Diplôme d’Etudes Approfondies (D.E.A.)

“Mathématiques fondamentales et applications” 2000-2001

Ecole Doctorale de rattachement : MATISSE

(Mathématiques, Informatique, Signal, Electronique, Télécommunications)

Université de Rennes 1

En cohabilitation avec l’Université de Bretagne Occidentale, et l’Ecole Normale Supérieure de Cachan

Institut Mathématique de Rennes

Avenue du Général Leclerc CS 74205 35042 Rennes Cedex

Cette formation s’adresse aux étudiants titulaires d’une maîtrise de mathématiques ou d’un diplôme équivalent et constitue la première année d’un cycle d’études doctorales en mathématiques fondamentales ou en mathématiques appliquées.

A l’issue du DEA, les étudiants peuvent demander à entreprendre une thèse dans un laboratoire d’université ou d’entreprise, ou rechercher un emploi d’ingénieur mathématicien. La thèse, dont la préparation est en moyenne de trois années, peut être financée par des allocations de recherche attribuées par le Ministère de l’Education Nationale, le CNRS, la Région, ou par des laboratoires publics ou privés (notamment dans le cadre des conventions CIFRE). Elle permet de postuler aux emplois de l’Enseignement Supérieur et de la recherche publique, ou aux emplois d’ingénieur et de chercheur proposés par les entreprises.

Organisation des enseignements.

Le DEA est organisé en quatre filières :

– I Algèbre et géométrie,

– II Modélisation aléatoire et applications,

– III Analyse et analyse numérique,

– IV Statistiques.

Les cours et l’encadrement des étudiants sont assurés par l’Université de Rennes 1 (IRMAR) et l’Université de Bretagne Occidentale, avec la collaboration d’enseignants de l’ENSAI, de l’ENS Cachan (antenne de Ker Lann), de l’INSA de Rennes, de l’IRISA et de l’IFSIC.

Chaque filière propose au 1er trimestre deux cours de base de 30 heures et au second trimestre des cours optionnels de 20 heures (ou, exceptionnellement, un peu plus). Un séminaire hebdomadaire commun entre les quatre filières est organisé pendant les deux premiers trimestres. Dans ce séminaire, les étudiants font chacun un exposé d’une heure sur un sujet proposé par les enseignants. Les étudiants sont également incités à participer à des exposés dans le cadre de leur filière et à assister aux exposés de Colloquium et aux activités telles que les cours de niveau 2, séminaires des étudiants en thèse, rencontres doctorales du Réseau “Mathématiques de l’Ouest”. Le troisième trimestre est réservé à un stage de recherche.

Le cursus d’un étudiant comprend au moins 140 heures de cours (2 cours de base + 4 options, dont une en dehors de la filière choisie ou dans un autre DEA de l’Ecole Doctorale), un séminaire de 20 heures, et un stage de recherche effectué dans l’une des équipes de la formation doctorale ou dans un laboratoire de recherche extérieur. Le stage donne lieu à la rédaction d’un mémoire et à une soutenance.

Il est prévu que les étudiants bénéficient des actions de formation complémentaires organisées dans le carde de l’Ecole Doctorale et de l’université.

Modalités d’accès.

La sélection des étudiants se fait sur dossier. Pour l’année 2000-2001, les dossiers de présélection doivent être déposés au plus tard le 3 juillet 2000. Ils sont examinés par le jury du DEA, qui communique la décision à la mi-juillet.

Renseignements pratiques

Pour les renseignements administratifs et dossiers de présélection, s’adresser à :

Danielle Lanneau Institut Mathématique de Rennes Université de Rennes I Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex, France

     Danielle.Lanneau@univ-
            rennes1.fr

téléphone : +33(0)299286001 télécopie : +33(0)299286790 Pour les renseignements d’ordre pédagogique, s’adresser au responsable du DEA :

Bas Edixhoven Institut Mathématique de Rennes Université de Rennes I Campus de Beaulieu 35042 Rennes cedex, France

                                        edix@maths.univ-rennes1.fr

téléphone : +33(0)299286018 télécopie : +33(0)299286790

Pour des détails mis à jour au fur et à mesure, on pourra consulter les pages web du DEA :

               http ://www.maths.univ-rennes1.fr/dea.

Pour les étudiants titulaires d’un diplôme étranger, le dossier de candidature est à retirer auprès du : Service de la Scolarité 3ème cycle, Université de Rennes 1, Campus de Beaulieu, 35042 Rennes Cedex.

