Cours de maîtrise de mathématiques : “Théorie algébrique des nombres”

Bas Edixhoven, Université de Rennes 1

janvier 2002

Ce texte est une version (légèrement) corrigée et agrandie (d’une section sur le théorème de Wedderburn) du polycopié de 2001. Le polycopié de 2001 était une version réorganisée du texte qui a été distribué en mai 2000. Le texte de mai 2000 était consitué des notes de cours que l’auteur avait écrit pour lui-même, sans avoir l’intention d’en faire un polycopié. Mais vu le temps investi, il lui a semblé quand-même utile d’en faire une version présentable. Néanmoins, le résultat est moins détaillé que le cours. Pour plus de détails, on pourra consulter les livres mentionnés dans la bibliographie, et surtout [Samuel].

Table des matières

1 L’équation de Fermat. 3 2 L’anneau ℤ[i] et le théorème des deux carrés. 11 3 Anneaux des entiers dans les corps de nombres. 13 4 Les anneaux de Dedekind. 20 5 Finitude du groupe des classes d’idéaux. 32 6 Le théorème des unités. 40 7 La réciprocité quadratique. 45 8 Le théorème de Wedderburn. 51 9 Compléments et rappels. 53 10 Exercices. 55 11 Examens, partiels, etc. 64

1 L’équation de Fermat.

1.1 Introduction.

Nous suivrons le livre de Samuel [Samuel] d’assez près, en complétant par des références au livre de Cohen [Cohen] pour des résultats algorithmiques. En même temps, nous essayerons de motiver le plus possible, par des exemples simples, l’introduction des notions techniques. C’est pour cela que nous commençons par regarder l’équation de Fermat :

x^{n} + y^{n} = z^{n}.

Dans cette équation, n est un entier, plus grand ou égal à un, et le problème qui se pose est de trouver, pour n donné, toutes les solutions de cette équation, c’est à dire, tous les triplets (a, b, c) dans ℤ^{3} tels que a^{n} + b^{n} = c^{n}. Avant de dire quoi que ce soit sur ce problème particulier, remarquons que ce problème garde un sens si on remplace ℤ par n’importe quel anneau (les anneaux seront commutatifs et unitaires dans ce cours, sauf mention explicite contraire). En effet, l’ensemble des solutions dans A^{3}, pour A un anneau, est simplement l’ensemble des racines du polynôme x^{n} + y^{n} − z^{n} dans A^{3}. Plus tard aujourd’hui, nous allons considérer l’anneau ℂ[t].

Si ϕ: A → B est un morphisme d’anneaux et (a, b, c) dans A^{3} une solution de l’équation de Fermat de degré n ci-dessus, alors (ϕ(a), ϕ(b), ϕ(c)) dans B^{3} est également une solution de la même équation. En fait, cette dernière propriété est vraie pour tout système d’équations polynomiales à coefficients dans ℤ.

L’équation de Fermat est homogène : tous les monômes y intervenant ont même degré. Une autre façon de dire cela est : si A est un anneau, (a, b, c) dans A^{3} et λ dans A non diviseur de zéro, alors (a, b, c) est une solution si et seulement si (λa, λb, λc) l’est. Géométriquement, cela s’exprime en disant que l’ensemble des solutions est un cône, et (au moins sur un corps) la propriété pour (a, b, c) d’être une solution ne dépend que de la “droite” A(a, b, c), donc que de l’image de (a, b, c) dans le “plan projectif” sur A. En général, quand on considère des systèmes d’équations polynomiales homogènes, on a intérêt à considérer les solutions dans l’espace projectif correspondant, car cela fait baisser la dimension du problème (c’est à dire, le nombre de variables) d’un.

L’homogénéité de l’équation de Fermat entraîne également une relation entre les ensembles de solutions dans ℤ et dans ℚ, que nous allons maintenant expliquer.

Pour r ≥ 0, un élément (a_{1}, …, a_{r}) de ℤ^{r} est dit primitif si pgcd(a_{1}, …, a_{r}) = 1. En particulier, un élément primitif de ℤ^{r} est non nul, et tout a non nul dans ℤ^{r} est de la forme da′, avec d dans ℤ et a′ primitif (d est alors un pgcd des a_{i}). Le groupe ℤ^{∗} = {1, −1} des éléments inversibles de ℤ opère par homothéties sur l’ensemble Prim(ℤ^{r}) des éléments primitifs de ℤ^{r}, et on nous noterons ℙ(ℤ^{r}) le quotient Prim(ℤ^{r})/ℤ^{∗}. Ceci est l’analogue sur ℤ de la définition usuelle de l’espace projectif ℙ(ℚ^{r}) := (ℚ^{r} − {0})/ℚ^{∗}. Avec ces définitions, on a la proposition suivante.

1.1.1 Proposition. L’inclusion de Prim(ℤ^{r}) dans ℚ^{r} − {0} induit une bijection entre ℙ(ℤ^{r}) et ℙ(ℚ^{r}).

La vérification est laissée comme exercice ; disons seulement que l’application inverse est obtenue comme suite : pour a non nul dans ℚ^{r}, on prend un dénominateur commun d des a_{i}, c’est à dire un d dans ℤ non nul tel que les da_{i} sont entiers, et on écrit da = ea′ avec e dans ℤ et a′ dans ℤ^{r} primitif. (Une autre façon de construire l’application inverse est de montrer que pour a ≠ 0 dans ℚ^{r} l’intersection ℚ·a ∩ ℤ^{r} est un ℤ-module libre de rang un, et d’en prendre les deux générateurs ; voir la section 9.)

Soit maintenant n ≥ 1. Notons X l’ensemble des solutions primitives dans ℤ^{3} de l’équation x^{n} + y^{n} = z^{n}, et Y l’ensemble des solutions non nulles dans ℚ^{3} de l’équation x^{n} + y^{n} = z^{n}. Le groupe ℤ^{∗} = {1, −1} des inversibles de ℤ opère par homothéties sur X, et, de la même façon, ℚ^{∗} opère sur Y. Soient \overline{X} := X/ℤ^{∗} et \overline{Y} := Y/ℚ^{∗} les quotients de ces actions. Alors la proposition précédente implique que l’inclusion de X dans Y induit une bijection de \overline{X} vers \overline{Y}.

1.2 L’équation de Fermat, degré 1.

Il n’y a pas grand chose à dire. Pour A n’importe quel anneau, (a, b, c) dans A^{3} est une solution si et seulement si c = a + b. Autrement dit, nous avons une bijection de A^{2} vers l’ensemble des solutions, qui envoie (a, b) vers (a, b, a + b).

1.3 L’équation de Fermat, degré 2, sur ℤ.

Ici, nous suivons [Samuel, §1.2]. Il s’agit maintenant de l’équation :

x^{2} + y^{2} = z^{2}.

Les solutions (a, b, c) avec a, b et c des entiers positifs et abc non nul, sont appelés des triplets pythagoriciens. Notons que de toute façon, (a, b, c) dans ℤ^{3} est une solution si et seulement si tous les triplets (±a, ±b, ±c) sont des solutions. Il nous suffit de trouver toutes les solutions dans ℕ^{3}. Nous allons classifier les triplets pythagoriciens primitifs, à l’aide de la factorialité de l’anneau ℤ. Comme l’équation que nous considérons est homogène, c’est à dire que tous les termes ont même degré, toute solution (a, b, c) dans ℤ^{3} avec abc ≠ 0 est de la forme (±da′, ±db′, ±dc′), avec d dans ℕ non nul, et (a′, b′, c′) un triplet pythagoricien primitif. On procède par les étapes suivantes.

1. Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien. Les conditions suivantes sont équivalentes : (a) pgcd(a, b, c) = 1,

(b) pgcd(a, b) = 1,

(c) pgcd(a, c) = 1,

(d) pgcd(b, c) = 1.

(En effet, si (a, b, c) est pythagoricien et si par exemple un nombre premier p divise a et b, alors p divise a^{2} + b^{2}, donc c^{2}, donc c.)

2. Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien primitif. Alors c est impair, et l’un d’entre a et b est pair (pour le voir, on utilise que les carrés dans ℤ/4ℤ sont 0 et 1).

3. Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien primitif avec b pair. En écrivant

(b/2)^{2} = ((c − a)/2)((c + a)/2),

on montre qu’il existe u et v dans ℕ, premiers entre eux, tel que 0 < u < v, (c−a)/2 = u^{2} et (c + a)/2 = v^{2}. (En effet, (c − a)/2 et (c + a)/2 sont premiers entre eux car l’idéal qu’ils engendrent contient c et a, donc 1, et leur produit est un carré.) On conclut que les triplets pythagoriciens primitifs avec b pair sont les triplets (v^{2} − u^{2}, 2uv, v^{2} + u^{2}), avec 0 < u < v premier entre eux et uv pair.

Une autre façon de faire la liste de tous les triplets pythagoriciens est la suivante, que l’on pourrait appeler “paramétrisation rationnelle du cercle”. A un triplet pythagoricien (a, b, c) on fait correspondre le point (a/c, b/c) du cercle C dans ℝ^{2} de rayon un et de centre 0. Un élément de C est dit rationnel si ses deux coordonnées sont rationnelles. En considérant les droites passant par (−1, 0), on montre que tout autre point rationnel de C est de la forme

((1 − t^{2})/(1 + t^{2}), 2t/(1 + t^{2})),

avec t dans ℚ (t étant la pente de la droite considérée). En effet, pour t dans ℝ notons D_{t} la droite dans ℝ^{2} qui passe par (−1, 0) et qui est de pente t, et notons (x(t), y(t)) le deuxième point d’intersection de D_{t} avec le cercle C. Alors t est rationnelle si et seulement si (x(t), y(t)) l’est (si (x(t), y(t)) est rationnelle, D_{t} contient deux points rationnels, donc sa pente est rationnelle, si t est rationnelle, le deuxième point d’intersection est de la forme (−1, 0) + λ(1, t) avec λ dans ℝ solution d’une équation de degré deux à coefficients rationnels et avec une racine rationnelle ; un petit calcul donne la formule en haut). En écrivant t = u/v avec u et v des entiers premiers entre eux, on obtient de nouveau la classification des triplets pythagoriciens primitifs obtenue en haut.

1.4 L’équation de Fermat, degré n ≥ 3, sur ℂ[t].

En 1993, Andrew Wiles a montré qu’il n’y a pas de solutions non triviales dans ℤ^{3}. Malheureusement, la démonstration est beaucoup trop difficile pour l’expliquer dans ce cours. Pour ceux qui veulent voir comment cela marche, voir par exemple le livre de Cornell, Silverman et Stevens [CSS], ou les deux exposés au Séminaire Bourbaki par Serre et Oesterlé, en juin 1995, ou le numéro 22 du magazine “Quadrature”, été 1995 (Editions du choix, Argenteuil). Signalons aussi que Kummer, au 19ème siècle, avait déjà démontré le théorème de Fermat pour de nombreux exposants premiers.

Ce que nous pouvons faire avec les techniques à notre disposition, est résoudre ces équations dans l’anneau ℂ[t].

1.4.1 Théorème. Soit n ≥ 3 entier. Si a, b et c dans ℂ[t] satisfont a^{n} + b^{n} = c^{n} et sont premiers entre eux (pgcd(a, b, c) = 1), alors a, b et c sont de degré zéro, c’est à dire, sont dans ℂ.

Preuve. La méthode s’appelle “la descente infinie”. Supposons donc qu’il existe au moins une solution primitive non constante. Soit alors (a, b, c) une telle solution où le maximum des degrés de a, b et c est minimal. Notons tout d’abord que a, b et c sont premiers entre eux deux par deux, tous non nuls, et qu’au plus un d’entre eux est constant. On a :

a^{n} = c^{n} − b^{n} = ∏_{ζ^{n}=1}(c − ζb).

Les facteurs c − ζb sont premiers entre eux, deux par deux, car chaque pair d’entre eux forme une base du sous-ℂ-espace vectoriel de ℂ[t] engendré par b et c (notons que ce sous-espace est de dimension deux car b et c sont non nuls, premiers entre eux et pas tous les deux constant). Par la factorialité de ℂ[t], nous obtenons que les c − ζb sont des puissances nièmes, à des inversibles près. Mais les inversibles sont les constants non nuls, qui sont eux-mêmes des puissances nièmes. Il existe donc des x_{ζ} dans ℂ[t] tels que

c − ζb = x_{ζ}^{n}.

Comme les c−ζb sont premiers entre eux deux par deux, les x_{ζ} le sont également. En considérant les termes dominants de c et de b, on voit qu’au plus un des x_{ζ} est constant. Prenons maintenant n’importe triplet x, y, et z parmi les x_{ζ} (cela est possible parce que n est au moins 3). Comme x^{n}, y^{n} et z^{n} appartiennent au sous-espace de ℂ[t] engendre par b et c, il y a une relation linéaire non triviale parmi eux, disons :

αx^{n} + βy^{n} = γz^{n},

avec α, β et γ dans ℂ, ne pas tous nuls. Mais comme chaque élément de ℂ est une puissance nième, nous trouvons, en choisissant des racines nièmes de α, β et γ, une relation :

x_{1}^{n} + y_{1}^{n} = z_{1}^{n},

avec x_{1}, y_{1} et z_{1} premiers entre eux deux à deux, ne pas tous constants, et de même degré que x, y et z, respectivement. Mais cela contredit la minimalité en termes des degrés de la solution (a, b, c) de départ. □

Avant de continuer, notons que nous avons utilisé que l’anneau ℂ[t] est factoriel, et que tout inversible de ℂ[t] est une puissance nième. Ce sont exactement ces deux propriétés qui posent un problème pour les anneaux ℤ[e^{2πi/n}]. Le défaut de non factorialité de tels anneaux, ainsi que leurs groupes multiplicatifs, seront étudiés plus tard dans ce cours. Signalons aussi que la méthode qui a conduit à une preuve du théorème de Fermat n’est pas d’étudier en grand détail les anneaux ℤ[e^{2πi/n}], mais plutôt des anneaux de la forme ℤ[x, y]/(y^{2} = x^{3} + ax + b), c’est à dire, des courbes elliptiques.

Pour montrer que l’on sait démontrer des résultats généraux, citons le suivant, cas spécial d’un théorème de Faltings, auparavant conjecture de Mordell (voir par exemple [Serre1]).

1.4.2 Théorème. Soit F dans ℚ[x, y, z] homogène de degré au moins 4, tel que les dérivées ∂F/∂x, ∂F/∂y et ∂F/∂z ne s’annulent pas en un même point de ℂ^{3} − {0}. Alors l’ensemble {(a, b) ∈ ℚ^{2} | F (a, b, 1) = 0} est fini.

Ce qui est intéressant dans ce résultat est la condition sur le degré. Le fait que ce degré doit être au moins 4 correspond au fait que la variété des solutions dans ℙ(ℂ^{3}) est une surface compacte connexe et orientable dont le genre (i.e., le nombre de trous) est au moins deux.

1.5 L’équation de Fermat, degré 4, sur ℤ.

Ici nous suivons [Samuel, §1.2]. Nous allons montrer :

Soient x, y et z dans ℤ tels que x^{4} + y^{4} = z^{2}. Alors xyz = 0. Supposons donc que cet énoncé soit faux, et soit (x, y, z) dans ℕ^{3} avec x^{4} + y^{4} = z^{2}, xyz ≠ 0, et z minimal. Pour obtenir une contradiction, on procède par les étapes suivantes, où l’on applique ce que nous savons déjà des triplets pythagoriciens (car (x^{2}, y^{2}, z) est un tel triplet).

1. x, y et z sont deux à deux premiers entre eux.

2. Après permutation, si nécessaire, de x et y, on a x et z impairs, y pair. Il existe u et v dans ℕ, premiers entre eux, avec u > v, tels que :

x^{2} = u^{2} − v^{2}, y^{2} = 2uv, z = u^{2} + v^{2}.

La première équation dit que x^{2} + v^{2} = u^{2} ; comme x est impair, v est pair. La deuxième équation dit que (y/2)^{2} = uv_{1}, donc il existe a et b dans ℕ tels que u = a^{2} et v_{1} = b^{2}. De la première équation on tire qu’il existe c et d dans ℕ, premiers entre eux, tels que :

x = c^{2} − d^{2}, v = 2cd, u = c^{2} + d^{2}.

La deuxième de ces équations dit que b^{2} = cd, donc que c et d sont des carrés, disons c = e^{2} et d = f^{2} avec e et f dans ℕ. Comme u = a^{2}, on a :

e^{4} + f^{4} = a^{2},

et comme a^{2} = u et z > u^{2}, on a z > u^{2} ≥ a^{4} ≥ a. Contradiction avec la minimalité de z.

1.6 L’équation de Fermat, degré 3, sur ℤ.

Ceci n’est pas fait dans [Samuel]. Nous suivons [I-R, §17.8]. La méthode est toujours la même : factoriser après adjonction des racines 3èmes de l’unité, et descente infinie. Nous commençons par quelques résultats sur le sous-anneau A := ℤ[j], avec j^{2} + j + 1 = 0, de ℂ.

1.6.1 Proposition. La conjugaison complexe z ↦ \overline{z} induit sur A un automorphisme d’anneau. L’application N: A → ℕ, a ↦ a\overline{a} = |a|^{2} est multiplicative et s’appelle la norme de la ℤalgèbre A. L’anneau A est euclidien pour la fonction N ; A est donc factoriel. Le groupe A^{∗} de ses éléments inversibles est {±1, ±j, ±j^{2}}, et est cyclique d’ordre 6. L’élément λ := 1 − j de A est premier, et le quotient A/λA est un corps à trois éléments. Une factorisation de 3 dans A est la suivante : 3 = −j^{2}λ^{2}.

Preuve. Comme A est un sous-anneau de ℂ, A est intègre. Pour voir que N: A → ℂ, a ↦ |a|^{2} prend ses valeurs dans ℤ, faisons le calcul suivant :

N(n + mj) = (n + mj)(n + mj^{2}) = n^{2} + nm(j + j^{2}) + m^{2} = n^{2} − nm + m^{2}.

C’est donc vrai que N prend ses valeurs dans ℕ. Pour montrer que A est euclidien pour la fonction N, il faut montrer que pour tous a et b dans A avec b non nul, il existe q et r dans A avec a = qb + r et N(r) < N(b). Soient a et b dans A, avec b ≠ 0. Soit q alors un des éléments de A le plus proche de a/b. Alors on a :

|a/b − q| ≤ 1/\sqrt{3} < 1.

(Pour l’expliquer, faire un dessin du réseau A dans ℂ; ce réseau est l’ensemble des sommets d’un pavage de ℂ par des triangles de cotés un.) Posons r := a − qb. On alors :

|r| = |a − qb| = |b| · |a/b − q| < |b|,

d’où N(r) = |r|^{2} < |b|^{2} = N(b).

Soit a dans A. Alors a est inversible si et seulement s’il existe b dans A tel que ab = 1. En particulier, si a est dans A^{∗}, il existe b dans A tel que 1 = N(1) = N(ab) = N(a)N(b), d’où N(a) = 1. D’autre part, si a est dans A et N(a) = 1, on a 1 = a\overline{a}, donc a est dans A^{∗} (et a^{−1} = \overline{a}). Les inversibles de A sont les a dans A avec N(a) = 1, c’est à dire, les a dans l’intersection de A et le cercle unité.

Pour voir ce qu’est A/λA, notons que A = ℤ[t]/(t^{2}+t+1), ce qui nous donne un morphisme surjectif A → 𝔽_{3}, en envoyant t vers 1 (en effet, l’image de t^{2}+t+1 est alors 0). Par construction, l’image de λ dans 𝔽_{3} est nulle, donc le morphisme A → 𝔽_{3} se factorise par A/λA ce qui donne une surjection de A/λA sur 𝔽_{3}. Le fait que N(λ) = 3 implique que λ est irréductible, donc premier (car A euclidien donc factoriel). Mais alors A/λA est un corps (c’est le quotient d’un anneau principal par un idéal premier non nul), donc le morphisme A/λA → 𝔽_{3} est injectif, et donc un isomorphisme.

Calculons : λ^{2} = (1 − j)^{2} = 1 − 2j + j^{2} = 1 + j + j^{2} − 3j = −3j. □

Faisons quelques exemples de factorisation dans A. Factorisons par exemple 3 + j et 4 − j. D’abord, N(3 + j) = 3^{2} − 3 + 1 = 7 est premier, donc 3 + j est premier, ainsi que \overline{3 + j} = 2 − j. La factorisation de 4 − j est plus intéressante. On a N(4 − j) = 4^{2} + 4 + 1 = 21 = 3·7. On essaie alors de diviser 4 − j par un élément de norme 3, par exemple 1 − j. On trouve :

\frac{4 − j}{1 − j} = \frac{4 − j}{1 − j} ·\frac{1 − j^{2}}{1 − j^{2}} = \frac{4 − 4j^{2} − j + 1}{3} = 3 + j.

Comme 3 + j est premier, on a la factorisation 4 − j = (1 − j)(3 + j) en éléments premiers de A.

1.6.2 Lemme. Les puissances troisièmes dans A/9A = A/λ^{4}A sont 0, ±1, ±λ^{3}.

Preuve. Comme A/λA = 𝔽_{3}, tout élément de A est d’une des formes 1 + λa, −1 + λa, λa (avec a dans A). On calcule les puissances troisièmes de ces bêtes, en utilisant que même les a en haut s’écrivent encore sous la forme a_{1} + λa′ avec a_{1} dans {0, 1, −1} (et on utilise le “petit théorème de Fermat”). □

Nous allons montrer un résultat plus fort que l’énoncé que pour tout (x, y, z) dans ℤ^{3} avec x^{3} + y^{3} = z^{3} on ait xyz = 0 ; cela est nécessaire pour faire la descente infinie. Cette fois, la descente sera en termes de divisibilité par λ.

1.6.3 Notation. Soit A un anneau factoriel, a dans A non nul, et p dans A premier. Nous notons alors v_{p}(a) le nombre de facteurs p dans la décomposition de A en facteurs irréductibles. Plus précisément, on a a = p^{v_{p}(a)}a′, avec p ne pas divisant a′. (On utilise la lettre v pour valuation.)

1.6.4 Théorème. Supposons que x, y et z sont dans A et que u est dans A^{∗} tels que x^{3}+y^{3} = uz^{3}. Alors xyz = 0.

Preuve. Par contradiction. Supposons donc que x, y, z et u sont dans A, avec u dans A^{∗}, x^{3} + y^{3} = uz^{3} et xyz ≠ 0. Par l’argument habituel, nous pouvons supposer que x, y et z sont deux à deux premiers entre eux.

Montrons que λ|xyz, et que si λ|xy, alors u = ±1. Supposons donc que λ|xy. Alors λ ne divise pas uz^{3}, donc on a ±1 = ±u dans A/λ^{3}A. Cela veut dire que λ^{3} divise u−1 ou u+1. Il en résulte que u = ±1. (Par exemple, on peut utiliser que |u ± 1| ≤ 2 tandis que |λ^{3}| = 3\sqrt{3} > 2.) Nous avons donc montré la deuxième assertion. Montrons la première. Supposons que λ ne divise pas xyz. Alors {x^{3}, y^{3}, z^{3}} ⊂ {1, −1} dans A/λ^{4}A. Mais alors on a u = ±2 dans A/λ^{4}A. Cela veut dire que λ^{4} divise u − 2 ou u + 2. Mais 1 ≤ |u ± 2| ≤ 3 tandis que |λ^{4}| = 9, ce qui est une contradiction.

Ceci nous ramène au cas où nous avons x, y, z et u dans A, avec u dans A^{∗}, x^{3} +y^{3} = uz^{3}, et λ|z. Nous allons maintenant produire un tel quadruplet (x′, y′, z′, u′) avec v_{λ}(z′) < v_{λ}(z) ; c’est ça la contradiction cherchée. Allons-y.

Notons tout d’abord que dans A/λA nous avons x^{3} + y^{3} = 0, donc que x + y = 0 (dans A/λA, bien sûr). Mais alors x^{3} + y^{3} = 0 dans A/λ^{4}A (utiliser ce que nous savons des cubes dans A/λ^{4}A), donc λ^{4}|uz^{3}, donc λ^{2}|z. Nous écrivons maintenant :

(x + y)(x + jy)(x + j^{2}y) = x^{3} + y^{3} = uz^{3}.

Comme λ^{6}|uz^{3}, au moins un des facteurs à gauche est divisible par λ^{2} ; en remplaçant y par jy ou j^{2}y si nécessaire, on a λ^{2}|(x + y) (notons que ces substitutions ne changent pas z, ce qui est important pour notre argument).

Montrons qu’alors v_{λ}(x + jy) = v_{λ}(x + j^{2}y) = 1. Comme l’image de j dans 𝔽_{3} est 1, il est clair que λ divise x + jy et x + j^{2}y. Supposons que λ^{2}|(x + jy). Alors x + y = x + jy dans A/λ^{2}A, donc 0 = (1 − j)y = λy dans A/λ^{2}A. Comme y est dans A^{∗}, cela entraîne que λ^{2}|λ, ce qui est faux. De même pour x + j^{2}y : λ^{2} ne divise pas 1 − j^{2}. Nous avons donc :

v_{λ}(x + y) = 3v_{λ}(z) − 2, v_{λ}(x + jy) = 1, v_{λ}(x + j^{2}y) = 1.

Le fait que det( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & j \end{matrix}) = −λ montre que (x + y)A + (x + jy)A = λA, et de même on trouve que x + y, x + jy et x + j^{2}y ont, deux à deux, plus grand commun diviseur λA. La factorialité de A donne l’existence d’éléments α, β et γ de A qui sont premiers à λ et premiers entre eux deux à deux, et d’éléments u_{1}, u_{2} et u_{3} de A^{∗}, tels que :

x + y = u_{1}λ^{3v_{λ}(z)−2}α^{3}, x + jy = u_{2}λβ^{3}, x + j^{2}y = u_{3}λγ^{3}.

La combinaison linéaire avec coefficients 1, j et j^{2} de ces trois équations, divisée par λ, donne :

0 = u_{1}λ^{3v_{λ}(z)−3}α^{3} + ju_{2}β^{3} + j^{2}u_{3}γ^{3}.

On pose maintenant x_{1} := β, y_{1} := γ, et z_{1} := λ^{v_{λ}(z)−1}α. Alors on a, avec ε_{1} et ε_{2} dans A^{∗} convenables :

x_{1}^{3} + ε_{1}y_{1}^{3} = ε_{2}z_{1}^{3}.

Comme λ^{3}|z_{1}^{3} (car v_{λ}(z) ≥ 2), on a ε_{1} = ±1 dans A/λ^{3}A, ce qui montre que ε_{1} = ±1 (dans A). En replaçant y_{1} par −y_{1} si nécessaire, on obtient donc :

x_{1}^{3} + y_{1}^{3} = ε_{2}z_{1}^{3},

avec v_{λ}(z_{1}) = v_{λ}(z) − 1. □

2 L’anneau ℤ[i] et le théorème des deux carrés.

2.1 Un peu d’arithmétique dans ℤ[i].

Le but de cette section est d’abord de comprendre comment se factorisent les nombres premiers dans ℤ[i], et d’appliquer le résultat pour déterminer quels entiers sont somme de deux carrés. Les résultats de cette section se trouvent dans [Samuel, §5.6], mais y sont démontrés de façon moins élémentaire.

2.1.1 Proposition. La conjugaison complexe z ↦ \overline{z} induit sur ℤ[i] un automorphisme d’anneau. L’application N: ℤ[i] → ℕ, a ↦ a\overline{a} = |a|^{2} est multiplicative et s’appelle la norme de la ℤalgèbre ℤ[i]. L’anneau ℤ[i] est euclidien pour la fonction N ; ℤ[i] est donc factoriel. Le groupe ℤ[i]^{∗} de ses éléments inversibles est {±1, ±i}, et est cyclique d’ordre 4.

La démonstration est analogue à celle que nous avons déjà faite pour ℤ[j].

2.1.2 Théorème. Soit p un nombre premier. Alors p est encore premier dans ℤ[i] si et seulement si p = −1 modulo 4. Pour 2 on a : 2 = (1+i)(1−i) = i(1−i)^{2}. Un nombre premier p congru à 1 modulo 4 se factorise comme : p = (a + bi)(a − bi), en deux facteurs premiers non associés. Les éléments premiers de ℤ[i] sont ceux dont la norme est un nombre premier (forcément 1 modulo 4 ou égal à 2) ou le carré d’un nombre premier qui est −1 modulo 4.

Preuve. Montrons d’abord les assertions sur la factorisation dans ℤ[i] des nombres premiers. Supposons donc p premier dans ℤ et non premier dans ℤ[i]. Soit alors α premier dans ℤ[i] tel que α|p; notons que p/α n’est pas inversible dans ℤ[i]. Ecrivons α = a + bi avec a et b dans ℤ. Alors a^{2} + b^{2} = N(α)|N(p) = p^{2}. On en conclut que N(α) = p, et donc que p n’est pas −1 modulo 4. La situation de 2 se vérifie par un calcul. Montrons maintenant que les premiers p qui sont 1 modulo 4 se factorisent en deux premiers non associés. Soit donc p premier, congru à 1 modulo 4. Les deux racines distinctes de x^{2} +1 dans 𝔽_{p} (ce sont les éléments d’ordre 4 du groupe cyclique 𝔽_{p}^{∗}) nous donnent deux morphismes d’anneaux de ℤ[i] vers 𝔽_{p}. Soit α un générateur du noyau de l’un des deux. Alors α est premier dans ℤ[i], il divise p, et il n’est pas associé à p (par exemple car ℤ[i]/pℤ[i] est de cardinal p^{2}). Comme N(α)|N(p) = p^{2}, on a α\overline{α} = N(α) = p.

