Topologie, voorjaar 2005


Het college vindt plaats op woensdag en donderdag van 13.45 tot 15:30. Geregeld zal er op donderdagen een werkcollege plaatsvinden. Dit werkcollege wordt gegeven door Arjen Stolk. Bij het werkcollege worden sommen opgegeven, waarvan een selectie wordt ingeleverd en nagekeken. Het gemaakte huiswerk telt uiteindelijk voor 50 % mee in het eindcijfer. De resterende 50 % wordt bepaald door een mondeling tentamen over de gehele stof. Een datum voor dit mondelinge tentamen is in overleg vastgesteld, zie onder.

Klik hier voor de handout bij het college.

Klik hier voor een reeks voorbeelden van topologische ruimten uit het `dagelijks leven'.

Klik hier voor de syllabus bij het college.

Klik hier voor de opgavenbundel bij het college.

Een bijgewerkte versie van de opgavenbundel is hier verkrijgbaar. Bevat ook een aantal nieuwe opgaven. Let op: de nummers van de opgaven hieronder verwijzen nog naar de oude opgavenbundel.

2+3 februari:
Hoorcollege: secties 1 en 2 tot en met Propositie 2.7 uit de syllabus.
Werkcollege: geen.
Huiswerk: klik hier voor het huiswerk. Inleveren op of voor 10 februari.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 1.4 tot en met Example 7, secties 1.6 en 2.1 geheel en sectie 2.4 tot Lemma (2.13).

9+10 februari:
Hoorcollege: secties 2, 3 en 4 uit de syllabus.
Werkcollege: opgaven 1.1, 2.1, 2.3, 2.8, 2.9 en 2.10 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgaven 2.4, 2.7 en 2.12 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 17 februari.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 2.2 tot en met Example op p. 34, sectie 3.1 geheel en sectie 3.3 tot en met Proof of Theorem (3.10).

16+17 februari:
Hoorcollege: sectie 5 uit de syllabus.
Werkcollege: opgaven 2.11, 2.15, 2.16, 3.4, 3.5 en 3.6 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgaven 3.10 en 4.2 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 24 februari.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 3.5 tot en met Proof of Theorem (3.25), en sectie 3.6 tot en met Proof of Theorem (3.29).

23+24 februari:
Hoorcollege: sectie 6 uit de syllabus.
Werkcollege: opgaven 3.8, 3.9, 4.3, 5.2 en 5.4 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 5.7 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 3 maart.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 3.4 geheel en Theorem (3.26) uit 3.5.

Klik hier voor een collectie waar-of-niet-waar opgaven over de secties 1 tot en met 5 uit de syllabus, en hier voor de antwoorden.

2+3 maart:
Hoorcollege: Cantorverzameling, Peanokromme en een begin van sectie 7 uit de syllabus.
Werkcollege: opgaven 4.5, 5.1, 5.3, 5.9 en 5.10 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 5.8 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 10 maart.
Corresponderende stof uit Armstrong: voor de Peanokromme zie sectie 2.3; let op dat de behandeling anders is dan op college. Voor de producttopologie op een aftelbaar product van topologische ruimten zie sectie 3.4, Problem 27 of Janich sectie 6.2. Voor de identificatietopologie zie sectie 4.1 geheel en 4.2 de eerste alinea.

9+10 maart:
Hoorcollege: sectie 7 en gedeeltes uit sectie 8 uit de syllabus. Verder: Mobiusband, projectieve ruimte, plakken, universele eigenschap van het quotient, rijcontinue afbeeldingen tussen metrische ruimten zijn continu, een deelruimte van een volledige ruimte is volledig desda hij gesloten is, C([0,1]) is volledig ten aanzien van de sup-norm, Banach contractiestelling.
Werkcollege: opgaven 6.1 en 6.3 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 5.12 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 17 maart.
Corresponderende stof uit Armstrong: voor wat betreft quotienten, zie sectie 4.1, alsmede 4.2 tot en met Proof of Corollary (4.4) en 4.2 vanaf `Projective spaces' (p. 71) tot en met het eind. Voor wat betreft rijen en convergentie is er geen corresponderende stof in Armstrong, maar een gedeelte wordt behandeld in Janich, sectie 4.1.

16+17 maart:
Hoorcollege: Newton-iteratie als toepassing van de Banach contractiestelling; completering van een metrische ruimte: constructie en universele eigenschap.
Werkcollege: opgaven 6.5, 6.6, 7.3 en 7.4 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 7.6 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 24 maart.
Corresponderende stof uit Armstrong: is er niet, maar wat er is gezegd over completeringen is min of meer te vinden in Janich, sectie 4.1 en 4.2.

23+24 maart:
Hoorcollege: de equivalenties X compact desda X rijcompact desda X totaal begrensd en volledig voor metrische ruimten X; Baire categoriestelling.
Werkcollege: opgaven 8.1, 8.2, 8.3 uit de opgavenbundel en extra opgaven.
Huiswerk: huiswerkvrij.
Corresponderende stof uit Armstrong: is er niet, maar zie sectie 2.4 uit het boek Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry van I.M. Singer en J.A. Thorpe (uit de Springer UTM reeks).

