L’action de l’algèbre de Hecke sur les groupes de composantes des jacobiennes des courbes modulaires est

“Eisenstein”.

Bas Edixhoven

le 19 mai 1988

1 Introduction.

Pour N un nombre entier positif soit X_{0}(N)_{Q} la courbe modulaire sur Q paramétrant les Nisogénies cycliques entre courbes elliptiques, et J_{0}(N)_{Q} sa jacobienne. L’algèbre de Hecke agit sur J_{0}(N)_{Q} donc aussi sur son modèle de Néron J_{0}(N) sur Z. Soit p un nombre premier et Φ_{N,p} le groupe de composantes connexes de la fibre géometrique J_{0}(N)_{p} de J_{0}(N) en caractéristique p.

Dans cet article nous démontrons que pour p > 3 l’action de l’algèbre de Hecke sur Φ_{N,p} est “Eisenstein”. Cela veut dire que pour tout nombre premier l ne divisant pas N l’opérateur de Hecke T_{l} agit sur Φ_{N,p} par multiplication par l + 1 (cf. [Ma], p.95). Ce résultat est une généralisation d’un théorème de K. Ribet [Ri 1],[Ri 2](Theorem 2.24), qui prouve le même résultat en supposant que la valuation de N en p est au plus 1. À dire vrai, Ribet prouve son théorème aussi pour p = 2, 3. Parce que dans ce cas la méthode de Ribet est plus efficace nous nous restreindrons au cas p > 3.

Pour prouver son théorème Ribet utilise la description donnée par A. Grothendieck [Gro 1] des groupes Φ_{N,p} en termes de l’accouplement de monodromie sur le groupe de caractères de la partie torique de la réduction (semistable) de J_{0}(N) sur Z_{p}. En se servant des résultats de [De-Ra] sur la réduction de X_{0}(N) modulo p il obtient une description combinatoire de Φ_{N,p} en termes de points supersinguliers en caractéristique p. Ce qui reste alors à démontrer est une proposition sur les automorphismes des courbes elliptiques supersingulières.

Comme la méthode de Ribet ne marche qu’en cas de réduction semistable nous nous servons de la description donnée par M. Raynaud [Ray] des groupes Φ_{N,p} en termes de modèles sur Z des X_{0}(N)_{Q} qui sont réguliers. De tels modèles sont connus dans le cas où la valuation en p de N est au plus 1 [De-Ra], et dans le cas où p > 3 [Ed]. Pour l un nombre premier ne divisant pas N il faut montrer que l’opérateur de Hecke T_{l} agit sur Φ_{N,p} par multiplication par l + 1. Cet opérateur T_{l} est défini en termes des deux morphismes standards de X_{0}(Nl)_{Q} vers X_{0}(N)_{Q}. Afin de calculer l’action de T_{l} sur Φ_{N,p} nous étendons ces deux morphismes à certains modèles convenables sur Z_{p}. Ces calculs nous conduisent à démontrer la proposition (déjà prouvée par Ribet dans le cas supersingulier) mentionnée plus haut (cf. Lemme 2 de (4.2)).

L’intérêt de ce théorème de Ribet est le rôle qu’il joue dans [Ri 2], où il est démontré que la conjecture de Taniyama et Weil implique celle de Fermat. Il est peut-être utile de remarquer que dans la démonstration que Taniyama-Weil implique Fermat [Ri 2] on n’a besoin que d’une version faible du théorème de Ribet. Cette version dit que l’action de l’algèbre de Hecke sur le sous-groupe de q-torsion de Φ_{N,p} est Eisenstein pour tout nombre premier q > 3. D’après Mazur et Rapoport [Ma-Ra] ce sous-groupe est cyclique et on a un générateur explicite: c’est un multiple de Z − Z′ (dans leur notation). Il est très facile de calculer l’action d’un T_{l} sur Z − Z′. Bien sûr, il n’est pas utile d’affaiblir le théorème de Ribet quand il s’agit des conjectures de Serre.

Finissons par remarquer le fait que l’action de l’algèbre de Hecke sur les groupes de composantes des modèles de Néron des jacobiennes des courbes de Shimura n’est pas toujours “Eisenstein”. Ceci est une conséquence du Théorème 4.3 de Ribet ([Ri 2], version d’octobre 1988).

