Algebra 2 (Najaar 2018)

Mededelingen

Algemeen

Docent:  Peter Stevenhagen
Assistenten:  Kfir Fleet, Tiemar Mepschen, Jesse Vogel, Jim Gerrit René van der Valk Bouman
Voor waar en wanneer, kijk vooral op het Rooster. Voor het werkcollege zijn de zalen 312 en 402 geboekt. Als het kan, willen we jullie allemaal in 312 zetelen.
Hierbij, het dictaat van Algebra 2 van Peter Stevenhagen. Alsook zijn dictaat van Algebra 1, waarvan we hoofdstuk 9 zullen bestuderen. Een papieren versie van het dictaat is te koop bij het secretariaat wiskunde (kamer 203a, Snellius gebouw) voor 7 €.

Het eindcijfer bestaat uit huiswerk (25%) en een (her-)tentamen (75%). Voor het (her-)tentamen moet minstens een 5.5 gehaald worden om het vak te halen.

Huiswerk


Inleverdatum 2-puntsopgaven 3-puntsopgaven
1 6 september (§11)   11, 13, 15, 17, 222 (§11)   41, 2, 14, 16, 18, 25, 28
2 13 september (§11)   20, 21, 30, 31 (§11)   23, 27, 29, 34, 37
3 20 september (§11)   35, 51, 52, 53, 59 (§11)   443, 46, 564, 58, 63, 65+665
4 27 september (§12)   1, 3, 11, 12, 13, 26, 38 (§12)   14, 21, 22, 24, 25
5 11 oktober (§12)   34, 42, 526, 58, 61 (§12)   35+367, 49, 568, 9, 6310, 6611
6 18 oktober (§13)   10, 14, 19, 22, 25 (§13)   11, 1212, 17+1813, 14, 24, 26
7 25 oktober (§13)   27, 28, 37
(§14)   5, 6
(§13)   29, 31, 33+3415, 16, 36, 38
8 1 november (§14)   9, 1017, 11, 14, 23 (§14)   16, 17, 1818, 24, 26
9 15 november 21(§15)   25, 30, 31, 33, 35 21(§15)   2419, 2820, 29, 32, 38
10 22 november 26(§16)   13, 14, 15, 18
(§9)        10, 11
26(§16)   16, 17, 22
(§9)        1222
11 29 november (§9)     13, 14, 18, 20, 23, 30 (§9)     16+1723, 19, 22, 28, 29
12 6 december 26(§16)   24, 25, 29, 3224, 36 (§9)        40+4125
26(§16)   23, 27, 33, 37, 60
13 13 december 26(§16)   38, 40, 46, 48, 51, 53, 56 26(§16)   41, 42, 44, 47, 57