6+7 april:
Hoorcollege: inleiding fundamentaalgroep; homotopie van wegen; voorbeelden; definitie fundamentaalgroep.
Werkcollege: een nieuwe serie waar-of-niet-waar-opgaven.
Huiswerk: opgave 8.5 uit de opgavenbundel. Inleveren op of voor 14 april.
Corresponderende stof uit Armstrong: secties 1.6, 5.1 en 5.2 tot Theorem (5.6).

13+14 april:
Hoorcollege: onafhankelijkheid (op isomorfie na) fundamentaalgroep van keus basispunt; voorbeelden; enkelvoudige samenhang; fundamentaalgroep van de cirkel; liften van wegen; liften van homotopieen; lemma van Lebesgue.
Werkcollege: opgaven 4.7, 9.3 en 9.5 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: klik hier voor het huiswerk. Inleveren op of voor 21 april.
Corresponderende stof uit Armstrong: p. 94 Theorem (5.6) plus het bewijs; sectie 5.3 tot en met p. 98. Voor het lemma van Lebesgue zie Theorem (3.11) op p. 49.

20+21 april:
Hoorcollege: fundamentaalgroep van de cirkel; S^n is enkelvoudig samenhangend voor n >1; functorialiteit; homeomorfe ruimten hebben isomorfe fundamentaalgroepen; bol, cylinder en torus zijn onderling niet homeomorf.
Werkcollege: opgaven 9.6, 9.7 en 9.8 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 9.9 uit de opgavenbundel. Inleveren: op of voor 28 april.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 5.3 tot en met p. 98. Armstrong geeft een ander bewijs dan op college voor de enkelvoudige samenhang van S^n (n>1): zie p. 99. Voor functorialiteit zie p. 94 onderaan tot en met eind sectie 5.2.

27+28 april:
Hoorcollege (Hans Finkelnberg): fixpuntstelling van Brouwer; overdekkingsruimten; nogmaals liften van wegen en liften van homotopieen met behulp van Lebesgue; injectiviteit van f_* voor een overdekkingsruimte f : Y -> X.
Werkcollege: opgaven 10.1, 10.2 en 10.3 uit de opgavenbundel.
Huiswerk: opgave 9.13 uit de opgavenbundel (homotopie van afbeeldingen). Inleveren op of voor 12 mei.
Corresponderende stof uit Armstrong: voor de fixpuntstelling van Brouwer zie sectie 5.5. Voor overdekkingsruimten zie sectie 10.4 tot en met Proof of Theorem (10.12).

11+12 mei:
Hoorcollege: vezels van een overdekkingsruimte hebben de discrete topologie; voorbeelden van overdekkingsruimten; karakteristieke ondergroep van een overdekkingsruimte; verband tussen ondergroepen van de fundamentaalgroep en overdekkingsruimten; universele overdekkingsruimten; interpretatie van de fundamentaalgroep als groep van dektransformaties van de universele overdekkingsruimte.
Werkcollege: klik hier voor de opgaven.
Huiswerk: geen.
Corresponderende stof uit Armstrong: sectie 10.4 tot en met Proof of Theorem (10.12). Verder p. 231 vanaf Theorem (10.17) tot aan Theorem (10.18). Ten slotte van p. 232 het stukje over de universele overdekkingsruimte. Let op dat Armstrong niet met gepunte ruimten werkt. De relatie tussen de fundamentaalgroep en de groep van dektransformaties van de universele overdekkingsruimte wordt niet beschreven in Armstrong maar bijvoorbeeld wel in Janich, sectie 9.7.


Mondeling tentamen

In overleg met de studenten is besloten de mondelinge tentamens op 8 en 9 juni (woensdag en donderdag) te houden. Deze zullen plaatsvinden in de kamer van de docent in het M.I (kamer 221).

Een tijdsschema hiervoor staat hieronder. Wie zich wil inschrijven voor het tentamen wordt verzocht een email naar de docent te sturen of dit op college te melden.

De tentamenstof is wat er in het college (hoor- en werkcollege) behandeld is.

Het doel van het tentamen is te bekijken of de onderwezen stof begrepen is. Bijvoorbeeld kan er gevraagd worden naar definities en stellingen, naar voorbeelden van topologische ruimten met bepaalde eigenschappen, of kunnen er sommen gemaakt worden (met hulp van de docent), of kan er gevraagd worden naar het bewijs van een stelling als dat eenvoudig genoeg is.


Tijdsschema mondeling tentamen

8 juni (woensdag)9 juni (donderdag)
9:30-10:00Jasper Lukkezen
10:00-10:30Daniel MarjenburghLouk Rademaker
10:30-11:00Zlata TanovicRobbert de Jong
11:30-12:00Gonny HauwertMatthijs Pronk
12:30-13:00Matthijs van StaalduineArsham Farzinnia
13:00-13:30Frank van RestMark Roelands
14:00-14:30Arjaan JansenDirk Biesheuvel
14:30-15:00Hilko ChangFenna de Beer
15:00-15:30Thijs VorselenLaetitia Diemer
16:00-16:30Sander RoobolBruin Benthem
16:30-17:00
17:00-17:30

Laatst gewijzigd op maandag 11 april 2005.