J’aimerais remercier K. Ribet de m’avoir demandé si la généralisation de son théorème était vraie, de m’avoir envoyé une version préliminaire de son article [Ri 1], de m’avoir stimulé d’écrire ce texte, et de ses commentaires. J’aimerais aussi remercier J. Oesterlé de m’avoir suggéré beaucoup d’améliorations.

2 Description du groupe de composantes.

Soit S un trait strictement hensélien de point fermé s et de point générique t, et C → S une courbe. Supposons que C est régulier et que C_{t} est lisse et géométriquement irréductible sur t. Nous allons rappeler la description que donne Raynaud ([Ray], (8.1)) du modèle de Néron de Pic_{C_{t}/t}^{0} en termes du foncteur de Picard Pic_{C/S}.

Notons par C les composantes irréductibles réduites de C_{s}, et par m_{C} la multiplicité de C dans C_{s}. Alors on a l’égalité de diviseurs (de Weil ou Cartier) sur C:

C_{s} = ∑_{C} m_{C}C.

Pour ne pas avoir des ennuis nous supposons que k(s) est algébriquement clos et que le plus grand commun diviseur des m_{C} est 1.

Soit Pic_{C/S}^{[0]} le sous-foncteur de Pic_{C/S} des faisceaux inversibles de degré total 0. Rappelons ( [De-Ra]I(3.3.3) ou [Ray](8.1.1)) que le degré total d’un faisceau inversible L sur C_{s} est donné par:

deg L = ∑_{C} m_{C}deg_{C}(L |_{C}).

D’après théorème (8.1.4) de [Ray] le modèle de Néron de Pic_{C_{t}/k(t)}^{0} est égal à Pic_{C/S}^{[0]}/E, où E est l’adhérence schématique de la section unité dans Pic_{C/S}^{[0]}. Ce faisceau en groupes E mesure le défaut de séparation de Pic_{C/S}^{[0]} sur S. Puisque C/S satisfait la propriété (N)^{∗} ([Ray](6.1.4),(6.1.6)), C/S est cohomologiquement plat ([Ray](7.2.1)) et E est représenté par un schéma en groupes étale sur S ([Ray](5.2)). Ce schéma en groupes est “le schéma étalé sur S” correspondant au faisceau gratte-ciel de support s et de groupe E(S). Le groupe E(S) est formé des faisceaux inversibles sur C qui sont triviaux sur C_{t}. Soit D le groupe abélien libre qui a pour base les composantes irréductibles C de C_{s}, on a donc:

D = ⨁_{C} Z[C].

Alors E(S) est l’image du morphisme:

D ⟶^{div} Pic_{C/S}^{[0]}(S) [C] ↦ L_{C},

où L_{C} est l’inverse du faisceau d’idéaux sur C définissant le diviseur C. Comme Pic_{C/S}^{0} est la composante neutre du modèle de Néron de Pic_{C_{t}/t}^{0} ([Ray](8.1.2)) on a:

Φ = Pic_{C/S}^{[0]}(s)/(E(s) + Pic_{C/S}^{0}(s)) = Pic_{C/S}^{[0]}(S)/(E(S) + Pic_{C/S}^{0}(S)),

où Φ est le groupe de composantes de la fibre sur s de ce modèle de Néron. Définissons un morphisme: Pic_{C/S}(S) ⟶^{multideg} D par: L ↦ ∑_{C} deg(L |_{C})[C]. Maintenant nous avons un diagramme où la ligne est exacte:

D
↓ div  α
0 → Pic_{C/S}^{0}(S)) → Pic_{C/S}^{[0]}(S) ⟶^{multideg} D ⟶^{deg} Z → 0.

Le morphisme α = multideg ∘ div se calcule par:

α : [C] ↦ ∑_{C′} deg(L_{C} |_{C′})[C′] = ∑_{C′}(C · C′)[C′],

où (C · C′) est le nombre d’intersection de C et C′ sur la surface régulière C. De ce qui précède il s’ensuit que ([Ray](8.1.2)):

Φ = ker(deg)/im(α).

Un élément de Φ est donc une classe modulo im(α) de multidegrés de faisceaux inversibles sur C.

3 Le groupe de composantes et morphismes.

Les notations sont celles de la Section 2. Soit C̃/S une courbe satisfaisant aux hypothèses faites sur C, et C̃ →^{π} C un S-morphisme. Nous allons calculer les deux morphismes induits par π sur les groupes de composantes: Φ →^{π^{∗}} Φ̃ et Φ̃ →^{π_{∗}} Φ.