Voici quelques adresses de sites web où l’on trouve des renseignements sur les DEA en général, et sur le réseau d’Ecoles Doctorales de Mathématiques de l’Ouest.

                       http://dr.education.fr/
                      http://www.egide.asso.fr/
               http://garp.univ-bpclermont.fr/guilde/
         http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/RDOMaths/

Filière I : Algèbre et géométrie.

Premier trimestre.

Laurent Meersseman : Surfaces de Riemann.

Ce cours est une introduction à la théorie des surfaces de Riemann compactes.

– Rappels et compléments de fonctions holomorphes à une variable. Prolongement analytique. Construction de fonctions méromorphes à zéros et pôles prescrits.

– Définition d’une variété complexe, d’une surface de Riemann et premiers exemples.

– Compléments de géométrie et topologie différentielle. Surfaces différentiables. Métriques riemanniennes. Classification des surfaces différentiables. Somme connexe.

– Structures presque complexes. Condition d’intégrabilité. Construction d’une structure complexe sur une surface réelle compacte munie d’une métrique riemannienne.

– Revêtements topologiques. Revêtement universel. Revêtements holomorphes ramifiés. Applications holomorphes entre surfaces de Riemann. Théorème d’uniformisation de Riemann. Classification des surfaces de Riemann selon leur revêtement universel. Lien avec les métriques.

– Fonctions méromorphes sur les surfaces de Riemann. Faisceaux, diviseurs, fibrés en droites, première classe de Chern.

– Construction de fonctions méromorphes à zéros et pôles prescrits sur une surface de Riemann. Surfaces de Riemann comme domaine d’holomorphie de fonctions algébriques sur le projectif.

– Variétés projectives. Théorème de Chow. Plongements des surfaces de Riemann dans le projectif.

Prérequis : les cours “Fonctions holomorphes d’une variable complexe” de licence et “Géométrie Différentielle” de maîtrise.

Bibliographie :

B. Chabat, Introduction à l’analyse complexe, tome 1, Mir, Moscou, 1990.

H. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, 2nd edition, GTM 71, Springer, New York, 1992.

O. Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer, GTM 81, New York, 1981.

R.C. Gunning, Lectures on Riemann Surfaces, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1968.

Frederic Touzet : Géométrie complexe.

– Fonctions de plusieurs variables complexes :

– propriétés algébriques,

– inversion locale,

– théorèmes de prolongement.

– Généralités sur les variétés complexes.

– Cohomologie a valeurs dans un faisceau.

– Fibres vectoriels :

– généralités,

– classes de Chern,

– diviseurs,

– théorème de Chow.

– Métriques, connexions, courbures ; cas des variétés Kähleriennes.

Bibliographie : P. Griffiths, J. Harris : Principles of Algebraic Geometry. Wiley, 1978.

Deuxième trimestre.

Gerd Dethloff : Equations aux dérivées partielles en géométrie algébrique.

– Compléments de géométrie algébrique : dimension de Kodaira, formule de Riemann-Roch-Hirzebruch, théorèmes d’annulation ...

– Courants, métriques (aussi singulières) et courbure.

– Opérateurs différentiels algébriques.

– EDP algébriques et courbes holomorphes dans des variétés algébriques.

Bibliographie : P. Griffiths, J. Harris : Principles of Algebraic Geometry. Wiley, 1978. R. Hartshorne : Algebraic Geometry. Springer, 1977. J. Noguchi, T. Ochiai : Geometric Function Theory in Several Complex Variables. AMS, 1990. J.P. Demailly : Variétés hyperboliques et équations différentielles algébriques. Gazette des Mathématiciens 73, 1997.

Michel Gros : Classification de représentations.

On dispose de nombreux exemples où l’on sait associer (dans le but de les classifier) à des représentations d’un groupe G d’autres objets : objets arithmétiques (représentations galoisiennes,...), objets géométriques (modules sur l’anneau des opérateurs différentiels d’une variété de drapeaux,...). Le cours sera consacré à la présentation de quelques aspects de ces techniques sur des exemples simples.

– Généralités sur les représentations : irréductibilité, produit tensoriel, caractère, exemples.

– Représentations de GL_{2}(k) avec k un corps fini, table des caractères,...

