Inleiding in de algebraïsche topologie, najaar 2019


Dit is de webpagina voor het college Inleiding in de algebraïsche topologie van najaar 2019.

BELANGRIJK: dit college is bedoeld voor (derdejaars) bachelor-studenten. Master students interested in this topic are strongly recommended to take the Algebraic Topology courses in mastermath.

In dit college zetten we de in het college Topologie aangevangen studie van de fundamentaalgroep en van overdekkingsruimten voort. We zullen zien dat er een nauw verband tussen de twee concepten bestaat, die wordt uitgedrukt via de zogenaamde monodromiewerking. Verdere onderwerpen die aan bod komen zijn bijvoorbeeld windingsgetallen en de stelling van Van Kampen. We zullen de stelling van Borsuk-Ulam bewijzen. Op een informeel niveau zegt deze stelling dat op elk moment er op de aarde twee antipodale plekken zijn waar zowel de luchtdruk als de temperatuur hetzelfde zijn. We komen ook toepassingen in de algebra tegen, bijvoorbeeld: een ondergroep van eindige index in een vrije groep is vrij.

Rooster: maandagen van 9:15--11:00, in zaal 174. Het volledige rooster vind je hier. Let op: het eerste college vindt op maandag 9 september plaats.

Literatuur: we behandelen enkele hoofdstukken uit het onderstaande boek. Het boek is als e-boek verkrijgbaar op het universitaire netwerk, via SpringerLink. Voor het tweede gedeelte van de cursus behandelen we gedeeltes uit Hoofdstukken 1--3 van de syllabus "Algebraic Topology -- an introduction" van de hand van Eduard Looijenga dat je hier kunt vinden.

  • W. Fulton: Algebraic Topology: A First Course, Springer Graduate Texts in Mathematics 153.
  • Benodigde voorkennis: Algebra 1 & 2, Lineaire Algebra 1 & 2, Topologie. In het bijzonder het materiaal uit dit dictaat van Peter Bruin.

    Eindcijfer: het eindcijfer wordt gebaseerd op zowel huiswerkopdrachten als een schriftelijk tentamen. Het huiswerk telt voor 25 % en het tentamen voor 75 %. Om te slagen voor dit vak moet voor zowel huiswerk als tentamen minstens een 5 zijn behaald.

    Tentamen: het tentamen vindt plaats op maandag 20 januari 2020 van 10:15-13:15 uur in zaal B1. tentamen van 21 januari 2019. tentamen van 15 januari 2018.

    Hertentamen: het hertentamen voor dit vak is mondeling. Neem contact op met de docent indien U een afspraak wilt maken voor een mondeling hertentamen.

    Vragenuur: er is een vragenuur op donderdag 16 januari 2020 van 14:15-16:00 in zaal 412.

    Aanmelding voor het tentamen: indien je tentamen voor dit vak wilt doen moet je je daarvoor registreren in usis. Een aanvraag voor extra tijd op het tentamen dien je ruim van tevoren in bij de onderwijscoordinator Laura van Kempen-Helmsing.

    Huiswerkopgaven:

  • Huiswerkset 1: zie hier. Opgegeven: 16 september, deadline 29 september.
  • Huiswerkset 2: zie hier. Opgegeven: 7 oktober, deadline 20 oktober.
  • Huiswerkset 3: zie hier. Opgegeven: 28 oktober, deadline 10 november.
  • Huiswerkset 4: zie hier. Opgegeven: 25 november, deadline 8 december.
  • Huiswerkset 5: zie hier. Opgegeven: 9 december, deadline 22 december.

    Studentassistent: Stefan van der Lugt.

    Behandelde stof en oefenopgaven:

    College 1 (9 september):

