Lineaire Algebra I voor wiskunde

Data en locaties

docent: Ronald van Luijk (rvl -at- math.leidenuniv.nl), kamer Sn 250.
studentassistenten: Michiel Jespers (jespersc -at- xs4all.nl), Tycho Neve (tychoneve -at- gmail.com), Jelle Bulthuis (jelle.bulthuis -at- outlook.com), alle kamer (207), Abtien Javanpeykar (ajavan -at- math.leidenuniv.nl).
vragenuur: vrijdag, 13.00-14.00, kamer 207.
college: dinsdag, 11.15-13.00, zaal Sn 412 407/409.
werkcollege: donderdag, 9.00-10.45, zaal Sn B1, 412 407/409.
blackboard: Lineaire Algebra 1 [voor wiskundigen] Wis-LA1-1516FWN.
Toets: 22 oktober, 11.00-13.00, zaal 174, 407/409, 412 en voor mensen met extra tijd: 405.
Tentamen: 21 januari, 10.00-13.00, zaal 174, 407/409 en voor mensen met extra tijd: 412.
Hertentamen: 7 maart, 14.00-17.00, zaal ???.

Mededelingen

• In de uitwerkingen van opgave 9.2.2 was een inverse matrix verkeerd uitgerekend. Die inverse werd ook gebruikt in opgave 9.3.1. Inmiddels is dit verbeterd in de links hieronder.
• Op 29 oktober maken we tijdens het werkcollege sectie 7.3 af.
• De toets en de uitwerkingen.
• Zie hierboven voor de zalen voor de toets.
• Op 15 oktober doen we tijdens het werkcollege een stukje college: 6.3.
• Van elk werkcollege zullen de meeste uitwerkingen op deze website verschijnen.
• Onder het "werkcollege" hieronder staan de uitwerkingen van enkele opgaven van hoofdstuk 1.
• Tijdens het werkcollege van 10 september doen we een stukje college: we zullen 1.6 en 1.7.1 behandelen en daarmee hoofdstuk 1 afronden.

Huishoudelijke informatie

Literatuur: Het dictaat is voor de kostprijs gebonden verkrijgbaar bij de administratie van het Mathematisch Instituut (MI), kamer 203a. Gelieve dit dictaat niet op de printers van het MI te printen! Het dictaat heeft een index voor zowel notatie als voor begrippen.

Normering: Het eindcijfer bestaat uit het cijfer voor het huiswerk (20%), de toets (20%) en het tentamen (60%) of, als dat hoger is, het huiswerk (20%) en het tentamen (80%). Om het vak te halen moet het cijfer voor het tentamen minstens een 5 zijn.

Email: Af en toe wordt belangrijke informatie doorgegeven via blackboard. Schrijf je dus in voor dit vak op blackboard en zorg dat je de email die je daar krijgt zorgvuldig bijhoudt (bijvoorbeeld door alle berichten door te laten sturen naar een emailadres dat je elke dag leest). De code voor het vak is 4081LIAL1-1516FWN.

Hoe gaan we te werk?

Omdat alle stof in het dictaat staat, hoeven we tijdens het college niet letterlijk het dictaat te volgen. We zullen een selectie van de belangrijkste dingen uit het dictaat wat grondiger bekijken. Dat zal vaak een stelling zijn, of een specifiek bewijs of juist een idee uit een bewijs dat je vaker kunt gebruiken. Maar uiteraard ook voorbeelden van de theorie.

Om optimaal van deze aanpak gebruik te kunnen maken is het uiteraard goed om van tevoren al het deel van het dictaat te lezen waar het college over zal gaan. Onderaan deze website staat de geplande stof voor het hele semester.

Huiswerk

Het huiswerk heeft als doel je te helpen de theorie te doorgronden. Dit is iets heel anders dan de opgaven van een tentamen, die testen of je de stof daadwerkelijk tot je hebt genomen. Huiswerkopgaven zijn dus niet per se representatief voor de tentamenopgaven.

Overleggen over het huiswerk is toegestaan, maar ieder dient uiteraard zijn eigen oplossingen en bewijzen uit te werken. De ervaring leert dat studenten die dit goed bijhouden en elke week naar het werkcollege gaan gemiddeld ruim een punt hoger scoren op het tentamen.

Het huiswerk moet aan het begin van het college ingeleverd worden, met naam, studentnummer en emailadres. De eerste drie weken mag dat handgeschreven (in een duidelijk handschrift), maar later gemaakt met LaTeX (en geprint ingeleverd; alleen bij bijzondere reden per email mag het naar linalg1.2015 -at- gmail.com). Je laagste twee drie huiswerken tellen niet mee. (De slechtste reactie die je hierop kunt hebben is de laatste twee huiswerken over de belangrijkste stof niet te doen.) Te laat ingeleverd huiswerk wordt niet ingenomen.