– Théorie du corps de classes local (calcul de l’abélianisé du groupe de Weil) et représentations de dimension 2 du groupe de Weil-Deligne.

– Correspondance. Généralisations : énoncé du programme de Langlands.

– Représentations de dimension finie de l’algèbre enveloppante de SL_{2}(C). Poids d’une représentation. Interprétation à l’aide de fibrés (théorème de Borel-Weil).

– Représentations de dimension infinie. Interprétation géométrique (théorème de Beilinson-Bernstein).

Prérequis : il est recommandé de suivre en même temps le cours sur les groupes de Lie.

Bibliographie :

J-P. Serre : Représentations linéaires des groupes finis. Hermann.

I. Piatetski-Shapiro : Complex representations of GL(2, K) for finite fields K. Contemp. Math., vol. 16.

Y. Benoist : D-modules sur la variété des drapeaux. Travaux en Cours n. 46, p. 99-116. Hermann.

Ilia Itenberg : Topologie des surfaces algébriques réelles.

– Courbes algébriques dans RP^{2}, surfaces algébriques dans RP^{3}, et 16-ème problème de Hilbert.

– Restrictions topologiques sur les surfaces algébriques réelles.

– Constructions de surfaces algébriques réelles.

– Surfaces K3 réelles et surfaces d’Enriques réelles.

Louis Mahé : Géométrie algébrique réelle et formes quadratiques.

Le cours est une introduction à la géométrie (semi-) algébrique réelle et à l’étude des liens de cette théorie avec celle des formes quadratiques. Cette étude débouchera en particulier sur la réduction des systèmes d’inégalités polynomiales et sur la séparation des composantes connexes des variétés réelles par des formes quadratiques.

Les notions abordées seront les suivantes :

– Corps réels clos : comptage des racines,élimination des quantificateurs. Semi-algébriques : propriétés, démontage. Dimension. Inégalité de Lojiasiewicz.

– Algèbre réelle : Nullstellensatz réel. Spectre réel. Positivstellensatz.

– Formes quadratiques. Théorème de Tsen-Lang, formes sur un corps, formes de Pfister. Résultats quantitatifs sur le 17-ième problème de Hilbert : cas des corps et des anneaux géométriques.

– Réduction des systèmes d’inéquations polynomiales.

– Formes quadratiques et composantes connexes des variétés réelles.

Bibliographie : J. Bochnak, M. Coste, M-F. Roy : Géométrie algébrique réelle, Ergebnisse der Math., Springer (1987) (et nouvelle édition anglaise).

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

– Compléments de géométrie différentielle : variétés, fibrés tangents, revêtements, quotients.

– Sous-groupes fermés du groupe linéaire ; groupes classiques ; application exponentielle et algèbres de Lie.

– Décomposition de Cartan, d’Iwasawa, dans le cas des groupes classiques.

– Espaces homogènes ; exemples.

– Théorèmes de Lie ; théorème de Levi-Malcev.

– Représentation adjointe.

– Groupes compacts. Groupes semi-simples.

– Automorphismes et dérivations.

– Le théorème de Peter-Weyl et les représentations linéaires des groupes compacts.

– Exemples classiques.

Prérequis :

– Algèbre linéaire : linear algebra, Peter D. Lax. John Wiley Pub.

– Géométrie différentielle élémentaire : Lafontaine.

Bibliographie : G. Hochschild, La structure des groupes de Lie, Dunod, 1968. J. Humphreys, Introduction to Lie algebra and their representation theory, Springer Verlag. A.W. Knapp, Lie groups beyond an introduction, Birkhäuser. R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann.

Filière II : Modélisation aléatoire et applications.

Premier trimestre.

Yves Derriennic, Dimitri Pétritis : Processus en temps discret et systèmes dynamiques.

Première partie commune avec la filière 4 (15 heures) :

– Martingales en temps discret.

– Chaînes de Markov.

– Processus stationnaires.

– Théorème ergodique et théorèmes de limite centrale.

Deuxième partie (15 heures) :

– Systèmes dynamiques.

– Transformations ergodiques ; entropie.

– Chaînes de Markov.

Ying Hu : Processus en temps continu.

Première partie commune avec la filière 4 (15 heures) :

– Introduction au mouvement brownien et au processus de Poisson.

– Convergence en loi des processus à trajectoires continues.

– Théorème de Donsker.

– Intégrale d’Itô et formule d’Itô.

Deuxième partie (15 heures) :

– Calcul stochastique.