Opmerkingen bij opgaven

  1. (11.4) Maak een ringisomorfisme, en bewijs dus ook dat het een ringisomorfisme is.
  2. Bij deze oefeningen heb je de definitie van een ringhomomorfisme nodig. En het feit dat het beeld van een ringhomomorfisme eem deelring is. Lees op p.11
  3. (11.44) Kan van pas komen. Als je het gebruikt, moet je het bewijzen. \( \textit{Lemma}\ \) Let \(R\) be a commutative ring. Consider ideals \( I = (a_1, \dotsc ,a_n) \), \( J = (b_1, \dotsc ,b_m) \). Then \( I \cdot J = (S)\) with \(S=\{ a_i \cdot b_j \mid i = 1, \dotsc ,n \quad\text{and}\quad j = 1, \dotsc ,m \}\).
  4. (11.56) De bijectieve correspondentie is op ringisomorfisme van de componentringen \( R_1 \) en \( R_2\) na.
  5. (11.65+11.66) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  6. (12.52) Gegeven een Pythagoreïsch tripel \( (a,b,c) \). Je mag aannemen dat \( 0 \notin \{ a,b,c \} \).
  7. (12.35+12.36) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  8. (12.56) Over de hint: Kijk naar het punt (niet het ideaal): \( (2a - 10^k , 2b -1) \)
  9. (12.56) Je mag Oef 12.54 aannemen zonder bewijs.
  10. (12.63) Hint: Laat je inspireren door Oef 12.62
  11. (12.66) Vanaf "met \( \arctan x = \sum \dots \), is NIET deel van de vraag. Het is enkel ter informatie van hoe je met dit resultaat \( \pi \) kan berekenen.
  12. (13.12) Hint: Kijk naar opgave 12.61
  13. (13.17+13.18) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  14. (13.17+13.18) Hint (Oef 12.38): Een Euclidische ring is een hoofideaaldomein.
  15. (13.33+13.34) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  16. (13.33+13.34) Hint: Doe eerst het ontbinding enkel voor \( p = 2,3,5 \) . Het onbinding voor de andere priemen \( p \leq 41 \) kan je gemakkelijker doen, met de gevonden resultaten van de vraag.
  17. (14.10) Hint: Kleine waardes voor \( n \) zijn geen aparte cases. Beredeneer voor jezelf waarom dat zo is.
  18. (14.18) Correctie: "... uit opgave 12.23."
  19. (15.24) Correctie: Bij deel (b): "... , met \( f \in \mathbf{Z}[X] \) irreducibel en \( \deg f > 0 \), of \( f = 0 \) . "
  20. (15.28) Correctie: Bij deel (b): " \( \mathrm{R} \) " moet " \( \mathrm{R}_v \) " zijn. Bij deel (c): " \( \mathrm{R}^* \) " moet " \( \mathrm{R}^*_v \) " zijn.
  21. (§15) In hoofdstuk 15 zijn ringen steeds commutatief. Zie opmerking bij het begin van de oefeningenreeks van het hoofdstuk.
  22. (9.12) Je mag hier de structuurstelling van ablese groepen alvast gebruiken.
  23. (9.16+9.17) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  24. (16.32) Voor de definitie van \( R^X \), kijk naar Oef 16.21.
  25. (9.40+9.41) Tellen samen als één 3-puntsopgave.
  26. (§16) Je mag de isomorfiestellingen (bv. de analoga van §8.1 en §8.2) als paraat gebruiken.

Behandeld

Datum Stof
9 september (§11)   Ringen, voorbeelden, quotientenlichamen
10 september (§11)   Ringhomomorfismen, isomorfiestelling, Chinese Reststelling
17 september (§11)   Ontbinding in hoofdideaaldomeinen
24 september (§12)   Gehele getallen van Gauss \( \mathbb{Z}[i] \)
Geen les
8 oktober (§13)   Ontbinden van Polynomen. Ontbinden in \( \mathbb{Z}[X] \)
15 oktober (§13)   Afmaken van het hoofstuk
(§14)   Symmetrische polynomen
22 oktober (§14)   Afmaken van het hoofdstuk.
(§15)   Dimensie, lemma van Zorn, maximale idealen, nilradicaal
1 november (§16)   Inleiding, voorbeelden.
(§9)     Inleiding exacte rijtjes
Geen les
Geen les
19 november (§9)     Exacte rijtjes (en splitsen van), vrije abelse groepen, structuurstelling
26 november (§16)   Tot en met Modulen over hoofdideaaldomeinen.
3 december (§16)   Afmaken van het hoofdstuk.
13 december Inleiding representatie theorie (Dit is geen tentamenstof.)

Tentamen

De stof zal bestaan uit hoofdstukken 11-16 uit Algebra 2, en hoofdstuk 9 uit Algebra 1. Waarbij hoofdstukken 9 en 15 niet volledig, specifiek: Oude tentamens kun je vinden op de tentamenpagina van het instituut.

Naar het tentamen mag je meebrengen: een niet-grafische rekenmachine (heb je niet nodig), de dictaten van Algebra I & II. De dictaten liefst zo leeg mogelijk, dus bv. zonder uitwerkingen van oudtentamens.

In principe, alles wat in je dictaten staat, mag je gebruiken. Dus ook stellingen/uitspraken van eender welke oefeningen. o.a.:

Succes!


Laatste wijziging: .