De inleverdata met het in te leveren huiswerk zijn

• 8 september: 1.3.6 en 1.3.7 (de verwijzing naar 1.7 moet zijn 1.11) en lees alvast secties 1.4, 1.5.1, 1.6, 1.7.1, 2.1. Uitwerkingen.
• 17 september: 1.5.6 en 1.6.3 en 1.7.1 en lees alvast hoofdstuk 2. Uitwerkingen.
• 22 september: 2.2.14 en lees alvast hoofdstuk 3. Uitwerkingen.
• 29 september: 3.5.3 en lees alvast hoofdstuk 4. Uitwerkingen.
• 6 oktober: 4.2.1 en 4.2.2 (de verwijzing naar Exercise 4.21 moet zijn Example 4.21) en lees alvast hoofdstuk 5. Uitwerkingen.
• 13 oktober: 5.4.4 en 5.5.4 (het eerste deel is al gedaan in Example 5.11), en lees alvast hoofdstuk 6. Uitwerkingen.
• 27 oktober: 6.3.3 en 6.3.5. Een LaTeX voorbeeld voor rij-operaties, en lees alvast hoofdstuk 7. Uitwerkingen.
• 3 november: 7.2.1 en 7.3.4, en lees alvast sectie 7.4 en hoofdstuk 8. Uitwerkingen.
• 10 november: 8.1.4 en 8.3.2, lees alvast sectie 8.4 en 9.1 tot en met 9.4. Uitwerkingen.
• 24 november: 9.1.3 en 9.4.3, lees alvast 9.5, 10.1, 10.2 en 10.4. Uitwerkingen.
• 1 december: 10.2.3, lees alvast 10.2, 10.4, 10.5 en 11.1. Uitwerkingen.
• 8 december: 11.2.3 (alleen de drie 3×3 matrices). [Hint: als voor een getal λ ∈ R en een polynoom f ∈ R[x] geldt f(λ)=0, dan is f deelbaar door x-λ.] Uitwerkingen.

Toets

Stof: Alles wat we in college behandeld hebben tot en met 6 oktober, (d.w.z. t/m Prop. 5.20, behalve secties 1.5.2, 1.7.2, 1.8 en 1.9) inclusief de bijbehorende werkcolleges, het bijbehorende huiswerk, en de bijbehorende tekst van het dictaat.

Je mag bij de toets geen hulpmiddelen gebruiken, ook geen rekenmachine.

Hoewel in voorgaande jaren de stof voor de toets niet altijd hetzelfde was kun je wel nuttige opgaven in de toetsen van voorgaande jaren vinden.

• Toets en uitwerkingen 2014. (In de eennalaatste regel van methode 1 voor opgave 4 staat "dus v=u₁ ∈ V₁" maar dat moet "dus v=u₁ ∈ U₁" zijn.)
• Toets en uitwerkingen 2013.
• Toets 2012.
• Toets en uitwerkingen 2011.
• Voorbeeld toets en uitwerkingen 2011.
• Toets en uitwerkingen 2010.
• Toets en uitwerkingen 2009.
• Toets 2008.

Tentamen

De stof is alles wat we behandeld hebben: het hele dictaat behalve de witte secties (1.5.2, 1.7.2, 1.8, 1.9, 9.6 en 10.3) op pagina 3 van het dictaat. Over de lichtgrijs gekleurde secties 4.4 en 6.4 zullen geen specifieke vragen gesteld worden. Wel moet je daarvan weten wat de 'reduced row echelon form' is (6.4) en dat isomorfismen alle structuur van hun domein overbrengen op hun codomein en vice versa (4.4).

Dit was het tentamen en de bijbehorende uitwerkingen.

Dit was het hertentamen.

Oude tentamens.

• Tentamen en uitwerkingen 2014/2015.
• Hertentamen 2014/2015.
• Tentamen en uitwerkingen 2013/2014.
• Hertentamen 2013/2014.
• Tentamen en uitwerkingen 2012/2013 (het jaar op het tentamen is verkeerd).
• Hertentamen 2012/2013 (het jaar op het hertentamen is verkeerd).
• Tentamen 2011/2012.
• Hertentamen 2011/2012.
• Tentamen 2010/2011.
• Hertentamen 2010/2011.
• Tentamen 2009/2010.
• Hertentamen 2009/2010.
• Tentamen en uitwerkingen 2008/2009 (waarbij in opgave 7 de notatie L_A staat voor de afbeelding die wij schrijven als f_A).
• Hertentamen 1 2008/2009.
• Hertentamen 2 2008/2009.

Voor nog oudere tentamens, zie de tentamenpagina.