3.1 Calcul de π^{∗}.

D’après (2), le groupe Φ est l’homologie du complexe: D →^{α} D →^{deg} Z. On a un complexe analogue pour Φ̃. Tenant compte des deux interprétations de D (groupe de diviseurs sur C à support dans C_{s} et groupe de multidegrés de faisceaux inversibles sur C), on voit facilement que le morphisme π^{∗} : Φ → Φ̃ est induit par un morphisme de complexes:

D  ⟶^{α} D  ⟶^{deg} Z
↓ π_{div}^{∗}  ↓ π_{deg}^{∗}  ↓ deg(π)
D̃  ⟶^{α̃} D̃  ⟶^{deg} Z

π_{div}^{∗} : [C] ↦ π^{−1}C (diviseur sur C̃)

π_{deg}^{∗} : [C] ↦ ∑_{C̃↦^{π}C} deg(π|C̃)[C̃].

3.2 Calcul de π_{∗}.

Les notations sont toujours les mêmes, mais dans cette section il nous faut une hypothèse supplémentaire: C̃ →^{π} C est quasi-fini. Parce que C̃/S et C/S sont propres, π est alors fini, et parce que C̃ et C sont réguliers, π est plat. Le morphisme π est donc fini et plat, ce qui reste vrai après tout changement de base. La construction “norme d’un faisceau inversible” nous donne un morphisme: Pic_{C̃/S} ⟶^{π_{∗}} Pic_{C/S}. En termes de diviseurs ce morphisme est l’image directe.

En regardant les valuations que donnent les composantes irréductibles des fibres fermées on trouve l’égalité de diviseurs sur C̃:

π^{−1}C = ∑_{C̃↦C}(mC̃/m_{C})C̃.

Localisation au point générique d’un C nous donne:

deg(π) = ∑_{C̃↦C}(mC̃/m_{C})deg(C̃/C).

Pour l’image directe d’un C̃ on a par définition ([Gro 2] (21.10.14.1)): π_{∗}(C̃) = deg(C̃/πC̃)πC̃. Pour voir ce qui arrive aux multidegrés appliquons le corollaire (7.1.2) de [Ray], ce corollaire dit que pour chaque C̃ il existe un diviseur effectif horizontal Z sur C̃ qui a degré 1 sur C̃ et degré 0 sur les autres composantes de C̃_{s}. Le degré de π_{∗}Z sur πC̃ se calcule par la formule de projection: (π_{∗}Z · πC̃) = (Z · π^{∗}πC̃) = (Z · (mC̃/m_{πC̃})C̃) = mC̃/m_{πC̃}. Maintenant nous savons tout du morphisme de complexes qui induit π_{∗} sur les groupes de composantes:

Z  → D̃  ⟶^{α̃} D̃  ⟶^{deg} Z
↓ deg(π)  ↓ π_{∗}^{div}  ↓ π_{∗}^{deg}  ↓ 1
Z  → D  ⟶^{α} D  ⟶^{deg} Z
π_{∗}^{div} : [C̃] ↦ deg(C̃/πC̃)[πC̃]
π_{∗}^{deg} : [C̃] ↦ (mC̃/m_{πC̃})[πC̃].

Remarque. Comme l’a suggéré J. Oesterlé, on peut calculer le morphisme induit par π sur les groupes de composantes sans supposer que π est quasi-fini. Le morphisme π : Φ̃ → Φ est alors induit par un morphisme de complexes commme ci-dessus, où π_{∗}^{deg} est donné par la formule:

π_{∗}^{deg} : [C̃] ↦ ∑_{C̃⊂π^{−1}C} m_{C̃,C}[C]

avec m_{C̃,C} la multiplicité de C̃ dans π^{−1}C. La formule pour π_{∗}^{div} est toujours la même.

3.3 Éclatements.

Il peut être nécessaire de travailler avec des modèles non minimaux, par exemple pour avoir des morphismes entre modèles réguliers. Bien sûr, le groupe de composantes ne dépend pas du modèle (régulier) qu’on choisit, mais c’est sa description qui change quand on change de modèle. Nous avons donc besoin de traduire une description en une autre. Soit alors C̃ →^{π} C obtenu en faisant éclater C en un point x ∈ C(s). Nous notons E la courbe exceptionnelle et C̃ le transformé strict d’une composante irréductible C de C_{s}.