  • Inhoud: inleiding, herhaling fundamentaalgroep, overdekkingsruimtes en monodromiewerking. Retracties. De cirkel is geen retract van de cirkelschijf. Even werkingen, voorbeelden. Zij G een groep die even op Y werkt, en p : Y -> X een continue afbeelding. De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) de afbeelding p is een overdekkingsafbeelding, en de vezels van p zijn precies de G-banen van Y; (2) de afbeelding p is een quotientafbeelding voor de G-werking.
  • Literatuur: Lees nog eens aandachtig de secties 12--15 door uit het dictaat Topologie. Als alternatief kan men lezen: Fulton, 11a, b; 12a, b.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 2 (16 september):
  • Inhoud: Zij Y een topologische ruimte. Zij G een groep die even op Y werkt, en p : Y -> X een continue afbeelding. De volgende uitspraken zijn equivalent: (1) de afbeelding p is een overdekkingsafbeelding, en de vezels van p zijn precies de G-banen van Y; (2) de afbeelding p is een quotientafbeelding voor de G-werking. Bewijs van deze uitspraak. Definitie van G-overdekkingen. Voorbeelden. Automorfismengroep van een overdekkingsafbeelding. Stelling A: Als p : Y -> X een overdekkingsafbeelding is en Y is samenhangend, dan geldt: (1) de werking van Aut(Y/X) op Y is vrij; (2) het aantal elementen van Aut(Y/X) wordt van boven begrensd door het aantal elementen in een vezel van p; (3) als p een G-overdekking is dan is de natuurlijke inclusie G -> Aut(Y/X) een gelijkheid. Stelling over de uniciteit van lifts. Bewijs van Stelling A uit de stelling over de uniciteit van lifts. Bewijs van de stelling over de uniciteit van lifts. Discussie over de existentie van lifts.
  • Literatuur: Fulton 11a, b, c, d. Uniciteit van lifts vindt men terug als Lemma 11.5 in Fulton. Een bespreking van G-overdekkingen vindt men in 11c. Een bespreking van Aut(Y/X) vindt men in 11d.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 3 (23 september, gegeven door Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: fundamentaalgroep van S^2/{\pm 1} (ook wel bekend als het reële projectieve vlak); stelling over de existentie van lifts, korte bespreking van lokale wegsamenhang, Borsuk-Ulam voor de 2-dimensionale sfeer. Vanaf nu is de basisruimte X samenhangend en lokaal wegsamenhangend. Universele overdekkingsruimten, universele eigenschap, uniciteit op uniek homeomorfisme na.
  • Literatuur: Fulton 13a, c.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 4 (7 oktober):
  • Inhoud: vanaf nu is de basisruimte X samenhangend en lokaal wegsamenhangend. Universele overdekkingsruimten, universele eigenschap, uniciteit op uniek homeomorfisme na. Voor een universele overdekkingsruimte werkt de automorfismengroep transitief op de vezel. Prop. A: Zij p : Y -> X een overdekkingsafbeelding met Y (weg)samenhangend. Dan is de werking van Aut(Y/X) op Y even. Gevolg: een universele overdekkingsafbeelding \tilde{X} -> X is een G-overdekking met G=Aut(\tilde{X}/X). Prop. B: Zij p : Y -> X een overdekkingsafbeelding met Y (weg)samenhangend. Zij H een ondergroep van Aut(Y/X). Dan is de geinduceerde afbeelding Y/H -> X een overdekkingsafbeelding. Prop. C: zij p : Y -> X een overdekkingsafbeelding met Y (weg)samenhangend. Dan is de afbeelding \tilde X -> Y in de universele eigenschap van de universele overdekkingsruimte een (universele) overdekkingsafbeelding. Galois-correspondentie: zij \tilde{X} -> X een universele overdekkingsafbeelding. Dan is er een natuurlijke bijectie tussen de verzameling isomorfieklassen van (weg)samenhangende gepunte overdekkingsruimten van X en de verzameling ondergroepen van G=Aut(\tilde{X}/X). Beschrijving van de bijectie, en bewijs van de Galois-correspondentie uit Props. A--C. Classificatie van de (weg)samenhangende overdekkingsruimten van (i) de cirkel en (ii) het reële projectieve vlak.
  • Literatuur: gedeeltes uit Fulton, Chapter 11, 13a--d. Props. A-B zijn bevat in Fulton, Proposition 11.38. Prop. C veralgemeent Fulton, Exercise 11.12. Universele overdekkingen worden besproken in Fulton, 13c, en de Galois-correspondentie vindt men terug in Fulton, 13d. Merk echter op dat onze behandeling van de Galois-correspondentie anders is dan die in Fulton: de relatie van Aut(\tilde{X}/X) met de fundamentaalgroep van X hebben we nog niet besproken.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 5 (14 oktober):
