Cours de DEA niveau 2, 1999-2000

DEA Mathématiques Fondamentales et Applications Universités de Rennes 1 et de Bretagne Occidentale

26 mai 2000

Ces cours, organisés dans le cadre de l’Ecole Doctorale “Mathématiques de l’Ouest”, sont des cours d’initiation à un domaine de recherche plus pointu que les cours de DEA, se plaçant au niveau d’un étudiant de première année de thèse, mais s’adressant à un public plus large que les séminaires des équipes de recherche. Ces cours complètent ainsi la formation acquise en DEA, tout en apportant une ouverture sur d’autres domaines de recherche. Cette année, les cours prévus sont les suivants.

– Paul Baird : Théorie géométrique de mesure. Durée : 15 heures, les lundi 29 mai et 5 juin 2000 de 13h45 à 14h45 et de 15h à 16h, et les mardis 30 mai et 6 juin 2000, de 8h45 à 10h15 et de 10h45 à 12h15, + 5 autres heures precisées ultérieurement. Lieu : salle 006 du batiment 22.

– Jean Bellissard : Solides apériodiques : mathématique de leur description, problèmes spectraux, transport électronique. Durée : 12 heures, en 6 fois 2 heures, les mercredis et jeudis 19, 20, 26 et 27 janvier 2000. Lieu : salle 006 du bâtiment 22, sauf l’après-midi du 26/01 : salle 016 du bâtiment 22.

– Françoise Dal’Bo : Etude du flot géodésique et horocyclique sur les surfaces hyperboliques. Durée : 15 heures, en 10 fois 1h30, les mercredis 15 et 22 mars, 5 et 12 avril, 3 et 10 mai, de 10h45 à 12h15, les vendredis 17 mars, 7 et 14 avril, et 5 mai, de 10h45 à 12h15. Lieu : salle 006 rez-de-chaussée du bâtiment 22.

– Shrikrishna Dani : Dynamical systems, flows on homogeneous spaces and diophantine approximation. Durée : 15 heures environ, en 10 fois 1h30. Mardi 23 mai, 10h30 à 12h. Jeudi 25 mai, 14h à 15h30, salle 006. Mardi 30 mai, 14h à 15h30, salle 004. Mercredi 31 mai, 10h30 à 12h, salle 016. Les autres séances seront précisées ultérieurement.

– Dima Grigoriev : Bornes inférieures de la complexité algébrique. Durée : 12 heures en 6 fois 2 heures, les mercredis 1, 8, 15, 22 et 29 mars et le 5 avril 2000, de 16h00 à 18h00. Lieu : salle 006 du bâtiment 22.

– Laurent Lafforgue : La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions. Durée : 6 heures, en 4 fois 1h30, les jeudis 27 janvier et 3 février, de 11h00 à 12h30, et de 14h30 à 16h00. Lieu : salle 004 du bâtiment 22, sauf l’après-midi du 27/01 : salle 16 bât. 27 (au-dessus de la cafétaria).

– François Murat : H-convergence et homogénéisation. Durée : 12 heures, en 6 fois 2 heures, les lundis 10, 17 et 24 janvier 2000, de 10 h à 12h, et de 14h à 16h (ou de 14h30 a 16h30). Lieu : salle 006 du bâtiment 22.

– Luc Tartar : De l’homogénéisation aux H-mesures. Durée : 12 heures, en 6 fois 2 heures. Lundi 5 juin, 9h à 11h, salle 016, et 14h à 16h, salle 032. Mercredi 7 juin, 14h à 16h, salle 016. Vendredi 9 juin, 9h à 11h et 14h à 16h, salle 016. Mardi 13 juin, 9h à 11h, salle 016.

Pour des descriptions plus précises de ces cours, voir la page web :

http://www.maths.univ-rennes1.fr/~edix/dea/annonce/annonce.html,

qui sera mise à jour au fur et à mesure.

Le cours de Paul Baird (Université de Brest) : Théorie géométrique de mesure

Une motivation pour le développement de la théorie géométrique de mesure est le problème de Plateau :

Donné une (n − 1)-sous-variété orientée M dans R^{m}, trouver une sous-variété orientée N de dimension n minimisant l’aire telle que ∂N = M.