Dans ce cas on a: π_{deg}^{∗} : [C] ↦ [C̃]. Cette formule donne l’isomorphisme: Φ →^{π^{∗}} Φ̃, nous voulons aussi une formule pour son inverse. Pour cela il faut éliminer les [E] d’un élément de Φ̃. La relation voulue nous est fournie par α̃([E]):

α̃([E]) = −[E] + ∑_{x∈C(s)} m_{C,x}[C̃]

où m_{C,x} est la multiplicité de C en x. L’isomorphisme Φ̃ → Φ est donc induit par:

(π_{deg}^{∗})^{−1} : D̃ → D [C̃] ↦ [C] [E] ↦ ∑_{x∈C(s)} m_{C,x}[C].

4 Le cas des courbes modulaires X_{0}(N).

Pour N un entier positif soit X_{0}(N) la courbe modulaire sur Z paramétrant les N-isogénies cycliques entre courbes elliptiques: X_{0}(N) est le schéma grossier de modules compactifié associé au problème de modules [Γ_{0}(N)] (cf. [Ka-Ma](8.6)). Cette courbe X_{0}(N)/Z est un modèle normal de sa fibre générique X_{0}(N)_{Q}/Q, mais malheureusement ce n’est pas toujours un modèle régulier. Notons par J_{0}(N) le modèle de Néron sur Z de Pic_{X_{0}(N)_{Q}/Q}^{0}. Soit p un nombre premier, S le spectre de l’anneau des vecteurs de Witt sur \overline{F_{p}} et X̃_{0}(N)_{S} la résolution minimale de X_{0}(N)_{S}. Deligne et Rapoport [De-Ra] ont donné une description de X̃_{0}(N)_{S} dans le cas où la valuation de N en p est au plus 1. Utilisant les résultats de Katz et Mazur [Ka-Ma] on peut décrire X̃_{0}(N)_{S} pour p > 3 [Ed]. Dans ces deux cas on connaît donc la table d’intersection de la fibre spéciale de X̃_{0}(N)_{S}, et d’après la Section 2 cela suffit pour calculer le groupe de composantes Φ_{N,p} de J_{0}(N)_{s}. Nous donnerons quelques exemples de ces groupes en (4.4).

4.1 Action de l’algèbre de Hecke sur Φ_{N,p}.

Soit l un nombre premier ne divisant pas N. Pour une isogénie cyclique de degré Nl entre courbes elliptiques (sur une base quelconque): E_{1} ⟶^{ϕ_{Nl}} E_{2} il existe des factorisations uniques (à isomorphisme près):

E_{1} ⟶^{ϕ_{N,1}} E_{3} ⟶^{ϕ_{l,2}} E_{2} E_{1} ⟶^{ϕ_{l,1}} E_{4} ⟶^{ϕ_{N,2}} E_{2}

où ϕ_{∗,i} a degré ∗ (cf. [Ka-Ma] (6.7)).

Au niveau de problèmes de modules cela donne deux morphismes:

S, T : [Γ_{0}(Nl)] → [Γ_{0}(N)] : S(ϕ_{Nl}) = ϕ_{N,1} T(ϕ_{Nl}) = ϕ_{N,2},

et une involution:

W_{l} : [Γ_{0}(Nl)] → [Γ_{0}(Nl)] ϕ_{Nl} ↦ ϕ_{N,1}ϕ_{l,1}^{t}.

Par construction on a: T = S ∘ W_{l}. On obtient des morphismes induits: S, T : X_{0}(Nl) → X_{0}(N), X_{0}(Nl)_{Q} → X_{0}(N)_{Q}, un endomorphisme T_{l} = T_{∗}S^{∗} de J_{0}(N), et finalement un endomorphisme T_{l} de Φ_{N,p}. Le fait que S, T et W_{l} se prolongent aux pointes est démontré dans [De-Ra] Ch. IV Prop. 3.16, 3.18, Prop. 3.19 et ex. 4.4.

Théorème 1 L’endomorphisme T_{l} de Φ_{N,p} est multiplication par l + 1 si p > 3.