  • Inhoud: vanaf nu is de basisruimte X samenhangend en lokaal wegsamenhangend, en nemen we aan dat een universele overdekkingsruimte van X bestaat (dit volgt niet uit de aanname van samenhang en lokale wegsamenhang, zoals de "clamshell" laat zien). Gegeven de aanname van samenhang en lokale wegsamenhang, komt de eis van het bestaan van een universele overdekkingsruimte overeen met de eis dat X semi-lokaal enkelvoudig samenhangend is. Zij G een groep. Discussie van de monodromierepresentatie voor een gepunte G-overdekking (Y,y) van (X,x). Dit is een groepshomomorfisme van de fundamentaalgroep van (X,x) naar G. De kern van de monodromierepresentatie is de stabilizator van y onder de monodromiewerking. De monodromierepresentatie is surjectief desda de ruimte Y (weg)samenhangend is. Stelling 1: neem aan Y is (weg)samenhangend. Dan induceert de monodromierepresentatie een groepsisomorfisme \pi_1(X,x)/\pi_1(Y,y) --> G=Aut(Y/X). Stelling 2: de monodromierepresentatie is een groepsisomorfisme als de overdekking (Y,y) van (X,x) universeel is. Kort samengevat: we kunnen de fundamentaalgroep van (X,x) identificeren met de automorfismengroep van \tilde{X} over X!! Discussie van het functievoorschrift van het isomorfisme \pi_1(X,x) --> Aut(\tilde{X}/X). Stelling 3: de afbeelding die aan een gepunte G-overdekking haar monodromierepresentatie toekent induceert een bijectie van de verzameling isomorfieklassen van gepunte G-overdekkingen van (X,x) naar de verzameling Hom(\pi_1(X,x), G) van groepshomomorfismen van \pi_1(X,x) naar G. Begin van het bewijs (onze taak is om gegeven een homomorfisme van \pi_1(X,x) naar G een G-overdekking (Y,y) --> (X,x) te construeren, en te laten zien dat deze constructie een inverse geeft voor de afbeelding die aan een G-overdekking haar monodromierepresentatie toekent).
  • Literatuur: Fulton 13b--d, 14a. De eis van semi-lokaal enkelvoudige samenhang en de "clamshell" worden besproken in 13c. Stelling 1 is een variant op Theorem 13.11 uit Fulton. Stelling 2 is Corollary 13.15 in Fulton. De monodromierepresentatie is het homomorfisme \rho in Fulton onderaan p. 194. Stelling 3 is Proposition 14.1 in Fulton.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 6 (21 oktober, gegeven door Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: vandaag bewijzen we deze Stelling: de afbeelding die aan een gepunte G-overdekking haar monodromierepresentatie toekent induceert een bijectie van de verzameling isomorfieklassen van gepunte G-overdekkingen van (X,x) naar de verzameling Hom(\pi_1(X,x), G) van groepshomomorfismen van \pi_1(X,x) naar G. Onze taak is om gegeven een homomorfisme van \pi_1(X,x) naar G een G-overdekking (Y,y) --> (X,x) te construeren, en te laten zien dat deze constructie een inverse geeft voor de afbeelding die aan een G-overdekking haar monodromierepresentatie toekent.
  • Literatuur: Fulton, Sectie 14a. De stelling van vandaag is Proposition 14.1.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 7 (28 oktober):
  • Inhoud: korte herhaling van quotientruimtes en hun universele eigenschap, plakken van ruimtes, plakken van overdekkingen, stelling van Van Kampen, toepassingen: de fundamentaalgroep van elke sfeer S^n met n minstens 2 is triviaal, bepaling van de fundamentaalgroep van de achtfiguur. Voor het bewijs van Van Kampen gebruiken we de stelling van vorige week die zegt dat als X "netjes" is en G een groep, de afbeelding die aan een gepunte G-overdekking van (X,x) haar monodromierepresentatie toekent een bijectie induceert van de verzameling isomorfieklassen van gepunte G-overdekkingen van (X,x) naar de verzameling Hom(\pi_1(X,x), G) van groepshomomorfismen van \pi_1(X,x) naar G. Ook gebruiken we de extra eigenschap dat voor een deelruimte (U,x) van (X,x) de bijectie uit de stelling compatibel is met restrictie van gepunte overdekkingen tot (U,x) aan de ene kant, en samenstelling met de afbeelding tussen fundamentaalgroepen geinduceerd door de inclusie (U,x) -> (X,x) aan de andere kant.
  • Literatuur: Fulton, Secties 14b--c en het begin van 14d. Het plakken van overdekkingen wordt besproken in Fulton 14b. De stelling van Van Kampen plus Grothendieck's bewijs en toepassingen worden besproken in Fulton 14c. De compatibiliteit van de monodromierepresentatieafbeelding met inclusies van deelruimtes in (X,x) vindt men terug in Exercise 14.2 in Fulton 14a.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 8 (11 november):
  • Inhoud: de fundamentaalgroep van een eindige (dwz compacte samenhangende topologische) graaf is een vrije groep, de stelling van Nielsen-Schreier (elke ondergroep van eindige index in een vrije groep is vrij). Begin met singuliere homologie; wat ons nog te doen staat. Convexe omhulsels, standaard p-simplex, p-simplices in een ruimte X, de groep van singuliere p-ketens, de randafbeelding van de groep van singuliere p-ketens naar de groep van singuliere (p-1)-ketens, homologiegroepen als kern modulo beeld van de randafbeeldingen.
  • Literatuur: Fulton 14d, en Chapter 1 van de syllabus "Algebraic Topology -- an introduction" van Eduard Looijenga (zie boven voor de url).
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 9 (18 november):
  • Inhoud: randafbeelding, homologiegroepen, functorialiteit van singuliere ketengroepen en homologiegroepen, homologiegroepen van een punt, de H_0 van een wegsamenhangende ruimte is oneindig cyclisch, de H_p van een retract zijn directe summanden, homotopie-invariantie van singuliere homologie (bewijs later), gevolgen.
  • Literatuur: Chapters 1, 2 van Looijenga's syllabus.
  • Oefenopgaven: zie de set opgaven van vorige week.