– Equations différentielles stochastiques.

Bibliographie : I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1991. D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin, 1994.

Deuxième trimestre.

Philippe Briand, Bernard Delyon : EDS, EDSR, applications a la finance et aux EDP (26 heures).

La première partie du cours s’adresse aussi aux étudiants du DEA de finance de l’IGR : on y donne les résultats de base sur les équations différentielles stochastiques (EDS), équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), des exemples et applications. La deuxième partie est un cours d’approfondissement et d’applications aux équations aux dérivées partielles (EDP).

Première partie (12 heures dont 4 heures de TP) :

Equations différentielles stochastiques, Equations différentielles stochastiques rétrogrades.

– Résultats généraux.

– Exemples et applications à la finance (modèles de Vasicek, formule de Black et Scholes).

– Discrétisation et simulation des solutions des EDS.

Deuxième partie (14 heures) :

Approfondissement et applications aux EDP.

– Théorie générale des EDSR.

– EDSR dirigées par une EDS : propriété de Markov des solutions.

– Formule de Feynman-Kac pour les EDP semi-linéaires.

– Notion de viscosité d’une EDP non linéaire.

Prérequis : Mouvement brownien, formule d’Ito.

Bibliographie :

I.Karatzas et E. Shreve, Brownian motion and stochastic calculus, 2nd ed., Grad. Texts in Math. 113, Springer-Verlag, New York, 1991.

P.E. Koeden et E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Appl. Math. 23, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1992.

D. Lamberton et B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, seconde éd., Ellipses Edition Marketing, Paris, 1997.

Francois Coquet : Processus de Lévy et processus à accroissements indépendants.

– Généralités sur les processus à accroissements indépendants.

– Processus de Lévy ; formule de Lévy-Khintchine.

– Convergence de processus de Lévy.

Prérequis : le cours de tronc commun sur les processus stochastiques en temps continu. Bibliographie : Jean Bertoin : Processus de Lévy. J. Jacod, A.N. Shiryaev : Limit theorems for stochastic processes, Springer, 1987

Bernard Petit : Méthodes ergodiques en théorie des nombres.

– Transformations dilatantes et développements en base non entière ; représentation par sous-décalage de type fini ; nombres de Pisot.

– Théorème limite pour les sommes de Riesz-Raikov.

– Autres exemples de comportement asymptotique de sommes de type ergodique liées à l’arithmétique.

Dimitri Pétritis : Fondements mathématiques de la mécanique statistique.

– Introduction :

– Validation des théories physiques.

– Résumé du formalisme hamiltonien de la mécanique classique.

– Phénoménologie et observables thermodynamiques.

– Mécanique statistique à l’équilibre.

– Ensemble micro-canonique de Gibbs et hypothèse ergodique.

– Ensemble canonique de Gibbs.

– Ensemble grand-canonique de Gibbs.

– Grandes déviations et équivalence des ensembles.

– Limite thermodynamique.

– Existence des transitions de phase.

– Etude des modèles spécifiques sur réseau.

– Mesures de Gibbs et équations de Dobrushin-Lanford-Ruelle.

– Quelques tentatives de formulation de la mécanique statistique hors d’équilibre. – Systèmes dynamiques et mesures de Sinai-Ruelle-Bowen.

– Semi-groupes d’évolution markovienne et systèmes des particules.

– Métastabilité et estimation du temps de relaxation.

Prérequis :

– Module de PRB-1 de maîtrise ou/et les 9 premiers chapitres du livre de D. Williams, Probability with martingales, Cambridge University Press (1991).

– Aucun prérequis de physique n’est exigé.

Bibliographie :

H.-O. Georgii, Gibbs measures and phase transitions, Walter de Gruyter, Berlin (1988).

A.I. Khinchin, Mathematical foundations of statistical mechanics, Dover, New York (1949).

O.-E. Lanford, Limit theorems in statistical mechanics, Cours du 3e cycle de physique de Suisse Romande (1978).

T. Liggett, Interacting particle systems, Springer-Verlag, Berlin (1985).

Albert Raugi : Théorèmes ergodiques multiplicatifs.

– Théorème ergodique sous additif.

– Théorèmes ergodiques multiplicatifs.

– Cas des matrices aléatoires indépendantes.

Prérequis : le cours du tronc commun sur les processus en temps discret et les systèmes dynamiques.