Montrons que tout premier de ℤ[i] est un diviseur d’un unique premier positif de ℤ. Pour cela, supposons que α dans ℤ[i] soit premier. Alors ℤ[i]/ℤ[i]α est intègre (car α premier), et même un corps car en plus ℤ[i] principal. (En fait, nous n’utiliserons pas que c’est un corps.) Considérons le morphisme d’anneaux ℤ → ℤ[i]/ℤ[i]α. Son noyau contient N(α) = α\overline{α} qui est non nul, et son image est intègre. Il en résulte que le noyau est engendré par un nombre premier p. Bien sûr, on a α|p. D’autre part, si p est premier dans ℤ et α|p, p est un générateur du noyau de ℤ → ℤ[i]/ℤ[i]α.

Pour finir, montrons la classification des premiers de ℤ[i] en termes de la norme. Supposons que α dans ℤ[i] soit premier. Notons p l’unique nombre premier divisible par α. En utilisant la factorisation de p en premiers dans ℤ[i], on voit que si p n’est pas −1 modulo 4, N(α) = p, et que sinon N(α) = p^{2}. D’autre part, il est clair que si α dans ℤ[i] est tel que N(α) est premier, alors α est premier. Supposons que α dans ℤ[i] est tel que N(α) = p^{2} avec p = −1 modulo 4. Comme p^{2} = N(α) = α\overline{α}, on a α|p. Mais comme p est premier dans ℤ[i], α l’est aussi. □

2.2 Le théorème des deux carrés.

2.2.1 Théorème. Un nombre premier p est la somme de deux carrés si et seulement si p est congru à 1 modulo 4 (Fermat). Soit n dans ℕ. Alors n est une somme de deux carrés si et seulement si v_{p}(n) est pair pour tout nombre premier p qui est −1 modulo 4.

Preuve. La première assertion a été vue dans la section 2.1 : a^{2}+b^{2} = (a+bi)(a−bi) dans ℤ[i]. Montrons la deuxième assertion. Soit n dans ℕ, non nul. Supposons d’abord que v_{p}(n) est pair pour tout nombre premier p qui est −1 modulo 4. Pour chaque premier p = 1 mod 4, choisissons a_{p} et b_{p} dans ℤ tels que p = a_{p}^{2} + b_{p}^{2}. Alors on a n = (a + bi)(a − bi) où :

a + bi = (1 + i)^{v_{2}(n)} ∏_{p≡1(4)}(a_{p} + b_{p}i)^{v_{p}(n)} ∏_{p≡−1(4)} p^{v_{p}(n)/2}.

D’autre part, supposons que n = a^{2} + b^{2} avec a et b dans ℤ. On écrit alors n = α\overline{α}, avec α = a + bi. Soit p premier, avec p = −1 modulo 4, donc premier dans ℤ[i]. Il existe v dans ℕ et β dans ℤ[i] premier à p tels que α = p^{v}β. Alors on a \overline{α} = p^{v}\overline{β}, et donc, avec m := β\overline{β} dans ℕ : n = p^{2v}m, avec p ne pas divisant m dans ℤ[i], donc pas non plus dans ℤ. Cela montre bien que v_{p}(n) est pair. □

Dans le TD on verra un algorithme efficace pour trouver une factorisation dans ℤ[i] d’un nombre premier p dans ℕ qui est 1 modulo 4. Cet algorithme est assez simple, et utilise des particularités de ℤ[i] (être engendré par une racine de l’unité d’ordre 4, et être euclidien). Dans des cas plus généraux, signalons qu’il existe des algorithmes efficaces pour factoriser des polynômes sur les corps finis (algorithme de Berlekamp) et pour trouver des éléments courts dans des réseaux (LLL : Lenstra-Lenstra-Lovász) ; pour ces algorithmes, voir [Cohen].

2.2.2 Théorème. Tout n dans ℕ est somme de quatre carrés.

Pour la preuve, que nous ne donnerons pas ici par manque de temps, voir [Samuel, §5.7]. L’idée de la preuve est la même que celle du théorème des deux carrés, mais on remplace ℤ[i] par un sous-anneau convenable de la ℚ-algèbre (non commutative) des quaternions : ℚ⊕ℚi⊕ℚj ⊕ℚk, avec i^{2} = j^{2} = k^{2} = −1, et ij = −ji = k. Cette ℚ-algèbre est une algèbre à division : tout élément non nul admet un inverse. Le sous-anneau ℤ ⊕ ℤi ⊕ ℤj ⊕ ℤk ne suffit car il n’est pas “euclidien” (il est facile de vérifier qu’il n’est pas euclidien pour la norme euclidienne). Le sousanneau que l’on prend est celui engendré par i, j, k et (1 + i + j + k)/2. Une façon d’écrire cet ordre est :

{(a + bi + cj + dk)/2 | a, b, c, d ∈ ℤ, a = b = c = d mod 2}.

3 Anneaux des entiers dans les corps de nombres.

3.1 Eléments entiers.

Maintenant que nous avons vu quelques applications non triviales de l’arithmétique dans des anneaux tels que ℤ[i] et ℤ[j], nous allons introduire de tels anneaux dans tous les corps de nombres. Par corps de nombres, on entend extension finie de ℚ.

3.1.1 Définition. Soit ℚ → K une extension finie. Un élément x de K est dit entier sur ℤ s’il est racine d’un polynôme unitaire à coefficients dans ℤ. Autrement dit, x dans K est entier sur ℤ s’il existe n ≥ 1 et des a_{i} dans ℤ, 0 ≤ i < n, tels que :

x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{1}x + a_{0} = 0.

L’ensemble de tels éléments sera noté K_{ℤ}. Une notation plus courante pour K_{ℤ} est O_{K}.

3.1.2 Exemple. Montrons que ℚ_{ℤ} = ℤ. Il est évident que ℚ_{ℤ} contient ℤ. Soit a dans ℚ_{ℤ}, et écrivons a = n/m, avec n et m > 0 des entiers premiers entre eux. Prenons f dans ℤ[x] unitaire tel que f(a) = 0. Ecrivons f = x^{r} + a_{r−1}x^{r−1} + ⋯ + a_{0}. Cela donne :

n^{r} + a_{r−1}n^{r−1}m + ⋯ + a_{0}m^{r} = 0.

Supposons qu’un nombre premier p divise m. Alors p divise a_{r−1}n^{r−1}m + ⋯ + a_{0}m^{r}, donc n^{r}, donc n, ce qui contredit que n et m sont premiers entre eux. Il en résulte que m = 1 et que a est dans ℤ.

La définition d’intégralité est clairement une généralisation de la notion d’élément algébrique dans une extension de corps. Nous allons montrer tout de suite que K_{ℤ} est en fait un sous-anneau de K, contenant ℤ. Le fait que K_{ℤ} contient ℤ est de toute façon évident.

3.1.3 Proposition. Soit A → B un morphisme d’anneaux. Un élément b de B est dit entier sur A s’il existe n ≥ 1 et des a_{i} dans A, 0 ≤ i < n, tel que :

b^{n} + a_{n−1}b^{n−1} + ⋯ + a_{1}b + a_{0} = 0.

Pour b dans B, les conditions suivantes sont équivalentes :

1. b est entier sur A;

2. la sous-A-algèbre A[b] de B est un A-module de type fini ;

3. il existe une sous-A-algèbre C de B, contenant b, et de type fini en tant que A-module ;

4. il existe un sous-A-module M de B, de type fini, contenant 1 et stable par multiplication par b (i.e., tel que bM ⊂ M).

5. il existe un sous-A-module M de B, de type fini, contenant un non diviseur de zéro et

stable par multiplication par b. Soit B′ l’ensemble des b dans B qui sont entiers sur A. Alors B′ est une sous-A-algèbre de B.

Preuve. Montrons que (1) ⇒ (2). Soit f dans A[x] unitaire, tel que f(b) = 0. Alors le sousanneau A[b] de B est l’image du morphisme de A-algèbres A[x] → B qui envoie x vers b. Comme f est unitaire, on peut diviser avec reste par f dans A[x], ce qui montre que le A-module A[x]/(f) est libre de base (1, x, …, x^{n−1}), avec n le degré de f. Il en résulte que A[b] est engendré, en tant que A-module, par 1, b, …, b^{n−1}. Bien sûr, ceci se voit également en notant que dans A[b] les b^{m} avec m ≥ n sont combinaisons linéaires des b^{k} avec k < m, donc des b^{k} avec k < n.

(2) ⇒ (3) : on peut prendre C := A[b].

(3) ⇒ (4) : on peut prendre M := C.

(4) ⇒ (5) : on peut prendre “M := M”.

Montrons finalement que (5) ⇒ (1). Soit M un sous-A-module de B, de type fini, contenant un non diviseur de zéro x, et stable par multiplication par b. Soient n ≥ 0 et m_{1}, …, m_{n} des générateurs de M. Pour tout i, bm_{i} s’écrit comme ∑_{j} a_{j,i}m_{j}, avec les a_{j,i} dans A. Notons e la base canonique du A-module libre A^{n}, et considérons le morphisme g: A^{n} → M qui envoie e_{i} vers m_{i}. Comme les m_{i} engendrent M, ce morphisme est surjectif. Nous avons alors un diagramme commutatif :

A^{n} ⟶^{g} M
a·↓  ↓^{b·}
A^{n} ⟶^{g} M

où b· est l’endomorphisme m ↦ bm de M, et où a· est l’endomorphisme v ↦ av de A^{n}. Soit f dans A[x] le polynôme caractéristique det(xI_{n} − a) de a. Par définition, f est unitaire, de degré n. Le théorème de Cayley-Hamilton (voir ci-dessous) dit que f(a) = 0 dans End_{A}(A^{n}). Il en résulte que l’endomorphisme m ↦ f(b)m de M est nul. En particulier, f(b)x = 0, et comme x n’est pas un diviseur de zéro, f(b) est nul.

Montrons maintenant le deuxièmeénoncé. Il faut donc montrer que B′ est une sous-A-algèbre de B. Soient donc b_{1} et b_{2} dans B′. Alors la sous-A-algèbre A[b_{1}, b_{2}] de B engendrée par b_{1} et b_{2} est un A-module de type fini (car engendré par les b_{1}^{i}b_{2}^{j} avec 0 ≤ i < n et 0 ≤ j < m si b_{1} et b_{2} sont racines de polynômes unitaires à coefficients dans A de degrés n et m respectivement). L’équivalence entre les conditions 1 et 3 montre alors que tout élément de A[b_{1}, b_{2}] est entier sur A. □

3.1.4 Théorème. (Cayley-Hamilton) Soit A un anneau commutatif, n ≥ 0 un entier, et a dans M_{n}(A). Soit f dans A[t] le polynôme caractéristique det(tI_{n} − a) de a. Alors f(a) = 0 dans M_{n}(A).

Preuve. C’est clair si a est diagonale ; nous allons nous ramener à ce cas. Fixons pour l’instant l’anneau A, mais pensons aux coefficients de a comme des variables. Alors les coefficients de f(a) sont des fonctions polynomiales des a_{i,j}, à coefficients dans ℤ. Il suffit donc de montrer l’identité pour A := ℤ[{x_{i,j} | 1 ≤ i, j ≤ n}], et a la matrice x. Plongeons A d’abord dans son corps des fractions K, et ensuite dans un corps de décomposition L de f (f vu comme élément de K[t]). Si le discriminant de f est non nul, a a n valeurs propres distinctes dans L, est donc diagonalisable sur L, et le résultat est clair. Pour voir que le discriminant est non nul, il suffit de le voir après un choix convenable de valeurs pour les x_{i,j}. On peut prendre par exemple pour x la matrice diagonale diag(1, 2, …, n). □

3.2 Les corps quadratiques.

3.2.1 Théorème. Toute extension de degré 2 de ℚ est isomorpheà une sous-extension de ℚ → ℂ de la forme ℚ → ℚ(\sqrt{d}) pour un unique d ≠ 1 dans ℤ sans facteur carré : e^{2}|d implique e = ±1. Soit d ≠ 1 un entier sans facteur carré. Alors ℚ(\sqrt{d}) est une extension de degré 2 de ℚ. On a :

ℚ(\sqrt{d})_{ℤ} = ℤ[\sqrt{d}] si d ≢ 1 mod 4, ℚ(\sqrt{d})_{ℤ} = ℤ[(1 + \sqrt{d})/2] si d ≡ 1 mod 4.

Dans le premier cas, (1, \sqrt{d}) est une ℤ-base de ℚ(\sqrt{d})_{ℤ}. Dans le deuxième cas, (1, (1 + \sqrt{d})/2) est une ℤ-base de ℚ(\sqrt{d})_{ℤ}.

Preuve. Soit K une extension de degré 2 de ℚ. Prenons x dans K tel que K = ℚ·1 ⊕ ℚ·x. Il existe a et b dans ℚ tels que x^{2} + ax + b = 0. On pose y := x + a/2 (2 est bien inversible dans ℚ), et on a y^{2} = d′ := a^{2}/4 − b. On a bien K = ℚ(y). On écrit d′ = c^{2}d avec c dans ℚ et d dans ℤ et sans facteur carré. En posant z := y/c, on a K = ℚ(z), avec z^{2} = d; d ≠ 1 car K est de degré deux. Ceci montre donc l’existence.

Supposons que d et d′ sont des entiers ≠ 1 sans facteur carré, tels que les ℚ-algèbres ℚ(\sqrt{d}) et ℚ(\sqrt{d′}) soient isomorphes. Il existe alors a et b dans ℚ tels que d′ = (a+b\sqrt{d})^{2}, ce qui donne : 2ab = 0 et a^{2} + b^{2}d = d′. Si a = 0, on a b^{2}d = d′ et on a d = d′. Si b = 0, on a a^{2} = d′, ce qui contredit le fait que d′ n’est pas un carré dans ℚ. Ceci établit l’unicité.

Soit maintenant d ≠ 1 un entier sans facteur carré. Soit par la théorie de Galois, soit en remarquant que x^{2} − d a deux racines distinctes \sqrt{d} et −\sqrt{d} dans K := ℚ(\sqrt{d}), on voit que K a un unique automorphisme non trivial σ, donné par σ(a + b\sqrt{d}) = a − b\sqrt{d}, pour tout a et b dans ℚ. Comme σ est un automorphisme, on a σ(K_{ℤ}) = K_{ℤ}. Pour tout x dans K, on a :

0 = (x − x)(x − σ(x)) = x^{2} − (x + σ(x))x + xσ(x),

avec x + σ(x) et xσ(x) dans ℚ. Soit x dans K_{ℤ}. Alors σ(x) est dans K_{ℤ} donc x + σ(x) et xσ(x) sont entiers sur ℤ; comme ils sont dans ℚ, ils sont dans ℤ. En écrivant x = a + b\sqrt{d}, avec a et b dans ℚ, cela donne :

2a ∈ ℤ, a^{2} − db^{2} ∈ ℤ.

En particulier, cela implique que 4db^{2} est dans ℤ. On en déduit que 2b est dans ℤ (car d est sans facteur carré). Ensuite, on distingue les trois cas d = 1, −1 et 2 modulo 4, et on trouve que x est bien de la forme souhaitée (il est utile de noter que (2a)^{2} − d(2b)^{2} est dans 4ℤ). D’autre part, on vérifie directement que les x de cette forme sont entiers sur ℤ. Les détails sont laissées au lecteur. □

3.3 La trace.

Notre but suivant est de montrer que pour ℚ → K une extension finie, K_{ℤ} est libre de rang dim_{ℚ} K en tant que ℤ-module. Nous allons donner deux démonstrations de cela. La première sera plutôt algébrique, en utilisant une forme quadratique qui s’appelle la forme trace de K sur ℚ. La deuxième démonstration fait appel à des résultats bien connus sur les sous-groupes discrets de ℝ-espaces vectoriels de dimension finie. Introduisons maintenant la trace.

3.3.1 Définition. Soit A un anneau, et B une A-algèbre qui est libre de rang fini en tant que A-module. Pour b dans B on appelle trace de b sur A la trace de l’endomorphisme ·b: B → B, x ↦ xb du A-module B; c’est un élément de A que l’on notera Tr_{B/A}(b). L’application Tr_{B/A} de B vers A est un morphisme de A-modules, on l’appellera le morphisme trace de la A-algèbre B. L’application (b_{1}, b_{2}) ↦ Tr(b_{1}b_{2}) de B^{2} vers A est A-bilinéaire, et est appelée la forme trace de la A-algèbre B; nous la noterons (b_{1}, b_{2}) ↦ ⟨b_{1}, b_{2}⟩_{B/A}.

Pour que la forme trace nous soit utile, nous avons besoin de savoir qu’elle est non dégénérée.

3.3.2 Théorème. Soit K → L une extension finie de corps. Alors la forme trace est non dégénérée si et seulement si l’extension est séparable.

Preuve. Supposons que K → L soit séparable. Alors il existe des éléments primitifs pour cette extension ; prenons en un, disons b, et soit f dans K[x] son polynôme minimal sur K. Soit K → K′ une extension qui scinde f : f = (x−b_{1}) ⋯ (x−b_{d}) dans K′[x]. Notons L′ := K′⊗_{K} L la K′-algèbre obtenue de K → L par extension des scalaires de K à K′ (voir la section 9 pour la définition du produit tensoriel d’algèbres sur un corps). Alors ⟨·, ·⟩_{L′/K′} est simplement la forme bilinéaire déduite de ⟨·, ·⟩_{L/K} par la même extension des scalaires. D’autre part, la K′-algèbre L′ est isomorphe à (K′)^{d} via :

K[x]/(f) ⟶^{∼} L, L′ ⟶^{∼} K′[x]/(f) ⟶^{∼} (K′)^{d}.

Maintenant on calcule directement. Une façon de dire ce qui se passe ici, est de dire que cette extension des scalaires ne change rien aux matrices qui donnent le morphisme et la forme trace, par rapport à une K-base de L, et à la K′-base de L′ en déduite, mais qu’après cette extension de K à K′, il existe une base beaucoup mieux adaptée au problème que nous voulons résoudre : la base canonique de (K′)^{d}.

Nous ne montrons pas l’implication dans l’autre sens. Voir des livres d’algèbre, par exemple celui de Lang (Algebra). □

Nous allons maintenant montrer que pour K une extension finie de ℚ, la trace Tr_{K/ℚ}: K → ℚ envoie K_{ℤ} dans ℤ.

3.3.3 Lemme. Soit A un anneau, et f: B_{1} → B_{2} un morphisme de A-algèbres. Soit b dans B_{1} entier sur A. Alors f(b) est entier sur A.

Preuve. Immédiat car f(b) est annulé par tout polynôme qui annule b. □

3.3.4 Proposition. Soit K une extension finie de ℚ, et notons d := dim_{ℚ} K. Il existe alors exactement d morphismes de K dans ℂ, disons ϕ_{1}, …, ϕ_{d}. Soit x dans K, et soit f dans ℚ[t] son polynôme minimal sur ℚ. Alors :

1. (t − ϕ_{1}(x)) ⋯ (t − ϕ_{d}(x)) = f^{dim_{ℚ(x)} K} ; 2. Si x est dans K_{ℤ}, f est dans ℤ[t] ;

3. Le polynôme caractéristique de ·x: ℚ(x) → ℚ(x) est f ;

4. Le polynôme caractéristique de ·x: K → K est f^{dim_{ℚ(x)} K} ;

5. Si x est dans K_{ℤ}, Tr_{K/ℚ}(x) est dans ℤ.

Preuve. Le fait qu’il existe exactement d morphismes de ℚ-algèbres de K dans ℂ a été montré en premier semestre. Rappelons nous le principe de la démonstration : on montre, par récurrence sur d, l’énoncé suivant : soit K → L une extension de corps, séparable, de degré d, et soit \overline{K} une clôture algébrique, alors il existe exactement d morphismes de K-algèbres de L dans \overline{K}.

Soient maintenant ϕ_{1}, …, ϕ_{d} les plongements de notre K dans ℂ. Montrons la formule 1 en haut. Soit donc x dans K. L’identité se voit alors en regroupant les ϕ_{i}(x) qui sont égaux. Chaque racine de f dans ℂ intervient dim_{ℚ(x)} K fois. Ceci montre la première partie.

Soit x dans K_{ℤ}. On applique la première partie à ℚ(x). En notant d_{x} := dim_{ℚ} ℚ(x) on a :

f = (t − ϕ_{1}(x)) ⋯ (t − ϕ_{d_{x}}(x)),

avec ϕ_{1}, …, ϕ_{d_{x}} les plongements de ℚ(x) dans ℂ. Les ϕ_{i}(x) sont entiers sur ℤ, donc les coefficients de f, qui sont des sommes de produits de ϕ_{i}(x), sont eux aussi entiers sur ℤ. Mais comme ils sont dans ℚ, ils sont dans ℤ. Ceci termine la démonstration de la deuxième partie.

Par rapport �a ℚ-base (1, x, …, x^{d_{x}−1}) de ℚ(x), la matrice de ·x est :

( \begin{matrix}& & & & −a_{0} \\ 1 & & & & ⋮ \\ & 1 & & & ⋮ \\ & & ... & & ⋮ \\ & & & 1 & −a_{d_{x}−1} \end{matrix} ) ,

où nous avons écrit f = t^{d_{x}} +∑_{i<d_{x}} a_{i}t^{i}. On montre, par récurrence sur la taille de cette matrice, que son polynôme caractéristique est f (c’est un exercice). Une autre façon de démontrer la troisième partie est de dire que le polynôme caractéristique de ·x est dans ℚ[t], unitaire, de degré d_{x}, et, par Cayley-Hamilton, annule x, donc égale f. Encore une autre façon de faire est d’étendre les scalaires de ℚ à ℂ, et de choisir une base mieux adaptée au calcul, c’est à dire, une base où ·x est diagonale.

Soit (y_{1}, …, y_{e}) une ℚ(x)-base de K. On a donc ed_{x} = d. Alors les x^{i}y_{j} forment une ℚ-base de K, que l’on ordonne comme suite : (y_{1}, xy_{1}, …, x^{d_{x}−1}y_{1}, y_{2}, …). Par rapport à cette base, la matrice de ·x est constituée de e blocs, chacun égal à la matrice de la partie précédente. Cela démontre donc la quatrième partie.

La cinquième partie résulte directement des parties précédentes. □

3.4 Première démonstration de la liberté de K_{ℤ}.

Pour montrer que K_{ℤ} est libre de rang dim_{ℚ} K en tant que ℤ-module, nous allons montrer que K_{ℤ} contient un sous-anneau avec cette propriété. Ensuite, en utilisant la forme trace, nous montrerons, par un argument de dualité, que K_{ℤ} est contenu dans un sous-ℤ-module libre de rang dim_{ℚ} K de K. Par le résultat qui dit que tout sous-module d’un ℤ-module libre de rang n est libre de rang au plus n, cela implique que K_{ℤ} est libre, de rang dim_{ℚ} K.

3.4.1 Proposition. Soit ℚ → K une extension finie. Alors K_{ℤ} contient un sous-anneau qui est libre de rang d := dim_{ℚ} K en tant que ℤ-module.

Preuve. Prenons x dans K un élément primitif : K = ℚ(x). En le remplaçant par nx avec n > 0 un entier convenable, on a x entier sur ℤ. Il est clair que ℤ[x] a les propriétés voulues. □

3.4.2 Théorème. Soit K une extension finie de ℚ. Alors K_{ℤ} est libre de rang dim_{ℚ} K en tant que ℤ-module.

Preuve. Soit A un sous-anneau de K_{ℤ} qui est déjà du bon rang sur ℤ. Notons que pour tout x dans K_{ℤ} et y dans A, on a ⟨x, y⟩_{K/ℚ} dans ℤ. Cela nous donne un morphisme de ℤ-modules de K_{ℤ} vers Hom_{ℤ}(A, ℤ) :

x ↦ (y ↦ ⟨x, y⟩_{K/ℚ}).

Comme A contient une ℚ-base de K (car A est libre du bon rang ; appliquer la définition d’indépendance linéaire), et que la forme trace ⟨·, ·⟩_{K/ℚ} est non dégénérée, ce morphisme est injectif. Donc K_{ℤ} est isomorphe à un sous-module de Hom_{ℤ}(A, ℤ), qui est lui-même libre de rang dim_{ℚ} K. Comme tout sous-module d’un ℤ-module libre de rang fini n est libre de rang au plus n, cela nous donne que K_{ℤ} est libre de rang au plus dim_{ℚ} K. Mais comme il contient A, il est de rang dim_{ℚ} K. □

3.5 Deuxième démonstration de la liberté de K_{ℤ}.

Soit K une extension finie de ℚ, d := dim_{ℚ} K, et ϕ_{1}, …, ϕ_{d} les plongements de K dans ℂ. Nous numérotons les ϕ_{i} de la façon suivante : ceux qui ont image dans ℝ sont ϕ_{1}, …, ϕ_{r_{1}}, et ensuite tel que ϕ_{r_{1}+r_{2}+i} = \overline{ϕ_{r_{1}+i}}, où \overline{ϕ} signifie ϕ suivi de la conjugaison complexe. Nous posons :

Φ: K → ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}, x ↦ (ϕ_{1}(x), …, ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x)).

Cette application Φ, qui est un morphisme injectif de ℚ-algèbres, s’appelle le plongement canonique de K (pas si canonique, car il faut numéroter les ϕ_{i}). De ce qui précède, il résulte que si on a x dans K_{ℤ}, et Φ(x) = (x_{1}, …, x_{r_{1}+r_{2}}), alors le polynôme

(t − x_{1}) ⋯ (t − x_{r_{1}})(t − x_{r_{1}+1})(t − \overline{x_{r_{1}+r_{2}+1}}) ⋯ (t − x_{r_{1}+r_{2}})(t − \overline{x_{r_{1}+2r_{2}}})

est de la forme t^{d} + a_{d−1}t^{d−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0}, avec les a_{i} dans ℤ. Même, les a_{i} sont des sommes de produits de x_{i} et de \overline{x_{i}}. Cela implique que Φ(K_{ℤ}) est discret, et donc, par le théorème suivant, que Φ(K_{ℤ}) est libre de rang au plus d.

3.5.1 Théorème. Soit H un sous-groupe discret d’un ℝ-espace vectoriel V de dimension finie n. Alors H est un ℤ-module libre de rang au plus n. En plus, toute ℤ-base de H est une suite ℝlinéairement indépendante de V. Si H est de rang n, on l’appelle un réseau.

Preuve. Voir [Samuel, IV, Thm 1]. Mais la preuve donnée là-bas ne me plait pas trop ; elle ne donne pas d’algorithme pour calculer une base du sous-groupe discret. Pour cette raison, je donne une autre preuve.

Nous remplaçons V par son sous-ℝ-espace vectoriel engendré par H.

Soient donc V et H comme dans le théorème. Nous devons montrer que H est libre de rang n, et que toute ℤ-base de H est une ℝ-base de V. Récurrence sur n. Pour n = 0, c’est clair. Supposons donc que n ≥ 1. Choisissons un produit scalaire ⟨·, ·⟩ sur V, et notons ∥·∥ la norme associée. Prenons h_{0} dans H non nul, avec ∥h_{0}∥ minimal (c’est possible car H est discret, donc d’intersection finie avec tout sous-ensemble borné de V). Notons V′ l’orthogonal de ℝh_{0}, et p: V → ℝh_{0} et p′: V → V′ les projections orthogonales.

Montrons d’abord que ℤh_{0} = H ∩ ℝh_{0}. Soit h dans H ∩ ℝh_{0}. On a h = λh_{0} pour un λ dans ℝ. Ecrivons λ = m+ε avec 0 ≤ ε < 1. Alors εh_{0} = h−mh_{0} est dans H, et ∥εh_{0}∥ < ∥h_{0}∥, donc ε = 0, et h est dans ℤh_{0}.

Montrons maintenant que p′H est discret (dans V′, bien sûr). Pour cela, il faut montrer qu’il existe ε > 0 tel que si h est dans H mais pas dans ℝh_{0}, alors ∥p′(h)∥ > ε. Soit donc h dans H mais pas dans ℝh_{0}. En translatant par un élément de ℤh_{0}, nous pouvons supposer que ∥p(h)∥ ≤ (1/2)∥h_{0}∥ (faire un dessin, avec la bande des tels h, et la boule de rayon ∥h_{0}∥). Comme ∥h_{0}∥ est minimal, on a ∥p′(h)∥ ≥ (1/2)\sqrt{3}∥h_{0}∥.

Par récurrence, p′H est libre, de rang au plus n − 1, et toute ℤ-base de p′H est une ℝ-base de V′. Soient h_{1}, …, h_{r} dans H tel que (p′(h_{1}), …, p′(h_{r})) soit une ℤ-base de p′H. On montre qu’alors h := (h_{0}, h_{1}, …, h_{r}) est une ℤ-base de H (exercice). Il est clair que (h_{0}, h_{1}, …, h_{r}) est une ℝ-base de V. Par rapport à cette ℤ-base de H, toute ℤ-base de H est donnée par un élément de GL_{n}(ℤ), donc en particulier par un élément de GL_{n}(ℝ), ce qui termine la démonstration. □

4 Les anneaux de Dedekind.

Nous voulons démontrer que dans l’anneau d’entiers K_{ℤ} d’un corps de nombres K on a factorisation unique des idéaux non nuls en idéaux premiers. Cela remplacera, dans les applications, la factorialité perdue. Pour voir que la factorialité est perdue, considérer le cas K = ℚ(\sqrt{−5}). La généralité naturelle de ce que nous voulons faire est le cadre des anneaux de Dedekind. Nous allons suivre [Samuel, III].