Exemples : (i) Soit M le graphe d’une fonction C^{∞}, g : S^{1} → R ; soit N le graphe d’une fonction u : D^{2} → R qui est solution du problème de Dirichlet :

div \{\frac{∇u}{(1 + |∇u|^{2})^{1/2}} \} = 0

sur D^{2} et u = g sur S^{1} = ∂D^{2}. (ii) Soit

M = {(w, z) ∈ C^{2} : w^{2} = z^{3}, |w|^{2} + |z|^{2} = 1}
N = {(w, z) ∈ C^{2} : w^{2} = z^{3}, |w|^{2} + |z|^{2} ≤ 1}.

L’ensemble N de l’exemple (ii) est singulier en (0, 0). Donc la solution n’est pas toujours une sous-variété. Pourtant, en considérant la limite d’une suite minimisante des sous-variétés, Federer et Fleming ont introduit la notion de “rectifiable current”, qu’on discutera dans la 2ème partie du cours.

En général, la théorie géométrique de mesure est la théorie des sous-variétés singulières dans R^{m}. Elle applique des notions de la théorie de mesures aux problèmes de la géométrie différentielle. L’objectif est d’obtenir des résultats d’existence et de régularité.

Resumé

1. PARTIE ANALYTIQUE

(a) Notion élémentaire de mesure : mesure de Borel, fonction mesurable, mesure de Hausdorff.

(b) Applications de Lipschitz : fonction différentiable, Théorème de Radamacher, aire et

co-aire des applications de Lipschitz.

2. PARTIE GEOMETRIQUE

(a) Formes et courants : ensemble dénombrablement réctifiable, l’espace tangent approximatif, courants dans R^{m}, masse, théorèmes de déformation, de rectafiabilité et de compacité.

(b) Minimisation de masse : existence et régularité des courants qui minimisent masse, cones minimisants et le problème de Bernstein.

Bibliographie

1. H. Federer and W. Fleming, Normal and integral currents, Annals of Math. 72 (1960), 458-520.

2. 2. H. Federer, Geometric measure theory, Springer-Verlag, 1969.

3. 3. E. Bombieri, E. De Giorgi and E. Giusti, Minimal cones and the Bernstein problem, Invent. Math. 7 (1969), 243-268.

4. 4. R. Hardt, An introduction to geometric measure theory, Lecture Notes, Melbourne University (1979).

Prérequis

Aucun sauf une connaissance des notions élémentaires des sous-variétés dans R^{m}.

Dates et lieu

Les lundi 29 mai et 5 juin 2000 de 13h45 à 14h45 et de 15h à 16h, et les mardis 30 mai et 6 juin 2000, de 8h45 à 10h15 et de 10h45 à 12h15, + 5 autres heures precisées ultérieurement. Lieu : salle 006 du batiment 22.

Le cours de Jean Bellissard (Université de Toulouse III) : Solides apériodiques : mathématique de leur description, problèmes spectraux, transport électronique.

Resumé

Le contenu réel du cours dependra à la fois du temps imparti et de l’auditoire. Ce seront des “morceaux choisis” parmi les points suivants :

– Inroduction : matériaux apériodiques, exemples, problèmes.

– Structure atomique : pavages (Voronoi, Delaunay), enveloppe, mesure de Gibbs, diffraction, énergie potentielle, phonons, structure électronique.

– Zone de Brillouin non commutative : théorie de Bloch dans les cristaux, analogue non commutatif dans les solides apériodiques, densité d’états, structure différentielle.

– Spectres de Cantor : Modèles résolubles. Matrice de Jacobi associée à un ensemble de Julia. Cas des potentiels de substitution.

– Analyse spectrale :

– Exemple 1 : électrons en champ magnétique uniforme. Analyse semi-classique, propriétés spectrales.

– Exemple 2 : quasicristaux unidimensionels. Spectre Cantorien, groupe de renormalisation spatial. Spectres singuliers continus.

– Exemple 3 : localisation d’Anderson dans les milieux désordonnés. Résultats (sans

développement), introduction à la localisation faible. Matrices aléatoires.

– Exposants : exposants spectraux, exposants de DOS, exposants de diffusion. Exemples : modèles en dimension D = ∞, matrices de Jacobi associées à un ensemble de Julia, modèles en D ≥ 3. Conjectures.

– Théorie cinétique de la conductivité électronique. Approche probabiliste classique. Approche par processus stochastiques non commutatifs. Formule de Kubo : phonon drag, autres contre-termes. Approximation de temps de relaxation : formule de Drude anormale, application aux quasi-cristaux.