Dans ce cas (p > 3) on connaît des modèles réguliers, alors avec les methodes des Sections 2 et 3 on pourrait simplement calculer S^{∗} : Φ_{N,p} → Φ_{Nl,p} et T_{∗} : Φ_{Nl,p} → Φ_{N,p}, mais on peut faire un peu mieux. C’est à dire qu’il suffit de prouver que S^{∗} = T^{∗} : Φ_{N,p} → Φ_{Nl,p}, parce que cela implique que T_{l} = T_{∗}T^{∗} : Φ_{N,p} → Φ_{N,p}, et T_{∗}T^{∗} agit sur J_{0}(N)_{Q} (et donc aussi sur Φ_{N,p}) par deg(T) = l + 1. Cette astuce est due à Ribet, (d’après Ribet, le vrai résultat est cette égalité, et le Théorème 1 en est un corollaire). On aurait pu faire beaucoup mieux si l’action de W_{l} sur Φ_{Nl,p} était triviale (cela réduirait le théorème à une proposition sur une seule courbe), mais cela n’est pas vrai. Alors le plus grand problème dans la démonstration de S^{∗} = T^{∗} est de décrire des modèles réguliers de X_{0}(Nl)_{S} et X_{0}(N)_{S} auxquels les morphismes S et T se prolongent. On donnera quelques exemples de ces modèles en (4.3).

Soit maintenant P une structure de niveau supplémentaire convenable (par exemple [Γ(3)]_{S}), tel qu’on a des morphismes de schémas de modules compactifiés sur S:

\overline{M}(P, [Γ_{0}(Nl)]) ⟶^{S,T} \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)]),

avec une action (fidèle, d’un groupe G) tel que le quotient par cette action est:

X_{0}(Nl)_{S} ⟶^{S,T} X_{0}(N)_{S}.

Pour simplifier nous supprimons dans la suite les indices inférieures “S”.

Soit x ∈ M(P, [Γ_{0}(N)])(s) un point à stabilisateur G_{x} non trivial. Comme en [Ed] on fait éclater \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)]) en x jusqu’à ce que l’action de G_{x} sur les points fixes au dessus de x est par pseudo-réflexions (il faut donc 0,1 ou 3 éclatements). On fait éclater \overline{M}(P, [Γ_{0}(Nl)]) en tout y ∈ S^{−1}(x) de la même manière qu’on a fait éclater \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)]) en x. Notons les modèles obtenus par \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)])^{∗} et \overline{M}(P, [Γ_{0}(Nl)])^{∗S}. Nous avons maintenant un grand diagramme:

\overline{M}(P, [Γ_{0}(Nl)])^{∗S} →^{S} \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)])^{∗}
↓  ↓  quotient par G-action
X_{0}(Nl)^{∗S}  ⟶^{S}  X_{0}(N)^{∗}
↓ π^{S}  ↓ π  composé d’éclatements
X̃_{0}(Nl)  X̃_{0}(N)
↓  ↓  composé d’éclatements
X_{0}(Nl)  ⟶^{S}  X_{0}(N)

Il y a des morphismes induits sur les groupes abéliens libres engendrés par les composantes des fibres fermées, nous n’écrivons que les deux lignes au milieu:

D̃^{∗S}  ⟵^{S_{deg}^{∗}} D^{∗}
↓ (π_{deg}^{S∗})^{−1}  ↑ π_{deg}^{∗}
D̃  D

où S_{deg}^{∗} et π_{deg}^{∗} sonts induits par S et π comme en (3.1), et (π_{deg}^{S∗})^{−1} par π^{S} comme en (3.3).

La composition de ces trois morphismes, qu’on notera S^{∗} : D → D̃, induit S^{∗} : Φ_{N,p} → Φ_{Nl,p}. De la même manière on trouve des morphismes:

T^{∗} : D ⟶^{π_{deg}^{∗}} D^{∗} ⟶^{T_{deg}^{∗}} D̃^{∗T} ⟶^{(π_{deg}^{T∗})^{−1}} D̃.

Le théorème à démontrer est maintenant une conséquence de la proposition suivante.

Proposition 1 S^{∗} = T^{∗} : D ⟶ D̃.

On prouvera l’égalité S^{∗}([C]) = T^{∗}([C]) pour tout élément de base de D. Pour C le transformé strict d’une composante de X_{0}(N)_{s} cela résulte de la description par [Ka-Ma]: si C est de type (a, b) alors S^{∗}([C]) = T^{∗}([C]) = (l + 1)[(a, b)-composante de X̃_{0}(Nl)_{s}].