4.1 Définition. Un anneau A est dit de Dedekind si :

1. il est intègre ;

2. noethérien : tout idéal est de type fini ;

3. intégralement clos : tout élément du corps de fractions qui est entier sur l’anneau, est dans l’anneau ;

4. tout idéal premier non nul est maximal (la dimension de Krull est au plus un).

4.2 Les K_{ℤ} sont de Dedekind.

Avec ce que nous avons déjà vu, il est clair que tout anneau principal est de Dedekind. Le but de cette section est de montrer que les anneaux d’entiers des corps de nombres sont de Dedekind. Par définition, ces anneaux sont intègres. Le fait qu’ils sont libres de rang fini en tant que ℤ-modules entraîne qu’ils sont noethériens : tout idéal est un sous-module d’un ℤ-module libre de rang fini, donc libre de rang fini, donc engendré, même en tant que ℤ-module, par un nombre fini d’éléments. Reste donc à voir qu’ils sont intégralement clos, et que tout idéal premier non nul est maximal.

4.2.1 Proposition. Soit K un corps de nombres. Soit p un idéal premier non nul de K_{ℤ}. Alors p est maximal.

Preuve. Soit x dans p non nul (existe car p non nul). Comme K_{ℤ} est intègre, l’application K_{ℤ} → p, y ↦ xy, est injective. Cela montre que p est libre de même rang que K_{ℤ} en tant que ℤ-module, donc que K_{ℤ}/p est fini. Comme un anneau intègre fini est un corps, p est un idéal maximal. □

4.2.2 Lemme. Soit A → B → C des morphismes d’anneaux, avec B entier sur A : tout b dans B est entier sur A. Soit x dans C, entier sur B. Alors x est entier sur A.

Preuve. Prenons une relation de dépendance intégrale pour x sur B :

x^{n} + b_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + b_{0} = 0,

avec les b_{i} dans B. Notons que la sous-A-algèbre A[b_{0}, …, b_{n−1}, x] de C est de type fini en tant que A-module, car engendré par des monômes b_{0}^{i_{0}} ⋯ b_{n−1}^{i_{n−1}}x^{i_{n}} avec tous les exposants bornés. Le critère d’intégralité du cours 3 implique que x est entier sur A. □

4.2.3 Proposition. Soit K un corps de nombres. Alors K_{ℤ} est intégralement clos.

Preuve. Il n’y a qu’à appliquer le lemme précédent dans le cas ℤ → K_{ℤ} → K. □

4.3 Autres exemples d’anneaux de Dedekind.

Les anneaux de Dedekind ne se manifestent pas uniquement en théorie des nombres, mais également en géométrie algébrique, comme le montre l’exemple suivant.

4.3.1 Exemple. Soit k un corps, f dans k[x, y] irréductible, tel que f et ses dérivés partiels f_{x} et f_{y} engendrent l’idéal k[x, y] de k[x, y]. Alors l’anneau A := k[x, y]/(f) est de Dedekind. En termes géométriques : l’anneau de coordonnées d’une courbe algébrique affine non singulière est de Dedekind. Un tel anneau A peut être non factoriel, donc le fait qu’il soit encore de Dedekind est important. Par exemple, ℝ[x, y]/(x^{2} + y^{2} − 1) n’est pas factoriel. Ce dernier fait n’est pas difficile à démontrer. Par exemple, les éléments y et x − 1 n’admettent pas de pgcd.

4.4 Généralités noethériennes.

Nous suivons [Samuel, III].

4.4.1 Proposition. Soit A un anneau, et M un A-module. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. toute famille non vide de sous-modules de M possède un élément maximal, c’est à dire, si I est un ensemble non vide et, pour tout i dans I, M_{i} un sous-module de M, alors il existe i dans I tel que pour tout j dans I, M_{i} n’est pas contenu strictement dans M_{j};

2. toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire : si M_{1} ⊂ M_{2} ⊂ ⋯ est une suite de sous-modules de M, on a M_{i} = M_{i+1} pour tout i assez grand ;

3. tout sous-module de M est de type fini.

Preuve. Les implications (1) ⟹ (2), (2) ⟹ (3) et (3) ⟹ (2) sont claires. Montrons, pour finir, que (2) ⟹ (1). Cela se fait par contradiction : supposons que toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire, et que M_{i}, pour i dans I, soit une famille non vide de sousmodules de A, qui n’admet pas d’élément maximal. Alors, pour tout i dans I, il existe un i′ dans I avec M_{i′} strictement plus grand que M_{i}. Mais alors il existe une suite strictement croissante M_{i_{0}} ⊂ M_{i_{1}} ⋯, ce qui contredit que toute suite croissante est stationnaire. □

4.4.2 Définition. Soit A un anneau. Un A-module M est noethérien si tout sous-module de M est de type fini. L’anneau A est dit noethérien s’il l’est en tant que A-module, c’est à dire, si tout idéal est de type fini.

4.4.3 Exemples. L’anneau ℤ est noethérien, ainsi que les K_{ℤ} pour les extensions finies K de ℚ. Tout corps est noethérien, par manque d’idéaux. Si A est noethérien, alors A[x] l’est aussi ; voir un livre d’algèbre pour ce résultat fondamental (nous ne l’utiliserons pas). L’anneau ℤ[x_{1}, x_{2}, …] de polynômes en un nombre infini de variables n’est pas noethérien, ainsi que la clôture intégrale \overline{ℤ} de ℤ dans \overline{ℚ}.

4.4.4 Proposition. Soit A un anneau et 0 → M′ → M → M′′ → 0 une suite exacte courte de A-modules. Alors M est noethérien si et seulement si M′ et M′′ le sont.

Preuve. Si M est noethérien, alors M′ et M′′ le sont, car tout sous-module de M′ est un sousmodule de M, et tout sous-module de M′′ est l’image d’un sous-module de M, donc tous de type fini. Supposons maintenant que M′ et M′′ sont noethériens. Soit N un sous-module de M, N′ son intersection avec M′ et N′′ son image dans M′. Alors N′ et N′′ sont de type fini. Prenons des éléments n′_{1}, …, n′_{r} et n′′_{1}, …, n′′_{s} de N tels que n′_{1}, …, n′_{r} engendrent N′, et les images de n′′_{1}, …, n′′_{s} dans M′′ engendrent N′′. Alors n′_{1}, …, n′_{r} et n′′_{1}, …, n′′_{s} engendrent N. □

4.4.5 Corollaire. Soit A un anneau. Si M_{1}, …, M_{n} sont des A-modules noethériens, alors leur produit M_{1} × ⋯ × M_{n} est noethérien. Si A est noethérien, alors tout A-module de type fini est noethérien.

4.5 Produits d’idéaux.

4.5.1 Définition. Soit A un anneau, et a et b des idéaux de A. On définit alors le produit ab comme étant l’idéal engendré par les xy, avec x dans a et y dans b. Ce produit ab est l’ensemble des sommes finis ∑_{i} x_{i}y_{i}, avec x_{i} dans a et y_{i} dans b.

Le lemme suivant dit que, pour cette multiplication, les idéaux premiers se comportent comme des éléments premiers.

4.5.2 Lemme. Soit A un anneau, p un idéal premier, et a_{1}, …, a_{n} des idéaux. Supposons que p ⊃ a_{1} ⋯ a_{n}. Alors p ⊃ a_{i} pour un i convenable.

Preuve. Sinon, pour tout i, il existe x_{i} dans a_{i} tel que x_{i} n’est pas dans p; mais alors x_{1} ⋯ x_{n} est dans a_{1} ⋯ a_{n}, et pas dans p. □

4.5.3 Lemme. Soit A un anneau noethérien. Alors tout idéal de A contient un produit d’idéaux premiers. Et aussi : tout idéal non nul de A différent de A contient un produit d’idéaux premiers non nuls.

Preuve. La preuve est un exemple typique de l’utilisation, assez magique, de l’hypothèse noethérienne. Montrons par exemple le deuxième énoncé. Soit Φ la famille des idéaux non nuls de A différents de A qui ne contiennent pas de produit d’idéaux premiers non nuls. Supposons que Φ soit non vide. Soit alors a dans Φ maximal. Certainement, a n’est pas premier, car a ⊃ a. Donc (comme A/a est non nul et non intègre) il existe x et y dans A, non dans a, tel que xy soit dans a. Comme a + Ax et a + Ay sont strictement plus grands que a, il existent des idéaux premiers non nuls p_{1}, …, p_{r} et q_{1}, …, q_{s}, tels que a + Ax ⊃ p_{1} ⋯ p_{r} et a + Ay ⊃ q_{1} ⋯ q_{s}. Mais alors :

a ⊃ (a + Ax)(a + Ay) ⊃ p_{1} ⋯ p_{r}q_{1} ⋯ q_{s},

ce qui est une contradiction. Donc Φ est bien vide. □

4.6 Idéaux fractionnaires.

4.6.1 Définition. Soit A un anneau intègre, et A → K son corps de fractions. Un idéal fractionnaire de A est un sous-A-module a de K tel qu’il existe d dans A non nul avec da ⊂ A. Si A est intègre et noethérien, les idéaux fractionnaires sont les sous-A-modules de type fini de K. Si a et b sont des idéaux fractionnaires de A, leur produit ab est le sous-A-module de K engendré par les xy avec x dans a et y dans b; c’est encore un idéal fractionnaire de A, et, si a et b sont des idéaux de A, c’est le produit défini précédemment. De même, si a et b sont des idéaux fractionnaires de A, leur somme a + b est un idéal fractionnaire de A.

4.6.2 Lemme. Soit A un anneau intègre. L’ensemble I(A) des idéaux fractionnaires non nuls de A est un monoïde pour la multiplication, c’est à dire, cette multiplication est associative, et admet un élément neutre (c’est A).

Bien qu’on a deux opérations sur l’ensemble des idéaux fractionnaires d’un anneau intègre A, à savoir le produit et la somme, et que l’on a même a(b + c) = ab + ac, cet ensemble ne devient pas un anneau, car il manque l’inverse pour l’addition.

4.6.3 Théorème. Soit A un anneau de Dedekind. Alors tout idéal maximal non nul de A est inversible dans le monoïde I(A) d’idéaux fractionnaires non nul de A.

Preuve. Soit m un idéal maximal non nul de A. Notons A → K le corps de fractions de A. Posons :

m′ := {x ∈ K | xm ⊂ A}.

Alors m′ est un sous-A-module de K. Pour tout y dans m on a ym′ ⊂ A, donc m′ est un idéal fractionnaire de A. Il suffit donc de montrer que m′m = A. Comme m′ ⊃ A, on a m ⊂ m′m ⊂ A, donc soit m′m = A, soit m′m = m. Supposons que m′m = m.

Soit x dans m′. Alors m est un sous-A-module de K, de type fini, stable par multiplication par x, et contenant un non diviseur de 0. Par notre critère d’intégralité, x est entier sur A, donc dans A, car A est intégralement clos. On a donc m′ = A. Ceci va contredire que tout les idéaux premiers non nuls de A sont maximaux.

Soit x dans m non nul. Soient n ≥ 1 entier et p_{1}, …, p_{n} des idéaux premiers non nuls de A tels que Ax ⊃ p_{1} ⋯ p_{n}, avec n minimal. Comme m ⊃ Ax ⊃ p_{1} ⋯ p_{n}, on a m ⊃ p_{i} pour un certain i, disons pour i = 1. Mais m et p_{1} sont maximaux, donc p_{1} = m. Posons b := p_{2} ⋯ p_{n}. Alors on a Ax ⊃ mb et Ax ⊅ b par minimalité de n. Prenons alors y dans b, non dans Ax. Alors on a yx^{−1} ∉ A, et yx^{−1}m ⊂ A, autrement dit : yx^{−1} ∈ m′. Contradiction. □

4.6.4 Remarque. Je trouve que la preuve donnée ci-dessus n’est pas conceptuelle du tout. On peut suivre ligne par ligne que cela marche, mais comprendre ce qui se passe, c’est bien autre chose. Si on dispose de l’outil de localisation, on peut faire une preuve plus conceptuelle, par exemple, comme Serre dans son livre [Serre3]. Tout d’abord, m′/A est (K/A)^{m=0}, le plus grand sous-module de K/A annulé par m. Ensuite, dans le cas local, on a pour tout x non nul dans m, que A[x^{−1}] = K (le seul idéal premier de A qui est contenu dans Ax est 0). Il en résulte que tout élément de K/A est annulé par une puissance de x. Comme m est de type fini, il en résulte que tout élément de K/A est annulé par une puissance de m. Mais en prenant un sous-module minimal de K/A (ou d’un sous-module non nul de type fini de K/A), on trouve que m′/A est non nul. (Pour l’existence d’un sous-module minimal, on utilise qu’un sous-module de type fini de K/A est artinien.)

Pour finir cette remarque, notons qu’on peut même faire cet argument sans localisation. Voici comment on fait : soit x dans m non nul. Il suffit de voir que (x^{−1}A/A)^{m=0} ≠ 0. Mais la multiplication par x induit un isomorphisme de x^{−1}A/A vers A/xA. Ce dernier est un anneau noethérien où tous les idéaux premiers sont maximaux, et donc minimaux. Or, dans un anneau noethérien, les idéaux premiers minimaux sont en nombre fini. Soient donc m = m_{1}, …, m_{r} les idéaux premiers de B := A/xA. Comme dans tout anneau, l’intersection des idéaux premiers est l’idéal des nilpotents (c’est vrai, pour montrer ceci, il est commode de localiser par rapport à un élément de cette intersection). Comme m_{1} ∩ ⋯ ∩ m_{r} est de type fini, c’est un idéal nilpotent. On conclut que B est artinien, et que, pour n assez grand, le morphisme B → ∏_{i} B/m_{i}^{n} est un isomorphisme. On termine en prenant un sous-module minimal de B/m^{n} : un tel sous-module est nécessairement isomorphe à B/m, ce qui montre que B^{m=0} ≠ 0.

Dans les exercices on trouvera une version plus élémentaire des arguments ci-dessus, adaptée spécialement au cas des K_{ℤ}.

4.7 Factorisation unique des idéaux fractionnaires.

Dans cette section et la suivante, nous allons démontrer certains résultats concernant les anneaux de Dedekind, et en même temps pour un certain type d’anneaux a priori plus généraux dont nous verrons plus tard que ce sont eux aussi des anneaux de Dedekind. La raison de procéder comme ceci est que cela nous permet de démontrer plus loin un critère pratique pour savoir si un sous-anneau d’un anneau d’entiers dans un corps de nombre est égal à l’anneau des entiers, sans avoir à refaire les démonstrations des résultats de ces deux sections.

4.7.1 Théorème. Soit A un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal et inversible dans I(A). Soit P l’ensemble des idéaux premiers non nuls de A. Alors tout idéal fractionnaire non nul a de A s’écrit de façon unique sous la forme :

a = ∏_{p∈P} p^{v_{p}(a)},

avec les v_{p}(a) dans ℤ, presque tous nuls. Si a est un idéal non nul de A, on a v_{p}(a) ≥ 0 pour tout p dans P.

Le monoïde I(A) est un groupe : tout idéal fractionnaire non nul a de A admet un inverse pour la multiplication d’idéaux fractionnaires. Nous avons donc un isomorphisme de groupes :

v: I(A) ⟶^{∼} ⨁_{P} ℤ = ℤ^{(P)}, a ↦ (p ↦ v_{p}(a)).

Preuve. Soit Φ l’ensemble des idéaux non nuls de A qui ne sont pas produit d’un nombre fini d’éléments de P. Supposons que Φ ≠ ∅. Soit a un élément maximal de Φ. Alors a ≠ A, car A est le produit de zéro éléments de P. Donc il existe p dans P tel que a ⊂ p (prendre p maximal parmi les idéaux différents de A et contenant a). Soit p′ l’inverse de p. On a :

a ⊂ ap′ ⊂ pp′ = A.

Si a = ap′, on a p′ = A (comme dans la preuve du théorème précédent si A est de Dedekind, et en utilisant le lemme 4.11.2 sous l’autre hypothèse sur A). Donc ap′ n’est pas dans Φ. Donc ap′ s’écrit sous la forme ap′ = p_{1} ⋯ p_{n}, avec les p_{i} dans P. Mais alors on a :

a = aA = ap′p = p_{1} ⋯ p_{n}p,

ce qui est une contradiction. Donc Φ est bien vide, et tout idéal non nul de A est un produit d’éléments de P.

Soit a un idéal fractionnaire non nul de A. Soit d non nul dans A tel que b := da ⊂ A. Ecrivons dA = q_{1} ⋯ q_{m} et b = p_{1} ⋯ p_{n} avec les p_{i} et q_{j} dans P. Alors on a a = p_{1} ⋯ p_{n}q_{1}^{−1} ⋯ q_{m}^{−1}, ce qui montre que tout idéal fractionnaire non nul est un produit de puissances d’éléments de P.

Le fait que I(A) est un groupe commutatif, engendré par P, est maintenant clair. Montrons l’unicité de la factorisation. Cela équivaut à ce que P soit libre. Supposons qu’il existe une relation non triviale ∏_{p} p^{n_{p}} = A. En séparant les exposants positifs et négatifs, on obtient une relation non triviale de la forme :

p_{1}^{n_{1}} ⋯ p_{r}^{n_{r}} = q_{1}^{m_{1}} ⋯ q_{s}^{m_{s}},

avec les exposants > 0 et les p_{i} et q_{j} tous distincts. Mais alors p_{1} contient q_{1}^{m_{1}} ⋯ q_{s}^{m_{s}}, donc contient l’un des q_{i}, et est donc égal à l’un des q_{i}, ce qui est une contradiction. □

Pour pouvoir travailler avec cette factorisation des idéaux fractionnaires, nous avons besoin d’en traduire les propriétés les plus importantes en termes de cette factorisation. D’où le formulaire suivant.

4.7.2 Théorème. Soit A un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal et inversible dans I(A). Soit P l’ensemble des idéaux premiers non nuls de A. Soient a et b des idéaux fractionnaires non nuls de A.

1. Pour tout p dans P : v_{p}(ab) = v_{p}(a)v_{p}(b).

2. On a a ⊂ b si et seulement si v_{p}(a) ≥ v_{p}(b) pour tout p dans P.

3. On a a ⊂ A si et seulement si v_{p}(a) ≥ 0 pour tout p dans P.

4. Pour tout p dans P : v_{p}(a + b) = min(v_{p}(a), v_{p}(b)).

5. Pour tout p dans P : v_{p}(a ∩ b) = max(v_{p}(a), v_{p}(b)).

Preuve. L’énoncé (1) résulte directement du théorème précédent. Pour (2), on note que a ⊂ b équivaut à b^{−1}a ⊂ A. Donc avec (1), (2) résulte de (3). Montrons (3). Si les v_{p}(a) sont tous ≥ 0, a est un produit d’idéaux, donc un idéal. Si a ⊂ A, tous les v_{p}(a) sont ≥ 0 par le théorème précédent. Montrons (4). Cela résulte de (2) plus le fait que a + b est le plus petit idéal fractionnaire de A qui contient a et b. L’énoncé (5) correspond au fait que a ∩ b est le plus grand idéal fractionnaire de A contenu dans a et b. □

4.8 Valuations sur les anneaux de Dedekind.

En pratique, on travaille plutôt directement avec les éléments du corps de fractions d’un anneau de Dedekind qu’avec les idéaux fractionnaires. Pour cela, il est commode d’introduire les valuations induites par les idéaux premiers non nuls.

4.8.1 Définition. Soit A un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal et inversible dans I(A). Soit K son corps de fractions, et P l’ensemble de ses idéaux premiers non nuls. Pour tout p dans P, la valuation sur K en p est l’application :

v_{p}: K → ℤ ∪ {∞}, x ↦ v_{p}(Ax) si x ≠ 0, 0 ↦ ∞.

4.8.2 Proposition. Dans la situation de la définition précédente, les applications v_{p} de K vers ℤ ∪ {∞} ont les propriétés suivantes :

1. v_{p}(xy) = v_{p}(x) + v_{p}(y) pour tous x et y dans K^{∗}; autrement dit : v_{p}: K^{∗} → ℤ est un morphisme de groupes ;

2. v_{p}(x + y) ≥ min(v_{p}(x), v_{p}(y)), avec égalité si v_{p}(x) ≠ v_{p}(y).

Preuve. La première égalité résulte directement de ce que Axy = AxAy. Montrons (2). Si x = 0, ou y = 0, ou x + y = 0, c’est clair. Supposons donc les trois non nuls. Ecrivons Ax = p^{v_{p}(x)}a et Ay = p^{v_{p}(y)}b. Supposons que v_{p}(x) ≤ v_{p}(y). Alors v_{p}(a) = 0 = v_{p}(b). Nous avons :

Ax = p^{v_{p}(x)}a ⊂ p^{v_{p}(x)}(a + b), Ay = p^{v_{p}(y)}b ⊂ p^{v_{p}(y)}(a + b) ⊂ p^{v_{p}(x)}(a + b).

Il en résulte que Ax+Ay = p^{v_{p}(x)}(a+b). Le Théorème 4.7.2 dit que v_{p}(a+b) = 0, ce qui donne bien

v_{p}(x + y) = v_{p}(A(x + y)) ≥ v_{p}(Ax + Ay) = v_{p}(x).

Si v_{p}(y) > v_{p}(x), alors x+y n’est pas dans p^{v_{p}(x)+1}(a+b), car sinon x serait dans p^{v_{p}(x)+1}(a+b), ce qui n’est pas le cas. □

Ces propriétés justifient le nom de valuation pour les v_{p}. Nous ne donnerons pas ici la définition générale de ce qu’est une valuation, mais nous voulons plutôt insister sur l’analogie avec l’ordre d’une fonction méromorphe en une variable en un point.

Considérons par exemple l’anneau ℂ[x]. Alors, pour f ≠ 0 dans le corps des fractions ℂ(x), et a dans ℂ, on a bien que l’ordre de f en a est l’exposant de x − a dans la factorisation en irréductibles de f.

Pour manipuler facilement les v_{p}(x), il est commode de penser à x comme une fonction, et à v_{p}(x) comme l’ordre de x en p. A vrai dire, en géométrie algébrique on dispose de ce qu’il faut pour rendre tout ceci rigoureux. En particulier, si A est l’anneau des fonctions régulières sur une courbe algébrique affine non singulière, cette interprétation est tout à fait correcte.

Le résultat suivant est l’analogue de ce qu’une fonction rationnelle sans pôle est régulière.

4.8.3 Proposition. Soit A un un anneau de Dedekind, ou un anneau intègre, noethérien dont tout idéal premier non nul est maximal et inversible dans I(A). Soit K son corps de fractions, et P l’ensemble de ses idéaux premiers non nuls. Soit x dans K et a dans I(A). Pour que x soit dans a il faut et il suffit que v_{p}(x) ≥ v_{p}(a) pour tout p dans P. En particulier, pour que x soit dans A il faut et il suffit que v_{p}(x) ≥ 0 pour tout p.

Preuve. Ceci résulte directement de la définition de v_{p}: K^{∗} → ℤ et des parties (2) et (3) du Théorème 4.7.2. □

4.9 Groupe des unités et groupe de classes d’idéaux.

Soit A un anneau de Dedekind, K son corps de fractions, et P l’ensemble de ses idéaux premiers non nuls. Rappelons nous que I(A) est le groupe des idéaux fractionnaires non nuls, et que nous avons un isomorphisme v: I(A) →^{∼} ℤ^{(P)} donné par a = ∏_{p} p^{v_{p}(a)}. Rappelons nous aussi que nous avons défini des valuations v_{p}: K^{∗} → ℤ, par v_{p}(x) = v_{p}(Ax).

Un idéal fractionnaire a de A est dit principal s’il est principal, c’est à dire, s’il existe x dans K tel que a = Kx. Nous avons un morphisme de groupes :

K^{∗} ⟶ I(A), x ↦ Ax.

L’image de ce morphisme est le sous-groupe P (A) des idéaux fractionnaires principaux. Le quotient I(A)/P (A) est appelé le groupe de classes d’idéaux de A, et est noté C(A). Avec ces définitions, il est clair que nous avons une suite exacte :

0 ⟶ A^{∗} ⟶ K^{∗} ⟶^{v} ℤ^{(P)} ⟶ C(A) ⟶ 0.

Une façon d’interpréter cette suite exacte est de dire que les seules obstructions contre ce que v soit un isomorphisme sont A^{∗} et C(A). Plus exactement, soit m: P → ℤ dans ℤ^{(P)}. Alors m est dans l’image de v si et seulement si l’image de m dans C(A) est nulle. Si tel est le cas, et si x dans K^{∗} avec v(x) = m, alors v^{−1}{m} = A^{∗}x. Dans le cas où A est l’anneau de fonctions régulières sur une courbe algébrique affine non singulière, le groupe C(A) est l’obstruction quand on veut construire de telles fonctions avec des ordres de pôles et de zéros donnés en tous les points, et on l’appelle le groupe de Picard de la courbe. Une autre raison d’être de C(A) est la proposition suivante.

4.9.1 Proposition. Soit A un anneau de Dedekind. Alors A est factoriel si et seulement si C(A) est trivial.

Preuve. Si C(A) est trivial, tout idéal premier non nul est principal, donc tout x non nul dans A s’écrit comme up_{1} ⋯ p_{n}, avec u dans A^{∗}, n ≥ 0 et les p_{i} premiers. Donc, dans ce cas, A est factoriel.

Supposons que A est factoriel. Alors tout x non nul dans A s’écrit sous la forme up_{1} ⋯ p_{n}, avec u dans A^{∗}, n ≥ 0 et les p_{i} premiers, et donc Ax s’écrit comme (Ap_{1}) ⋯ (Ap_{n}), c’est à dire, comme un produit d’idéaux premiers principaux. L’unicité de la factorisation des idéaux non nuls en idéaux premiers non nuls implique donc que tous les idéaux premiers qui interviennent dans la factorisation d’un tel Ax sont principaux. Pour montrer que C(A) est nul, il suffit donc de montrer que tout idéal premier p non nul intervient dans la factorisation d’un Ax. Soit p un idéal premier non nul. Prenons x dans p, non dans p^{2} (c’est possible, car p ⊃ p^{2} et par l’unicité des factorisations, p ≠ p^{2}). Alors v_{p}(x) = 1. □

Dans la résolution de systèmes d’équations polynomiales, les groupes C(A) et A^{∗} sont des groupes qui nous embêtent, et pour cette raison, il est important de les comprendre un peu mieux, dans le cas des anneaux d’entiers dans les corps de nombres. Pour K un corps de nombres, nous montrerons que C(K_{ℤ}) est fini, et que K_{ℤ}^{∗} est, à des racines de l’unité près, libre de rang r_{1} + r_{2} − 1, où r_{1} est le nombre de plongements réels de K dans ℂ, et 2r_{2} le nombre de plongements non réels. Voilà les deux résultats principaux de ce cours.

4.10 Quelques conditions équivalentes.

Pour que toute la théorie des anneaux d’entiers dans les corps de nombres soit utile, il faut disposer de critères pratiques pour qu’un sous-anneau de l’anneau des entiers d’un corps de nombres soit égal á l’anneau des entiers. Voilà pourquoi on considère le résultat suivant.

4.10.1 Théorème. Soit A un anneau intègre noethérien, dont tout idéal premier non nul est maximal. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. A est de Dedekind ;

2. tout idéal premier non nul m de A est inversible dans I(A) ;

3. pour tout idéal premier non nul m de A, le A/m-espace vectoriel m/m^{2} est de dimension un.

Preuve. Le fait que (1) implique (2) est le théorème 4.6.3.

Montrons que (2) implique (3). Considérons le morphisme quotient p: m → m/m^{2}. L’application qui à un sous-A-module de m/m^{2} associe son image réciproque dans m est une bijection entre l’ensemble des sous A-modules de m/m^{2} et l’ensemble des sous A-modules de m qui contiennent m^{2}. Par le Théorème 4.7.2, partie (2), les seuls sous A-modules de m qui contiennent m^{2} sont m et m^{2}, et ces deux ne sont pas égaux par l’unicité de la factorisation dans le Théorème 4.7.1. Comme en plus les sous A-modules de m/m^{2} sont les sous A/m-espaces vectoriels, on constate que la dimension de m/m^{2} est bien un.

Montrons que (3) implique (2). Soit donc m un idéal premier non nul de A. Notons K le corps de fractions de A, et posons m′ := {x ∈ K | xm ⊂ A}. Alors m′ est un idéal fractionnaire : c’est un sous A-module de K, et pour tout d non nul dans m on a dm′ ⊂ A. Nous allons montrer que m′m = A, ce qui montre bien que m est inversible dans I(A). Par construction on a m′m ⊂ A. Comme m′ ⊃ A, on a m ⊂ m′m. Donc on a m′m = m ou m′m = A, et il nous suffit de montrer que m′m contient un élément qui n’est pas dans m. Soit t dans m et non dans m^{2}. Par le Lemme 4.5.3 il existe r ≥ 1 un entier, et m = m_{1}, m_{2} …, m_{r} des idéaux maximaux distincts de A, et des entiers n_{1}, …, n_{r}, tel que :

At ⊃ m_{1}^{n_{1}} ⋯ m_{r}^{n_{r}}.

