Beschrijving

Dit is de webpagina van het vak Lineaire Algebra 2 van de Bacheloropleiding wiskunde van Leiden. Er bestaat ook een ander college Lineaire Algebra 2 voor Natuurkunde en Sterrekunde (LA2na) dat wordt gegeven door dr Kooman en dat deel uitmaakt van de opleiding natuurkunde.

Lineaire algebra is de theorie van vectorruimten. In dit college zijn dit vectorruimten over R of C. Centraal staat een aantal structurele begrippen: lineaire afbeelding, duale vectorruimte, inproducten, Hilbertruimte, en het spectrum van een operator (endomorfisme). Twee hoogtepunten van het college zijn Jordans normaalvorm, die operatoren op een eindigdimensionale ruimte klassificeert, en de spectraalstelling die zegt dat zo'n operator unitair diagonaliseerbaar is dan en slechts dan als hij commuteert met zijn geadjungeerde.

Aankondigingen

• Dit was het tentamen met de bijbehorende uitwerkingen.

Praktische informatie:

Docent:		Ronald van Luijk (Universiteit Leiden)
Assistenten:		(la2huiswerk@gmail.com -op- gmail.com) Stefan Achterhof (stefanachterhof op hotmail.com) Jan Willem van Beek (jwfvanbeek.1994 op gmail.com) Daan van Gent (daanvangent op gmail.com)
Rooster:		College: di 5/9-12/12, behalve 3/10 en 7/11; 9:00 - 10:45, zaal 407/409, Snelliusgebouw. Werkcollege, wo 6/9-13/12, behalve 4/10 en 8/11; 11:00 - 12:45, zaal 407/409, Snelliusgebouw.	Blackboard:		Schrijf je in om belangrijke last-minute emails te ontvangen. De code van het vak is 4082LIAL2-1718FWN.

Literatuur

Syllabus Linear Algebra II, Michael Stoll. Deze zal voor de kosten van het drukken binnenkort te koop in kamer 203a (zodra dat het geval is zal dat hier vermeld worden).

Voorkennis

Syllabus Linear Algebra I, Ronald van Luijk en Michael Stoll. Gelieve dit dictaat niet op de printers van het MI te printen!

Huiswerk en tentamen

Huiswerk

Het huiswerk heeft als doel je te helpen de theorie te doorgronden. Dit is iets heel anders dan de opgaven van een tentamen, die testen of je de stof daadwerkelijk tot je hebt genomen. Huiswerkopgaven zijn dus niet per se representatief voor de tentamenopgaven.

Overleggen over het huiswerk is toegestaan, maar ieder dient uiteraard zijn eigen oplossingen en bewijzen uit te werken. De ervaring leert dat studenten die dit goed bijhouden en elke week naar het werkcollege gaan gemiddeld een vol punt hoger scoren op het tentamen.

Er komen vier huiswerkopdrachten, de deadline is om 23:59 de nacht vóór het hoorcollege op dinsdag. Het huiswerk dient als pdf-bestand per email ingeleverd te worden, en wel op het adres la2huiswerk at gmail.com; het pdf-bestand dient gemaakt te zijn met LaTeX. Te laat ontvangen huiswerk wordt niet nagekeken.

Huiswerk telt voor 20% van het eindcijfer.

De dagen van de huiswerkdeadlines staan hieronder in het weekschema en daar verschijnen te zijner tijd ook de opdrachten zelf.

Tentamen

vrijdag 19 januari, 10:00-13:00, zalen 312,407/409,412 (407/409 voor mensen met een half uur extra).

Het tentamen is niet open-boek. Je mag er dus geen dictaat of aantekeningen bij gebruiken. De stof bestaat uit alles wat we behandeld hebben, dus hoofdstuk 1 tot en met 10 van het dictaat.

Oude tentamens zijn te vinden op de tentamenpagina.

Hertentamen

donderdag 19 april, 14:00-17:00, zalen 408 en 412.