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière I.

Cours du DESS

Après accord avec le responsable du DEA, on pourra remplacer un ou deux cours optionnels de cette filière par des cours suivants de second trimestre de DESS (Diplôme d’Etudes Supérieures Spécialisées). Pour plus de renseignements sur le DESS, consulter :

               http ://www.maths.univ-rennes1.fr/dea.

Raymond Marie, Gérardo Rubino : Modèles markoviens (20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

– Compléments sur les chaînes de Markov – Notions sur les chaînes non homogènes.

– Traitement numérique des modèles markoviens.

– Evaluation de modèles markoviens par simulation.

– Files d’attente isolée.

– Réseaux de file d’attente à forme produit.

– Simulation à évènements discrets.

– Utilisation de logiciels spécialisés (QNAP 2, SHARP, ...). Prérequis : bases en probabilités. Bibliographie : G. Fishman, Monte Carlo : concepts, algorithms, and applications, Springer-Verlag, New-York, 1995. L. Kleinrock, Queueing Systems Volume I : Theory, John Wiley and Sons, New-York, 1975. L. Kleinrock, Queueing Systems Volume II : Computer Applications, John Wiley and Sons, New-York, 1976. Karlin and H.-M. Taylor, A Second Course in Stochastic Processes, Academic Press, 1981. W. Stewart, Introduction to the Numerical Solution of Markov Chains, Princeton University Press Princeton, New-Jersey, 1994.

Bernard Delyon : Modélisation de systèmes et analyse par simulation.

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

– Outils de la simulation.

– Modélisation et simulation de problèmes à complexité polynomiale.

– Modélisation et simulation de problèmes à complexité non polynomiale.

– Modélisation et simulation à temps continu. Prérequis : modules PRB et APM de la maîtrise ainsi que des notions sur les chaînes de Markov, par exemple premiers chapitres de : R. Bhattacharya, E. Waymire, Stochastic processes with applications ; John Wiley, New-York, 1990. Bibliographie : A. Sokal, Monte Carlo Simulations, 3ème cycle de Suisse Romande, Lausanne, 1988. D. Petritis, Notions de modélisation et simulation stochastique, Rennes, 1997. P. Kloeden, E. Platen, Numerical solution of stochastic differential equations, Springer Verlag, Berlin, 1992 Jean Deshayes : Statistique des séries chronologiques et des signaux (20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

– Processus stationnaires du 2ème ordre.

– Modélisation autorégressive (AR).

– Choix de modèle.

– Introduction aux modèles non stationnaires.

– Modèles vectoriels.

– Travaux pratiques avec le logiciel SAS-ETS.

Prérequis :

– Obligatoires : cours de base de probabilités et de statistique.

– Recommandés : cours de probabilités avancé et analyse harmonique.

Bibliographie : C. Gourieroux, A. Monfort, Cours de séries temporelles, Economica, 1990. P.-J. Brockwell, R.-A. Davis, Times series : theory and methods, Springer-Verlag, 1991. R. Azencott, D. Dacunha-Castelle, Séries d’observations irrégulières, Masson, 1984.

Filière III : Analyse et analyse numérique.

Premier trimestre.

Guy Métivier : Équations aux dérivées partielles.

L’objet du cours est de présenter des résultats de base de la théorie des équations aux dérivées partielles. Parmi les thèmes abordés :

– Équations du premier ordre. Solutions régulières, caractéristiques, théorie de Hamilton-Jacobi. Lois de conservation, solutions faibles, ondes de choc.

– Problème de Cauchy. Théorème de Cauchy-Kowalewsky, Théorème de Holmgren.

– Problème de Cauchy linéaire à coefficients constants. Notion d’hyperbolicité. Exemples de résolutions : équations des ondes, de Maxwell, de Schrödinger, de la chaleur. Problèmes mal posés.

– Estimations non linéaires. Résolution de quelques problèmes non linéaires : Euler, Maxwell, Navier-Stokes.

– Optique géométrique. Méthode BKW, analyse asymptotique. Notion de front d’onde.

– Introduction au calcul pseudo-différentiel et au calcul paradifférentiel.

Prérequis : modules ANAF, EDEP de la maîtrise.

Yves Achdou, Michel Crouzeix : Approximation numérique des équations aux dérivées partielles.

L’objet de ce cours est la présentation d’une méthode d’approximation numérique de base, la méthode des éléments finis, en prenant pour fil conducteur le problème de Stokes.

