruikbaar resultaat of opgave \(n+1\) een toepassing. Het is zeer aan te raden een paar minuten te besteden aan het lezen van verschillende opgaven en te kijken wat het "nut" of de "bedoeling" van elke opgave is.
  8. (2.9) Laat ook zien dat er voor positieve gehele getallen \(2 \leq a \leq n\) precies \(\frac{n!}{a \cdot (n - a)!}\) cykels van lengte \(a\) in \(S_n\) zijn. En laat ook zien dat voor positieve gehele getallen \(a, b \geq 2\) met \(a + b \leq n\) het aantal permutaties met cykeltype \((a, b, 1, 1, \ldots, 1)\) gegeven wordt door \(\frac{n!}{ab \cdot (n - a - b)!}\) als \(a \neq b\) en door \(\frac{n!}{2ab \cdot (n - a - b)!}\) als \(a = b\). Gebruik dit vervolgens voor \(S_4\) en \(S_5\).
  9. (2.52) Hints: Laat zien dat er een transpositie \(t\) is met \(f(t)\) ongelijk aan 1; wat is \(f(t)\)? Laat ook zien dat \(f(t)\) gelijk is voor alle transposities \(t\). Combineer deze twee resultaten tot een bewijs van het gevraagde. Gebruik Stelling 1.7 en opgave 2.46 voor de deelresultaten.
  10. (2.50) Geef hier zelf een definitie van "baan" die past bij de context (of als dat je echt niet lukt, zoek de definitie op in de index).
  11. (3.29) Voor wie het dictaat van 2014 heeft: lees "met een positieve factor" als "met dezelfde positieve factor". Dit is al aangepast sinds het dictaat van 2015.
  12. (3.29,3.30,3.31) Bij deze opgaven mag je voorgaande opgaven gebruiken, dus bij opgave 30 mag je 29 gebruiken, en bij opgave 31 mag je 29 en 30 gebruiken. Kies je er juist voor om bijvoorbeeld bij opgave 29 gebruik te maken van opgave 30, dan moet je (1) opgave 30 ook maken, (2) bij opgave 30 geen gebruik maken van opgave 29, en (3) dit allemaal duidelijk aangeven.
  13. (3.26) Bewijs dat er een \(a \in \mathbb R^2\) is zodat voor alle \(\varphi \in \operatorname{Sym}(F)\) geldt dat \(\varphi(a) = a\), en neem die \(a\) als oorsprong. Enige hints: Laat zien dat de afbeelding \(L \colon \operatorname{Sym}(F) \to O_2(\mathbb R)\) injectief is, dat iedere niet-triviale \(\varphi \in \operatorname{Sym}(F)^+\) een uniek vast punt \(a_{\varphi}\) heeft, en dat \(\operatorname{Sym}(F)^+\) commutatief is.
  14. (3.28) Voor de definities, zie opgave 27. Het is voor het huiswerk voldoende om te laten zien dat de puntgroep voor een geschikte keuze van coördinaten gelijk is aan \(C_n\) of \(D_n\) met \(n\) in \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Je hoeft dus \(n=5\) niet uit te sluiten, maar het mag wel. Om je te helpen, staan hier een aantal deelopgaven. Het is niet verplicht, maar wel sterk aan te raden, om deze te gebruiken:
    1. Laat \(\Lambda = \{xa + yb : a,b \in \mathbb{Z}\}\) met \(x\) en \(y\) als in de opgave; we noemen dit het rooster opgespannen door \(x\) en \(y\). Laat zien dat voor alle \(\psi \in \overline{G}\) geldt \(\psi(\Lambda)\subseteq\Lambda\). Hint: bekijk \(\phi \tau_x \phi^{-1}\) voor \(\phi \in G\).
    2. Je mag zonder bewijs gebruiken dat \(\Lambda\setminus\{0\}\) een kortste element \(z\) heeft. Definieer \(V := \{x \in \Lambda : |x| = |z|\}\). Laat zien dat \(\overline{G}\) een ondergroep is van \(Sym(V)\).
    3. Laat zien dat elk tweetal elementen van \(V\) een hoek maakt van \(\geq\) 60 graden (gezien vanuit de oorsprong).
    4. Bewijs dat \(\overline{G}\) voor geschikte keuze van coordinaten gelijk is aan \(C_n\) of \(D_n\) met \(n \leq 6\). Hint: gebruik Stelling 3.8.
  15. (3.24) Gebruik Stelling 3.11.
  16. (4.51) Lees de laatste vraag als: Geef een isomorfisme van \(S_4/H_2\) naar een ''bekende'' groep (van orde 6) uit een eerder hoofdstuk.
  17. (5.13, 5.21) Opgave 5.2 mag gebruikt worden.