Comme les m_{i} sont maximaux, on a m_{i} + m_{j} = A si i ≠ j. En prenant des puissances, on a m_{i}^{n_{i}} + m_{j}^{n_{j}} = A si i ≠ j. Le théorème Chinois donne un isomorphisme :

f: A/m_{1}^{n_{1}} ⋯ m_{r}^{n_{r}} ⟶^{∼} A/m_{1}^{n_{1}} × ⋯ × A/m_{r}^{n_{r}}, \overline{x} ↦ (x_{1}, …, x_{r}),

où x_{i} est la classe de x modulo m_{i}^{n_{i}}. Prenons u dans A tel que (u_{1}, …, u_{r}) = (1, 0, …, 0). Montrons que t^{−1}u est dans m′, c’est à dire, que pour tout x dans m on a t^{−1}ux dans A. La condition t^{−1}ux ∈ A est équivalente à ux ∈ tA, et encore équivalente à \overline{ux} ∈ \overline{t}\overline{A}, avec \overline{A} = A/m_{1}^{n_{1}} ⋯ m_{r}^{n_{r}}. Via l’isomorphisme f, la dernière condition devient : x_{1} ∈ (t_{1}) dans l’anneau A/m^{n_{1}}. Comme t est dans m et non dans m^{2}, et que m/m^{2} est de dimension un, il existe a_{1} dans a tel que x = a_{1}t + x_{2}, avec x_{2} dans m^{2}. Ensuite, pour tout n ≥ 1, t^{n} engendre m^{n}/m^{n+1}, ce qui fait qu’il existe des a_{i} dans A tels que x = a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n} + x_{n+1} avec x_{n+1} dans m^{n+1}. En prenant n ≥ n_{1} on obtient que dans A/m^{n_{1}} on a l’identité x = a_{1}t + ⋯ + a_{n}t^{n}, donc que x_{1} ∈ (t_{1}). On sait donc que t^{−1}u est dans m′. Mais alors u = tt^{−1}u est dans m′m. Comme u n’est pas dans m (car u_{1} = 1) on conclut que m′m = A.

Montrons que (2) implique (1). Par définition, il nous faut montrer que A est intégralement clos. Soit donc x dans K et supposons que x soit entier sur A. Alors il existe n ≥ 1 et des a_{i} dans A tel que :

x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0} = 0.

Vu la Proposition 4.8.3, pour montrer que x est dans A, il suffit de montrer que v_{m}(x) ≥ 0 pour tout idéal premier non nul m de A. Supposons donc que m soit un tel idéal et que v_{m}(x) < 0. Alors on a, par les propriétés de v_{m} :

v_{m}(x^{n}) = nv_{m}(x) < v_{m}(x^{n−1}) ≤ v_{m}(a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}),

ce qui contredit que −x^{n} = a_{n−1}x^{n−1} + ⋯ + a_{0}. □

4.11 Quelques critères pour que A = K_{ℤ}.

Pour que les beaux résultats que l’on vient de voir, et ceux que nous verrons, soient exploitables, il faudra aussi avoir un moyen de calculer, pour un K donné, l’anneau des entiers K_{ℤ}. Bien qu’on n’a pas (et on ne s’attend pas à l’avoir un jour) d’algorithme polynômial pour faire un tel calcul (en fait, il faudrait d’abord expliciter les données de départ, et le format dans lequel on aimerait la réponse), il est utile d’avoir quelques critères pour voir si un sous-anneau A de K_{ℤ} est égal à K_{ℤ}, ou pour voir quels premiers divisent |K_{ℤ}/A|.

Commençons par une propriété du discriminant, qui est défini dans le lemme 5.5.5 et la définition 5.5.6.

4.11.1 Proposition. Soit K un corps de nombres, et A un sous-anneau d’indice fini de K_{ℤ}. Alors p|discr(A) si et seulement si A/pA n’est pas réduit.

Preuve. En effet, si k est un corps, et A une k-algèbre de dimension finie en tant que k-espace vectoriel, on a discr(A) = 0 si A n’est pas réduit, car la forme trace est alors dégénérée. D’autre part, si k est parfait, comme 𝔽_{p} par exemple, une k-algèbre de dimension finie et réduite est un produit fini d’extensions séparables de k, donc telle que la forme trace est non dégénérée. □

4.11.2 Proposition. (Lemme de Nakayama) Soit A un anneau, m dans A un idéal maximal, et M un A-module de type fini. Supposons que mM = M. Alors il existe un élément a de A qui n’est pas dans m tel que aM = 0.

Preuve. Soient m_{1}, …, m_{n} des générateurs de M. Soit f: A^{n} → M le morphisme de Amodules tel que f(e_{i}) = m_{i}. Par hypothèse, il existe des x_{i,j} dans m tels que :

m_{i} = ∑_{j} x_{i,j}m_{j}.

Alors on voit, comme dans la preuve de la Proposition 3.1.3, que M est annulé par det(1 − x), qui n’est pas dans m. □

4.11.3 Théorème. Soit K un corps de nombres, et A ⊂ K_{ℤ} un sous-anneau d’indice fini. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. A = K_{ℤ};

2. pour tout idéal maximal m de A, on a dim_{A/m}(m/m^{2}) = 1 ;

3. pour tout idéal maximal m de A, on a dim_{A/m}(m/m^{2}) ≤ 1 ;

4. pour tout premier p tel que p^{2} divise discr(A), et pour tout tout idéal maximal m ⊂ A contenant p, on a dim_{A/m}(m/m^{2}) ≤ 1 ;

Preuve. Le Théorème 4.10.1 montre que (1) et (2) sont équivalentes. Il est clair que (2) implique (3) et que (3) implique (4). D’après la Proposition précédente, on a m^{2} ≠ m pour tout idéal maximal m de A, donc les conditions dim_{A/m}(m/m^{2}) ≤ 1 et dim_{A/m}(m/m^{2}) = 1 sont équivalentes. Il ne reste donc qu’à montrer que (4) implique (3).

Soit donc p un nombre premier tel que p^{2} ne divise pas discr(A) et soit m un idéal maximal de A contenant p. Nous devons montrer que dim_{A/m}(m/m^{2}) ≤ 1. Posons n := |K_{ℤ}/A|. Alors on montre dans les exercices que discr(A) = n^{2}discr(K_{ℤ}). On voit donc que p ne divise pas n. Il en résulte que la réduction modulo p^{2} induit un isomorphisme d’anneaux :

A/p^{2}A ⟶^{∼} K_{ℤ}/p^{2}K_{ℤ}.

On en déduit que les idéaux maximaux de A qui contiennent p sont en bijection avec ceux de K_{ℤ}, et que les m/m^{2} sont de dimension un. □

4.11.4 Exemple. Traitons par exemple le cas de K = ℚ(2^{1/3}) = ℚ[x]/(f), avec f = x^{3} − 2. Prenons notre candidat A := ℤ[2^{1/3}] pour K_{ℤ}, et appliquons le critère. Il y a deux façons de calculer le discriminant de A : on peut le faire avec la définition, c’est à dire, en calculant le déterminant de la forme trace de A, ou en calculant de discriminant de f (en TD on verra que les deux sont égaux). Pour calculer le discriminant, on peut utiliser des algorithmes pour le calcul de résultants. De toute façon, dans ce cas on trouve discr(A) = −3·6·6 = −2^{2}3^{3}. Les premiers dont nous nous méfions sont donc 2 et 3. Comme A/2A = 𝔽_{2}[x]/(x^{3}), il n’y a qu’un seul idéal maximal de A qui contient 2, à savoir m_{2} := (2, \overline{x}), mais celui-là est engendré par \overline{x} tout seul, car dans A on a 2 = \overline{x}^{3}, donc m_{2}/m_{2}^{2} est de dimension au plus un sur A/m_{2}. Comme A/3A = 𝔽_{3}[x]/(x^{3} + 1) et que x^{3} + 1 = (x + 1)^{3} sur 𝔽_{3}, on pose y = x + 1, et l’on calcule : x^{3} − 2 = y^{3} − 3y^{2} + 3y − 3, donc A = ℤ[y]/(y^{3} − 3y^{2} + 3y − 3), (polynôme d’Eisenstein !) et on voit qu’il n’y a qu’un seul idéal maximal de A qui contient 3, à savoir m_{3} = (3, y). Ici encore, m_{3} est principal, car engendré par \overline{y}, donc m_{3}/m_{3}^{2} est de dimension au plus un sur A/m_{3}. On conclut que A = K_{ℤ}.

5 Finitude du groupe des classes d’idéaux.

Pour K une extension finie de ℚ, nous avons défini le groupe de classes d’idéaux C(K_{ℤ}) comme le quotient I(K_{ℤ})/P (K_{ℤ}). Le but est maintenant de montrer que les C(K_{ℤ}) sont finis. Pour le faire, nous allons montrer que tout élément de C(K_{ℤ}) est représenté par un idéal a de K_{ℤ} qui est “petit” dans le sens que K_{ℤ}/a est petit. Le cardinal de K_{ℤ}/a sera appelé la norme de a.

5.1 La norme.

5.1.1 Définition. Soit A un anneau, et B une A-algèbre qui est libre de rang fini en tant que A-module. Pour b dans B on appelle norme de b sur A le déterminant de l’endomorphisme ·b: B → B, x ↦ xb du A-module B; c’est un élément de A que l’on notera N_{B/A}(b). Pour tous b_{1} et b_{2} dans B on a N_{B/A}(b_{1}b_{2}) = N_{B/A}(b_{1})N_{B/A}(b_{2}).

5.1.2 Remarque. Par rapport à une A-base de B, N_{B/A}: B → A est donné par un polynôme homogène de degré rang_{A}(B) en rang_{A}(B) variables.

Soit maintenant K une extension finie de ℚ, d son degré, et ϕ_{1}, …, ϕ_{d} les d plongements de K dans ℂ.

5.1.3 Proposition. 1. Pour tout x dans K on a : Tr_{K/ℚ}(x) = ϕ_{1}(x) + ⋯ + ϕ_{d}(x). 2. Pour tout x dans K on a : N_{K/ℚ}(x) = ϕ_{1}(x) ⋯ ϕ_{d}(x).

3. Pour tout x dans K_{ℤ}, Tr_{K/ℚ}(x) et N_{K/ℚ}(x) sont dans ℤ.

4. Pour tout x dans K_{ℤ}^{∗}, N_{K/ℚ}(x) est 1 ou −1.

5. Pour x ≠ 0 dans K_{ℤ}, on a |K_{ℤ}/xK_{ℤ}| = |N_{K/ℚ}(x)|.

Preuve. On utilise la proposition 3.3.4 pour les parties 1 et 2. La partie 3 résulte des propriétés d’intégralité. La partie 4 résulte de 3. La dernière partie a déjà été vue en TD (c’est à dire, figure parmi les exercices). □

5.1.4 Définition. Pour a un idéal non nul de K_{ℤ}, nous définissons sa norme N_{K/ℚ}(a) par : N_{K/ℚ}(a) := |K_{ℤ}/a|.

Pour x dans K_{ℤ} on a donc : |N(x)| = N(K_{ℤ}x).

5.1.5 Proposition. Si a et b sont des idéaux non nuls de K_{ℤ}, on a N(ab) = N(a)N(b). En particulier, on a N(a) = ∏_{p} N(p)^{v_{p}(a)}, où p parcourt l’ensemble des idéaux maximaux de K_{ℤ}.

Preuve. Il suffit de le montrer dans le cas où b est un idéal maximal m. Dans ce cas, on a une suite exacte de K_{ℤ}-modules :

0 ⟶ a/am ⟶ K_{ℤ}/am ⟶ K_{ℤ}/a ⟶ 0.

Ensuite, on utilise que a/am est un K_{ℤ}/m-espace vectoriel de dimension un. □

5.2 Le cas de ℚ(\sqrt{−5}).

Nous considérons ℚ(\sqrt{−5}) comme sous-anneau de ℂ, en envoyant \sqrt{−5} vers \sqrt{5}i. L’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{−5}) est ℤ[\sqrt{−5}], de ℤ-base (1, \sqrt{−5}).

Soit a un idéal non nul de ℤ[\sqrt{−5}]. Essayons de trouver un élément x ≠ 0 de a tel que |x| soit petit, et de voir après à quoi cela peut bien servir. Pour r > 0 réel, notons B(r) la boule fermée {z ∈ ℂ | |z| ≤ r}. Nous considérons, pour r ≥ 0, les morphismes suivants :

B(r) ↪ ℂ ⟶ ℂ/a,

de groupes additifs (a n’est pas un idéal dans ℂ!). On a :

Vol(B(r)) = πr^{2}, Vol(ℂ/ℤ[\sqrt{−5}]) = \sqrt{5}, Vol(ℂ/a) = N(a)\sqrt{5}.

Pour la dernière égalité, utiliser la suite exacte :

0 ⟶ ℤ[\sqrt{−5}]/a ⟶ ℂ/a ⟶ ℂ/ℤ[\sqrt{−5}] ⟶ 0,

ou raisonner en termes de domaines fondamentaux (celui pour a est réunion disjointe de N(a) copies de celui de ℤ[\sqrt{−5}]). Prenons maintenant r tel que Vol(B(r)) > Vol(ℂ/a), c’est à dire :

r > r_{0} = (\frac{N(a)\sqrt{5}}{π})^{1/2} .

Alors l’application ci-dessus de B(r) vers ℂ/a n’est pas injective, donc il existe y et z dans B(r), distincts, tel que x := y − z est dans a. Nous avons donc obtenu un x ≠ 0 dans a avec |x| ≤ 2r. Ceci vaut pour tout r > r_{0}. Comme les B(2r) sont compactes, les B(2r) ∩ (a − {0}) le sont aussi, donc leur intersection, prise sur tous les r > r_{0}, n’est pas vide (car aucune intersection finie n’est vide). Donc, en fait, nous avons montré l’existence d’un x ≠ 0 dans a avec |x| ≤ 2r_{0}. Considérons maintenant la suite d’inclusions d’idéaux :

ℤ[\sqrt{−5}] ⊃ a ⊃ ℤ[\sqrt{−5}]x = ab,

où la dernière égalité est la définition de b. Cela montre que a^{−1} est égal à b dans C(ℤ[\sqrt{−5}]), et que :

N(b) = N(ℤ[\sqrt{−5}]x)/N(a) = N(x)/N(a) = |x|^{2}/N(a) ≤ 4\sqrt{5}/π < 3.

Nous en concluons que tout élément de C(ℤ[\sqrt{−5}]) est représenté par un idéal de norme au plus 2 de ℤ[\sqrt{−5}]. Mais les seuls idéaux de norme au plus 2 sont ℤ[\sqrt{−5}] et m_{2} := (2, 1 + \sqrt{−5}), ce qui montre que C(ℤ[\sqrt{−5}]) a au plus 2 éléments. Comme m_{2} n’est pas principal (la norme de a + b\sqrt{−5} est a^{2} + 5b^{2}), on conclut que C(ℤ[\sqrt{−5}]) = ℤ/2ℤ.

5.2.1 Théorème. C(ℤ[\sqrt{−5}]) = ℤ/2ℤ.

5.3 Application.

5.3.1 Théorème. L’équation y^{2} = x^{3} − 5 n’a pas de solution dans ℤ.

Preuve. Par contradiction. Supposons que x et y sont dans ℤ, tel que y^{2} = x^{3} − 5. Alors nous avons, dans ℤ[\sqrt{−5}] :

x^{3} = y^{2} + 5 = (y + \sqrt{−5})(y − \sqrt{−5}).

Notons que l’idéal (y + \sqrt{−5}, y − \sqrt{−5}) contient (2\sqrt{−5}) = m_{2}^{2}m_{5}. Notons P l’ensemble des idéaux maximaux de ℤ[\sqrt{−5}]. Alors, si p est dans P − \{m_{2}, m_{5}\}, au plus l’un d’entre v_{p}(y + \sqrt{−5}) et v_{p}(y − \sqrt{−5}) est > 0, et donc tous ces v_{p}(y + \sqrt{−5}) et v_{p}(y − \sqrt{−5}) sont divisibles par 3. D’autre part, \overline{m_{2}} = m_{2} et \overline{m_{5}} = m_{5}, donc v_{m_{2}}(y + \sqrt{−5}) = v_{m_{2}}(y − \sqrt{−5}), donc v_{m_{2}}(y + \sqrt{−5}) et v_{m_{2}}(y − \sqrt{−5}) sont divisibles par 3. Le même argument montre que v_{m_{5}}(y + \sqrt{−5}) et v_{m_{5}}(y − \sqrt{−5}) sont divisibles par 3. On en conclut qu’il existe un idéal a de ℤ[\sqrt{−5}] tel que (y + \sqrt{−5}) = a^{3}. Comme C(ℤ[\sqrt{−5}]) est d’ordre 2, a est principal, disons a = (u). Mais alors, quitte à remplacer u par −u, on a u^{3} = y + \sqrt{−5}. En écrivant u = n + m\sqrt{−5}, ceci donne rapidement une contradiction. □

On peut voir, mais ce n’est pas facile, qu’il n’y a pas d’obstruction de signe ni de congruence qui permet de montrer ce résultat (en effet, il y a des solutions dans ℝ, et dans tous les ℤ/p^{n}ℤ avec p premier et n ≥ 1).

5.4 Le cas des corps quadratiques réels.

Soit d > 1 un entier sans facteur carré. Notons K := ℚ(\sqrt{d}) et A := K_{ℤ} son anneau des entiers. Rappelons-nous que A = ℤ[(1+\sqrt{d})/2] si d ≡ 1 modulo 4, et A = ℤ[\sqrt{d}] sinon. Notons ϕ_{1} et ϕ_{2} les deux plongements de K dans ℝ, et ϕ: K → ℝ^{2} le morphisme d’anneaux donné par ϕ(x) = (ϕ_{1}(x), ϕ_{2}(x)). Nous observons d’abord que

Vol(ℝ^{2}/ϕ(ℤ[\sqrt{d}])) = |det (\begin{matrix}1 & \sqrt{d} \\ 1 & −\sqrt{d} \end{matrix})| = 2\sqrt{d}.

On en conclut que Vol(ℝ^{2}/ϕ(A)) = \sqrt{d} si d ≡ 1 modulo 4, et 2\sqrt{d} = \sqrt{4d} sinon. D’autre part, calculons le discriminant discr(A) de A. Par définition, c’est le déterminant de la matrice de la forme trace par rapport à n’importe quelle ℤ-base de A (cela ne dépend pas du choix car le déterminant d’un élément g de GL_{2}(ℤ) est ±1, et la matrice en question change par m ↦ g^{t}mg). Par rapport à la ℤ-base (1, \sqrt{d}) de ℤ[\sqrt{d}], la matrice de la forme trace est ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2d \end{matrix}), donc de déterminant 4d. Il en résulte que :

discr(A) = \{ \begin{matrix}d si d ≡ 1 modulo 4, \\ 4d si d ≢ 1 modulo 4. \end{matrix}

On conclut que :

Vol(ℝ^{2}/ϕ(A)) = |discr(A)|^{1/2}.

Soit maintenant a ⊂ A un idéal non nul. On a alors :

Vol(ℝ^{2}/ϕ(a)) = N(a)Vol(ℝ^{2}/ϕ(A)) = N(a)|discr(A)|^{1/2}.

Comme dans le cas imaginaire, nous allons nous servir d’une norme ∥·∥ sur le ℝ-espace vectoriel dans lequel nous travaillons : ici c’est ℝ^{2}. Nous prenons, comme tout le monde, d’ailleurs, la norme donnée par ∥(x, y)∥ = |x| + |y|. La raison de ce choix devient claire dans un dessin, où l’on voit que ce choix maximise le volume de la “boule” B(∥·∥, r) := {z ∈ ℝ^{2} | ∥z∥ ≤ r} sous la condition que cette boule soit contenue dans {(x, y) ∈ ℝ^{2} | |xy| ≤ 1}. (Notons qu’en fait toutes les métriques ∥(x, y)∥ = α|x| + β|y| avec αβ = 1, α > 0 et β > 0 sont aussi bonnes.)

L’identité (x + y)^{2} − 4xy = (x − y)^{2} montre que pour tout x dans K on a :

|N(x)| = |ϕ_{1}(x)ϕ_{2}(x)| ≤ (1/4)∥ϕ(x)∥^{2}.

Comme B(∥·∥, r) est un carré de côté \sqrt{2}r, on a :

Vol(B(∥·∥, r)) = 2r^{2}.

Prenons maintenant r_{0} tel que 2r_{0}^{2} = Vol(ℝ^{2}/ϕ(a)), donc :

r_{0} = (\frac{N(a) |discr(A)|^{1/2}}{2} )^{1/2} .

Par le même argument que dans le cas imaginaire, on voit qu’il existe un x ≠ 0 dans a, tel que ∥x∥ ≤ 2r_{0}. Prenons un tel x. On a alors :

|N(x)| ≤ (1/4)∥ϕ(x)∥^{2} ≤ (1/4)4r_{0}^{2} = \frac{N(a) |discr(A)|^{1/2}}{2} .

D’autre part, on a la suite d’inclusions d’idéaux de A :

A ⊃ a ⊃ Ax = ab,

où la dernière égalité est la définition de b. Pour ce b :

N(b) = \frac{|N(x)|}{N(a)} ≤ \frac{|discr(A)|^{1/2}}{2} .

On en conclut le résultat suivant.

5.4.1 Théorème. Soit K un corps quadratique réel. Alors tout élément du groupe de classes d’idéaux C(K_{ℤ}) a un représentant qui est un idéal de K_{ℤ} de norme au plus 2^{−1}|discr(K_{ℤ})|^{1/2}.

5.4.2 Exemple. ℤ[\sqrt{7}] est principal. En effet, il suffit de voir que tout idéal b de norme au plus \sqrt{7} < 3 est principal. Comme ℤ[\sqrt{7}]/(2) = 𝔽_{2}[x]/(x^{2} + 1), il suffit de voir que (2, 1 + \sqrt{7}) est principal. Comme N(3 + \sqrt{7}) = 3^{2} − 7 = 2, c’est le cas.

5.5 Bornes dans le cas général.

Soit K une extension finie de ℚ, d son degré, et ϕ_{1}, …, ϕ_{d} les plongements distincts de K dans ℂ, numérotés de la façon suivante : \overline{ϕ_{i}} = ϕ_{i} si 1 ≤ i ≤ r_{1}, et \overline{ϕ_{r_{1}+i}} = ϕ_{r_{1}+r_{2}+i} si 1 ≤ i ≤ r_{2}. On a donc d = r_{1} + 2r_{2}.

5.5.1 Exemple. Prenons K := ℚ(2^{1/3}). Le polynôme minimal de 2^{1/3} est x^{3}−2, ses trois racines dans ℂ sont 2^{1/3}, 2^{1/3}j, et 2^{1/3}j^{2}. On a donc ϕ_{1}(2^{1/3}) = 2^{1/3}, et on peut prendre ϕ_{2}(2^{1/3}) = 2^{1/3}j et ϕ_{3}(2^{1/3}) = 2^{1/3}j^{2}.

Nous plongeons K dans ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}} en utilisant les ϕ_{i} :

ϕ: K → ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}, x ↦ ϕ(x) := (ϕ_{1}(x), …, ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x)).

Cette application ϕ est un morphisme de ℚ-algèbres. Dans la suite, nous utilisons la ℝ-base (1, i) de ℂ pour passer de ℂ à ℝ^{2}. Par exemple, nous noterons également ϕ l’application suivante, obtenue en composant le ϕ en haut par l’isomorphisme ℂ^{r_{2}} → ℝ^{2r_{2}} :

ϕ: K → ℝ^{d}

x ↦ (ϕ_{1}(x), …, ϕ_{r_{1}}(x), Re(ϕ_{r_{1}+1}(x)), Im(ϕ_{r_{1}+1}(x)), …, Re(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x)), Im(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x))).

Pour simplifier la notation dans ce qui va suivre, nous posons K_{ℝ} := ℝ^{r_{1}} ×ℂ^{r_{2}}. Ceci est d’autant plus justifié par le fait que le morphisme naturel de ℝ-algèbres ℝ ⊗_{ℚ} K → K_{ℝ} est un isomorphisme (cela se voit en prenant un élément primitif x de K, et en écrivant K = ℚ[t]/(f), avec f le polynôme minimal de x). En fait, il est plus naturel de plonger K dans ℝ ⊗_{ℚ} K que dans K_{ℝ}, car cela évite le choix d’une numérotation des ϕ_{i}.

Nous avons vu que pour tout x dans K, on a :

N_{K/ℚ}(x) = |ϕ_{1}(x)| ⋯ |ϕ_{r_{1}}(x)|·|ϕ_{r_{1}+1}(x)|^{2} ⋯ |ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x)|^{2}.

Cela donne donc un diagramme commutatif :

\begin{matrix}K & ⟶^{ϕ} & K_{ℝ} \\ ↓^{N_{K/ℚ}} & ↓^{N} \\ ℚ & ⟶^{|·|} & ℝ \end{matrix} N: (x, z) ↦ |x_{1}| ⋯ |x_{r_{1}}|·|z_{1}|^{2} ⋯ |z_{r_{2}}|^{2}.

Remarquons que l’apparition des exposants 2 au coordonnées qui correspondent aux facteurs ℂ n’a rien de surprenant, car la norme est le déterminant de la multiplication par l’élément en question (et donc sa valeur absolue mesure le facteur par lequel changent les volumes).

Comme dans le cas des corps quadratiques réels, il faudra choisir une norme sur le ℝ-espace vectoriel K_{ℝ}. Pour rendre optimal les résultats qui suivent, on fait le choix suivant :

∥(x, z)∥ := |x_{1}| + ⋯ + |x_{r_{1}}| + 2|z_{1}| + ⋯ + 2|z_{r_{2}}|.

5.5.2 Remarque. Dans [Samuel], on ne voit pas de norme qui apparaît, mais plutôt le choix d’une partie intégrable, convexe et symétrique par rapport à l’origine de K_{ℝ}. Cela revient au même (sauf peut-être si on voulait utiliser de telles parties assez sauvages pour qu’elles ne proviennent pas d’une norme). Si ∥·∥ est une norme, on lui associe la partie B(∥·∥, 1), la “boule” fermée de rayon un.

5.5.3 Lemme. Pour tout (x, z) dans K_{ℝ} on a :

|N(x, z)|^{1/d} ≤ \frac{∥(x, z)∥}{d}

Preuve. C’est l’inégalité “moyenne géométrique” ≤ “moyenne arithmétique”. Elle résulte de la convexité du logarithme. En effet, si 0 < x < y, le segment de (x, log(x)) à (y, log(y)) est l’ensemble des (ax + by, a log(x) + b log(y)) avec a ≥ 0, b ≥ 0 et a + b = 1, d’où a log(x) + b log(y) ≤ log(ax + by). □

5.5.4 Lemme. Pour r ≥ 0, on a Vol(B(∥·∥, r)) = 2^{r_{1}}(π/2)^{r_{2}}r^{d}/d!.

Preuve. Par récurrence sur r_{1} et r_{2}. Si r_{1} > 0, on a :

Vol(B_{r_{1},r_{2}}(r)) = ∫_{x=−r}^{r} Vol(B_{r_{1}−1,r_{2}}(r − |x|)) dx = 2 ∫_{x=0}^{r} Vol(B_{r_{1}−1,r_{2}}(r − x)) dx =

= 2 ∫_{x=0}^{r} 2^{r_{1}−1} (\frac{π}{2} )^{r_{2}} \frac{(r − x)^{r_{1}−1+2r_{2}}}{(r_{1} − 1 + 2r_{2})!} dx = ⋯

Si r_{1} = 0 et r_{2} > 0, on a :

Vol(B_{0,r_{2}}(r)) = ∫_{|z|≤r/2} Vol(B_{0,r_{2}−1}(r − 2|z|)) dx dy =
= 2π ∫_{ρ=0}^{r/2} Vol(B_{0,r_{2}−1}(r − 2ρ)) dρ = ⋯,

où nous avons écrit z = x + iy = ρe^{iϕ}. □

La chose suivante que nous voulons est une expression pour Vol(K_{ℝ}/K_{ℤ}).Rappelons que nous avons déjà vu que K_{ℤ} est discret dans K_{ℝ} (ce qui est d’autant plus clair après la remarque que le plongement de K_{ℤ} dans K_{ℝ} est, à un isomorphisme près, celui de K_{ℤ} dans ℝ⊗_{ℤ}K_{ℤ}. Nous allons voir qu’en effet ce volume s’exprime naturellement en termes du déterminant d’une matrice de la forme trace de K_{ℤ}.

5.5.5 Lemme. Soit M un ℤ-module libre de rang fini, et b: M × M → ℤ une forme bilinéaire. Pour e une base de M, notons mat_{e}(b) la matrice de b par rapport à e. Alors les déterminants det(mat_{e}(b)), avec e une base de M, sont tous égaux, et on définit le discriminant de b, noté discr(b), comme étant cet entier.

5.5.6 Définition. Pour K un corps de nombres on définit le discriminant de K_{ℤ} comme le discriminant de la forme trace sur K_{ℤ}. De même pour des sous-anneaux d’indice fini dans K_{ℤ}.