Soit x ∈ (Sing X_{0}(N))(s), et C_{x} une composante de X̃_{0}(N)_{s} dans l’image réciproque de x. Par (3.1) on a: π_{deg}^{∗}[C_{x}] = [C̃_{x}], où C̃_{x} est le transformé strict de C_{x} dans X_{0}(N)^{∗}. Encore par (3.1) on a:

S^{∗}([C̃_{x}]) = ∑_{Sy=x}[C_{y}^{∗}] T^{∗}([C̃_{x}]) = ∑_{Ty=x}[C_{y}^{∗}]

où les sommes sont sur les y ∈ X_{0}(Nl)(s) avec Sy = x (resp. Ty = x), et C_{y}^{∗} est la composante unique de X_{0}(Nl)_{s}^{∗} au dessus de y avec S (ou T)-image C̃_{x}. Les coefficients sont 1 parce que les deg(C_{y}^{∗}/C̃_{x}) sont 1, ce qui à son tour résulte de ce que l’action de G_{x} sur chaque composante de \overline{M}(P, [Γ_{0}(N)])_{s}^{∗} au dessus de C̃_{x} est triviale (cf. [Ed](ch.1)).

Par (3.3) on a:

(π_{deg}^{S∗})^{−1}S^{∗}[C̃_{x}] = ∑_{C} aC̃[C̃] + ∑_{Sy=x}[C̃_{y}]

où le deuxième terme est une somme sur les y ∈ (Sing X_{0}(Nl))(s) seulement, et le premier terme est une somme sur les composantes de X_{0}(Nl)_{s} (C̃ est le transformé strict dans X̃_{0}(Nl) de C). Ce premier terme est le résultat de l’élimination des [C_{y}^{∗}] avec Sy = x mais y ∈ (Reg X_{0}(Nl))(s). Pour T on a une somme analogue:

(π_{deg}^{T∗})^{−1}T^{∗}[C̃_{x}] = ∑_{C} bC̃[C̃] + ∑_{Ty=x}[C̃_{y}].

Il nous faut prouver que ces deux sommes sont identiques. Il est clair (cf. (3.3)) que les aC̃ et bC̃ dépendent seulement (et de la même manière) du nombre de [C_{y}^{∗}] éliminés, donc il suffit de prouver l’égalité des deuxièmes termes. Cela revient à démontrer que:

(Sing X_{0}(Nl))(s) ∩ S^{−1}x = (Sing X_{0}(Nl))(s) ∩ T^{−1}x,

ce qui est une conséquence du Lemme 2 de (4.2).

4.2 Un lemme sur les automorphismes des courbes elliptiques.

Soit p un nombre premier, k := \overline{F_{p}}, N un nombre entier positif qui n’est pas divisible par p, et X_{0}(N) →^{S} X_{0}(1) le morphisme donné par: (E_{1} → E_{2}) ↦ E_{1}. (Dans cette section nous ne supposons pas que p > 3.)

Soit x ∈ X_{0}(N)(k), σ ∈ Aut_{k}(x) correspondant au diagrammes suivants:

E_{1} ⟶^{ϕ} E_{2} \begin{matrix}E_{1} & ⟶^{ϕ} & E_{2} \\ ↓ σ_{1} & & ↓ σ_{2} \\ E_{1} & ⟶^{ϕ} & E_{2} \end{matrix}

Notons que σ_{1} et σ_{2} ont même ordre que σ, donc la connaissance des courbes elliptiques à automorphismes ≠ ±1 nous apprend que si σ ≠ ±1 alors l’ordre de σ est 3,4 ou 6, et E_{2} est isomorphe à E_{1}. Ceci implique que dans nos considérations sur les points de X_{0}(N) à automorphismes nous aurons affaire aux endomorphismes seulement.

Soit maintenant y ∈ X_{0}(1)(k) (disons y ∼ E) et ±1 ≠ σ ∈ Aut_{k}(y), alors :

{x ∈ S^{−1}y | σ ∈ Aut_{k}(x)} = {E →^{ϕ} E_{1} | σkerϕ = kerϕ}

Il s’agit donc de sous-groupes σ-invariants cycliques d’ordre N de

E[N](k) ≅ (Z/N)^{2} = ∏_{q|N}(Z/q^{n_{q}})^{2},

où N = ∏_{q|N} q^{n_{q}} est la factorisation de N en facteurs premiers. Sachant que pour tout q ≠ 2, 3 l’action de σ sur E[q](k) a deux valeurs propres distinctes il est facile de démontrer le lemme suivant.