  • College 10 (25 november, gegeven door Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: singuliere homologie van een disjuncte vereniging; 1-homologie via de fundamentaalgroep, met voorbeelden: torus en 8-figuur; exacte rijtjes en voorbeelden; ketencomplexen en homologie van ketencomplexen; ketenafbeeldingen en de geinduceerde afbeelding op homologie; exacte rijen van ketencomplexen; korte exacte rij van ketencomplexen induceert lange exacte rij in homologie, constructie van randafbeelding; de stelling van kleine simplices (bewijs later); de stelling van Mayer-Vietoris, met bewijs uitgaande van de stelling van kleine simplices; berekening van homologie van S^n.
  • Literatuur: Chapters 1, 2 van Looijenga's syllabus. NB - We kijken in dit college niet naar "space pairs" en "space triples". Neem voor de deelruimtes in een space pair of space triple altijd de lege verzameling.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 11 (2 december):
  • Inhoud: berekening van de homologie van de torus, vaste-punt stelling van Brouwer, wanneer zijn S^m en S^n homotopie-equivalent, wanneer zijn R^m en R^n homeomorf; graad van zelfafbeeldingen van S^n, eenvoudige eigenschappen: graad van de identiteit, graad van een samenstelling, homotope afbeeldingen hebben dezelfde graad. Een nuttige voldoende voorwaarde voor homotopie van twee zelfafbeeldingen van S^n.
  • Literatuur: Chapters 2 en 3 van Looijenga's syllabus (t/m Remark 3.6). Merk op dat we op college de homologiegroepen van de S^n (cf. Cor. 3.2) op een andere manier hebben berekend, namelijk via een Mayer-Vietoris argument. Sla Thm. 3.1 over.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 12 (9 december):
  • Inhoud: de graad van de antipodale afbeelding op S^n is (-1)^{n+1}, toepassingen, stelling van de harige bal, begin van een bewijs van de homotopie-invariantie van singuliere homologie.
  • Literatuur: Chapter 3 van Looijenga's syllabus (t/m Cor. 3.9). Sla Thm. 3.1 over. Merk op dat we op college de graad van de antipodale afbeelding op een andere manier hebben berekend, namelijk via een Mayer-Vietoris argument en een berekening van de graad van een aantal standaard-reflecties. Problem 19 is op college wel besproken maar verder niet uitgewerkt.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 13 (16 december):
  • Inhoud: vervolg bewijs van de homotopie-invariantie van singuliere homologie, bewijs van de stelling van de kleine simplices.
  • Literatuur: het gaat hier om Thm. 2.4 en Prop. 2.12 uit de syllabus van Looijenga.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.