5.5.7 Proposition. Soit K un corps de nombres.

1. Vol(K_{ℝ}/K_{ℤ}) = 2^{−r_{2}}|discr(K_{ℤ})|^{1/2}.

2. Pour tout idéal a non nul de K_{ℤ}, on a Vol(K_{ℝ}/a) = 2^{−r_{2}}|discr(K_{ℤ})|^{1/2}N(a).

Preuve. Bien sûr, le deuxième énoncé résulte directement du premier. Soit x := (x_{1}, …, x_{d}) une ℤ-base de K_{ℤ}. Alors :

Vol(K_{ℝ}/K_{ℤ}) = |det (\begin{matrix}ϕ_{1}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{1}(x_{d}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ Re(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{1})) & ⋯ & Re(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{d})) \\ Im(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{1})) & ⋯ & Im(ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{d})) \end{matrix})|

= 2^{−r_{2}} |det (\begin{matrix}ϕ_{1}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{1}(x_{d}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ ϕ_{r_{1}+1}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{r_{1}+1}(x_{d}) \\ ϕ_{r_{1}+r_{2}+1}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{r_{1}+r_{2}+1}(x_{d}) \\ ⋮ & & ⋮ \\ ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x_{d}) \\ ϕ_{r_{1}+2r_{2}}(x_{1}) & ⋯ & ϕ_{r_{1}+2r_{2}}(x_{d}) \end{matrix})|

= 2^{−r_{2}}| det(a)|, avec a_{i,j} = ϕ_{i}(x_{j}).

Vient maintenant l’astuce :

(a^{t}a)_{i,j} = ∑_{k}(a^{t})_{i,k}a_{k,j} = ∑_{k} a_{k,i}a_{k,j} = ∑_{k} ϕ_{k}(x_{i})ϕ_{k}(x_{j}) = Tr_{K/ℚ}(x_{i}x_{j}).

On en conclut que

det(a)^{2} = det(a) det(a) = det(a^{t}) det(a) = det(a^{t}a)) = discr(K_{ℤ}).
□

5.5.8 Théorème. Soit K un corps de nombres, d son degré, r_{1} et r_{2} le nombre de facteurs ℝ et ℂ dans K_{ℝ}.

1. Soit a un idéal non nul de K_{ℤ}. Alors il existe un x non nul dans a tel que :

N(x) ≤ (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{d!}{d^{d}} |discr(K_{ℤ})|^{1/2}N(a).

2. Tout élément de C(K_{ℤ}) est représenté par un idéal a de K_{ℤ} tel que :

N(a) ≤ (\frac{4}{π} )^{r_{2}} \frac{d!}{d^{d}} |discr(K_{ℤ})|^{1/2}.

3. C(K_{ℤ}) est fini.

Preuve. On procède comme on l’a déjà fait dans le cas des corps quadratiques réels. Pour la finitude de C(K_{ℤ}), notons simplement qu’un idéal a de K_{ℤ} d’indice n contient n, donc est l’image réciproque de son image dans l’anneau fini K_{ℤ}/nK_{ℤ}. □

Nous terminons cette section avec un exemple amusant.

5.5.9 Théorème. L’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{−163}) est factoriel. Les nombres n^{2} − n + 41 avec n entier et −40 < n < 41 sont tous des nombres premiers.

Preuve. On vérifie que 163 est premier, et que −163 est congru à 1 modulo 4. L’anneau des entiers A de ℚ(\sqrt{−163}) est donc ℤ[u], avec u = (1 + \sqrt{−163})/2. Le polynôme minimal de u est f := x^{2} − x + 41, donc A = ℤ[u] = ℤ[x]/(f).

Montrons que A est factoriel. Comme il est de Dedekind, cela revient à montrer que son groupe de classes d’idéaux est trivial. Le théorème précédent donne qu’il suffit de vérifier que les idéaux de norme au plus 2\sqrt{163}/π sont principaux (discr(A) = −163). Il suffit donc de vérifier que les idéaux maximaux contenant 2, 3, 5 ou 7 sont principaux. Cela résulte de ce que f est irréductible dans 𝔽_{p}[x] pour tous les p dans cette liste. On a donc montré que A est factoriel.

Pour montrer le deuxième énoncé sans vérifier cela cas par cas, on utilise une propriété de la norme. Un calcul montre que N(a + bu) = a^{2} + ab + 41b^{2} = (a + b/2)^{2} + (41 − 1/4)b^{2}, pour a et b dans ℚ. On voit donc que pour a et b dans ℤ avec b ≠ 0, on a N(a + bu) ≥ 41.

Soit p un nombre premier et supposons que f est réductible dans 𝔽_{p}[x]. Alors A a un idéal de norme p, donc un élément de norme p. Donc f est irréductible dans 𝔽_{p}[x] si p < 41.

Si p est premier et divise un nombre de la forme n^{2} −n+41, alors f a une racine dans 𝔽_{p}. On en déduit que si p est premier et divise n^{2} −n+41 pour un n dans ℤ, alors p ≥ 41. On en conclut que si |n^{2} − n + 41| < 41^{2}, alors n^{2} − n + 41 est premier. Pour finir : on a |n^{2} − n| < 41^{2} − 41 si et seulement si −40 < n < 41. □

6 Le théorème des unités.

6.1 Théorème. Soit K un corps de nombres.

1. Pour x dans K_{ℤ} on a x ∈ K_{ℤ}^{∗} ⟺ N_{K/ℚ}(x) = ±1.

2. Le groupe (K_{ℤ}^{∗})_{tors} est cyclique et fini ; on a (K_{ℤ}^{∗})_{tors} = μ(K) := K_{tors}^{∗}, le groupe des racines de l’unité dans K.

3. Le quotient K_{ℤ}^{∗}/μ(K) est libre de rang r_{1}+r_{2}−1, où r_{1} (resp. r_{2}) est le nombre de facteurs ℝ (resp. ℂ) dans K_{ℝ} = ℝ ⊗_{ℚ} K.

Preuve. Soit x dans K_{ℤ}. Si x est dans K_{ℤ}^{∗}, alors 1 = N(1) = N(x^{−1}x) = N(x^{−1})N(x), avec N(x^{−1}) et N(x) dans ℤ. Si N(x) = ±1, alors ·x: K_{ℤ} → K_{ℤ} est un isomorphisme de ℤ-modules (car de déterminant inversible), donc il existe y dans K_{ℤ} tel que yx = 1. Les autres assertions prendront plus de temps. Nous numérotons les plongements ϕ_{i}: K → ℂ comme avant, ainsi que ϕ: K → K_{ℝ}. Notons d := dim_{ℚ}(K). Nous considérons le morphisme de groupes suivant :

L: K^{∗} ⟶^{ϕ} K_{ℝ}^{∗} = ℝ^{∗,r_{1}} × ℂ^{∗,r_{2}} ⟶^{|·|} (ℝ_{>0}^{∗})^{r_{1}+r_{2}} ⟶^{log} ℝ^{r_{1}+r_{2}},
x ↦ (log |ϕ_{1}(x)|, …, log |ϕ_{r_{1}+r_{2}}(x)|).

Comme pour tout x dans K_{ℤ}^{∗} on a 1 = |N(x)| = |ϕ_{1}(x) ⋯ ϕ_{d}(x)|, on constate que :

L(K_{ℤ}^{∗}) ⊂ H := {x ∈ ℝ^{r−1+r_{2}} | x_{1} + ⋯ + x_{r_{1}} + 2x_{r_{1}+1} + ⋯ + 2x_{r_{1}+r_{2}} = 0}.

6.1.1 Lemme. Pour tout r ≥ 0, l’ensemble {x ∈ K_{ℤ}^{∗} | ∀i: |L(x)_{i}| ≤ r} est fini.

Preuve. Pour un tel x, on a, pour tout i: | log |ϕ_{i}(x)|| ≤ r, d’où e^{−r} ≤ |ϕ_{i}(x)| ≤ e^{r}. Cela donne des bornes sur les coefficients du polynôme minimal f_{x} de x sur ℚ; bornes en termes de d et r seulement. Mais f_{x} est à coefficients dans ℤ, ce qui implique qu’il n’y a qu’un nombre fini de possibilités pour f_{x}, donc pour x. □

6.1.2 Corollaire. Le noyau de L|_{K_{ℤ}^{∗}}: K_{ℤ}^{∗} → ℝ^{r_{1}+r_{2}} est fini, et L(K_{ℤ}^{∗}) est discret dans H.

6.1.3 Lemme. ker(L|_{K_{ℤ}^{∗}}) = μ(K) = (K_{ℤ}^{∗})_{tors}.

Preuve. L’inclusion “ker(L|_{K_{ℤ}^{∗}}) ⊂ μ(K)” vient du corollaire. Si x est dans μ(K), x est entier sur ℤ (car racine d’un x^{n} − 1 avec n ≥ 1, et |ϕ_{i}(x)| = 1 pour tout i). □

Comme L(K_{ℤ}^{∗}) est discret dans H, L(K_{ℤ}^{∗}) est libre de rang au plus r_{1} + r_{2} − 1. Pour terminer, il suffit donc de montrer que L(K_{ℤ}^{∗}) contient r_{1} + r_{2} − 1 éléments ℝ-linéairement indépendants. Donc, en fait, nous montrons quelque chose plus fort que ce qui est demandé dans le théorème : L(K_{ℤ}^{∗}) est un réseau dans H. Pour simplifier la notation dans ce qui suit, nous ne traiterons que le cas où r_{2} = 0 (et r_{1} > 1). On a alors : d = r_{1}, K_{ℝ} = ℝ^{d}, et r_{1} + r_{2} − 1 = d − 1. Nous notons d_{K} := |discr(K)| et l := log(d_{K}^{1/2}) (on a d_{K} > 1 car K ≠ ℚ; voir les exercices).

6.1.4 Proposition. Pour tout i < d il existe un u_{i} dans K_{ℤ}^{∗} tel que :

|L(u_{i})_{i}| > (d − 2)l,
|L(u_{i})_{j}| ≤ l si i ≠ j < d.

Admettons pour l’instant cette proposition, et montrons que L(u_{1}), …, L(u_{d−1}) sont ℝ-liné-airement indépendants dans ℝ^{d}. Notons a_{i,j} := L(u_{i})_{j} pour 1 ≤ i, j < d. Donc a est dans M_{d−1}(ℝ). On écrit a = Δ + r, avec Δ la partie diagonale de a, et r la partie hors diagonale. Pour 0 ≠ v dans ℝ^{d−1} on a alors :

∥Δv∥_{sup} > (d − 2)l∥v∥_{sup}, ∥rv∥_{sup} ≤ (d − 2)l∥v∥_{sup},

d’où av ≠ 0. Il ne reste maintenant qu’à prouver la proposition. Preuve. (De la proposition.) Par symétrie, on peut supposer que i = d−1. Pour λ > 0 et μ > 0, nous définissons :

B_{λ,μ} := {x ∈ ℝ^{d} | |x_{i}| ≤ 1 si i < d − 1, |x_{d−1}| ≤ λ, |x_{d}| ≤ μ}.

Comme B_{λ,μ} est un produit d’intervalles, le calcul de son volume est immédiat, et donne :

Vol(B_{λ,μ}) = 2^{d}λμ.

L’argument de Minkowski dit que si Vol(\frac{1}{2}B_{λ,μ}) ≥ Vol(ℝ^{d}/ϕ(K_{ℤ})), alors B_{λ,μ} contient un élément non nul x de K_{ℤ}. Par les calculs déjà faits, on sait que Vol(ℝ^{d}/ϕ(K_{ℤ})) = d_{K}^{1/2}, et Vol(\frac{1}{2}B_{λ,μ}) = λμ. Nous prendrons donc toujours λ et μ tel que λμ = d_{K}^{1/2}, et nous noterons B_{λ,μ} simplement par B_{λ}. Nous prendrons en fait des λ de plus en plus grand.

Pour x non nul dans B_{λ} ∩ K_{ℤ} on sait :

1 ≤ |N(x)| = |ϕ_{1}(x) ⋯ ϕ_{d}(x)| ≤ λμ = d_{K}^{1/2},
|ϕ_{i}(x)| ≥ d_{K}^{−1/2} si i < d − 1,
|ϕ_{d−1}(x)| ≥ μ^{−1} = λd_{K}^{−1/2}.

Prenons c > 0 assez grand (c ≥ d_{K}^{(d−1)/2} suffira, par exemple). On prend λ_{1} := d_{K}^{1/4}, par exemple. Cela nous donne x_{1} dans B_{λ_{1}} ∩K_{ℤ}. On prend λ_{2} > cλ_{1}. Cela nous donne x_{2}. On prend λ_{3} > cλ_{2}, etc. Cela nous donne une suite x_{1}, x_{2}, … dans K_{ℤ}, avec, pour tout i, |N(x_{i})| ≤ d_{K}^{1/2}. Mais, pour tout B > 0, l’ensemble des idéaux de K_{ℤ} d’indice au plus B est fini (un idéal d’indice n contient nK_{ℤ}, donc provient d’un idéal du quotient fini K_{ℤ}/nK_{ℤ}). Nous prenons i < j tel que K_{ℤ}x_{i} = K_{ℤ}x_{j}. Mais alors u := x_{j}/x_{i} est dans K_{ℤ}^{∗}. Vérifions que ce u satisfait aux conditions de la proposition. On sait :

pour k < d − 1: ϕ_{k}(u) = ϕ_{k}(x_{j})/ϕ_{k}(x_{i}), d_{K}^{−1/2} ≤ |ϕ_{k}(x_{j})/ϕ_{k}(x_{i})| ≤ d_{K}^{1/2},
|ϕ_{d−1}(u)| = |ϕ_{d−1}(x_{j})/ϕ_{d−1}(x_{i})| ≥ λ_{j}d_{K}^{−1/2}/λ_{i} > cd_{K}^{−1/2}.

On a donc :

|L(u)_{i}| ≤ l, si i < d − 1,
|L(u)_{d−1}| ≥ log(c) − l.

On veut : log(c) − l ≥ (d − 2)l, ce qui équivaut à c ≥ l^{d−1}. □

□

6.1.5 Remarques. 1. Le cas r_{1} = 2, r_{2} = 0 est bien plus facile, et déjà bien intéressant.

2. Comparer à la sphère de Riemann ℙ^{1}(ℂ) = ℂ∪{∞}. Si on enlève r points de cette sphère, l’anneau A des fonctions méromorphes sur la sphère et holomorphe en dehors des points enlevés est isomorphe à ℂ^{∗} × ℤ^{r−1}, le facteur ℂ^{∗} correspond aux fonctions constantes, et le facteur ℤ^{r−1} mesure les pôles et zéros. Il paraît donc que les corps de nombres se comportent comme ℙ^{1}(ℂ) : si, en r points, on n’impose pas de condition, alors l’anneau qui résulte a comme groupe des unités, modulo les unités triviales, rang r − 1.

3. L’analogue du théorème des unités est vrai pour les courbes algébriques non singulières et projectives.

4. Si A ⊂ K_{ℤ} est un sous-anneau d’indice fini, alors A^{∗}/μ(A) est encore libre de rang r_{1} + r_{2} − 1 (sans preuve).

5. Avec les outils dont on dispose maintenant, on peut résoudre certaines équations, par exemple l’équation de Fermat en degré 5. En effet, on montre que l’anneau des entiers de ℚ(ζ_{5}) est ℤ[ζ_{5}], que le groupe des classes d’idéaux de ℤ[ζ_{5}] est trivial, et que ℤ[ζ_{5}]^{∗} est engendré par −ζ_{5} et le nombre d’or ζ_{5} + ζ_{5}^{−1}. Ensuite, on regarde dans [Swin].

6.2 Les corps quadratiques réels.

Soit d > 1 sans facteur carré, K := ℚ(\sqrt{d}). Nous rappelons que K_{ℤ} = ℤ[\sqrt{d}] si d ≢ 1 mod 4, et K_{ℤ} = ℤ[(1 + \sqrt{d})/2] si d ≡ 1 mod 4. Comme tout corps qui admet un plongement dans ℝ, μ(K) = {1, −1}. Le théorème des unités dit donc que K_{ℤ}^{∗} est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ.

6.2.1 Définition. On appelle unité fondamentale de K_{ℤ} un élément de K_{ℤ}^{∗} qui, ensemble avec −1, engendre K_{ℤ}^{∗}. Il y a donc exactement 4 de telles unités : si u en est un, les autres sont −u, u^{−1} et −u^{−1}.

Voici comment on peut procéder pour trouver les unités fondamentales. Si u = x + y\sqrt{d} ≠ ±1 (avec x et y dans \frac{1}{2}ℤ s’il le faut) est dans K_{ℤ}^{∗}, −u, u^{−1} et −u^{−1} sont des unités, et ce sont les quatre éléments ±x ± y\sqrt{d}. Exactement un d’entre u, −u, u^{−1} et −u^{−1}, appelons le v, est tel que ϕ_{1}(v) > 1 ; c’est celui avec x > 0 et y > 0. Pour L le “plongement” logarithmique L: K_{ℤ}^{∗} → ℝ·(1, −1) ⊂ ℝ^{2}, on a L(−u) = L(u), et L(u^{−1}) = L(−u^{−1}) = −L(u). Il en résulte que u = x + y\sqrt{d} dans K_{ℤ}^{∗} avec x > 0 et y > 0 est fondamentale si et seulement si x + y\sqrt{d} est minimal parmi les u + v\sqrt{d} avec u > 0 et v > 0 tels que u + v\sqrt{d} ∈ K_{ℤ} et u^{2} − dv^{2} = ±1.

Par exemple, 1 + \sqrt{2} est une unité fondamentale de ℤ[\sqrt{2}], et (1 + \sqrt{5})/2 est une unité fondamentale de ℤ[(1+\sqrt{5})/2]. Il y a une façon intéressante de calculer des unités fondamentales avec des fractions continues, ce qui n’est pas surprenant, car si x^{2} − dy^{2} = ±1, |x/y − \sqrt{d}| est petit ; voir la section suivante pour quelques détails.

Pour comparer K_{ℤ}^{∗} à ℤ[\sqrt{d}]^{∗}, démontrons la proposition suivante.

6.2.2 Proposition. Si d ≢ −3 mod 8, alors ℤ[\sqrt{d}]^{∗} = K_{ℤ}^{∗}. Si d ≡ −3 mod 8, ℤ[\sqrt{d}]^{∗} est d’indice 1 ou 3 dans K_{ℤ}^{∗}. Dans tous les cas, ℤ[\sqrt{d}]^{∗} est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ.

Preuve. Si d ≢ 1 mod 4, K_{ℤ} = ℤ[\sqrt{d}], donc K_{ℤ}^{∗} = ℤ[\sqrt{d}]^{∗}. Supposons donc que d ≡ 1 mod 4. Le polynôme minimal de (1 + \sqrt{d})/2 sur ℚ est t^{2} − t − (d − 1)/4. Donc K_{ℤ}/2K_{ℤ} est isomorphe, en tant qu’anneau, à 𝔽_{2}[t]/(t^{2} − t − (d − 1)/4). Si d ≡ 1 mod 8 cela donne 𝔽_{2} × 𝔽_{2}, et si d ≡ −3 mod 8 cela donne 𝔽_{4}.

D’autre part, notons f: K_{ℤ} → K_{ℤ}/2K_{ℤ} la réduction modulo 2. Comme ℤ[\sqrt{d}] est d’indice 2 dans K_{ℤ}, ℤ[\sqrt{d}] contient 2K_{ℤ}, et on a donc ℤ[\sqrt{d}] = f^{−1}f(ℤ[\sqrt{d}]), et f(ℤ[\sqrt{d}]) est d’indice 2 dans K_{ℤ}/2K_{ℤ}. Comme f(ℤ[\sqrt{d}]) est une 𝔽_{2}-sous-algèbre de K_{ℤ}/2K_{ℤ}, f(ℤ[\sqrt{d}]) contient 𝔽_{2}, qui est déjà d’indice 2 ; on conclut que f(ℤ[\sqrt{d}]) = 𝔽_{2}. On a donc ℤ[\sqrt{d}] = f^{−1}𝔽_{2}. (Bien sûr, on peut démontrer ceci également par un calcul.) Considérons maintenant la suite de morphismes de groupes :

ℤ[\sqrt{d}]^{∗} ⟶ K_{ℤ}^{∗} ⟶ (K_{ℤ}/2K_{ℤ})^{∗}.

Il est clair que ℤ[\sqrt{d}]^{∗} → K_{ℤ}^{∗} est injectif. Montrons que cette suite est exacte. Soit x dans ℤ[\sqrt{d}]^{∗}; alors l’image de x dans (K_{ℤ}/2K_{ℤ})^{∗} est dans 𝔽_{2}^{∗}, donc 1. Soit x dans K_{ℤ}^{∗} avec image 1 dans (K_{ℤ}/2K_{ℤ})^{∗}; alors x est dans f^{−1}𝔽_{2} = ℤ[\sqrt{d}], et de même pour x^{−1}, ce qui donne x ∈ ℤ[\sqrt{d}]^{∗}. Comme (𝔽_{2} × 𝔽_{2})^{∗} est trivial, et 𝔽_{4}^{∗} d’ordre 3, on obtient ce qu’il faut. □

Pour trouver une unité fondamentale de ℤ[\sqrt{d}] on peut procéder comme pour ℚ(\sqrt{d})_{ℤ}, mais en fait, c’est plus simple. Comme dans le cas précédent, on voit qu’il existe une unité fondamentale u = x + y\sqrt{d} avec x > 0 et y > 0 (x et y entiers, maintenant). Mais on constate alors que si on écrit u^{n} = x_{n} + y_{n}\sqrt{d}, alors y_{n} > y pour n > 1. Il en résulte que pour trouver u on teste pour y = 1, 2, … si dy^{2} ± 1 est un carré, et on arrête si tel est le cas, avec disons x^{2} − dy^{2} = ±1. Alors x + y\sqrt{d} est une unité fondamentale.

Nous sommes maintenant en mesure de dire quelque chose sur l’équation de Pell (ou de Pell-Fermat, en France). Cette équation est la suivante : x^{2} − dy^{2} = e, avec d comme en haut (d > 1, sans facteur carré) et e dans ℤ donné. L’ensemble des solutions (x, y) dans ℝ^{2} est un hyperbole. S’il y a une solution dans ℚ^{2}, on obtient toutes les solutions dans ℚ^{2} en intersectant avec des droites passant par la solution de départ. Ce qui nous intéresse ici, est l’ensemble des solutions dans ℤ^{2}. Commençons par une remarque immédiate. Pour (x, y) ∈ ℤ^{2} avec x^{2} − dy^{2} = e, x + y\sqrt{d} est un élément de norme e de ℤ[\sqrt{d}], et l’application :

\{(x, y) ∈ ℤ^{2} | x^{2} − dy^{2} = e\} ⟶ \{z ∈ ℤ[\sqrt{d}] | N(z) = e\}, (x, y) ↦ x + y\sqrt{d}

est une bijection.

6.2.3 Théorème. Soit u une unité fondamentale de ℤ[\sqrt{d}].

1. Les solutions de l’équation x^{2} − dy^{2} = ±1 correspondent alors, via la bijection ci-dessus, aux ±u^{n}, n ∈ ℤ.

2. Pour e ≠ 0 dans ℤ, ℤ[\sqrt{d}]^{∗} opère librement sur l’ensemble \{z ∈ ℤ[\sqrt{d}] | N(z) = ±e\}. Deux éléments z_{1} et z_{2} de cet ensemble sont dans la même orbite si et seulement si ℤ[\sqrt{d}]z_{1} = ℤ[\sqrt{d}]z_{2}. Ainsi, l’ensemble des orbites de cette action est en bijection avec l’ensemble des idéaux de ℤ[\sqrt{d}] qui sont d’indice |e| et principaux.

6.3 Fractions continues.

Soit d > 1 sans facteur carré. Nous avons vu que ℤ[\sqrt{d}]^{∗} est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ. En pratique, pour trouver une unité fondamentale, on utilise le développement de \sqrt{d} en fraction continue. Ici, je veux juste donner quelques indications et un exemple de comment cela marche. Pour des détails, on est invité à consulter les livres [HW] et [Hua].

6.3.1 Définition. Soient n ≥ 0 un entier, et a_{0}, …, a_{n} des variables. La fraction continue associée est la fraction :

[a_{0}, a_{1}, …, a_{n}] := a_{0} + \frac{1}{a_{1} + \frac{1}{a_{2} + \frac{1}{a_{3} + \frac{1}{... + \frac{1}{a_{n}}}}}}

6.3.2 Lemme. Avec ces notations, on a :

[a_{0}, a_{1}, …, a_{n}] = a_{0} + (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & a_{1} \end{matrix}) ⋯ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & a_{n−1} \end{matrix}) a_{n}^{−1} = a_{0} + (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & a_{1} \end{matrix}) ⋯ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & a_{n} \end{matrix}) 0,

où les matrices opèrent par homographies : ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})x = (ax + b)/(cx + d).

6.3.3 Définition. Soit x un nombre réel non rationnel. Le développement de x en fraction continue est défini par : a_{0} := ⌊x⌋, x_{1} := 1/(x − a_{0}), a_{1} := ⌊x_{1}⌋, x_{2} := 1/(x_{1} − a_{1}), etc. Si x est rationnel, on applique le même algorithme, mais on s’arrête quand x_{n} est entier.

6.3.4 Proposition. Soit x réel et irrationnel. Soit a_{0}, a_{1}, … la suite associée à x par la définition précédente. Ecrivons [a_{0}, a_{1}, …, a_{n}] = p_{n}/q_{n}. Alors |p_{n}/q_{n} − x| < 1/q_{n}^{2}. Si p et q > 0 sont des entiers premiers entre eux et |p/q − x| < 1/2q^{2}, alors il existe n tel que (p, q) = (p_{n}, q_{n}). La suite a_{0}, a_{1}, … devient périodique (dans le sens qu’il existe N et m ≥ 1 tels que a_{n+m} = a_{n} si n > N) si et seulement si x est algébrique et de degré deux sur ℚ. Si x = \sqrt{d} avec d > 1 sans facteur carrés, il existe n tel que p_{n}^{2} −dq_{n}^{2} = ±1, et le premier tel n donne une unité fondamentale p_{n} + q_{n}\sqrt{d} de ℤ[\sqrt{d}].

7 La réciprocité quadratique.

7.1 Décomposition des nombres premiers.

Soit K un corps de nombres, et p un nombre premier. L’anneau A := K_{ℤ}/pK_{ℤ} est alors une 𝔽_{p}-algèbre de dimension d := dim_{ℚ}(K). Nous avons vu dans un exercice que A n’a qu’un nombre fini d’idéaux maximaux, disons m_{1}, …, m_{r}, et que le morphisme canonique

A → A/m_{1}^{d} × ⋯ × A/m_{r}^{d}

est un isomorphisme de 𝔽_{p}-algèbres. Définissons des entiers n_{i} > 0 par : m_{i}^{n_{i}−1} ≠ m_{i}^{n_{i}} = m_{i}^{n_{i}+1}. Notons m̃_{i} l’image inverse de m_{i} dans K_{ℤ} via K_{ℤ} → A → A/m_{i}.

7.1.1 Proposition. Avec ces notations, on a l’égalité suivante d’idéaux de K_{ℤ} :

pK_{ℤ} = m̃_{1}^{n_{1}} ⋯ m̃_{r}^{n_{r}}.

Preuve. Montrons d’abord que m̃_{1}^{n_{1}} ⋯ m̃_{r}^{n_{r}} ⊂ pK_{ℤ}. En effet, comme

m_{1}^{n_{1}} ⋯ m_{r}^{n_{r}} = m_{1}^{n_{1}} ∩ ⋯ ∩ m_{r}^{n_{r}} = 0

dans A, l’image de m̃_{1}^{n_{1}} ⋯ m̃_{r}^{n_{r}} dans A est nulle. D’où l’inclusion. Il ne reste qu’à montrer que pK_{ℤ} et m̃_{1}^{n_{1}} ⋯ m̃_{r}^{n_{r}} ont même norme. La norme de pK_{ℤ} est |A| = p^{d}. Notons k_{i} le corps A/m_{i} = K_{ℤ}/m̃_{i}. Alors, pour tout i, et pour tout n ≥ 0, m̃_{i}^{n}/m̃_{i}^{n+1} est un k_{i}-espace vectoriel de dimension un. Le théorème Chinois dit que l’application canonique :

K_{ℤ}/m̃_{1}^{n_{1}} ⋯ m̃_{r}^{n_{r}} ⟶ K_{ℤ}/m̃_{1}^{n_{1}} × ⋯ × K_{ℤ}/m̃_{r}^{n_{r}}

est un isomorphisme. Il suffit donc de montrer que K_{ℤ}/m̃_{i}^{n_{i}} est de même cardinal que A/m_{i}^{n_{i}}. Mais les deux sont de cardinal |k_{i}|^{n_{i}} : pour le premier, cela est même vrai pour tout exposant, pour le deuxième, il faut utiliser que les inclusions A ⊃ m_{i} ⊃ ⋯ ⊃ m_{i}^{n_{i}} sont strictes. □

7.1.2 Proposition. Avec les mêmes notations, les conditions suivantes sont équivalentes : 1. p ne divise pas discr(K_{ℤ}) ;

2. A est réduit, i.e., 0 est le seul nilpotent de A;

3. tous les n_{i} sont 1.

Preuve. L’équivalence des conditions 1 et 2 a déjà été notée dans la proposition 4.11.1. Montrons l’équivalence des deux dernières. Toutélément de A/m_{i}^{n_{i}} qui est dans m_{i}/m_{i}^{n_{i}} est nilpotent. Donc A/m_{i}^{n_{i}} est réduit si et seulement si n_{i} = 1. Comme A est le produit des A/m_{i}^{n_{i}}, A est réduit si et seulement si tous les A/m_{i}^{n_{i}} les sont. □

7.1.3 Définition. On dit que p est ramifié dans K, ou dans K_{ℤ}, si la 𝔽_{p}-algèbre K_{ℤ}/pK_{ℤ} n’est pas réduite.

Dans la section suivante, nous utiliserons le résultat suivant.