Eindcijfer

Het eindcijfer bestaat voor 20% uit het cijfer voor huiswerk en voor 80% uit het cijfer voor het (her-)tentamen. Om het vak te halen moeten de cijfers voor huiswerk en voor het (her-)tentamen beide minstens een 5 zijn.

Fraude

De hoofdreden dat we huiswerk hebben is de ervaring dat studenten baat hebben bij het regelmatig gedetailleerd uitwerken van opgaven en de feedback daarop. Het doel van het huiswerk is je te helpen de theorie te doorgronden. Zoals onder het kopje 'Huiswerk' staat vermeld is samenwerken toegestaan, maar dient iedereen daarna de opgaven individueel uit te werken. Onder samenwerken verstaan we overleggen en het uitwisselen van ideeën, zoals bijvoorbeeld welke stellingen je voor een bewijs kunt gebruiken en waarom, of hoe je een lange berekening aan zou kunnen pakken. Hier valt niet onder het samen letterlijk opschrijven van een bewijs of het precies uitwerken van die lange berekening, ook al denk je dit later individueel nog een keer opnieuw te doen.

Waar het door sociale media steeds makkelijker wordt teksten met elkaar te delen, dienen studenten zich te realiseren dat het (geheel of gedeeltelijk) overschrijven van een (geheel of gedeeltelijk) door een ander geschreven tekst valt onder plagiaat en dus fraude. Dit geldt niet alleen voor publicaties en scripties, maar ook voor kleinere werkstukken en huiswerk en wordt door de universiteit zeer serieus genomen.

Omdat huiswerkuitwerkingen niet openbaar gemaakt (dienen te) worden, zijn in het geval van huiswerk bij deze vorm van fraude meestal zowel degene die overschrijft als degene van wie wordt overgeschreven betrokken. Bij het overschrijven van huiswerk telt het huiswerk van alle betrokkenen niet mee voor het eindcijfer. Daarnaast zullen de namen van alle betrokkenen worden doorgegeven aan de examencommissie die alle betrokkenen het recht van het doen van het tentamen kan ontzeggen.

Verdenking van betrokkenheid bij plagiaat is makkelijk te voorkomen. Zorg dat je bij het uitwerken van je opgaven geen tekst naast je hebt liggen die geheel of gedeeltelijk door een ander is geschreven, ook niet van degenen met wie je samengewerkt hebt. Deel je eigen uitwerkingen niet met een ander. Schrijf bij je uitwerkingen de namen van degenen met wie je samengewerkt hebt.

Fraude (en de verdenking daarvan) tijdens de toets of het tentamen wordt gemeld aan de examencommissie die dat daarna in behandeling neemt.

Weekschema

Toekomstige datums zijn planning.

	Datum	Onderwerp	Werkcollege
1	5 sep	Sectie 1: Herhaling LA1, incl. eigenwaarden, diagonaliseerbare endomorfismen. Voor meer over Zorn's Lemma, zie Appendix D van het dictaat voor LA1. Het LA1 college over Matrices geassocieerd aan lineaire afbeeldingen.	werkcollege-opgaven
2	12 sep	Sectie 2: directe som van endomorfismen	werkcollege-opgaven
3	19 sep	Sectie 3: Cayley Hamilton, minimumpolynoom	werkcollege-opgaven
4	26 sep	Sectie 4: nilpotente endomorfismen Foto's van het bord 25 sep 23:59 deadline huiswerk 1	werkcollege-opgaven
	3 okt	geen college	geen werkcollege
5	10 okt	Sectie 5: de Jordan-normaalvorm	werkcollege-opgaven
6	17 okt	Sectie 6: de duale
7	24 okt	Sectie 6: de duale 23 okt 23:59 deadline huiswerk 2 Zie ook dit college (2014)
8	31 okt	Sectie 6: de duale afgemaakt Sectie 7: genormeerde vectorruimten
	7 nov	geen college	geen werkcollege
9	14 nov	Sectie 8: bilineaire vormen t/m 8.16	Opgaven 8.1-6 en deze en 8.12
10	21 nov	Sectie 8 af 20 nov 23:59 deadline huiswerk 3
11	28 nov	Sectie 9: inprodukten, eertse deel
12	5 dec	Sectie 9: inproducten af
13	12 dec	Sectie 10: de spectraalstelling 11 dec 23:59 deadline huiswerk 4	oefenopgaven, oude tentamens, of gebruik werkcollegeopgaven van het college waar je de meeste oefening bij kan gebruiken