Lemme 1 Écrivons N = 2^{n_{2}} ∏_{q≠2} q^{n_{q}}. Pour y ∈ X_{0}(1)(k) et σ_{4} ∈ Aut_{k}(y) d’ordre 4 on a:

#\{x ∈ S^{−1}y | σ_{4} ∈ Aut_{k}(x)\} = \{ \begin{matrix}0 & si n_{2} > 1 ou ∃q ≡ −1(4) \\ 2^{#\{q|q≠2\}} & sinon. \end{matrix}

Écrivons N = 3^{n_{3}} ∏_{q≠3} q^{n_{q}}. Pour y ∈ X_{0}(1)(k) et σ_{3} ∈ Aut_{k}(y) d’ordre 3 on a:

#\{x ∈ S^{−1}y | σ_{3} ∈ Aut_{k}(x)\} = \{ \begin{matrix}0 & si n_{3} > 1 ou ∃q ≡ −1(3) \\ 2^{#\{q|q≠3\}} & sinon. \end{matrix}

Nous savons déjà que les points de X_{0}(N)(k) à automorphismes ≠ ±1 correspondent aux endomorphismes (= isogénies dont la source et le but coïncident). Il se trouve même que ces endomorphismes appartiennent à l’un des sous-anneaux Z[σ_{4}] et Z[σ_{3}] de End_{k}(E). Cela résulte du fait que Z[σ_{4}] et Z[σ_{3}] sont de factorisation unique et que la factorisation de N donne exactement le même nombre d’endomorphismes cycliques de degré N que le lemme précédent.

Lemme 2 Soit N = lM avec l un nombre premier qui ne divise pas M, et x ∈ X_{0}(N)(k) avec σ ∈ Aut_{k}(x) d’ordre 3 ou 4. Alors on a Sx = Tx pour S et T les deux morphismes X_{0}(N) → X_{0}(M) de (4.1).

Disons que x correspond à E →^{ϕ_{N}} E, et ϕ_{N} ∈ Z[σ]. Ce ϕ_{N} se factorise en deux facteurs de degrés M et l: ϕ_{N} = ϕ_{M}ϕ_{l}. Alors de ϕ_{M}ϕ_{l} = ϕ_{l}ϕ_{M} il résulte que Sx = ϕ_{M} = Tx.

4.3 Quelques exemples des modèles utilisés en (4.1).

Dans cette section on trouve des dessins des fibres fermées de quelques modèles utilisés en (4.1). Pour obtenir ces dessins on se sert de la description des points à automorphismes de (4.2) et de [Ed] ch.1.

Traitons le cas: X_{0}(2 · 11)_{S} ⟶^{S} X_{0}(11)_{S} où S est de caractéristique résiduelle 11. Les dessins sont dans la Figure 1.

Le deuxième exemple est: X_{0}(2 · 13^{2})_{S} ⟶^{S} X_{0}(13^{2})_{S}, avec S de caractéristique résiduelle 13. Les dessins sont dans la Figure 2.

4.4 Quelques exemples des groupes Φ_{N,p}.

4.4.1 Le cas traité par Mazur et Rapoport.

Il y a quelques petites erreurs dans les calculs de [Ma-Ra]. Dans cette section, nous nous permettons de refaire ces calculs. Il y a trois choses à dire. Premièrement: les 1/d_{i} qui se trouvent dans leur Proposition (1.4) ne doivent pas être là, apparemment ils n’ont pas tenu compte du fait que les X_{i} dans [Ray], (8.1.1) ne sont pas nécessairement réduits. D’ailleurs cela n’affecte pas leurs résultats parce que tous les d_{i} y sont 1. Deuxièmement: le nombre de points supersinguliers n’est pas comme il est écrit dans la Proposition (1.2): (Q − 2^{ν})/2 doit être (Q + 2^{ν})/2 et (Q − 2^{ν})/3 doit être (Q + 2^{ν+1})/3. Troisièmement: il y a une erreur dans la structure du groupe Φ (leurs Φ modulo 2-torsion et 3-torsion ne sont pas cycliques (cf. Table 2, page 174), tandis que cela doit être bien le cas). Dans cette section nous tentons de donner les tables correctes.