• 2014/2015 (met foto's en audio van het college over hoofdstuk 9 (dat toen nog hoofdstuk 8 was)).
• 2011/2012 (opgaven en aantekeningen van de laatste vier weken onder 'Huiswerk').
• 2010/2011 (uitwerkingen van huiswerkopdrachten en opgave week 13).
• 2009/2010 (met enkele uitwerkingen van huiswerkopdrachten).

Fraude

De enige reden dat we huiswerk hebben is de ervaring dat studenten baat hebben bij het regelmatig gedetailleerd uitwerken van opgaven en de feedback daarop. Het doel van het huiswerk is je te helpen de theorie te doorgronden. Zoals onder het kopje 'Huiswerk' staat vermeld is samenwerken toegestaan, maar dient iedereen daarna de opgaven individueel uit te werken. Onder samenwerken verstaan we overleggen en het uitwisselen van ideeën, zoals bijvoorbeeld welke stellingen je voor een bewijs kunt gebruiken en waarom, of hoe je een lange berekening aan zou kunnen pakken. Hier valt niet onder het samen letterlijk opschrijven van een bewijs of het precies uitwerken van die lange berekening, ook al denk je dit later individueel nog een keer opnieuw te doen.

Waar het door sociale media steeds makkelijker wordt teksten met elkaar te delen, dienen studenten zich te realiseren dat het (geheel of gedeeltelijk) overschrijven van een (geheel of gedeeltelijk) door een ander geschreven tekst valt onder plagiaat en dus fraude. Dit geldt niet alleen voor publicaties en scripties, maar ook voor kleinere werkstukken en huiswerk en wordt door de universiteit zeer serieus genomen.

Omdat huiswerkuitwerkingen niet openbaar gemaakt (dienen te) worden, zijn in het geval van huiswerk bij deze vorm van fraude meestal zowel degene die overschrijft als degene van wie wordt overgeschreven betrokken. Bij het overschrijven van huiswerk krijgen alle betrokkenen het cijfer 0 voor dat huiswerk. Bovendien is dit cijfer niet te schrappen als een van de laagste cijfers. Daarnaast zullen de namen van alle betrokkenen worden doorgegeven aan de examencommissie die alle betrokkenen het recht van het doen van het tentamen kan ontzeggen.

Verdenking van betrokkenheid bij plagiaat is makkelijk te voorkomen. Zorg dat je bij het uitwerken van je opgaven geen tekst naast je hebt liggen die geheel of gedeeltelijk door een ander is geschreven, ook niet van degenen met wie je samengewerkt hebt. Deel je eigen uitwerkingen niet met een ander. Schrijf bij je uitwerkingen de namen van degenen met wie je samengewerkt hebt.

Fraude (en de verdenking daarvan) tijdens de toets of het tentamen wordt gemeld aan de examencommissie die dat daarna in behandeling neemt.

Behandelde stof

• 1 september, Secties 1.1 t/m 1.3 (Propositie 1.9 met v en w verwisseld; lees 1.12 zelf).
• 8 september, Secties 1.4 en 1.5.1 (lees zelf 1.38 en 1.39). We hebben het gehad over het loodrecht op elkaar staan van twee vectoren x en y, waaraan je meetkundig moet denken als het loodrecht op elkaar staan van twee pijlen die x en y representeren (en bijvoorbeeld allebei hun staart in 0 hebben). Dus: als twee lijnen L en M loodrecht op elkaar staan, dan betekent dat niet dat de elementen van L loodrecht staan op die van M. Wie hier nog steeds mee in de war is moet vooral Warning 1.22 goed lezen en Opgave 1.4.8 doen.
• 15 september, Hoofdstuk 2.
• 22 september, Hoofdstuk 3 tot en met 3.39.
• 29 september, Hoofdstuk 3 afgemaakt, Secties 4.1 en 4.2. Meer voorbeelden op het werkcollege. Sectie 4.4 genoemd (geen expliciete vragen op toets/tentamen).
• 6 oktober, Sectie 4.3 en hoofdstuk 5 gedaan tot en met 5.20.
• 13 oktober, Hoofdstuk 5 afgemaakt, Hoofdstuk 6 gedaan op sectie 6.3 na (die doen we op werkcollege), van 6.4 alleen Cor. 6.23.
• 27 oktober, Hoofdstuk 7, tot en met sectie 7.3 (laatste stukje op werkcollege).
• 3 november, Secties 7.4, 8.1, 8.2 (8.3 op werkcollege).
• 10 november, Secties 8.4, 9.1-4.
• 24 november, Secties 9.5, 10.1.
• 1 december, Secties 10.2, 10.4, 10.5, 11.1.
• 8 december, Secties 11.2 11.3.