7.1.4 Proposition. Soient ℚ → K → L des extensions finies, et p un nombre premier. Si p est ramifié dans K, il l’est dans L.

Preuve. Supposons que p soit non ramifié dans L. Il nous faut montrer que p est non ramifié dans K. Nous savons donc que L_{ℤ}/pL_{ℤ} est réduit, et il nous faut montrer que K_{ℤ}/pK_{ℤ} l’est également. Alors, le morphisme K → L induit un morphisme K_{ℤ} → L_{ℤ}. Supposons que x dans K_{ℤ} soit dans le noyau de K_{ℤ} → L_{ℤ} → L_{ℤ}/pL_{ℤ}. Cela veut dire que l’image de x dans L_{ℤ} est de la forme py, avec y dans L_{ℤ}. Mais alors x/p est entier sur ℤ, donc x est dans pK_{ℤ}. Il en résulte que le morphisme K_{ℤ} → L_{ℤ} induit une injection K_{ℤ}/pK_{ℤ} → L_{ℤ}/pL_{ℤ}. Cela montre que K_{ℤ}/pK_{ℤ} est réduit. □

7.1.5 Définition. Soit K une extension de degré deux de ℚ, et soit p un nombre premier. On dit que p est inerte dans K si K_{ℤ}/pK_{ℤ} est un corps, ou, ce qui revient au même, si p est premier dans K_{ℤ}. On dit que p est scindé, ou décomposé dans K si K_{ℤ}/pK_{ℤ} est isomorphe à 𝔽_{p} ×𝔽_{p}, ou, ce qui revient au même, si pK_{ℤ} = m_{1}m_{2} avec m_{2} et m_{2} deux idéaux maximaux distincts de K_{ℤ}.

7.1.6 Proposition. Soit d ≠ 1 un entier sans facteur carré, et K = ℚ(\sqrt{d}). On a K_{ℤ} = ℤ[x]/(f), avec f = x^{2} − d si d ≠ 1 mod 4, et avec f = x^{2} − x − (d − 1)/4 si d = 1 mod 4. Notons \overline{f} l’image de f dans 𝔽_{p}[x]. Alors :

1. p est décomposé dans K si et seulement si \overline{f} a deux racines distinctes dans 𝔽_{p};

2. p est inerte dans K si et seulement si \overline{f} n’a pas de racine dans 𝔽_{p};

3. p est ramifié dans K si et seulement si \overline{f} a exactement une racine dans 𝔽_{p}.

A l’aide de la réciprocité quadratique nous pourrons montrer que la condition que p soit scindé, inerte ou ramifié ne dépend que de la classe de p modulo le discriminant de K.

7.2 Quel est le sous-corps quadratique de ℚ(ζ_{p}) ?

Pour la preuve de la réciprocité quadratique que nous allons donner dans la section suivante, il nous faut un renseignement dont nous nous occupons dans cette section.

7.2.1 Proposition. Soit p un nombre premier. Soit ℚ(ζ_{p}) l’extension de ℚ engendrée par une racine de l’unité d’ordre p (dans ℂ, par exemple). Alors le polynôme minimal de ζ_{p} sur ℚ est Φ_{p} := (x^{p} − 1)/(x − 1). L’extension ℚ → ℚ(ζ_{p}) est galoisienne, et on a un isomorphisme de groupes

f: Gal(ℚ(ζ_{p})/ℚ) ⟶ 𝔽_{p}^{∗},

tel que, pour tout σ dans Gal(ℚ(ζ_{p})/ℚ),

σ(ζ_{p}) = ζ_{p}^{f(σ)}.

Preuve. Notons ℚ → K une extension de décomposition de x^{p} − 1, et ζ_{p} une de ses racines. Comme les racines de x^{p} − 1 sont des puissances de ζ_{p}, on a K = ℚ(ζ_{p}). Le polynôme Φ_{p} est irréductible par le critère d’Eisenstein (on applique ce critère à Φ_{p}(x + 1) et p). L’extension ℚ → K est donc de degré p − 1. Notons G le groupe de Galois de K sur ℚ. Tout élément de G induit un automorphisme du sous-groupe μ_{p}(K) := {z ∈ K | z^{p} = 1} de K^{∗}. Comme μ_{p}(K) est d’ordre p, c’est un espace vectoriel de dimension un sur 𝔽_{p}, donc son groupe d’automorphismes est 𝔽_{p}^{∗}. Nous avons donc un morphisme de groupes f: G → 𝔽_{p}^{∗} tel que pour tout σ dans G, et tout z dans μ_{p}(K) : σ(z) = z^{f(σ)}. Il reste à montrer que f est un isomorphisme. Comme les deux sont d’ordre p − 1, il suffit de montrer que f est injectif. Mais cela est clair, car comme K est engendré par ζ_{p}, tout σ dans G est déterminé par σ(ζ_{p}). □

7.2.2 Théorème. Soit p un nombre premier et ℚ(ζ_{p}) comme en haut. Alors l’inclusion de ℤ[ζ_{p}] dans ℚ(ζ_{p})_{ℤ} est une égalité. Tout nombre premier différent de p est non ramifié dans ℚ(ζ_{p}).

Preuve. Nous allons appliquer le critère 4.11.3. Comme ζ_{p} est entier sur ℤ, ℤ[ζ_{p}] ⊂ ℚ(ζ_{p})_{ℤ}. Le fait que la dérivée de x^{p} −1 soit px^{p−1} implique que dans n’importe quel corps de caractéristique différente de p, x^{p} − 1 n’a pas de racines multiples. Il en résulte que le discriminant de Φ_{p} est, à un signe près, une puissance de p. Par ce que nous avons vu dans les exercices, cela implique que discr(ℤ[ζ_{p}]) est, à un signe près, une puissance de p, et que par conséquent, discr(ℚ(ζ_{p})_{ℤ}) est, à un signe près, une puissance de p. Donc tout premier différent de p est non ramifié dans ℚ(ζ_{p}).

Pour finir, il nous faut montrer que pour tout idéal maximal m de ℤ[ζ_{p}] contenant p, on a dim_{A/m}(m/m^{2}) ≤ 1. Ecrivons ℤ[ζ_{p}] = ℤ[x]/(Φ_{p}) (avec x s’envoyant vers ζ_{p}). Cela montre que ℤ[ζ_{p}]/pℤ[ζ_{p}] est isomorphe à 𝔽_{p}[x]/(x − 1)^{p−1}, et on en déduit que ℤ[ζ_{p}] a un unique idéal maximal m contenant p, et qu’on a m = (p, ζ_{p} − 1). Posons y = x − 1. Alors on a :

Φ_{p} = \frac{x^{p} − 1}{x − 1} = \frac{(y + 1)^{p} − 1}{y} = y^{p−1} + py^{p−2} + ⋯ + p,

qui est un polynôme d’Eisenstein pour le premier p. On voit que p est dans m^{2}, ce qui implique que m/m^{2} est engendré par y, donc de dimension au plus un. □

7.2.3 Proposition. Soit p ≠ 2 un nombre premier. Alors ℚ(ζ_{p}) contient un unique extension quadratique K de ℚ. On a K = ℚ(\sqrt{p}) si p = 1 mod 4, et K = ℚ(\sqrt{−p}) si p = −1 mod 4.

Preuve. Le groupe Gal(ℚ(ζ_{p})/ℚ) est isomorphe à 𝔽_{p}^{∗}, qui est cyclique d’ordre p − 1. Comme p ≠ 2, p − 1 est pair. Par conséquent, Gal(ℚ(ζ_{p})/ℚ) a un unique sous-groupe d’indice 2. Par la correspondance de Galois, ℚ(ζ_{p}) a un unique sous-corps K de degré 2 sur ℚ.

Les extensions quadratiques de ℚ correspondent aux entiers d ≠ 1 sans facteur carré. Pour voir pour quel d on a K ≅ ℚ(\sqrt{d}), nous allons utiliser un argument de ramification. Dans les exercices on verra une autre méthode (sommes de Gauss) pour résoudre ce problème.

Par la proposition 7.1.4 et le théorème 7.2.2, K est non ramifié en tous les premiers différents de p. Donc discr(K) est, à signe près, une puissance de p. Si d ≠ 1 mod 4, on a discr(K) = 4d, et si d = 1 mod 4, on a discr(K) = d. □

7.3 Réciprocité quadratique.

7.3.1 Proposition. Soit p ≠ 2 un nombre premier. Le sous-groupe 𝔽_{p}^{∗,2} := {a^{2} | a ∈ 𝔽_{p}^{∗}} est d’ordre (p − 1)/2. Pour a dans 𝔽_{p}, on définit :

(\frac{a}{p}) := \{ \begin{matrix}1 & si a ∈ 𝔽_{p}^{∗,2}, \\ 0 & si a = 0, \\ −1 & si a ∉ 𝔽_{p}^{∗,2}. \end{matrix}

La fonction (\frac{·}{p}): 𝔽_{p} → \{−1, 0, 1\} ⊂ ℤ s’appelle le symbole de Legendre. Pour a dans 𝔽_{p} on a :

(\frac{a}{p}) = a^{(p−1)/2} dans 𝔽_{p}.

L’application 𝔽_{p}^{∗} → ℤ^{∗}, a ↦ (\frac{a}{p}) est un morphisme de groupes.

Preuve. Considérons le morphisme de groupes f: 𝔽_{p}^{∗} → 𝔽_{p}^{∗}, a ↦ a^{2}. Son noyau est {1, −1}, donc d’ordre 2 (1 ≠ −1 car p ≠ 2). L’image de f est 𝔽_{p}^{∗,2}, qui est donc d’indice 2. Le quotient 𝔽_{p}^{∗}/𝔽_{p}^{∗,2} est donc isomorphe, et cela de manière unique, à ℤ^{∗}. Considérons le morphisme g: 𝔽_{p}^{∗} → 𝔽_{p}^{∗}, a ↦ a^{(p−1)/2}. Son noyau est d’ordre (p − 1)/2, donc son image d’ordre 2 et égale à {1, −1}. Pour a dans 𝔽_{p}^{∗}, on a g(a^{2}) = a^{p−1} = 1. On a donc 𝔽_{p}^{∗,2} ⊂ ker(g), et même égalité car les deux ont même cardinal. Pour conclure : pour a dans 𝔽_{p}^{∗} on a g(a) = 1 si et seulement si a est dans 𝔽_{p}^{∗,2}. □

7.3.2 Théorème. (Réciprocité quadratique, Gauss.) Soient p et q deux nombres premiers, différents de 2 et distincts. Alors on a :

(\frac{p}{q}) · (\frac{q}{p}) = (−1)\frac{(p − 1)(q − 1)}{4} .

Preuve. D’après la Proposition 7.2.3, l’unique sous-corps quadratique de ℚ(ζ_{q}) est ℚ(\sqrt{q^{∗}}), avec q^{∗} = (\frac{−1}{q})q. Nous avons donc un diagramme commutatif :

\begin{aligned}ℚ(ζ_{q}) & ⟵ & ℤ[z]/(Φ_{q}) & ⟶ & 𝔽_{p}[z]/(Φ_{q}) \\ ↑ & & ↑ & & ↑ \\ ℚ(\sqrt{q^{∗}}) & ⟵ & ℤ[x]/(f) & ⟶ & 𝔽_{p}[x]/(f) \\ ↑ & & ↑ & & ↑ \\ ℚ & ⟵ & ℤ & ⟶ & 𝔽_{p} \end{aligned},

avec f = x^{2} − x − (q^{∗} − 1)/4. L’application de 𝔽_{p}[x]/(f) vers 𝔽_{p}[z]/(Φ_{p}) est une inclusion par un argument que nous avons déjà utilisé dans la preuve de la proposition 7.1.4 (nous utilisons ici que ℤ[z]/(Φ_{p}) et ℤ[x]/(f) sont les anneaux d’entiers dans leurs corps de fractions).

Par la Proposition 7.2.1, Gal(ℚ(ζ_{q})/ℚ) s’identifie, via l’isomorphisme f, à 𝔽_{q}^{∗}. D’autre part, Gal(ℚ(\sqrt{q^{∗}})/ℚ) admet un unique isomorphisme avec ℤ^{∗}. Ceci nous donne un diagramme commutatif :

Gal(ℚ(ζ_{q})/ℚ) ⟶_{∼}^{f} 𝔽_{q}^{∗}
↓^{g}  ↓^{( \frac{.}{q})}
Gal(ℚ(\sqrt{q^{∗}})/ℚ) ⟶^{∼} ℤ^{×}

Notons σ_{p} l’élément de Gal(ℚ(ζ_{q})/ℚ) qui correspond à l’image de p dans 𝔽_{q}^{∗}. Alors σ_{p} induit l’endomorphisme de Frobenius de 𝔽_{p}[z]/(Φ_{q}), car σ_{p}(z) = z^{p} (modulo Φ_{q}). Donc σ_{p} induit le Frobenius de 𝔽_{p}[x]/(f). Notons maintenant que σ_{p}(\sqrt{q^{∗}}) est soit égal à \sqrt{q^{∗}}, soit à −\sqrt{q^{∗}}. On a alors les équivalences :

(\frac{p}{q}) = 1 ⇔ g(σ_{p}) = id ⇔ p est scindé dans ℤ[x]/(f) ⇔ (\frac{q^{∗}}{p}) = 1.

Donc :

(\frac{p}{q}) = (\frac{q^{∗}}{p} ) = (\frac{(\frac{−1}{q})q}{p} ) = (\frac{(−1)^{(q−1)/2}q}{p} ) = (−1)^{\frac{q−1}{2} \frac{p−1}{2}} (\frac{q}{p}) .

□

Pour calculer des symboles de Legendre, il est utile de compléter le théorème ci-dessus par les deux résultats suivants, qui ont été montrés dans le cours et les exercices.

7.3.3 Proposition. Pour p ≠ 2 un nombre premier on a :

(\frac{−1}{p}) = (−1)\frac{p − 1}{2} , et (\frac{2}{p}) = (−1)\frac{p^{2} − 1}{8} .

Concrètement, la réciprocité quadratique se résume en le résultat suivant, qui n’est que la combinaison des deux résultats qui précèdent.

7.3.4 Proposition. 1. Si p ≠ 2 et q ≠ 2 sont premiers, on a :

(\frac{p}{q}) = (\frac{q}{p}) si p ≡ 1(4) ou q ≡ 1(4) ;

= − (\frac{q}{p}) sinon.

2. Si p ≠ 2 est premier, on a :

(\frac{p}{2}) = 1;
(\frac{2}{p}) = 1 si p ≡ ±1(8) ;

= −1 si p ≡ ±3(8) ;

(\frac{−1}{p}) = 1 si p ≡ 1(4) ;

= −1 si p ≡ −1(4) ;

8 Le théorème de Wedderburn.

Le théorème en question n’est pas tellement un théorème concernant la théorie des nombres, mais plutôt la théorie des corps finis. La preuve que nous donnons ne nécessite qu’un petit peu de théorie sur les groupes opérant sur des ensembles, un peu “d’algèbre linéaire non commutative” (que nous faisons dans un lemme), et le fait que les polynômes cyclotomiques Φ_{n} ont coefficients dans ℤ (nous n’avons pas besoin de leur irréductibilité). Donc si l’on veut, ce théorème pourrait être traité au début du cours.

Dans cette section, on ne suppose pas que les anneaux sont commutatifs ; les anneaux sont encore suppposés unitaires. Nous rappelons qu’un corps est par hypothèse un anneau commutatif avec 1 ≠ 0 dans lequel tout élément non nul est inversible. Un anneau (non nécessairement commutatif) dans avec 1 ≠ 0 dans lequel tout élément non nul est inversible est appelé une algèbre à division. Un exemple d’une algèbre à division non commutative est donné par les quaternions (sur ℚ ou sur ℝ). Les ℚ-algèbres à division de dimension finie en tant que ℚ-espace vectoriel jouent un rôle important en théorie des nombres.

8.1 Théorème. Soit A un anneau fini intègre (non nécessairement commutatif). Alors A est commutatif, et donc un corps. De façon équivalente : toutes les algèbres à division de dimension finie sur un corps fini sont des corps.

Preuve. Soit A donc un anneau fini intègre. Soit k le centre de A : k est l’ensemble des x dans A tel que xy = yx pour tout y dans A. Alors k est fermé pour l’addition, la multiplication, inversion et opposition (x ↦ −x). Donc k est un corps fini, disons de cardinal q (qui est une puissance d’un nombre premier), et A est une k-algèbre de dimension finie. Notons n = dim_{k} A. On a donc |A| = q^{n}.

Notons G = A^{∗} le groupe multiplicatif des éléments non nul de A; donc G est un groupe de cardinal q^{n} − 1. On fait agir G par conjugaison sur lui-même : (x, y) ↦ xyx^{−1}. Considérons la décomposition de G en orbites pour cette action. Ces orbites sont les classes de conjugaison dans G. Les orbites à un éléments sont exactement les {x} avec x dans k. Soit R un système de représentants pour les orbites restantes (celles dans G − k^{∗}). Pour chaque x dans G, notons C_{x} = {yxy^{−1} | y ∈ G} sa classe de conjugaison et C(x) = {y ∈ G | xy = yx} son centralisateur dans G. Pour x dans G, on a une bijection : G/C(x) → C_{x}, \overline{y} ↦ yxy^{−1}. On a alors :

G = k^{∗} ∐ ∐_{x∈R} C_{x}, |G| = q − 1 + ∑_{x∈R} \frac{q^{n} − 1}{|C(x)|}.

Pour x dans A, notons A(x) = {y ∈ A | yx = xy} le centralisateur de x dans A. Alors A(x) est une sous-k-algèbre de A, et est donc lui aussi une algèbre à division et C(x) = A(x)^{∗}. Notons n(x) = dim_{k} A(x), on a donc |A(x)| = q^{n(x)}, et |C(x)| = q^{n(x)} − 1.

La multiplication à gauche sur A par des éléments de A(x) induit une structure de A(x)- module sur A. Montrons que A est libre en tant que A(x)-module.

8.2 Lemme. Soit A une algèbre à division et M un A-module de type fini. Alors M est libre.

Preuve. Soit m = (m_{1}, …, m_{n}) un système de générateurs de M, avec n minimal. Il suffit de montrer que ce système est libre. Supposons que ce n’est pas le cas, et soit λ_{1}m_{1}+⋯+λ_{n}m_{n} = 0 une relation non triviale. Quitte à renuméroter les m_{i} nous avons λ_{n} ≠ 0, donc :

m_{n} = −λ_{n}^{−1}(λ_{1}m_{1} + ⋯ + λ_{n−1}m_{n−1}).

Ceci implique que (m_{1}, …, m_{n−1}) est un système générateur de M, donc contredit la minimalité de n. □

Pour x dans A, notons r(x) = rang_{A(x)}A. On a alors :

q^{n} = |A| = |A(x)^{r(x)}| = |A(x)|^{n(x)} = (q^{n(x)})^{r(x)} = q^{n(x)r(x)},

ce qui montre que les n(x) divisent n. (Une autre façon de voir que n(x)|n est de noter que pgcd(q^{a} − 1, q^{b} − 1) = q^{c} − 1 si c = pgcd(a, b), en regardant l’algoritme d’Euclide.)

Nous entrons maintenant dans la dernière étape de la preuve. Dans ℚ[t], nous avons

t^{n} − 1 = ∏_{d|n} Φ_{d}(t),

avec Φ_{d} le polynôme unitaire dont les racines (dans ℂ disons) sont les racines d’unité d’ordre d. Par la théorie de Galois, on sait que les Φ_{m}(t) sont en effet dans ℚ[t], et comme les racines de l’unité sont entiers sur ℤ, on voit que les Φ_{m}(t) sont dans ℤ[t].

Pour x dans R, on a n(x) ≠ n, car x n’est pas dans le centre k de A. Pour tout entier m > 0, nous avons :

q^{m} − 1 = ∏_{d|m} Φ_{d}(q).

En appliquant ceci à l’identité :

q^{n} − 1 = q − 1 + ∑_{x∈R} \frac{q^{n} − 1}{q^{n(x)−1}} ,

on obtient que Φ_{n}(q) divise q − 1, car Φ_{n}(q) divise tous les autres termes. En particulier, on trouve que |Φ_{n}(q)| ≤ q − 1. Mais on a :

|Φ_{n}(q)| = ∏_{a∈(ℤ/nZZ)^{∗}} |e^{2πia/n} − 1|.

Si n > 1, tout facteur dans ce produit est plus grand que q − 1 (faire un dessin de l’axe des réels et le cercle unité dans ℂ). Donc n = 1, et A = k. □

8.3 Exercice. Soit A = ℤ ⊕ ℤi ⊕ ℤj ⊕ ℤk la ℤ-algèbre des quaternions standard (i^{2} = j^{2} = −1, ij = −ji = k). Pour p ≠ 2 premier il est clair que A/pA n’est pas commutatif, donc ne peut pas être intègre par le théorème de Wedderburn. Pour autant de p que vous voulez, trouvez explicitement des diviseurs de zéro non nuls dans A/pA.

9 Compléments et rappels.

9.1 Produit tensoriel d’algèbres sur un corps.

Le produit tensoriel de modules sur un anneau a été défini dans le cours Algèbre 3, en premier semestre. Le résultat est simplement que pour A un anneau et M et N des A-modules, il existe une forme A-bilinéaire universelle :

M × N ⟶ M ⊗_{A} N, (m, n) ↦ m ⊗ n.

Si B et C sont des A-algèbres, alors B ⊗_{A} C a une structure naturelle de A-algèbre (pour tous b et b′ dans B et c et c′ dans C, on a (b ⊗ c)(b′ ⊗ c′) = (bb′) ⊗ (cc′)), et a la propriété universelle suivante : les morphismes de A-modules B → B ⊗_{A} C et C → B ⊗_{A} C donnés par b ↦ b ⊗ 1 et c ↦ 1 ⊗ c sont des morphismes de A-algèbres, et si D est une A-algèbre et f: B → D et g: C → D sont des morphismes de A-algèbres, alors il existe un unique morphisme de Aalgèbres B ⊗_{A} C → D qui fait commuter le diagramme que l’on devine.

Avec cette propriété universelle, on voit que pour A un anneau et B une A-algèbre, il existe un unique morphisme de B-algèbres A[x] ⊗_{A} B → B[x] qui envoie x ⊗ 1 vers x.

De même façon, on voit, en utilisant des propriétés universelles, que A[x]/(f) ⊗_{A} B est la même chose que B[x]/(f). Nous utiliserons ceci si A → B est une extension de corps.

9.1.1 Théorème. Soit K → L une extension de corps, et f dans K[x] irréductible, tels que f soit scindé sur L, avec des racines simples. Notons d le degré de f, r_{1}, …, r_{d} ses racines dans L, et ϕ_{1}, …, ϕ_{d} les plongements correspondants de K[x]/(f) dans L. Alors le morphisme de K-algèbres :

L ⊗_{K} K[x]/(f) ⟶ L^{d}, y ⊗ z ↦ (yϕ_{1}(z), …, yϕ_{d}(z))

est un isomorphisme de L-algèbres. En particulier, si K → L est galoisienne, de groupe G, et si on note n le cardinal de G, et g_{1}, …, g_{n} ses éléments, on a un isomorphisme de L-algèbres :

L ⊗_{K} L ⟶ L^{n}, x ⊗ y ↦ (xg_{1}(y), …, xg_{n}(y)).

Preuve. Commençons par remarquer que L ⊗_{K} K[x]/(f) = L[x]/(f) et L^{d} sont tous les deux de dimension d en tant que L-espace vectoriels. Il suffit donc de montrer que le morphisme en question est soit injectif, soit surjectif. En fait, les deux sont assez faciles. La surjectivité résulte de l’interpolation de Lagrange, et l’injectivité du fait que le noyau de L[x] → L^{d} est l’intersection des (x − r_{i}), donc (f).

Le deuxième énoncé s’obtient du premier en choisissant un élément primitif de L sur K. □

9.2 Modules de type fini sur les anneaux principaux.

Ceci se trouve dans [Samuel, §1.5], mais expliqué d’une façon plus abstraite. D’autre part, cette théorie est dans le programme du cours d’algèbre du semestre précédent. Pour ces raisons, nous irons assez vite.

9.2.1 Théorème. Soit A un anneau principal et soit n ≥ 0. Tout sous-module de A^{n} est libre de rang au plus n. En fait, si M est un sous-module de A^{n}, il existe une base (e_{1}, …, e_{n}) de A^{n}, un entier r tel que 0 ≤ r ≤ n et des éléments d_{1}, …, d_{r} de A tels que d_{1}|d_{2}| ⋯ |d_{r} et (d_{1}e_{1}, …, d_{r}e_{r}) soit une base de M. La suite des d_{i} n’est pas forcément unique, mais la suite des idéaux d_{1}A ⊃ d_{2}A ⊃ ⋯ ⊃ d_{r}A l’est.

Preuve. Nous montrons d’abord, par récurrence sur n, que M est libre de rang au plus n. Pour n = 0 rien à faire. Supposons n ≥ 1. Considérer p: A^{n} → A, projection sur la dernière coordonnée. L’image pM est un sous-module de A, donc un idéal ; comme A est principal, M est libre de rang 0 ou 1. Si c’est 0, M est en fait contenu dans A^{n−1} et on a terminé par récurrence. Supposons donc que pM est de rang 1, de base p(m) pour un m dans M convenable. Alors la suite exacte

0 ⟶ ker(p|_{M}) ⟶ M ⟶ p(M) ⟶ 0

est scindée par le morphisme p(M) → M, p(m) ↦ m (comme p(m) est une base de p(M), il suffit de donner l’image de p(m)). Donc M est isomorphe à (M ∩ A^{n−1}) ⊕ A, et on a terminé par récurrence.

Pour montrer l’existence des bases de M et de A^{n} comme dans l’énoncé, on choisit un nombre fini de générateurs de M, que l’on exprime en termes de la base usuelle de A^{n}. Ensuite, on fait des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes de la matrice obtenue, pour la rendre de la forme diag(d_{1}, d_{2}, …) avec d_{1}|d_{2}| · · ·. Dans le cas de A = 𝔽_{p}[t], on trouve dans Maple une fonction “Smith” qui fait le calcul (et qui est d’ailleurs au programme pour l’option modélisation de l’oral de l’agreg). Dans le cas A = ℤ, Maple a la fonction “ismith”. □

Avec ce théorème, on démontre facilement la classification des modules de type fini sur un anneau principal.

10 Exercices.

1. Donner toutes les solutions dans ℤ et dans ℚ des équations :

x^{2} + 2y^{2} = 6, x^{2} − xy + y^{2} = −1, x^{2} + y^{2} = 7, x^{2} + 2y^{2} = 7, x^{2} − 6y^{2} = −1.

Indications : congruences modulo des puissances de deux ; paramétrisation de courbes de degré deux avec un point rationnel.

2. (a) Soit (a, b, c) un triplet pythagoricien primitif. En considérant les carrés dans ℤ/4ℤ, montrer que, quitte à échanger a et b, on a a ≡ 1 (2), b ≡ 0 (2) et c ≡ 1 (2). Montrer qu’alors a^{2} = (c − b)(c + b), et que pgcd(c − b, c + b) = 1. (Indication : l’idéal de ℤ engendré par c − b et c + b contient 2c et 2b.) En déduire qu’il existe des entiers u et v avec 0 < u < v, impairs, premier entre eux, tels que c − b = u^{2} et c + b = v^{2}.

(b) Conclure que tout triplet pythagoricien primitif (a, b, c) avec b pair s’écrit sous la forme (uv, (v^{2} − u^{2})/2, (v^{2} + u^{2})/2), avec 0 < u < v dans ℕ premier entre eux et impairs.

(c) Montrer que pour u et v dans ℕ premier entre eux, impairs et tel que u < v :

(uv, (v^{2} − u^{2})/2, (v^{2} + u^{2})/2)

est un triplet pythagoricien primitif. Conclure que les triplets pythagoriciens primitifs avec b pair sont les triplets (uv, (v^{2} − u^{2})/2, (v^{2} + u^{2})/2), avec u < v premier entre eux et uv impair.

3. Montrer que l’anneau ℤ[i] est euclidien pour la fonction d: ℤ[i] → ℕ, z ↦ z\overline{z}.

4. (Plus difficile.) Soit K un corps, et n un entier plus grand ou égal à 3 et inversible dans K. Montrer que toutes les solutions dans K[t] de l’équation :

a^{n} + b^{n} = c^{n}

avec a, b et c premiers entre eux, sont en fait des solutions dans K. Indication : étendre la méthode donnée en cours, donc : par contradiction ; considérer une solution non constante avec le maximum des degrés de a et b et c minimal parmi toutes les solutions pour tous les corps K. (Il faudra donc peut-être changer de corps pendant la démonstration.) Question : l’hypothèse que n soit inversible dans K est-elle nécessaire ? Plus précisément : en fonction de la caractéristique de K, donner la liste des n pour lesquels il existe des solutions non triviales.

5. Montrer qu’il existe une infinité de nombres premiers p qui sont −1 modulo 4.

6. Soit p un nombre premier. Montrer que x^{2} + 1 a une racine dans 𝔽_{p} si et seulement si p n’est pas congru à −1 modulo 4 (indication : le groupe 𝔽_{p}^{∗} est cyclique, et d’ordre p − 1). Montrer que pour n dans ℤ, tout premier impair qui divise n^{2} + 1 est congru à 1 modulo 4. Montrer qu’il y a une infinité de nombres premiers qui sont 1 modulo 4.