– Formulation variationnelle des problèmes elliptiques.

– Problèmes variationnels abstraits, équations elliptiques du second ordre, système de Stokes, système de l’élasticité.

– Méthodes des éléments finis conformes pour les problèmes elliptiques d’ordre 2.

– Éléments de type Lagrange, estimations d’erreur a priori et a posteriori, inégalités inverses, cas des frontières courbes. Problèmes non symétriques, stabilisation.

– Méthode des éléments finis mixtes.

– Problèmes variationnels abstraits, condition inf-sup, points-selle, application au problème de Stokes. Discrétisation, divers éléments finis pour (Navier-)Stokes. Schémas numériques de résolution.

Prérequis : modules ANAF et EDEP de la maîtrise.

Bibliographie :

H. Brezis, Analyse fonctionnelle, théorie et applications, Masson 1983.

P-A. Raviart, J-M. Thomas, Introduction à l’analyse numérique des équations aux dérivées partielles, Masson 1985.

S-C. Brenner and L-R. Scott, The mathematical theory of finite element methods, Springer-Verlag, 1994.

V. Girault and P-A. Raviart, Finite element methods for Navier-Stokes equations, Springer-Verlag, 1994.

Deuxième trimestre.

Nicolas Lerner : Analyse harmonique et inégalités L^{p}.

Le but de ce cours est d’introduire les techniques d’analyse harmonique qui permettent d’obtenir des estimations L^{p} pour des opérateurs différentiels.

On commencera par introduire les outils standards sur les intégrales oscillantes et l’analyse harmonique classique (fonction maximale, inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev, théorèmes de Sobolev).

On examinera ensuite les théorèmes de restriction de Stein-Tomas et les inégalités de Carleman L^{p} de Jerison et Kenig, celles-ci permettant d’obtenir des résultats de continuation unique pour le laplacien. On montrera le rôle spécifique joué par les hypothèses de courbure dans ce type d’estimations. En particulier on verra divers exemples d’inégalités de Strichartz.

Prérequis : Analyse de Fourier.

Bibliographie :

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators, Springer-Verlag, volume 1.

C. Sogge, Fourier integrals in classical analysis, Cambridge University Press.

E.M. Stein, Harmonic analysis, Princeton University Press.

Francis Nier : Théorie spectrale et applications.

L’objectif de ce cours est d’introduire diverses notions et techniques de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints sur les espaces de Hilbert. Il sera illustré par des exemples simples ou classiques de la géométrie ou de la mécanique quantique : Laplacien sur des variétés, problème à deux corps de la mécanique quantique, oscillateur harmonique, perturbations de rang 1. Des compléments d’analyse fonctionnelle ainsi que des outils de base de l’analyse microlocale ou de la théorie des C*-algèbres seront introduits au fur et à mesure.

Le plan du cours est le suivant.

– Opérateurs auto-adjoints (non-bornés). Calcul fonctionnel. Théorie des perturbations.

– Analyse semiclassique : méthode BKW, mesures semiclassiques.

– Théorie de la diffusion : problème à deux corps.

– Résonances.

– Retour sur l’oscillateur harmonique. Introduction à la théorie des champs.

Prérequis : analyse fonctionnelle de la maîtrise, espaces de Hilbert, théorie des distributions, géométrie différentielle.

Bibliographie :

M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematical physics. 2ème édition. 4 tomes. Academic Press, 1980.

M.S. Birman, M.Z. Solomjak. Spectral theory of selfadjoint operators in Hilbert space. D. Reidel Publishing Co., 1987.

A. Sergio, F. Gesztesy,R. Hoegh-Krohn, H. Holden. Solvable models in quantum mechanics. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1988.

F.A. Berezin, M.A. Shubin. The Schrödinger equation. Mathematics and its Applications (Soviet Series), 66. Kluwer Academic Publishers Group, 1991.

B. Helffer, Semi-classical analysis for the Schrödinger operator and applications. Lecture Notes in Mathematics, 1336. Springer-Verlag, 1988.

P.D. Hislop, I.M. Sigal. Introduction to spectral theory. With applications to Schrödinger operators. Applied Mathematical Sciences, 113. Springer-Verlag, 1996.

J. Derezinski, C. Gérard. Scattering theory of classical and quantum N-particle systems. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1997.