Bibliographie

J. Bellissard est auteur ou co-auteur des articles suivants.

1. “Gap Labelling Theorems for Schrödinger’s Operators” paru dans “From Number Theory to Physics”pp.538-630, Les Houches March 89, Springer, J.M. Luck, P. Moussa & M. Waldschmidt Eds., (1993).

2. “Non Commutative Methods in Semiclassical Analysis” cours donné au CIME (1991). Publié dans “Transition to Chaos in Classical and Quantum Mechanics”, Lecture Notes in Mathematics, n^{∘} 1589, Springer, (1994).

3. “Spectral Properties of One-Dimensional Quasicrystals” avec B. Iochum, E. Scoppola & D. Testard, Comm. Math. Phys., 125,(1989), 527-543.

4. “Anomalous transport : a mathematical framework” avec H. Schulz-Baldes, Rev. Math. Phys., 10, 1-46 (1998).

5. “A Kinetic Theory for Quantum Transport in Aperiodic Media” avec H. Schulz-Baldes, J. Stat. Phys., 91, (1998), 991-1026.

6. “Hull of Aperiodic Solids and Gap Labelling Theorems”, with M. Zarrouati & D. Hermann, preprint 1999, to appear in Directions in Mathematical Quasicrystals, M.B. Baake & R.V. Moody Eds.

Prérequis

Il est bien entendu conseillé d’avoir déjà quelques connaissances en analyse fonctionnelle et théorie spectrale. Ceux qui souhaitent approfondir peuvent travailler la théorie des C*-algèbres, des systèmes dynamiques, des probabilités.

Dates et lieu

– Mercredi 19/01/2000, 10h–12h, 14h–16h, salle 006 du bâtiment 22.

– Jeudi 20/01/2000, 9h–11h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 26/01/2000, 10–12h, salle 006 du bâtiment 22, 14h–16h, salle 016 du bâtiment 22.

– Jeudi 27/01/2000, 9h–11h, salle 006 du bâtiment 22.

Le cours de Françoise Dal’Bo : Etude du flot géodésique et horocyclique sur les surfaces hyperboliques.

Resumé

Dans ce cours nous démontrerons à l’aide du birapport des résultats portant sur la dynamique des flots horocycliques et géodésiques sur les fibrés unitaires de surfaces hyperboliques. La plupart de ces résultats seront valables dans le cadre plus général des variétés de Hadamard. Voici une idée du plan.

1. Géométrie du bord du demi-plan de Poincaré

2. Spectre des longueurs d’un groupe d’isométries

3. Flot horocyclique

4. Flot géodésique

5. Géométrie du produit de deux demi-plans de Poincaré

Bibliographie

1. Ergodic Theory, symbolic dynamics and Hyperbolic spaces. T. Bedford, M. Keane ; C. Series (Oxford Science Publ 1991).

2. Ergodic theory of discrete Groups. P. Nicholls, Cambridge University Press, Cambridge (1989).

Prérequis

Nous essayerons de rendre ce cours abordable aux non specialistes.

Dates et lieu

Dix séances d’une heure et demie. Les mercredis 15 et 22 mars, 5 et 12 avril, 3 et 10 mai, de 10h45 à 12h15, les vendredis 17 mars, 7 et 14 avril, et 5 mai, de 10h45 à 12h15. Lieu : salle 006 rez-de-chaussée du bâtiment 22.

Le cours de Dima Grigoriev : Bornes inférieures de la complexité algébrique.

Resumé

Le cours commencera par un exposé de la méthode du degré due à V. Strassen et des connaissances convenables de la géométrie algébrique, particulièrement l’inégalité de Bézout. Ensuite on donnera une borne inférieure de la complexité algébrique utilisant les nombres de Betti, basée sur l’inégalite de Milnor-Thom. Enfin nous considérerons des calculs“probabilistes” et prouverons une borne inférieure de la complexité algébrique “probabilistique” en termes d’une caractéristique des singularités des variétés algébriques.

Bibliographie

Ouvrage de base : P. Buergisser, M. Clausen, A. Shokrollahi. Algebraic complexity. Springer, 1996. Ensuite quelques articles recents.

Prérequis

La connaissance des idées élémentaires d’algèbre commutative et de géométrie algébrique, en particulier, le polynôme d’Hilbert d’un idéal, l’espace projectif, la dimension et le degré d’une variété algébrique, l’inégalité de Bézout serait désirable. Mais de toute façon ces notions et d’autres nécessaires seront enoncées.

Dates et lieu

– Mercredi 01/03/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 08/03/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 15/03/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 22/03/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 29/03/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

– Mercredi 05/04/2000, 16h à 18h, salle 006 du bâtiment 22.