7. (Pour ceux qui veulent.) Variante des deux questions précédentes, mais pour les classes modulo 3.

8. Factoriser en irréductibles : 7 + i dans ℤ[i], et 5 + j dans ℤ[j].

9. Cherchez un nombre premier p qui est congru à 1 modulo 4 et raisonnablement grand (disons au moins 1000), et écrivez le comme somme de deux carrés.

10. Comme la définition de la notion d’anneau euclidien n’est pas la même dans tous les textes, nous donnons une définition ici, et montrons qu’elle est équivalente à une autre que l’on rencontre souvent. Voici donc la définition.

Soit A un anneau intègre, et f: A → ℤ une fonction. Alors f est dite euclidienne si son image est borné inférieurement et si pour tout (a, b) dans A^{2} avec b ≠ 0 il existe q et r dans A avec a = qb + r et f(r) < f(b). Un anneau est dit euclidien s’il existe une fonction euclidienne sur A.

(a) (Juste pour mémoire.) Montrer qu’un anneau euclidien est principal.

(b) Montrer que pour tout a ≠ 0 dans A on a f(a) > f(0).

(c) Montrer que la fonction f: ℤ → ℤ, n ↦ |n|, est euclidienne.

(d) Soit K un corps. Montrer que la fonction f: K[x] → ℤ, a ↦ deg(a) est euclidienne. Ici on convient que deg(0) = −1. Si on veut que deg(0) = −∞, on pourrait introduire l’ensemble ordonné ℤ ∪ {−∞}, et la notion de fonction euclidienne à valeurs dans ℤ ∪ {−∞}.

(e) Soit A un anneau intègre, et f: A → ℤ une fonction. Montrer que f est euclidienne si et seulement si f + 1 (la fonction donnée par a ↦ f(a) + 1) l’est.

(f) (Plus difficile.) Soit A un anneau intègre et ϕ: A → ℤ une fonction euclidienne. Montrer que la fonction f: A → ℤ, a ↦ min{ϕ(ax) | 0 ≠ x ∈ A}, est euclidienne, et a la propriété supplémentaire que f(ab) ≥ f(a) pour tous a et b avec b non nul.

11. Montrer directement que \sqrt{2} + \sqrt{3} dans ℚ(\sqrt{2}, \sqrt{3}) est entier sur ℤ. Montrer aussi que 1/2 dans ℚ n’est pas entier sur ℤ. Montrer aussi que 1/2 dans ℤ/1001ℤ est entier sur ℤ.

12. Calculer le morphisme trace et la forme trace pour ℚ → ℚ(2^{1/3}), disons en termes de matrices par rapport à une base que vous avez choisie. Pareil pour ℚ → ℚ(i) et ℚ → ℚ(j).

13. Calculer le morphisme trace et la forme trace pour ℚ → ℚ[t]/(t^{2}).

14. Calculer la forme trace pour ℚ → ℚ[x]/(x^{3} − x^{2} − x + 1). Cette forme bilinéaire est-elle non dégénérée ? Le déduire aussi de la décomposition de x^{3} − x^{2} − x + 1 en facteurs irréductibles.

15. Le but de cet exercice est de montrer qu’il y a un algorithme efficace pour trouver, pour un nombre premier p qui est congru à 1 modulo 4, des entiers a et b tels que p = a^{2} + b^{2}. Soit donc p premier, et 1 mod 4.

(a) Ecrivons p − 1 = 2^{n}m avec m impair (notez que n ≥ 2). Pour a dans 𝔽_{p}^{∗}, a^{m} est d’ordre divisant 2^{n}. On peut donc espérer trouver un élément d’ordre 4 dans 𝔽_{p}^{∗} en calculant, pour a pris au hasard dans 𝔽_{p}^{∗}, b := a^{m}, et ensuite les b_{i} := b^{2^{i}} = b_{i−1}^{2}, i ≥ 0, jusqu’à ce que b_{k} = ±1. En effet, si k > 0, alors b_{k} = −1 et b_{k−1} est d’ordre 4. Calculez la probabilité que b ≠ ±1.

(b) Expliquez-vous à vous-même que pour calculer, pour a dans 𝔽_{p} donné, b := a^{m}, et ensuite les b_{i}, ne prend au plus qu’environ n + 2 log_{2}(m) = O(log_{2}(p)) multiplications dans 𝔽_{p}, si on s’y prend intelligemment.

(c) Expliquez-vous à vous-même que les opérations élémentaires (+, −, ∗, /) dans 𝔽_{p} se font en au plus O(log(p)), O(log(p)), O(log(p)^{2}) et O(log(p)^{3}) opérations binaires (c’est à dire, sur des 0 et 1), respectivement. En fait, il existe des méthodes plus efficaces : par exemple, la multiplication de deux nombres ≤ 2^{n} peut se faire en O(n log(n) log(log(n))) opérations binaires (voir [Cohen]).

(d) Soit c dans ℤ, |c| < p/2, tel que \overline{c} dans 𝔽_{p}^{∗} soit d’ordre 4, et notons f: ℤ[i] → 𝔽_{p} le morphisme tel que f(i) = \overline{c}. Montrez que p et i − c engendrent le noyau de f, en tant que ℤ-module. En appliquant l’algorithme d’Euclide dans ℤ[i] à p et i − c, on trouve un générateur de ker(f).

(e) L’algorithme obtenu est probabiliste, et le temps moyen qu’il prend est O(log(p)^{3}). (Le nombre moyen de a à essayer est au plus 2, et le nombre d’étapes dans l’algorithme d’Euclide dans ℤ[i] à effectuer est au plus O(log(p)).)

16. Soit K un corps, V_{1} et V_{2} deux K-espaces vectoriels, de dimensions d_{1} et d_{2}, respectivement. Soient u_{1} et u_{2} des endomorphismes de V_{1} et V_{2}.

(a) Montrer que les polynômes caractéristiques de u_{1} et u_{2} déterminent celui de l’endomorphisme u_{1} ⊗ u_{2} de V_{1} ⊗_{K} V_{2}. Indication : utiliser une extension de K sur laquelle les polynômes caractéristiques de u_{1} et u_{2} sont scindés.

(b) Donner des formules explicites en termes des coefficients dans les deux cas où d_{2} = 2

et 1 ≤ d_{1} ≤ 2.

17. Le produit tensoriel est bien utile pour montrer le fait que deux corps de décomposition pour un polynôme sur un corps sont isomorphes (de façon non unique). En effet, soit K un corps, et f dans K[x] non nul. Soient K → K_{1} et K → K_{2} deux extensions de décomposition, c’est à dire, sur chacune, f est scindé, et chacune est engendrée par les racines de f.

(a) Montrer que K_{1}⊗_{K}K_{2} est une K-algèbre non nulle, et qu’elle a des idéaux maximaux (sans utiliser le lemme de Zorn, si vous le connaissez).

(b) Montrer que la K-algèbre K_{1} ⊗_{K} K_{2} est engendrée par des racines de f.

(c) Soit K_{3} un quotient de K_{1} ⊗_{K} K_{2} qui est un corps. Montrer que K → K_{3} est un corps de décomposition, et que les deux morphismes de K-algèbres K_{1} → K_{3} et K_{2} → K_{3} sont des isomorphismes. Cela montre donc que K_{1} et K_{2} sont isomorphes en tant que K-algèbres.

18. Soit K un corps, K → L une extension de dimension finie, et K → K_{1} et K → K_{2} deux sous-extensions. Soit K_{3} la sous-extension de L engendrée par K_{1} et K_{2}.

(a) Supposons que dim_{K} K_{3} = dim_{K} K_{1} dim_{K} K_{2}. Montrer que le morphisme de Kalgèbres f: K_{1} ⊗_{K} K_{2} → L, donné par f(x ⊗ y) = xy, est injectif, et d’image K_{3}.

(b) Donner un exemple où le morphisme f n’est pas injectif.

19. Lesquels des anneaux suivants sont des corps :

(a) ℂ ⊗_{ℝ} ℂ,

(b) ℚ(\sqrt{2}) ⊗_{ℚ} ℚ(\sqrt{3}),

(c) ℚ(\sqrt{2}) ⊗_{ℚ} ℚ(\sqrt{−2}) ⊗_{ℚ} ℚ(\sqrt{−1}),

(d) ℂ ⊗_{ℚ} ℂ.

20. “Calculer” les ℤ[i]/(a + bi)ℤ[i] en tant que ℤ-module, pour des a + bi (a et b dans ℤ) de votre choix. Par exemple, pour ceux avec |a| ≤ 3, |b| ≤ 3.

21. Soit σ l’automorphisme non trivial de ℚ(\sqrt{2}). Evidemment, σ préserve le sous-anneau ℚ(\sqrt{2})_{ℤ} = ℤ[\sqrt{2}]. Soit d: ℤ[\sqrt{2}] → ℕ la fonction donnée par : d(x) = |xσ(x)|. Montrer que d est une fonction euclidienne. Pour ceux qui veulent : quels sont les corps quadratiques dont l’anneau des entiers est euclidien pour la norme ainsi définie ?

22. Dessiner l’image de ℤ[\sqrt{2}] dans ℝ^{2} par l’application a + b\sqrt{2} ↦ (a + b\sqrt{2}, a − b\sqrt{2}), avec a et b dans ℤ. Dessiner aussi la courbe de niveau 1 pour la norme : |xy| = 1. Faire l’analogue pour ℚ(\sqrt{5})_{ℤ}.

23. Soit K un corps, n ≥ 0 un entier, et a_{0}, …, a_{n−1} dans K. Montrer que :

det ( \begin{matrix}t & & & & a_{0} \\ −1 & t & & & ⋮ \\ & −1 & ... & & ⋮ \\ & & ... & t & ⋮ \\ & & & −1 & t + a_{n−1} \end{matrix} ) = t^{n} + a_{n−1}t^{n−1} + ⋯ + a_{0}.

Indication : on peut procéder de deux façons au moins. Développer suivant la première ligne et faire récurrence sur n, ou dire qu’il s’agit d’une identité polynomiale en les a_{i} que l’on démontre en notant que le polynôme en question annule l’endomorphisme en question et que si les a_{i} sont des variables, alors le polynôme en question est irréductible.

24. Soit n ≥ 0 entier, et a dans M_{n}(ℤ). Montrer que ℤ^{n}/aℤ^{n} est fini si et seulement si det(a) ≠ 0, et que, dans ce cas, on a |ℤ^{n}/aℤ^{n}| = | det(a)|.

25. Soit K un corps de nombres. Soit x ≠ 0 dans K_{ℤ}, et considérons l’endomorphisme ·x du ℤ-module libre K_{ℤ} donné par y ↦ xy. Montrer que :

|K_{ℤ}/xK_{ℤ}| = | det(·x)| = |a_{0}|^{(dim_{ℚ} K)/d},

où d et a_{0} sont le degré et le terme constant du polynôme minimal de x sur ℚ.

26. Soit d ≥ 1. Montrer que si z_{1}, …, z_{d} dans ℂ satisfont à |z_{i}| < 1/d, alors les a_{i} définis

par :

(t − z_{1}) ⋯ (t − z_{d}) = t^{d} + a_{d−1}t^{d−1} + ⋯ + a_{1}t + a_{0}

satisfont à |a_{i}| < 1.

27. Soit A un anneau factoriel (donc intègre). Montrer que A est intégralement clos.

28. Donner un exemple d’un anneau intègre non intégralement clos.

29. Montrer les implications non démontrées en cours dans la proposition qui donne les conditions équivalentes pour qu’un module soit noethérien.

30. Montrer que l’anneau ℤ[x_{1}, x_{2}, …] de polynômes en un nombre infini de variables n’est pas noethérien. Pareil pour la clôture intégrale \overline{ℤ} de ℤ dans \overline{ℚ}.

31. Un sous-anneau d’un anneau noethérien, est-il nécessairement noethérien ? Et un quotient ? Et un sous-module d’un module noethérien ?

32. Soit A un anneau, a et b des idéaux. Montrer que ab ⊂ a ∩ b. A-t-on toujours égalité ? (Pour ceux qui veulent : quels sont les anneaux où c’est toujours vrai ?)

33. Soit k un corps, n ≥ 1, et A := k[x_{1}, …, x_{n}]. Soit m l’idéal de A, engendré par les x_{i}. Montrer que pour chaque d ≥ 0, A/m^{d} est de dimension finie en tant que k-espace vectoriel. Montrez que cette dimension est le coefficient binomial \binom{n+d−1}{n}.

34. Est-ce que l’anneau ℚ[x, y] est de Dedekind ?

35. Montrez que tout anneau principal est de Dedekind.

36. Soit k un corps, et A une k-algèbre de dimension finie n en tant que k-espace vectoriel.

(a) Montrer que le nombre d’idéaux maximaux de A est au plus n. (Si m_{1}, …, m_{r} sont des idéaux maximaux distincts, alors le morphisme A → A/m_{1} × ⋯ × A/m_{r} est surjectif, par le théorème Chinois.)

(b) Montrer qu’il existe une suite de sous-A-modules A = M_{0} ⊃ M_{1} ⋯ ⊃ M_{s} = 0 tel que les M_{j}/M_{j+1} avec 0 ≤ j < s soient simples, et qu’alors s ≤ n.

(c) Soient m_{1}, …, m_{r} les idéaux maximaux distincts de A. Montrer que tout A-module simple est isomorphe à l’un des A/m_{i}.

(d) Soient x_{1}, …, x_{n} dans l’intersection des m_{i}. Montrer que x_{1} ⋯ x_{n} = 0. Indication : montrer que x_{1} ⋯ x_{i}A ⊂ M_{i}.

(e) Montrer que A → A/m_{1}^{n} × ⋯ × A/m_{r}^{n} est un isomorphisme. Notez que les résultats de cet exercice s’appliquent au sous-k-algèbres commutatives des M_{n}(k), donc généralisent la décomposition en sous-espaces caractéristiques pour un endomorphisme au cas d’endomorphismes commutant entre eux, et sans que les polynômes caractéristiques soient scindés.

37. Soit K une extension finie de ℚ. Soit m un idéal maximal de K_{ℤ}. Soit p la caractéristique de K_{ℤ}/m (rappelons que ce dernier est fini). Soit m′ l’ensemble des x dans K tels que xm ⊂ K_{ℤ}. En appliquant l’exercice précédent à la 𝔽_{p}-algèbre K_{ℤ}/pK_{ℤ}, montrer que m′ ≠ K_{ℤ}. Indication : il suffit de voir qu’il existe un élément non nul de p^{−1}K_{ℤ}/K_{ℤ} annulé par m. La multiplication par p induit un isomorphisme de K_{ℤ}-modules de p^{−1}K_{ℤ}/K_{ℤ} vers K_{ℤ}/pK_{ℤ}. Ceci donne donc une démonstration plus directe que celle du cours du fait que les idéaux maximaux de K_{ℤ} sont inversibles dans le monoïde des idéaux fractionnaires.

38. Dans cet exercice nous nous intéressons aux idéaux de l’anneau des entiers A := ℤ[\sqrt{−5}] de K := ℚ(\sqrt{−5}). Nous avons déjà vu que cet anneau n’est pas factoriel (6 se factorise comme 2·3, mais aussi comme (1 + \sqrt{−5})(1 − \sqrt{−5})). La première chose à étudier est comment se factorisent les idéaux pA avec p dans ℕ premier. Nous allons regarder en détail d’où vient le problème avec les deux factorisations en irréductibles de 6. En même temps, nous anticipons la suite de ce cours : borne pour le groupe C(A), et réciprocité quadratique. Notons f := x^{2} + 5, dans ℤ[x].

(a) Soit p dans ℕ premier. Montrer que la 𝔽_{p}-algèbre A/pA est isomorphe à 𝔽_{p} × 𝔽_{p}, à 𝔽_{p^{2}} ou à 𝔽_{p}[t]/(t^{2}) suivant le cas où f se décompose dans 𝔽_{p}[x] en deux facteurs distincts, est irréductible, ou un carré. Indication : considérer ℤ[x]/(f).

(b) Montrer que le discriminant de f est −20. Conclure que le dernier des trois cas de l’exercice précédent se produit seulement pour p = 2 et p = 5.

(c) Calculer aussi le déterminant de la matrice donnant la forme trace de K sur ℚ, par rapport à une ℤ-base de A. Le résultat n’est pas une coïncidence, et montre que ce nombre −20 est un invariant important de A, comme illustre l’exercice suivant.

(d) Soit p dans ℕ premier, différent de 2 et de 5. La réciprocité quadratique, que nous montrerons plus tard, dit que la condition “−5 est un carré dans 𝔽_{p}” dépend uniquement de l’image de p dans (ℤ/20ℤ)^{∗}. Même plus fort, il existe un morphisme de groupes g: (ℤ/20ℤ)^{∗} → {1, −1} tel que la condition “g(p) = 1” équivaut à “−5 est un carré dans 𝔽_{p}”. Calculez ce g, et vérifiez ce résultat dans quelques cas (i.e., prendre quelques p_{1} et p_{2} avec même image dans ℤ/20ℤ, et vérifiez que −5 est un carré modulo p_{1} si et seulement s’il est un carré modulo p_{2}).

(e) En regardant A/2A, montrer qu’il existe un unique idéal maximal m_{2} de A qui contient 2. Montrer que m_{2} = (2, 1 + \sqrt{−5}), et que 2A = m_{2}^{2}.

(f) Montrer que les idéaux maximaux de A qui contiennent 3 sont m_{3} := (3, −1+\sqrt{−5}) et \overline{m_{3}} = (3, −1 − \sqrt{−5}). Vérifiez que 3A = m_{3}\overline{m_{3}}.

(g) Donner la factorisation de l’idéal 6A en idéaux maximaux de A. Montrer que m_{2}, m_{3} et \overline{m_{3}} ne sont pas principaux, mais que m_{2}m_{3} et m_{2}\overline{m_{3}} le sont, ainsi que m_{2}^{2} et m_{3}\overline{m_{3}}. Ceci explique les différentes factorisations de 6.

(h) Calculer des ℤ-bases de tous les idéaux maximaux de A qui contiennent un premier p dans ℕ avec p ≤ 19. Lesquels sont principaux ? Montrer que si deux d’entre eux ne sont pas principaux, alors leur produit l’est, en calculant cas par cas. Comment cela pourrait s’expliquer en termes du groupe C(A) ?

39. Soit d > 0 un entier sans facteur carré, et K = ℚ(\sqrt{−d}) le corps quadratique imaginaire correspondant.

(a) Calculer le volume de ℂ/K_{ℤ}. Indication : quelque soit d modulo 4, il est recommandé de calculer d’abord le volume de ℂ/ℤ[\sqrt{−d}], et de faire ensuite le nécessaire pour obtenir le volume de ℂ/K_{ℤ}. (Bien sûr, on peut aussi calculer directement avec une ℤ-base de K_{ℤ}.)

(b) Calculer le discriminant discr(K_{ℤ}) de K (par définition, c’est le déterminant de la matrice de la forme trace par rapport à n’importe quelle ℤ-base de K_{ℤ}). Indication : comme dans la partie précédente : il est plus simple de faire d’abord le calcul pour ℤ[\sqrt{−d}].

(c) Avec la méthode que vous avez vue en cours, montrer que tout idéal non nul a de K_{ℤ} contient un élément x non nul tel que |x| ≤ 2(π^{−1}2^{−1}|discr(K_{ℤ})|^{1/2}N(a))^{1/2}.

(d) Montrer que tout élément de C(K_{ℤ}) est représenté par un idéal de K_{ℤ} de norme au

plus 2π^{−1}|discr(K_{ℤ})|^{1/2}.

40. Notons A := ℚ(\sqrt{−19})_{ℤ}. Montrer que A est principal. Indication : utiliser l’exercice précédent pour trouver un entier x tel qu’il suffit de montrer que les idéaux de norme au plus x sont principaux ; ensuite, calculer tous les idéaux de norme au plus x.

41. Soit A un anneau intègre tel que A^{∗} a au plus deux éléments, et tel que tout idéal a ≠ A est d’indice au moins 4. Montrer que A n’est pas euclidien. Indication : supposer que ϕ: A − {0} → ℕ soit une fonction euclidienne ; soit a dans A non nul et non inversible tel que ϕ(a) soit minimal pour de tels éléments ; montrer que A/aA consiste des classes de 0, 1 et −1, car 1 et −1 sont les seuls inversibles de A; contradiction.

42. Montrer que A := ℚ(\sqrt{−19})_{ℤ} n’est pas euclidien. Indication : montrer que pour tout idéal a de A différent de A on a |A/a| > 3 ; utiliser l’exercice précédent.

43. Pour ceux qui veulent : montrer que A := ℚ(\sqrt{−163})_{ℤ} est principal. Ceci est directement lié au fait que le polynôme f := x^{2} − x + 41 a la propriété que f(n) est premier pour −39 ≤ n ≤ 40. (On sait, depuis le début des années 70, que les seuls corps quadratiques imaginaires K avec K_{ℤ} principal sont les ℚ(\sqrt{−d}) avec d parmi 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, et 163. Voir par exemple le livre [Serre1].)

44. Montrer que l’équation y^{2} = x^{5} − 5 n’a pas de solution dans ℤ.

45. Soit K une extension finie de ℚ. Notons n := dim_{ℚ}(K) son degré et d := discr(K_{ℤ}) son discriminant. Montrer que l’on a :

|d| ≥ \frac{π}{3} (\frac{3π}{4} )^{n−1} .

Indication : utiliser la borne donnée dans le cours pour l’existence de “petits” représentants pour les éléments de C(K_{ℤ}). Conclure que si n > 1, alors |d| ≥ 3. Donner un exemple d’un K avec |d| = 3. En existe-t-il d’autres ? (En fait, pour chaque entier N, il n’existe (à isomorphisme près) qu’un nombre fini d’extensions finies K de ℚ avec |discr(K_{ℤ})| ≤ N ; c’est le théorème d’Hermite ; voir [Samuel, IV, Thm. 3].)

46. Soit f dans ℤ[x] unitaire, disons de degré n. Notons z_{1}, …, z_{r} les racines distinctes de f dans ℂ, avec multiplicités m_{1}, …, m_{r}.

(a) Montrer que la forme trace de ℂ[x]/(f) sur ℂ est non dégénérée si et seulement si les z_{i} sont des racines simples (c’est à dire, si m_{i} = 1 pour tout i).

(b) Supposons à partir de maintenant que les racines de f sont simples. On rappelle que le discriminant de f est défini par : discr(f) = ∏_{i<j}(z_{i} − z_{j})^{2}. Montrer qu’en effet ce dernier produit ne dépend pas de la numérotation des racines.

(c) Montrer que : discr(f) = discr(ℤ[x]/(f). Indication : discr(ℤ[x]/(f) est le déterminant de la matrice de la forme trace de la ℂ-algèbre ℂ[x]/(f), par rapport à la ℂ-base (1, x, …, x^{n−1}) ; le théorème Chinois donne un isomorphisme de ℂ[x]/(f) vers ℂ^{n}; comparer l’image de la base (1, x, …, x^{n−1}) avec la base canonique.

47. Soit K un corps de nombres, A ⊂ B deux sous-anneaux d’indice fini de K_{ℤ}. Montrer que discr(A) = |B/A|^{2}discr(B). Indication : A et B sont des ℤ-modules libres de même rang fini ; utiliser ce que vous avez appris.

48. Soit f dans ℤ[x] unitaire, irréductible, et de degré au moins 2. Montrer que |discr(f)| ≥ 3. Pouvez-vous donner des exemples de f unitaires de degré 2, 3, etc. avec |discr(f)| = 1 ?

49. Avec la méthode donnée en cours, montrer que ℤ[3^{1/3}] est l’anneau des entiers de ℚ(3^{1/3}). Donner des ℤ-bases des anneaux d’entiers des ℚ(n^{1/3}), 4 ≤ n ≤ 9.

50. Soit K un corps de nombres. Montrer que K^{∗} n’est pas de type fini.

51. Soit e ≠ 0 dans ℤ.

(a) Montrer que l’équation x^{2} − 2y^{2} = e a des solutions dans ℤ si et seulement si, pour tout premier p tel que v_{p}(e) = 1 mod 2, 2 est un carré dans 𝔽_{p}.

(b) Pouvez vous conjecturer quels sont les p tel que 2 est un carré dans 𝔽_{p}? (Pensez aux

congruences modulo le discriminant de ℚ(\sqrt{2}).)

52. Admettons que A := ℤ[2^{1/3}] soit l’anneau des entiers de ℚ(2^{1/3}).

(a) Montrer que A^{∗} est isomorphe à ℤ/2ℤ × ℤ.

(b) Trouver une unité fondamentale dans A.

(c) Quelle équation sait-on maintenant résoudre ?

53. Donner une preuve du théorème des unités dans le cas où r_{1} = 0 et r_{2} = 2. Pour ceux qui veulent : r_{1} = 0 et r_{2} quelconque.

54. Soit p premier, p > 2.

(a) Montrer que t^{4} + 1 est scindé sur 𝔽_{p^{2}}. (Indication : les racines de t^{4} + 1 dans un corps K de caractéristique différente de 2 sont les éléments d’ordre 8 de K^{∗}.)

(b) Soit x une racine de t^{4} +1 dans 𝔽_{p^{2}}. Montrer que x, −x, 1/x et −1/x sont des racines distinctes de t^{4} + 1.

(c) Montrer que (x + 1/x)^{2} = 2.

(d) Montrer que x + 1/x est dans 𝔽_{p} si et seulement si p = ±1 mod 8. (Indication :

x + 1/x ∈ 𝔽_{p} équivaut à (x + 1/x)^{p} = x + 1/x.)

55. Calculer les symboles de Legendre suivants, par exemple en utilisant la réciprocité quadratique : (\frac{19}{229}), (\frac{2}{229}), (\frac{38}{229}), (\frac{51}{229}).

56. Soit p ≠ 2 en nombre premier, K un corps, et ζ_{p} d’ordre p dans K^{∗}. Notons τ la somme

de Gauss :

τ := ∑_{x∈𝔽_{p}^{∗}} (\frac{x}{p}) ζ_{p}^{x}.

Montrer que τ^{2} = (\frac{−1}{p})p. Vérifiez ce résultat à la main pour p = 3, 5, et 7. Ceci donne donc une démonstration très explicite du fait que le corps quadratique dans ℚ(ζ_{p}) est ℚ(\sqrt{(\frac{−1}{p})p}).

57. Soit K un corps quadratique. Montrer que les conditions qu’un premier p soit décomposé, inerte ou ramifié dans K sont données par des congruences modulo discr(K).

58. Calculer les premiers trois ou quatre approximations rationnelles de π données par la fraction continue associée à π.

59. Soient n et m des entiers. Constatez que le développement en fraction continue de n/m reproduit ce que l’on trouve avec l’algorithme d’Euclide pour calculer le pgcd de n et de m.

60. Soit x un réel irrationnel tel que la fraction continue associée à x devient périodique, dans le sens du cours. Montrez que x est quadratique sur ℚ.

61. Calculer une unité fondamentale de ℤ[\sqrt{14}], avec la méthode des fractions continues.

11 Examens, partiels, etc.

Exemple d’un partiel (printemps 2000).

Durée : 2 heures. Documents autorisés : aucun. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.

1. (a) Donner 5 solutions différentes de l’équation y^{2} = 2x^{2} − 1, avec x > 0 et y > 0

dans ℚ.

(b) Donner 5 solutions différentes de l’équation y^{2} = 2x^{2} − z^{2}, avec x, y et z dans ℤ, avec x > 0, y > 0, z > 0, y > z et pgcd(x, y, z) = 1.

(c) L’ensemble des solutions dans ℤ de y^{2} = 2x^{2} − 1 est-il fini ?

2. (a) Soit A le sous-anneau ℤ[\sqrt{−7}] de ℂ. La fonction N: A → ℕ, x ↦ |x|^{2} est-elle

euclidienne ?

(b) Est-ce que l’anneau A est euclidien ?

(c) Est-ce que l’anneau B := ℤ[(1 + \sqrt{−7})/2] est euclidien ?

3. Soit d un entier sans facteurs carrés, différent de 1, et congru à 1 modulo 4. Posons K := ℚ(\sqrt{d}).

(a) Donner une ℤ-base de l’anneau des entiers K_{ℤ} de K.

(b) Donner la matrice, par rapport à votre base, de la forme trace : (x, y) ↦ Tr_{K/ℚ}(xy).

4. Soit k un corps, V_{1} et V_{2} des k-espaces vectoriels de dimension finie, u_{1} et u_{2} des endomorphismes de V_{1} et V_{2}, respectivement. Si u_{1} et u_{2} sont diagonalisables, est-ce que l’endomorphisme u_{1} ⊗ u_{2} de V_{1} ⊗_{k} V_{2} l’est ?

Partiel du cours “théorie algébrique des nombres”, 17/03/2000.

Durée : 2 heures. Documents autorisés : aucun. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.

1. (a) Donner toutes les solutions dans ℚ de l’équation x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3.

(b) Existe-t-il un a dans ℚ tel que l’équation x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} = a admet des solutions dans ℝ, mais pas dans ℚ?

2. Soit A le sous-anneau ℤ[2^{1/3}] du sous-corps K := ℚ(2^{1/3}) de ℂ.

(a) Donner le polynôme minimal de 2^{1/3} sur ℚ.

(b) Donner une ℤ-base de A.