D.R. Yafaev Mathematical scattering theory. General theory. Translations of Mathematical Monographs, 105. American Mathematical Society, 1992.

H.L. Cycon, R.G. Froese, W. Kirsch, B. Simon Schrödinger operators with application to quantum mechanics and global geometry. Texts and Monographs in Physics. Springer Study Edition. Springer-Verlag, 1987.

W. Amrein, A. Boutet de Monvel, V. Georgescu. C_{0}-groups, commutator methods and spectral theory of N-body Hamiltonians. Progress in Mathematics, 135. Birkhäuser Verlag, 1996.

L. Hörmander, The analysis of linear partial differential operators. 2ème édition. 4 tomes. Springer Study Edition. Springer-Verlag, 1990-1994.

0. Bratteli, D. Robinson. Operator algebras and quantum-statistical mechanics. 2 tomes. Texts and Monographs in Physics. Springer-Verlag, 1981

Marc Quincampoix : Contrôle et contrôlabilité des équations différentielles ordinaires.

– Solutions de Carathéodory ; propriétés de compacité des solutions.

– Controlabilité des systèmes linéaires, critère de Kalman.

– Atteignabilité et controlabilité d’ensembles pour les systèmes non linéaires.

– Fonctions valeurs continues ; Equations d’Hamilton Jacobi Bellman.

– -Introduction aux jeux différentiels.

Jean-Pierre Yvon : Contrôle des équations aux dérivées partielles.

– Introduction à l’optimisation dans des espaces de dimension infinie.

– Contrôle des systèmes elliptiques.

– Théorie générale et exemples dans le cas linéaire,

– Etude d’un exemple d’un système non-linéaire

– Contrôle des systèmes paraboliques – Résultats d’existence, d’unicité et de régularité – Cadre général des problèmes de contrôle optimal

– Découplage, équation de Riccati,

– Comportement asymptotique

– Résultats de contrôlabilité approchée

– Contrôle des systèmes hyperboliques – Résultats d’existence, d’unicité et de régularité

– Cadre général des problèmes de contrôle optimal

– Etude spécifique de l’équation des ondes :

– Formulations faibles, existence et régularité,

– Résultats de contrôlabilité exacte

– Extensions diverses – Problème d’estimation de paramètres : identifiabilité,

– Introduction à la conception optimale de formes.

Cours commun avec le DEA de Mécanique (en construction).

Roger Lewandowski : Fluides géophysiques et climatologie.

– Généralités sur les fluides géophysiques : loi d’échelles, nombres de Rossby et quotient d’aspect ; approximation hydrostatique pour des petits quotients d’aspect.

– Equations primitives pour l’océan : approximation de Boussinesq et équation d’état ; viscosités verticales turbulentes et équations de fermeture ; modélisation de l’interface turbulente air-mer, hypothèse du toit rigide ; bilan thermique à la surface de l’océan (calcul des flux), bilan des conditions aux limites ; formulation des équations et stabilisation numérique du système.

– Equations primitives pour l’atmosphère : loi d’état et système de p-coordonnées ; formulation du système couplé océan-atmosphère et existence d’une solution obtenue par approximation : stabilisation du système.

– Couches limites océaniques et atmosphériques : les différentes modèles de circulation : équilibre géostrophique et équations quasi-géostrophiques ; couches d’Ekman ; circulations de Sverdrup, Munk et thermohaline ; dynamique des courants du bord Ouest.

– Ondes dans les fluides : ondes de gravité internes et externes ; ondes d’inertie et ondes de Rossby (planétaires).

– Dynamique côtière : ondes de Poincaré, de Kelvin et du plateau continental ; circulation induite par le vent ; notion sur les marées côtières.

Cours optionnel commun aux filières I, II et III.

Bas Edixhoven : Groupes de Lie (30 heures).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière I.

Filière IV : Statistiques.

Premier trimestre.

Yves Derriennic, Dimitri Pétritis, Bernard Delyon : Processus en temps discret et systèmes dynamiques.

Première partie commune avec la filière 2 (15 heures) :

– Martingales en temps discret.

– Chaînes de Markov.

– Processus stationnaires.

– Théorème ergodique et théorèmes de limite centrale.

Deuxième partie (15 heures) :

– Applications à l’étude asymptotique des estimateurs et des tests pour des modèles paramétriques réguliers.

Ying Hu, Philippe Berthet : Processus en temps continu.