Le cours de Laurent Lafforgue (CNRS, Université d’Orsay) : La correspondance de Langlands sur les corps de fonctions.

Resumé

1. Principe de la démonstration

2. Récurrence et fonctions L

3. Une formule des points fixes

4. Forme et propriétés des compactifications

Resumé : On considère X une courbe projective lisse sur un corps fini, F le corps des fonctions rationnelles sur la courbe X, A l’anneau des adèles de F et W le groupe de Weil de F. Comme conjecturé par Langlands, on démontre que pour tout entier r, il existe une correspondance bijective préservant les fonctions L de l’ensemble des représentations automorphes cuspidales de GL(r,A) sur l’ensemble des représentations l-adiques de W qui sont irréductibles de dimension r. La démonstration généralise celle de Drinfeld en rang r=2 : elle combine l’étude de la géométrie des chtoucas de Drinfeld et la formule des traces d’Arthur-Selberg.

Prérequis

Les notions de base de la géométrie algébrique, telles que schémas, variétés sur un corps fini, endomorphismes de Frobenius, lissite, propreté, cohomologie l-adique, formule des points fixes de Grothendieck-Lefschetz. Il n’est pas nécessaire de connaître les représentations automorphes.

Dates et lieu

– Jeudi 27/01/2000, 11h00 à 12h30, salle 004 du bâtiment 22.

– Jeudi 27/01/2000, 14h30 à 16h00, salle 16 du bâtiment 27 (au-dessus de la cafétaria).

– Jeudi 03/02/2000, 11h00 à 12h30, salle 004 du bâtiment 22.

– Jeudi 03/02/2000, 14h30 à 16h00, salle 004 du bâtiment 22.

Le cours de François Murat : H-convergence et homogénéisation.

Resumé

Le cours présentera des résultats classiques concernant l’homogénéisation des équations elliptiques à coefficients discontinus sous forme divergence. Ces résultats permettent de modéliser les matériaux composites. On considérera essentiellement les problèmes de conduction thermique, et les problèmes d’élasticité linéaire et de Stokes. Le cours se situera à un niveau élémentaire et sera accessible à toute personne ayant suivi le cours de base de Y. Achdou et M. Crouzeix.

Plan.

– Position du problème : modélisation des matériaux composites, définition de la H-conver-gence.

– L’exemple de la dimension 1. Le cas des matériaux “en couche”.

– Le théorème de compacité de H-convergence.

– Le lemme “divergence-rotationnel”, prototype de la compacité par compensation.

– Le résultat de correcteur. Applications.

– Relations entre H-convergence et Γ-convergence.

– Le cas non linéaire monotone.

– Le cas du problème périodique ; méthode des développements asymptotiques ; convergence à double échelle.

– Le problème de Neumann dans des ouverts perforés périodiquement.

– Le problème de Dirichlet dans des ouverts perforés par de “petits” trous.

Prérequis

Lemme de Lax-Milgram, espace de Sobolev H_{0}^{1} et interprétation en termes de problèmes aux limites ; c’est à peu près tout.

Dates et lieu

– Lundi 10/01/2000, 10h00 à 12h00, et 14h00 à 16h00, (ou 14h30 à 16h30), salle 006 du bâtiment 22.

– Lundi 17/01/2000, 10h00 à 12h00, et 14h00 à 16h00, (ou 14h30 à 16h30), salle 006 du bâtiment 22.

– Lundi 24/01/2000, 10h00 à 12h00, et 14h00 à 16h00, (ou 14h30 à 16h30), salle 006 du bâtiment 22.

Le cours de Luc Tartar : De l’homogénéisation aux H-mesures.

Programme

– Homogénéisation de problèmes dégénérés et effets non locaux en Homogénéisation.

– Effets non linéaires en Homogénéisation et estimation de coefficients effectifs.

– La Compacité par Compensation, version préliminaire des H-mesures.

– Les H-mesures et les phénomènes de propagation.

– Les H-mesures et l’homogénéisation de faible amplitude.

– Les variantes de H-mesures et les questions d’échelles caractéristiques.

Dates et lieu

– Lundi 5 juin, 9h à 11h, salle 016, et 14h à 16h, salle 032.

– Mercredi 7 juin, 14h à 16h, salle 016.

– Vendredi 9 juin, 9h à 11h et 14h à 16h, salle 016.

– Mardi 13 juin, 9h à 11h, salle 016.