Opmerkingen over en errata in het dictaat

• In het bewijs van 4.2 wordt verwezen naar 3.6, maar dat moet 3.8 zijn.
• Theorem 4.7 en bewijs. Het bewijs voor Theorem 4.7 dat we op college hebben behandeld is het "Alternative proof" in het boek. Ik vind persoonlijk het nieuwe bewijs veel overzichtelijker. Er is wel een subtiliteit die de moeite waard is om op te merken. In het oude ("alternative") bewijs loopt de index j namelijk over m,m-1,...,1,0, waarbij er in het geval j=m niets gebeurt, terwijl de index j in het nieuwe bewijs loopt over m,m-1,...,1. Inderdaad correspondeert stap j van het oude bewijs met stap j+1 van het nieuwe bewijs. Het is alleen het nummer (de naam) van de stap die anders is: in deze corresponderende stap wordt in beide bewijzen een basis voor een complementaire ruimte X_j voor ker f ^j binnen ker f ^j+1 geconstrueerd. Ook de getallen r_j,s_j,t_j komen gewoon overeen met wat we op het college gedaan hebben.
  Voor nu zijn het algoritme van Remark 4.12 en de voorbeelden 4.13, 4.18, 4.19 nog gebaseerd op het oude bewijs, dus in het bijzonder wordt daar de notatie v₁, ..., v_n voor de basiselementen gebruikt, of de notatie w₁, ..., f ^e₁(w₁) , ..., w_s, ..., f ^e_s(w_s) zoals in (6) in het alternatieve bewijs. Verder verwijzen de stappennummers in Example 4.19 dus naar de stappen van het alternatieve bewijs, en dus van het algoritme uit Remark 4.13.
  Nogmaals, alleen de stappennamen zijn in het nieuwe bewijs hernummerd, verder niets. Alleen in Example 4.19 wordt naar stappennummers verwezen en dat zijn dus die van het oude bewijs. Mocht je toch nog in de war zijn, dan kun je twee dingen doen.
  • Negeer het nieuwe bewijs en lees alleen het oude alternatieve bewijs zoals behandeld op college; of
  • Negeer in Example 4.19 de volgende zinnen/zinsdelen (dit is de enige plek waar naar stappennamen wordt verwezen).
    • So we start with j=m-1=3 (having trivially taken care of j=m).
    • We continue with j=2.
    • We proceed with j=1.
    • Finally, for j=0,
• Pagina 20, laatste alinea, regel 2: "dim ker A^3 - dim ker A^2 = 3 - 2" moet zijn "dim ker A^3 - dim ker A^2 = 5 - 4".
• Pagina 20, laatste alinea, regel 5: "en" moet zijn "and".
• Er rust blijkbaar een vloek op de notatie van het oude bewijs voor Theorem 4.7, want in Example 4.19 staan de volgende typos.
  • Bovenaan pagina 22 staat QMQ^-1 in plaats van Q^-1MQ.
  • Alle U_i moeten X_i zijn (9 keer).
  • Op pagina 22 staan halverwege vier vectoren verticaal geschreven. In de vier regels daarboven wordt vijf keer de index j gebruikt, terwijl j al een andere betekenis had. Vervang in deze vier regels alle j door een andere indexnaam, bijvoorbeeld i.
  • Vlak boven het midden van pagina 23 staat (K₁|v₂|K₂); dat moet zijn (K₂|v₂|K₃).
  • Op de vierde regel onder de grote matrix in het midden van pagina 23 staat twee keer e₁+e₁₁; de tweede moet zijn e₂+e₁₁.
• In Theorem 5.1 heeft k twee betekenissen. Verander elke k in de laatste regel van de stelling en de laatste drie regels van het bewijs door l.
• In Theorem 5.2 staat Mat(F,m) in plaats van Mat(m,F).
• In het midden van pagina 27 staat "Proposition 4.14 the states" in plaats van "Proposition 4.14 then states".
• In 5.3 staat "i ≥ 0" in plaats van "j ≥ 0".
• Pagina 32, regel 22: "r_j(-1) = dim(A+I)ⁿ" moet zijn "r_n(-1) = dim(A+I)ⁿ".
• Pagina 32, 7de regel van onder: "to pick on vector" moet zijn "to pick one vector".
• Op pagina 33 staan twee tikfouten: "where E d is the standard basis. The associated Jordan normal for is then" moet zijn "where E is the standard basis. The associated Jordan normal form is then".
• Pagina 42, eerste regel onder bewijs van 6.12: "F^m and" moet weg.
• Drie regels voor 6.13 staat "x ∈ F" in plaats van "x ∈ Fⁿ".
• Pagina 50, Examples 7.2, Euclidean norm (2): er mist een '+' na de tweede puntjes.
• Pagina 58, tweede regel van bewijs van 8.22: "6.28" moet zijn "6.20".
• Pagina 73, derde en vierde regel: "x_i = < x ,v_i > and x'_i = < x' ,v_i > " moet zijn "x_i = < v ,v_i > and x'_i = < v' ,v_i > ".
• Op pagina 73, in het alternative proof van 9.22 staat:
  