  18. (4.60) Hints. Laat \(G\) werken op \(G/H_1 \times G/H_2\) en gebruik Stelling 5.3. Voor het tweede deel: bekijk \(G = S_3\). Voor de duidelijkheid: je mag Stelling 5.3 uit het college in dit geval gebruiken ondanks het feit dat deze opgave in een eerder hoofdstuk gedrukt staat.
  19. (5.13) Geef ook een verzameling representanten (een deelverzameling \(R \subseteq X\) die van iedere baan precies 1 element bevat).
  20. (5.21) \(\zeta_3\) is optioneel. Geef eindige groepen expliciet door de (eindige) lijst van elementen te geven of door voortbrengers te geven.
  21. De laatste zin is optioneel.
  22. Bepaal het aantal kleuringen met \(n\) (\(n \geq 1\)) kleuren van de hoekpunten van de kubus, op rotatiesymmetrie (de groep \(K^+\)) na.
  23. Voor de duidelijkheid: zij \(C\) een verzameling bestaande uit \(n\) verschillende kleuren, bepaal het aantal kleuringen van de hoekpunten van de kubus waarbij alleen kleuren uit \(C\) gebruikt worden, op rotatiesymmetrie na. Een kleuring hoeft hierbij niet alle kleuren uit \(C\) te gebruiken. Deze opgave werkt dus precies zoals opgaves 16, 17 en 18, behalve dat het antwoord een functie is van het getal \(n\).
  24. Hint: Gebruik de reguliere werking op \(G/H\).
  25. Hint: Gebruik de banenformule.
  26. En gebruik dit om opgave 5.9 op te lossen voor \(A_4\).
  27. Je mag opgave 5.27 gebruiken, en de uitkomst van opgave 5.9 voor \(A_5\): \((1, 20, 15, 12, 12)\).
  28. Dit is te doen door eerdere opgaven te combineren, maar het is leuker om het te doen met alleen stellingen uit het dictaat.
  29. Je <b>moet</b> Stellingen 5.13 (Cauchy) en 5.9 (reguliere werking) gebruiken. (In een eerdere versie van het dictaat zijn dit stellingen 5.14 en 5.10.)
  30. Hint: Stel \(H\) is een ondergroep van \(G\) die niet gelijk is aan \(G\). Gebruik opgave 5.49 om te bewijzen dat \(G\) niet de vereniging is van de geconjugeerden van \(H\).
  31. Hint voor het laatste deel: wat wordt er precies over \(t\) bewezen in een van de bewijzen in hoofdstuk 5?
  32. Gebruik geen resultaten die later in het dictaat staan.
  33. Voor een toepassing, zie 6.26.
  34. In het dictaat van 2017 staat een duidelijke en correcte versie van de opgave. Voor wie een dictaat uit 2016 of eerder heeft: Zij \(G\) een groep van orde \(n = p^k m\) met \(p\) priem en \(p \not \mid m\). Een Sylow-\(p\)-ondergroep van \(G\) is een ondergroep \(H \subseteq G\) van orde \(p^k\). We gaan bewijzen dat zo'n \(H\) bestaat. Neem \(X\) gelijk aan de collectie van \({\it deelverzamelingen}\) van \(G\) van cardinaliteit \(p^k\), en laat \(G\) werken op \(X\) door linksvermenigvuldiging: \(gV = \{gv : v \in V\}\) voor \(g \in G\) en \(V \in X\). (En dan a, b, c als in het dictaat).
  35. Deelopgave a mag je zonder bewijs aannemen. Je mag deze deelopgave ook als aparte opgave voor 9 punten maken, mits je een bewijs geeft dat op een cruciale manier gebruik maakt van (5.14) voor een slim gekozen werking.
  36. Dit moet zonder opgave 5.39 te gebruiken. Hint: waarop werkt de groep \(\operatorname{GL}_2(\mathbb F_2)\)?
  37. Maar dan met \(a = 54321\) en \(b = 98765\). Laat je berekening zien.
  38. Laat je berekening zien. Vergeet het tweede deel niet.
  39. Je mag de antwoorden vinden met de computer, maar je moet de antwoorden bewijzen met de hand.
  40. Doe opgave 4.23 en laat zien dat de ondergroepen cyclisch zijn. Je mag opgave 6.42 gebruiken zonder die te bewijzen.
  41. Vergeet het geval \(n = 1\) niet.
  42. Leg duidelijk uit zoals in voorbeeld 4.11 wat de kern, het beeld, de nevenklassen en de vermenigvuldigingen zijn. Foto's of scans van handgetekende plaatjes zijn toegestaan, deze voeg je in je document toe in LaTeX via includegraphics.
Laatste wijziging: .