Première partie commune avec la filière 2 (15 heures) :

– Introduction au mouvement brownien et au processus de Poisson.

– Convergence en loi des processus à trajectoires continues.

– Théorème de Donsker.

– Intégrale d’Itô et formule d’Itô.

Deuxième partie (15 heures) :

– Fonction de répartition empirique.

– Statistique non paramétrique.

Bibliographie :

I. Karatzas, S.E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, New York, 1991.

D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, Berlin, 1994.

Deuxième trimestre.

Michel Delecroix (ENSAI) : Eléments de statistique semi-paramétrique.

– Exemples de modélisations semi-paramétriques . Problèmes posés. Notions sur les tests “libres en distribution”.

– Calculs des bornes d’efficacité dans les modèles paramétriques et théorème de convolution. Extensions aux modèles semi-paramétriques, exemple des modèles de régression a “directions révélatrices”.

– Estimation d’une régression sous hypothèse de direction révélatrice.

– Approche exploratoire.

– Methode ADE.

– Construction de M estimateurs efficaces.

Bibliographie :

P.J. Bickel, C.A.J. Klaassen, Y. Ritov, and J.A. Wellner (1993), Efficient and adaptive estimation for semiparametric models, Baltimore, The John Hopkins University Press.

J.L. Horowitz, Semiparametric methods in econometrics, Lecture Notes in Statistics 131. Springer.

Inférence non paramétrique : les statistiques de rang. Edité par J.J. Droesbeke et J. Fine, éditions Ellipse.

Cours du DESS

Après accord avec le responsable du DEA, on pourra remplacer un ou deux cours optionnels de cette filière par des cours suivants de second trimestre de DESS (Diplôme d’Etudes Supérieures Spécialisées). Pour plus de renseignements sur le DESS, consulter :

               http ://www.maths.univ-rennes1.fr/dea.

Annie Morin : Analyse des données multidimensionnelles et classification (20h + 20 h TD.

– Approfondissement des méthodes multidimensionnelles.

– Analyse factorielle des correspondances multiples.

– Méthodes de classification et modélisation de mélanges.

Travaux pratiques sur le logiciel SAS. Prérequis : Cours de statistique descriptive et inférentielle et cours d’algèbre linéaire. Bibliographie : J.-P. Benzecri et al., La pratique de l’analyse des données , Dunod en 3 tomes. G. Celeux et al., Classification automatique des données, Dunod, 1989. B. Escofier et J. Pagès, Analyses factorielles simples et multiples, Dunod, 1988. M. Jambu, Exploration informatique et statistique des données, Dunod, 1989. G. Saporta, Probabilités, analyse des données et statistique, Technip, 1990.

Jean-Yves Dauxois et Gérardo Rubino : Fiabilité (ENSAI, 20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

– Statistique des durées de vie :

– Fiabilité des systèmes :

Bibliographie : J.F. Lawless, Statistical Models and Methods for Lifetime Data. Wiley,New-York, 1982. E.T. Lee, Statistical Methods for Survival Data Analysis (second edition), Wiley Series in Probability and Statistics. S. Zacks, Introduction to Reliability Analysis. Probability Models and Statistical Methods, Springer-Verlag. A. Pagès et M. Gondran. Fiabilité des Systèmes, Editions Eyrolles. Analyse Statistique des durées de vie. Modélisation des données censurées. J.J. Droesbeke, B. Fichet et P. Tassi, éditeurs.

Modèles de régression (20h + 20h TD).

(Pour plus de détails, voir le programme du DESS.)

– Modèles de base, sans spécification de loi.

– Modèle linéaire gaussien.

– Modèles linéaires généralisés.

– Modèle non linéaire paramétrique.

Prérequis : cours de probabilités et statistique mathématique. Bibliographie : A. Antoniadis, J. Berruyer, R. Carmona, Régression Non Linéaire et Applications, Economica, 1992. P. Mc Cullagh, J.-A. Nelder, Generalized Linear Models, Chapman and Hall, London, 1983. J. Johnston, Méthodes Econométriques, Tomes 1 et 2, Economica, 1985

Introduction à la finance.

Il manque toutes les données ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

Bernard Delyon : Modélisation de systèmes et analyse par simulation (20h + 20h TD).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière II.

Jean Deshayes : Statistique des séries chronologiques et des signaux (20h + 20h TD).

Le programme de ce cours figure dans les options de la filière II.