  "This inclusion implies
  dim im f ≤ dim (ker f^*)^⊥ = dim W - dim ker f^* = dim im f^*.
  The analogous inequality for f^* instead of f is
  dim im f^* ≤ dim im (f^*)^* = dim im f,
  "
  
  Deze ongelijkheden zijn niet incorrect, maar ze volgen niet uit de inclusie im f^* ⊂ (ker f)^⊥, zoals gezegd wordt, maar uit de inclusie im f ⊂ (ker f^*)^⊥, die op dezelfde manier bewezen kan worden als in de eerste drie regels van dit bewijs. Er volgt op dezelfde manier als in het bewijs dat deze laatste inclusie dus een gelijkheid is.
• Pagina 74, laatste twee regels van het bewijs van 9.23: De duale bases B^* en C^* worden twee keer gebruikt, waar dat gewoon de bases B en C had moeten zijn.
• Pagina 76, opgave 7: "If A is be" moet zijn "If A is".
• Pagina 79, bovenste regel: "of of" moet zijn "of".
• Op een aantal plekken staat "non-degenerate" in plaats van "nondegenerate".
• Pagina 80: In de vectoren die voorkomen in Example 10.10 moeten met kommas en zonder transpositieteken worden geschreven.
• Pagina 82: in het midden staat in een noemer "w₁,w₁" in plaats van "< w₁,w₁ >".
• Pagina 82, opgave 1: A is een reële matrix.
• Pagina 83: in deel (2) van 11.2 staat "bais" in plaats van "basis".
• In Corollary 13.16 staat deg(g) in plaats van det(g).
• Pagina 85, tweede alinea van het bewijs van Lemma 12.2: "Beacuse" in plaats van "Because".
• Pagina 90, eerste regel van bewijs van 12.15: "princpiple" in plaats van "principle".
• Pagina 93, bewijs van lemma 12.22 (in de regel onder het diagram): "R-linar" in plaats van "R-linear".
• Pagina 93, Reminder 13.1, 3e regel: "imples" in plaats van "implies".
• Pagina 95, propositie 13.7 en 13.8: "indentified" in plaats van "identified".
• Op een aantal plekken staat "diagonalisable" in plaats van "diagonalizable" (allebei correct, maar wel goed om consistent te zijn!).