Rappelons les notations: N = pM est un nombre entier positif , p > 3 un nombre premier qui ne divise pas M. Notons par s_{2}, s_{4} et s_{6} les nombres de points supersinguliers x ∈ X_{0}(M)(\overline{F_{p}}) tel que #Aut(x) = 2, 4, 6. Alors notre calcul de Φ_{N,p} donne:

s_{4} s_{6} Φ_{N,p}
0 0 Z/s_{2}
> 1 0 Z/(2(2s_{2} + s_{4})) ⊕ (Z/2)^{s_{4}−2}
0 > 1 Z/(3(3s_{2} + s_{6})) ⊕ (Z/3)^{s_{6}−2}
> 1 > 1 Z/(6(6s_{2} + 3s_{4} + 2s_{6})) ⊕ (Z/2)^{s_{4}−2} ⊕ (Z/3)^{s_{6}−2}

Figure 1: Le cas X_{0}(2 · 11)_{S} ⟶^{S} X_{0}(11)_{S}.

Figure 2: Le cas X_{0}(2 · 13^{2})_{S} ⟶^{S} X_{0}(13^{2})_{S}.

Pour obtenir Φ_{N,p} dans le cas où s_{4} = 1 il faut faire comme suit: prendre le cas s_{4} > 1, supprimer le terme avec exposant “s_{4} − 2” et supprimer le facteur “2” du premier terme. Si s_{6} = 1 on supprime le terme d’exposant “s_{6} − 2” et le facteur “3” du premier terme.

Soit maintenant M = ∏_{q} q^{n_{q}} la factorisation de M en facteurs premiers (n_{q} > 0), ν = #{q | q ≠ 2, 3} et Q = deg(X_{0}(M)/X_{0}(1)) = ∏_{q}(q + 1)q^{n_{q}−1}. Alors les nombres s_{2}, s_{4}, s_{6} sont donnés par:

p  s_{2}  s_{4} s_{6}
p ≡ 1(12)  Q\frac{p−1}{12}  0 0
p ≡ 5(12) s_{6} = 0  Q\frac{p−1}{12}  0 0
s_{6} ≠ 0  \frac{Q(p−1)−4·2^{ν}}{12} 0 2^{ν}
p ≡ 7(12) s_{4} = 0  Q\frac{p−1}{12}  0 0
s_{4} ≠ 0  \frac{Q(p−1)−6·2^{ν}}{12} 2^{ν} 0
p ≡ 11(12) (s_{4} = 0) ∧ (s_{6} = 0)  Q\frac{p−1}{12}  0 0
(s_{4} ≠ 0) ∧ (s_{6} = 0) \frac{Q(p−1)−6·2^{ν}}{12} 2^{ν} 0
(s_{4} = 0) ∧ (s_{6} ≠ 0) \frac{Q(p−1)−4·2^{ν}}{12} 0 2^{ν}
(s_{4} ≠ 0) ∧ (s_{6} ≠ 0) \frac{Q(p−1)−10·2^{ν}}{12} 2^{ν} 2^{ν}
s_{4} = 0 ⟺ n_{2} > 1 ∨ ∃q ≡ −1(4)
s_{6} = 0 ⟺ n_{3} > 1 ∨ ∃q ≡ −1(3)

Notons que les nombres s_{2}, s_{4} et s_{6} dans la table ci-dessus satisfont à la formule de masse ([Ka-Ma](12.4.5, 12.4.6)):

s_{2}/2 + s_{4}/4 + s_{6}/6 = ∑_{x=s.s.} 1/#Aut(x) = Q(p − 1)/24.

4.4.2 Les groupes Φ_{p^{2},p} pour p > 3.

Donnons d’abord un exemple: p = 13. Dans (4.3) on trouve le “graphe” de la fibre fermée de X̃_{0}(13^{2}). Les nombres d’intersection s’en déduisent facilement et on obtient le morphisme α de la Section 2:

α = ( \begin{matrix}−13 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & −13 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & −1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & −3 \end{matrix} ) .

Un calcul facile donne: Φ_{13^{2},13} ≅ Z/7.

Dans le cas général on trouve:

Proposition 2 Pour p > 3 on a Φ_{p^{2},p} ≅ Z/\frac{p^{2}−1}{24}.

References

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[Ri 2] Ribet, K.A. On modular representations of Gal(\overline{Q}/Q) arising from modular forms. MSRI preprint #06420-87 (June, 1987).

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