Werkcollege

• 3 september: Opgaven 1.2.1, 1.2.2, 1.3:1-7.
• 10 september: We behandelen 1.6 en 1.7.1. Opgaven: 1.4:2-8, 1.5:1-4,6, 1.6:1,3,4,5,9, 1.7:1,3,4. Enkele uitwerkingen.
• 17 september: 2.1:2,3,4, 2.2:1,2,4,6-10,14,15, 2.3:2,3. uitwerkingen.
• 24 september: 3.1:1-8, 3.2:2,3, 3.3:1-3, 3.4:1,2,3,4,6,7,10, 3.5:1,3. uitwerkingen.
• 1 oktober: 3.5:4-8, 4.1:1,2,4,5,7,8,10, 4.2:1,2,3,4,8. uitwerkingen 3.5 en uitwerkingen 4.1, 4.2.
• 8 oktober: 4.3:1,2,3 (vervang n door m in 4.3.2(1)), 5.3.1, 5.4:1,2,3,4, 5.5:2,4,10,6,7, 4.3:4,5. uitwerkingen 4.3 en uitwerkingen H5.
• 15 oktober: college 6.3 (lees zelf Prop. 6.19), opgaven: 5.5:1,9, 5.6:2,3, 6.1:1,2,3, 6.2:1, 6.3:2,3,4,5. uitwerkingen H6.
• 29 oktober: college 7.3 (lees zelf Prop. 7.53), opgaven: 7.1:1,2,3,4, 7.2:1,3,4,8 (alleen het stuk op pagina 119), 7.3:1,2,3 7.1:6,7, 7.2:9. uitwerkingen 7.1-7.3.
• 5 november: college 8.3, opgaven 7.4:5,6, 8.1:1,2,3,4, 8.2:1,2,3,4,5, 8.3:2,3,1. uitwerkingen 7.4 en uitwerkingen 8.
• 12 november: 8.4:(kies enkele matrices uit 1,2,3),4, 9.1:1,3, 9.2:2, 9.3:1,2,4, 9.4:1,2,3. uitwerkingen 9.
• 26 november: 9.5:1, 10.1:1, 10.2:1,2(1,2,3),3 , 9.5:2,3, 10.2.4. uitwerkingen 10.1-10.2.
• 3 december: 10.2:1,2, 10.4:1,2, 11.1:1,2, 10.5:1(kies enkele),2, 11.2:3(kies enkele), 10.2:6. uitwerkingen 10.3-10.5.
• 10 december: 11.2:2, 11.3:2,3,4,11,10, 11.2:1,4,5, 11.3:6,7. uitwerkingen 11.

Errata in het ditaat

• Example 1.8: a = (1,-1,3,-17,-1/2) [dus -1/2 in plaats van 1/2]
• Exercise 1.3.6: 1.7 moet zijn 1.11.
• Onderaan het bewijs van Lemma 1.42: d(v,x)=||v-x||² moet zijn d(v,x)²=||v-x||².
• In Example 4.20 moet de f in f((x,y,z)) = (y+z,y-z) vervangen worden door g.
• In Example 4.22 moet "Note that this is line..." vervangen worden door "Note that this is in line..."
• In opgave 4.2.2 wordt verwezen naar Exercise 4.21, maar dat moet Example 4.21 zijn.
• In opgave 4.2.5 staat dat π_U van V naar U gaat, maar dat moet zijn van V naar V. In het eerste deel van de opgave is π_U dan niet surjectief, maar het beeld is U.
• In het bewijs van 4.32 staat een aantal keer f in plaats van φ.
• In deel (1) van opgave 4.3.2 moet n vervangen worden door m, want n heeft al een betekenis.
• Pagina 106, twee-na-laatste regel van bewijs 6.22: "(2) → (3)" moet zijn "(3) → (1)".
• Op regel 7 van pagina 107 wordt verwezen naar Example 6.17. Dat moet 6.16 zijn.
• In Example 7.12 staat "-w₂+3w₂-3w₃+w₄=0" waar "-w₁+3w₂-3w₃+w₄=0" had moeten staan (eerste index was verkeerd).
• De ongelijkheid in Example 7.62 slaat alleen ergens op als de dimensie van V eindig is.
• In regel 3 van Example 7.63 staat "n-1 ≥ dim H₁ ≥ ..." Dat is waar, maar het is hier nuttiger om te zeggen "n-1 = dim H₁ ≥ ..."
• Exercise 8.1.2: Vervang F door R.
• Uitwerkingen huiswerk 9, opgave 8.3.2: de doorsnede wordt voortgebracht door (1,2,2,1).
• Exercise 9.4.2: Vervang T door π.
• pagina 169, laatste regel voor 10.29: "ker f ≠ {0}" moet zijn "ker f = {0}".
• pagina 169, laatste regel van het bewijs van 10.29: "vanishes" moet zijn "is not zero".
• pagina 174, tweede regel: De vector z = (2,1,1) moet zijn z = (3,1,2).
• Exercise 10.5.3(1): vervang t door s.