(c) Calculer r ≥ 0, 1 < d_{1}| ⋯ |d_{r} ≠ 0 tels que A/(−3 + 2^{1/3})A est isomorphe, en tant que ℤ-module, à ℤ/d_{1}ℤ ⊕ ⋯ ⊕ ℤ/d_{r}ℤ.

(d) Calculer la forme trace de K sur ℚ par rapport à votre base.

(e) Donner une majoration du cardinal du ℤ-module K_{ℤ}/A.

3. Soit p un nombre premier, k un corps de caractéristique p, et t dans k. Soit K la k-algèbre k[x]/(x^{p} − t).

(a) Supposons que t est une puissance pème dans k. Montrer alors que la forme trace de K sur k est nulle.

(b) Supposons seulement que t est une puissance pème dans une extension k′ de k. Montrer alors que la forme trace de K sur k est nulle.

(c) Ne supposons plus rien sur t. Montrer que la forme trace de K sur k est nulle.

(d) Existe-t-il une extension finie de corps telle que sa forme trace soit nulle ?

Corrigé du partiel du 17/03/2000.

1. (a) Supposons que (x_{1}, x_{2}) dans ℚ^{2} soit une solution. Ecrivons x_{1} = a/c et x_{2} = b/c avec a, b et c dans ℤ et pgcd(a, b, c) = 1. On a : a^{2} + b^{2} = 3c^{2}. Mais dans ℤ/4ℤ les seuls carrés sont 0 et 1, donc a^{2}, b^{2} et c^{2} ont image zéro dans ℤ/4ℤ, ce qui contredit pgcd(a, b, c) = 1.

(b) Oui, on peut prendre a = 7. Comme 7 ≥ 0, il y a des solutions dans ℝ. Pour voir qu’il n’y en a pas dans ℚ, il suffit de voir qu’il n’y a pas de a, b, c et d dans ℤ avec pgcd(a, b, c, d) = 1 et a^{2} + b^{2} + c^{2} = 7d^{2}. Cela se voit en notant que les seuls carrés dans ℤ/8ℤ sont 0, 1 et 4.

2. (a) Le polynôme x^{3} − 2 dans ℚ[x] annule 2^{1/3} et est irréductible (Eisenstein avec p = 2, ou noter qu’il est de degré trois et n’a pas de racine dans ℚ) ; c’est donc le polynôme minimal de 2^{1/3} sur ℚ.

(b) On peut prendre (1, 2^{1/3}, 2^{2/3}).

(c) On calcule la matrice de la multiplication par −3 + 2^{1/3} sur A par rapport à la base que l’on a, et on fait des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes, ce qui donne ℤ/25ℤ. Une autre façon de faire dans ce cas : A = ℤ[x]/(x^{3} − 2), donc A/(−3 + 2^{1/3})A = ℤ[x]/(x^{3} − 2, x − 3) = ℤ/(3^{3} − 2).

(d) Calcul standard.

(e) Soit x dans K_{ℤ}. Ecrivons x = a+b2^{1/3} +c2^{2/3} avec a, b et c dans ℚ. Alors Tr_{K/ℚ}(x), Tr_{K/ℚ}(2^{1/3}x) et Tr_{K/ℚ}(2^{2/3}x) sont dans ℤ, ce qui donne 3a ∈ ℤ, 6b ∈ ℤ et 6c ∈ ℤ. On en conclut que |K_{ℤ}/A| ≤ 3·6·6 = 108. Notons que cette méthode est la même par laquelle nous avons montré que les K_{ℤ} sont des ℤ-modules libres de rang dim_{ℚ}(K).

3. (a) On a donc t = s^{p} pour un s dans k. Alors K = k[x]/(x^{p} − s^{p}) = k[x]/((x − s)^{p}), ce qui est isomorphe à k[y]/(y^{p}). La trace de la multiplication par y^{i}, avec i > 0, est nulle, car y est nilpotent, donc ses valeurs propres sont nulles. La trace de la multiplication par 1 est l’élément p de k, qui est nul car k est de caractéristique p.

(b) Nous avons vu en cours que la matrice de la forme trace de K′ := k′[x]/(x^{p} − t) sur k′ par rapport à la base (1, x, …, x^{p−1}) est la même de celle de la forme trace de K sur k par rapport à la base (1, x, …, x^{p−1}). Par la première partie, cette matrice est nulle.

(c) Il suffit de remarquer que x^{p} − t admet une racine dans une extension convenable de k (une clôture algébrique, ou un corps de décomposition ou de rupture, par exemple). Une autre méthode est de calculer les matrices des ·x^{i}, 0 ≤ i < p, par rapport à la base (1, x, …, x^{p−1}) ; cela donne en un seul coup les trois premières parties de cet exercice.

(d) Oui, par exemple 𝔽_{2}(t) → 𝔽_{2}(t)[x]/(x^{2} − t).

Quelques remarques sur la correction.

1. Le correcteur a été surpris par la longueur de certaines copies. Il conseille vivement de faire une version brouillon avant de rédiger la version finale.

2. Le correcteur tient à préciser que 3/2 = 1 + 1/4 + 1/4, que 6/5 = 1 + 4/25 + 1/25, et que 4 = 4 + 0 + 0.

3. C’est vrai qu’une ℤ-base de A est une ℚ-base de K, mais il n’est pas vrai que toute ℚ-base de K est une ℤ-base de A.

4. Remarque importante : s’il s’agit de faire des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes qui doivent être inversibles sur ℤ, il faut surtout pas multiplier des lignes ou des colonnes par un entier non inversible. Plus précisément : la matrice ( \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) n’est pas inversible sur ℤ, mais ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) l’est.

5. La majoration |K_{ℤ}/A| ≤ |K/A| ne semble pas très utile.

6. Si A ⊂ B est une inclusion de ℤ-modules, avec A et B isomorphes (par exemple, les deux libre de même rang), on n’a pas nécessairement A = B.

7. Une puissance pème n’est pas la même chose qu’une puissance de p.

8. Remarque importante : il existe des extensions finies de corps qui ne sont pas séparables.

9. Le barème appliqué pendant la correction est : 1 : 3+3, 2 : 2+1+2+1+2, 3 : 1+2+1+2. Ce barème a été choisi avant la correction, en observant que les parties 1a, 2a, 2b, 2c, et 2d donnent déjà 9 points, et n’a pas été modifié depuis.

10. La répartition des notes est comme suite :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 0 0 1 0 1 4 6 6 4 4 4 4 5 4 1 0 0 0 0 0

La moyenne des notes est 9,26.

Exemple d’un examen.

Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.

1. Soit K un corps de nombres, et m un idéal maximal de son anneau des entiers K_{ℤ}. Montrer que la norme de m est de la forme p^{d} avec p un nombre premier, et d ≤ dim_{ℚ}(K) un entier. (Indication : utilisez ce que vous savez de K_{ℤ} en tant que ℤ-module.)

2. Donner des exemples d’entiers d tels que l’anneau ℤ[x]/(x^{2} − d) soit :

(a) non réduit ;

(b) intègre, mais non intégralement clos ;

(c) euclidien, et avec groupe multiplicatif infini ;

(d) euclidien, et avec groupe multiplicatif fini.

3. Notons A le sous-anneau ℤ[\sqrt{10}] de ℝ.

(a) Combien d’idéaux de norme 2 y a-t-il dans A?

(b) Combien d’idéaux de norme 3 y a-t-il dans A?

(c) Combien d’idéaux de norme 6 y a-t-il dans A? (Indication : les questions précédentes peuvent être utiles.)

(d) Existe-t-il a dans A avec N(a) = ±2 ? Avec N(a) = ±3. Et avec N(a) = ±6 ? (Indication : la réduction modulo 5 peut être utile.)

(e) Calculer l’ordre du groupe de classes d’idéaux C(A).

(f) Donner les quatre unités fondamentales de A.

(g) Donner trois solutions de l’équation x^{2} − 10y^{2} = 6, avec x et y des entiers positifs.

4. Est-ce que 30 est un carré dans ℤ/239ℤ? Et dans ℤ/299ℤ?

Examen “théorie algébrique des nombres”, 22/05/2000.

Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.

1. Est-ce que 15 est un carré dans ℤ/247ℤ? Et dans ℤ/251ℤ?

2. Donner des exemples d’entiers d tels que l’anneau ℤ[x]/(x^{2} − d) soit :

(a) réduit, mais non intègre ;

(b) de Dedekind, mais non principal.

3. (a) Soit A le sous-anneau ℤ[\sqrt{−2}] de ℂ. La fonction N: A → ℕ, x ↦ |x|^{2} est-elle

euclidienne ?

(b) Soit B le sous-anneau ℤ[\sqrt{−3}] de ℂ. La fonction N: A → ℕ, x ↦ |x|^{2} est-elle euclidienne ?

(c) Est-ce que l’anneau B est euclidien ?

4. (a) Existe-t-il un corps de nombres K de degré au moins 3 tel que tout élément de K_{ℤ}^{∗}

soit un cube dans K_{ℤ}?

(b) Existe-t-il un corps de nombres K de degré 2 tel que tout élément de K_{ℤ}^{∗} soit un cube dans K_{ℤ}?

5. Notons A l’anneau ℤ[x]/(x^{5} − 1).

(a) Donner une ℤ-base de A.

(b) Calculer la matrice de la forme trace de A sur ℤ, et son déterminant, qui est donc le discriminant de A.

(c) Pour n dans ℕ, calculer le discriminant de l’anneau ℤ[x]/(x^{n} − 1).

(d) Pour p premier, calculer le discriminant de l’anneau ℤ[x]/(x^{p−1} + ⋯ + x + 1).

Corrigé de l’examen du 22/05/2000.

1. Tout d’abord, on décompose 247 et 251 en facteurs premiers. Cela donne : 247 = 13·19, et 251 est premier car non divisible par tout premier < 16. Par le théorème Chinois, 15 est un carré dans ℤ/247ℤ si et seulement si 15 est un carré dans ℤ/13ℤ et dans ℤ/19ℤ. Comme 15 est égal à 2 dans ℤ/13ℤ, et que 13 n’est pas ±1 modulo 8, on sait que 15 n’est pas un carré modulo 13. Conclusion : 15 n’est pas un carré dans ℤ/247ℤ. Pour voir si 15 est un carré dans ℤ/251ℤ, on considère le symbole de Legendre. En utilisant la réciprocité quadratique, on voit que : (\frac{15}{251}) = (\frac{3}{251})(\frac{5}{251}) = −(\frac{−1}{3})(\frac{1}{5}) = 1.

2. Pour la première partie on peut prendre d = 1, et pour la deuxième d = −5.

3. (a) Oui, le calcul standard le montre.

(b) Non, car dans (c) on montre que l’anneau en question n’est pas euclidien.

(c) Non, car il n’est pas intégralement clos (sa clôture intégrale est ℤ[(1 + \sqrt{−3})/2]).

4. (a) Le théorème des unités de Dirichlet implique que le groupe K_{ℤ}^{∗} se surjecte sur ℤ. Dans ℤ, la multiplication par 3 n’est pas surjective, donc l’élévation à la puissance 3 dans K_{ℤ}^{∗} ne l’est pas non plus.

(b) Oui, par exemple : ℚ(i).

5. (a) On peut prendre (1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}).

(b) Pour i dans ℤ, la multiplication par x^{i} de A vers A agit sur notre base par un 5-cycle si i n’est pas multiple de 5, et par l’indentité si i est multiple de 5. Donc la trace de ·x^{i} est zéro si 5 |̸i et est 5 si 5|i. La matrice de la forme trace par rapport à notre base est donc :

( \begin{matrix}5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

On calcule que le déterminant de cette matrice est −5^{5}.

(c) En reprenant le même argument que dans la partie précédente, on voit que ce discriminant est (−1)^{(n−1)(n−2)/2}n^{n}.

(d) Ceci est plus compliqué. Nous avons vu dans les exercices de TD que pour f dans ℤ[x] unitaire, on a discr(ℤ[x]/(f)) = discr(f). Donc :

discr(x^{p} − 1) = (−1)^{(p−1)(p−2)/2}p^{p}.

Ecrivons x^{p} − 1 = (x − 1)g. La définition du discriminant en termes de différences de racines donne que discr(x^{p} − 1) = discr(g) ∏_{r}(1 − r)^{2}, où r parcourt l’ensemble de racines de g (dans ℂ, disons). Comme f = ∏_{r}(x − r) dans ℂ[x], on a ∏_{r}(1 − r) = g(1) = p. On trouve donc : discr(g) = (−1)^{(p−1)(p−2)/2}p^{p−2}. Ici, nous n’avons pas utilisé que p soit premier ; la formule est vraie pour p ≥ 1.

La répartition des notes est comme suite :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 0 3 3 2 4 2 2 3 2 7 4 2 5 3 1 2 2 0 0 0

La moyenne de ces notes est environ 8.9.

Examen “théorie algébrique des nombres”, 11/09/2000.

Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes non autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses.

1. Admettons que p = 10007 soit premier. Est-ce que 35 est un carré modulo p?

2. Notons n = 5·13·17·29. Combien de couples (a, b) dans ℤ^{2} existe-t-il tel que a^{2} +b^{2} = n?

3. Notons A le sous-anneau ℤ[\sqrt{15}] de ℝ. C’est l’anneau des entiers de ℚ(\sqrt{15}). (a) Combien d’idéaux de norme 2 y a-t-il dans A?

(b) Combien d’idéaux de norme 3 y a-t-il dans A?

(c) Combien d’idéaux de norme 6 y a-t-il dans A? (Indication : les questions précédentes peuvent être utiles.)

(d) Existe-t-il a dans A avec |N(a)| = 2 ? Avec |N(a)| = 3. Et avec |N(a)| = 6 ? (Indication : la réduction modulo 5 peut être utile.)

(e) Calculer l’ordre du groupe de classes d’idéaux C(A).

(f) Donner un exemple d’une factorisation en irréductibles dans A qui n’est pas unique à des unités près.

(g) Donner les quatre unités fondamentales de A.

(h) Donner trois solutions de l’équation x^{2} − 15y^{2} = −6, avec x et y des entiers positifs.

4. Soit p un nombre premier, n ≥ 2 un entier, et 𝔽_{p} → 𝔽 une extension de corps de degré n. On sait qu’une telle extension est unique à isomorphisme près, car c’est un corps de décomposition de x^{p^{n}} − x.

(a) Quel est le cardinal de 𝔽?

(b) Quelle est la dimension de la 𝔽_{p}-algèbre 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽?

(c) Soit G le groupe d’automorphismes de la 𝔽_{p}-algèbre 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽. Est-ce que G est cyclique ?

(d) Est-ce que 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽 est un corps ?

(e) Quel est le cardinal de G?

Corrigé de l’examen du 11/09/2000.

1. Comme p est premier, on peut appliquer la réciprocité quadratique. On calcule :

(\frac{35}{10007}) = (\frac{5}{10007}) (\frac{7}{10007}) = (\frac{2}{5}) ·(−1)· (\frac{4}{7}) = 1.

Donc 35 est un carré modulo p.

2. Pour p parmi 5, 13, 17 et 29, prenons α_{p} premier dans ℤ[i] tel que p = α_{p}\overline{α_{p}} (noter que p est 1 modulo 4). La question est combien de α on a dans ℤ[i] avec n = α\overline{α}. En regardant la factorisation dans ℤ[i] de n, on voit qu’il y a 2^{4}4 = 64 de tels α (pour chaque p il faut choisir entre α_{p} et \overline{α_{p}}, et tout produit ainsi obtenu peut encore être multiplié par 1, i, −1 ou −i).

3. Comme dans “l’exemple d’un examen” à la page 68.

4. (a) Comme 𝔽 est isomorphe à 𝔽_{p}^{n} en tant que 𝔽_{p}-espace vectoriel, |𝔽| = p^{n}.

(b) La dimension du produit tensoriel de deux espaces vectoriels est le produit des deux dimensions. Donc la dimension de 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽 est n^{2}.

(c) Notons σ l’endomorphisme de Frobenius de 𝔽, donc σ(x) = x^{p} pour tout x dans 𝔽. Alors σ n’est pas l’identité car n ≥ 2. Mais alors on a σ ⊗ id et id ⊗ σ dans G, qui sont tous les deux d’ordre n, mais qui ne sont pas puissances l’un de l’autre. Cela implique que G n’est pas cyclique.

(d) Non, car si c’était un corps, son groupe d’automorphismes serait cyclique, donc aussi son sous-groupe G. Il y a bien d’autres façons de voir que 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽 n’est pas un corps (trop de racines du polynôme X^{p^{n}} − X, par exemple, ou le résultat du cours qui dit que 𝔽 ⊗_{𝔽_{p}} 𝔽 est isomorphe, en tant que 𝔽-algèbre, à 𝔽^{n}.

(e) Utilisant que 𝔽⊗_{𝔽_{p}}𝔽 est isomorphe, en tant qu’anneau, à 𝔽^{n}, on voit que |G| = n^{n}·n!.

La répartition des notes est comme suite :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 0 0 0 0 1 0 0 3 1 0 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0

Partiel du cours “théorie algébrique des nombres”, 26/03/2001.

Durée : 2 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours et des feuilles de TD peuvent être utilisés. Justifiez vos réponses. Les exercices avec un astérisque sont probablement plus difficiles. Bonne chance !

Rappel : un élément a d’un anneau A est dit premier si l’idéal qu’il engendre est premier.

1. Factoriser en irréductibles les éléments 29, 31 et 3 + 7i de ℤ[i].

2. Posons f := x^{3} + x + 1 dans ℤ[x], et A := ℤ[x]/(f). Notons u la classe de x dans A.

(a) Donner une ℤ-base de A, calculer la matrice de la forme trace par rapport à cette base, et le discriminant de A.

(b) Calculer la matrice de la multiplication sur A par u^{2} + u − 1 par rapport à votre base, et calculer les entiers positifs d_{1}|d_{2}|d_{3} tels que A/(u^{2} + u − 1)A soit isomorphe à ℤ/d_{1}ℤ ⊕ ℤ/d_{2}ℤ ⊕ ℤ/d_{3}ℤ en tant que ℤ-module.

(c)* L’élément u^{2} + u − 1 de A est-il premier ? (d)* Est-ce que A est intégralement clos ?

3. Soit K := ℚ(\sqrt{−6}) et A := ℤ[\sqrt{−6}] son anneau des entiers.

(a) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de A contenant 2.

(b) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de A contenant 3.

(c) Donner la factorisation en idéaux maximaux de l’idéal (\sqrt{−6}).

(d) Donner un exemple d’un élément irréductible non premier dans A.

(e) Donner un exemple d’un élément a de A et de deux factorisations non équivalentes de ce a en irréductibles.

Corrigé du partiel du 11/04/2001.

1. Comme 29 = 1(4) et est premier dans ℤ, la théorie dit que 29 se factorise en deux facteurs premiers dans ℤ[i], et, en effet, on a 29 = 5^{2} + 2^{2} = (5 + 2i)(5 − 2i). Comme 31 est premier dans ℤ et −1 modulo 4, 31 est premier (et donc irréductible) dans ℤ[i]. La norme de 3 + 7i est 58 = 2·29. Comme 2 = −i(1 + i)^{2}, 3 + 7i est divisible par 1 + i, et on trouve 3 + 7i = (1 + i)(5 + 2i).

2. (a) Comme ℤ-base on peut prendre (1, u, u^{2}). En écrivant les matrices de la multiplication par u et u^{2} par rapport à cette base on trouve que Tr(u) = 0 et Tr(u^{2}) = −2. En utilisant que u^{3} = −u − 1 et u^{4} = −u^{2} − u, on obtient : Tr(u^{3}) = −3 et Tr(u^{4}) = 2. Le déterminant de la matrice de la forme trace est −31.

(b) Le calcul de la matrice est directe, et les opérations élémentaires sur lignes et colonnes donnent : d_{1} = 1, d_{2} = d_{3} = 3. Donc A/(u^{2} +u−1)A est isomorphe à ℤ/3ℤ⊕ℤ/3ℤ en tant que ℤ-module.

(c)* Comme 3 annule A/(u^{2} + u − 1)A (par la partie précédente), on sait que 3 est dans (u^{2} + u − 1)A. Donc :

A/(u^{2} +u−1)A = A/(3, u^{2} +u−1) = 𝔽_{3}[x]/(x^{2} +x−1, f) = 𝔽_{3}[x]/(x^{2} +x−1),

la dernière égalité résultant du fait que f = (x − 1)(x^{2} + x − 1) dans 𝔽_{3}[x]. Comme x^{2} + x − 1 est irréductible dans 𝔽_{3}[x], A/(u^{2} + u − 1)A est un corps (à 9 éléments), et u^{2} + u − 1 est donc premier dans A.

(d)* Comme pour aucun premier p on a p^{2}|discr(A), A est intégralement clos par un théorème du cours.

3. (a) On a A/2A = ℤ[x]/(2, x^{2} + 6) = 𝔽_{2}[x]/(x^{2}). Par la correspondance des idéaux d’un

anneau et d’un quotient, le seul idéal maximal de A contenant 2 est m_{2} := (2, \sqrt{−6}).

(b) On a A/3A = ℤ[x]/(3, x^{2} + 6) = 𝔽_{3}[x]/(x^{2}). Le seul idéal maximal de A contenant 3 est donc m_{3} := (3, \sqrt{−6}).

(c) On calcule : m_{2}m_{3} = (6, 2\sqrt{−6}, 3\sqrt{−6}, −6) = (\sqrt{−6}).

(d) Comme N(n + m\sqrt{−6}) = n^{2} + 6m^{2}, il n’y a pas d’élément de norme 2, 3 ou 5 dans A, et A^{×} = \{1, −1\}. Comme N(\sqrt{−6}) = 6 = 2·3, \sqrt{−6} est irréductible. Par la partie précédente, il n’est par premier.

(e) On a 2·3 = 6 = −1·\sqrt{−6}^{2}. Les 4 facteurs sont bien irréductibles, et les deux factorisations non équivalentes.

Quelques remarques sur la correction.

1. Dans le 2(c), on veut connaître la structure d’anneau de A/(u^{2} + u − 1)A, mais il faut bien se réaliser que 2(b) ne donne que la structure de ℤ-module.

2. Quand on demande des exemples, donner le plus simple possible. C’est plus agréable pour le correcteur. Exemple : dans le 3(d), on peut prendre \sqrt{−6}, et dans 3(e), deux factorisations de 6.

3. En faisant des opérations sur lignes et colonnes d’une matrice, n’écrivez pas de signes “=”entre les matrices, car elles ne sont pas égales. La prochaine fois cela coûtera des points !

4. Dans un anneau quelconque, un élément premier non nul est irréductible ; c’est dans l’autre sens qu’il faut utiliser que l’anneau en question est factoriel.

5. Pour des erreurs énormes (résultat non entier quand il doit être entier, ou argument qui marche dans des cas où l’on sait que la conclusion est fausse) j’ai attribué quelques points négatifs (des −1).

6. Le barème appliqué pendant la correction est : 1 : 4, 2 : 2+2+2+2, 3 : 1+1+2+2+2. Ce barème avait été choisi avant la correction, et n’a pas été modifié depuis.

7. La répartition des notes est comme suite :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 0 0 1 3 0 1 1 5 2 3 1 10 2 4 1 4 2 0 0 0

La moyenne des notes est 10, 8.

Examen “théorie algébrique des nombres”, 21/05/2001.

Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Justifiez vos réponses. Bonne chance !

1. Factoriser en irréductibles 7, 4 − j et 29 dans ℤ[j] (avec j = (−1 + i\sqrt{3})/2).

2. (a) Calculer une unité fondamentale de ℚ(\sqrt{11})_{ℤ}.

(b) Donner deux solutions dans ℤ de l’équation x^{2} − 11y^{2} = 1 avec x > 0 et y > 1.

(c) Calculer à la main les quatre premières approximations p_{n}/q_{n} de \sqrt{11} données par développement en fraction continue.

(d) Écrire la fraction continue de \sqrt{11} sous la forme [a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, …], en indiquant la périodicité (m > 0 et N tels que a_{n+m} = a_{n} si n ≥ N).

3. Soit A l’anneau ℤ[x]/(x^{3} − 5), et notons u la classe de x dans A. Notons K le corps des fractions de A.

(a) Calculer le discriminant de A.

(b) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de A contenant 3.

(c) Donner des générateurs pour les idéaux maximaux de A contenant 5.

(d) Montrer que A = K_{ℤ}. (Indication : pour traiter les idéaux maximaux contenant 3, faites la substitution x = y + 2.)

(e) Montrer que tout élément du groupe de classes d’idéaux C(A) est représenté par un idéal de norme au plus 7.

(f) Donner une majoration de |C(A)|.

(g) Est-ce que l’équation a^{3} + 5b^{3} + 25c^{3} − 15abc = 1 a des solutions dans ℤ, autres que (1, 0, 0) ?

4. Soit K le corps ℚ(\sqrt{13}).

(a) Montrer que la condition qu’un nombre premier p soit décomposé dans K ne dépend que de la classe de p modulo 13.

(b) Donner la liste des éléments a de ℤ/13ℤ tel qu’il existe un nombre premier p décomposé dans K d’image a dans ℤ/13ℤ.

La répartition des notes était comme suite :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 1 1 1 0 1 1 1 1 1 5 11 5 7 6 2 0 0 0 0 0

La moyenne des notes est 10, 15.

Examen “théorie algébrique des nombres”, 13/09/2001.

Durée : 3 heures. Documents autorisés : tous. Calculettes autorisées. Les résultats du cours peuvent être utilisés sans démonstration. Justifiez vos réponses. Bonne chance !

1. On admet que p = 10039 est premier. Est-ce que 39 est un carré modulo p? Est-ce que 35 est un carré modulo p?

2. (a) Calculer une unité fondamentale de ℤ[\sqrt{15}].

(b) Donner trois solutions dans ℤ de l’équation x^{2} − 15y^{2} = 1 avec x > 0 et y > 0.

(c) Y a-t-il des solutions dans ℤ de l’équation x^{2} − 15y^{2} = −1 ?

(d) Y a-t-il des solutions dans ℚ de l’équation x^{2} − 15y^{2} = −1 ?

(e) Calculer de façon exacte la fraction continue de \sqrt{15} sous la forme [a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, …], en indiquant la périodicité (m > 0 et N tels que a_{n+m} = a_{n} si n ≥ N).

(f) Calculez, pour 1 ≤ n ≤ 4, les approximations p_{n}/q_{n} de \sqrt{15} obtenues par le développement en fraction continue (l’utilisation d’homographies est conseillée).

3. Soit A l’anneau intègre ℤ[x]/(x^{4} − x − 1), et notons u la classe de x dans A. Notons K le corps des fractions de A.

(a) Calculer le discriminant de A et vérifiez que, à un signe près, il est premier.

(b) Montrer que A = K_{ℤ}.

(c) Calculez les entiers r_{1} et r_{2} tels que la ℝ-algèbre ℝ[x]/(x^{4} − x − 1) soit isomorphe à ℝ^{r_{1}} × ℂ^{r_{2}}.

(d) Montrer que tout élément du groupe des classes d’idéaux C(A) est représenté par un idéal de norme au plus 2.

(e) Montrer que A est principal.

(f) Vérifiez que x − 3 divise x^{4} − x − 1 dans 𝔽_{7}[x]. Est-ce qu’il existe a dans A tel que |N(a)| = 7, où N: K → ℚ est la norme ? Et si oui, y en a-t-il une infinité, et est-ce qu’il y a un a dans A avec N(a) = 7 ?

4. Soient r ≥ 1 entier, et p_{1}, …, p_{r} des nombres premiers distincts et différents de 2. Notons A l’anneau ℤ/p_{1} ⋯ p_{r}ℤ.

(a) Combien de x y a-t-il dans A tel que x^{2} = 1 ?

(b) Combien de x y a-t-il dans A tel que x^{2} = x?

(c) Mêmes questions pour A′ := ℤ/p_{1}^{2} ⋯ p_{r}^{2}ℤ.

Les notes étaient : 5, 8, 11 et 12.

Références

[Cohen] H. Cohen. A course in computational algebraic number theory. Graduate Texts in Mathematics, 138. Springer-Verlag, Berlin, 1993.

[CSS] Modular Forms and Fermat’s Last Theorem. G. Cornell, J. Silverman and Glenn Stevens, editors. Springer-Verlag, 1997.

[HW] G.H. Hardy and E.M. Wright. An introduction to the theory of numbers. Fifth edition. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1979.

[Hua] L.K. Hua. Introduction to number theory. Springer-Verlag, Berlin–New York, 1982. [I-R] K. Ireland and M. Rosen. A classical introduction to modern number theory. 2nd

edition. Graduate Texts in Mathematics 84, 1990.

[KKS] K. Kato, N. Kurokawa, T. Saito. Number Theory I, Fermat’s dream. Translations of Mathematical Monographs. AMS, 2000.

[Samuel] P. Samuel. Théorie algébrique des nombres. Hermann, Paris, deuxième édition, 1971.

[Serre1] J-P. Serre. Lectures on the Mordell-Weil theorem. Apects of Mathematics, E15, Vieweg, 1990 (2nd edition).

[Serre2] J-P. Serre. Cours d’arithmétique. Deuxième édition revue et corrigée. Le mathématicien, No. 2. Presses Universitaires de France, Paris, 1977.

[Serre3] J-P. Serre. Corps Locaux. Troisième édition. Publications de l’université de Nancago, No. VIII, Hermann, Paris, 1968.

[Swin] H.P.F. Swinnerton-Dyer. A Brief guide to algebraic number theory. London Mathematical Society Student Texts, 50. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.