\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dvips]{epsfig}

\pagestyle{empty}
\renewcommand{\labelenumi}{\alph{enumi})}

\newcommand\R{\mathbb{R}}
\newcommand\F{\mathbb{F}}

\begin{document}

\title{Eerste huiswerkopdracht Lineaire algebra 1}

\maketitle

Dit huiswerkexamen moest maandag 27 september 2010, uitgewerkt in \LaTeX, worden ingeleverd aan het 
begin van het college. Vergat niet je naam en studentennummer op 
het materiaal te zetten dat je inlevert. Overleggen mocht, maar je moest het zelf opschrijven. Kopi\"eren mocht dus niet.

\begin{itemize}


 \item \underline{\textbf{Opgave 1:}}

Gegeven vectoren $a$ en $b$ in $\mathbb{R}^3$. Het \emph{uitproduct} van vector $a$ en $b$ met $a = (a_1,a_2,a_3)$ en $b = (b_1, b_2, b_3)$) is de vector 

\begin{equation}
a \times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)
\end{equation}

\begin{enumerate}

\item Laat zien dat $a \times b$ loodrecht op $a$ en $b$ staat.
\item Laat zien dat $||a \times b ||^2 = ||a||^2 ||b||^2 - (a \cdot b)^2$
\item Laat zien dat $||a \times b|| = ||a|| \, ||b|| \sin (\theta)$, met $\theta$ de hoek tussen $a$ en $b$.
\item Laat zien dat het oppervlak van het parallellogram opgespannen door de vectoren $a$ en $b$ gelijk is aan $||a \times b||$.
\end{enumerate}

{\bf Oplossing:}

\begin{enumerate}
\item
Per definitie staat $a\times b$ loodrecht op $a$ als geldt $\langle a,a\times b\rangle = 0$. Evenzo staat $a\times b$ loodrecht op $b$ wanneer geldt $\langle b,a\times b\rangle = 0$. We berekenen
\begin{align*}
\langle a,a\times b\rangle
&= a_1(a_2b_3-a_3b_2) + a_2(a_3b_1 - a_1b_3) + a_3(a_1b_2 - a_2b_1) \\
&= a_1a_2b_3 - a_1a_3b_2 + a_2a_3b_1 - a_1a_2b_3 + a_1a_3b_2 - a_2a_3b_1 \\
&= 0
\end{align*}
en
\begin{align*}
\langle b,a\times b\rangle
&= b_1(a_2b_3-a_3b_2) + b_2(a_3b_1 - a_1b_3) + b_3(a_1b_2 - a_2b_1) \\
&= a_2b_1b_3 - a_3b_1b_2 + a_3b_1b_2 - a_1b_2b_3 + a_1b_2b_3 - a_2b_1b_3 \\
&= 0
\end{align*}
dus inderdaad staat $a\times b$ loodrecht op $a$ en $b$.

\emph{Alternatieve oplossing.} Na te laten zien dat geldt $\langle a,a\times b\rangle = 0$, hoeven we niet nog een keer hetzelfde te doen voor $b$. We kunnen ook opmerken dat $b\times a = -a\times b$, wat direct uit de definitie van het uitproduct volgt. We hebben al bewezen dat geldt $\langle a,a\times b\rangle = 0$. Door de variabelen te hernoemen zien we dat dan ook geldt $\langle b,b\times a\rangle = 0$. Er volgt
$$\langle b,a\times b\rangle = \langle b,-b\times a\rangle = -\langle b,b\times a\rangle = -0 = 0$$
zonder nogmaals in co\"ordinaten uit te schrijven.

\item
Deze identiteit kunnen we bewijzen door het in co\"ordinaten uit te schrijven. Er geldt
\begin{align*}
\|a\times b\|^2
&= \langle a\times b,a\times b\rangle \\
&= (a_2b_3-a_3b_2)^2 + (a_3b_1-a_1b_3)^2 + (a_1b_2-a_2b_1)^2 \\
&= a_2^2b_3^2 + a_3^2b_2^2 - 2a_2a_3b_2b_3 + a_3^2b_1^2 + a_1^2b_3^2 - 2a_1a_3b_1b_3 \\
&\quad +\; a_1^2b_2^2 + a_2^2b_1^2 - 2a_1a_2b_1b_2 \\
&= a_1^2b_1^2 + a_1^2b_2^2 + a_1^2b_3^2 + a_2^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_2^2b_3^2 + a_3^2b_1^2 + a_3^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 \\
&\quad -\; (a_1^2b_1^2 + a_2^2b_2^2 + a_3^2b_3^2 + 2a_1a_2b_1b_2 + 2a_1a_3b_1b_3 + 2a_2a_3b_2b_3) \\
&= (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2) - (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)^2 \\
&= \|a\|^2\|b\|^2 - \langle a,b\rangle^2
\end{align*}
zoals we moeten bewijzen.

\item
We weten dat geldt
$$\cos\theta = \frac{\langle a,b\rangle}{\|a\|\|b\|}$$
wat we ook kunnen schrijven als $\langle a,b\rangle = \|a\|\|b\|\cos\theta$. Met behulp daarvan en onderdeel b) zien we dat geldt
\begin{align*}
\|a\times b\|^2
&= \|a\|^2\|b\|^2 - \langle a,b\rangle^2 = \|a\|^2\|b\|^2 - \|a\|^2\|b\|^2\cos^2\theta \\
&= \|a\|^2\|b\|^2(1-\cos^2\theta) = \|a\|^2\|b\|^2\sin^2\theta.
\end{align*}
In de laatste stap gebruiken we de bekende regel $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$. Tenslotte nemen we de wortel van bovenstaande vergelijking. Dit mag omdat alle lengtes niet-negatief zijn en bovendien geldt $\sin\theta\geq 0$ omdat $\theta$ tussen $0$ en $\pi$ ligt. We concluderen dat inderdaad geldt $\|a\times b\| = \|a\|\|b\|\sin\theta$.

\item
De oppervlakte van het parallellogram is het product van een basis en de hoogte van het parallellogram ten opzicht van die basis. Kies (bijvoorbeeld) de vector $a$ als basis, dan is de hoogte gelijk aan de lengte van de component van $b$ die loodrecht staat op $a$. Met de regel ``$\sin\theta$ is overstaande zijde gedeeld door schuine zijde" zien we dat de hoogte gelijk is aan $\|b\|\sin\theta$. De lengte van de basis is $\|a\|$, dus het oppervlak is $\|a\|\|b\|\sin\theta = \|a\times b\|$.

\end{enumerate}

\newpage


\item \underline{\textbf{Opgave 2:}}

Waar of niet waar? Geef een kort bewijs of een tegenvoorbeeld.

\begin{enumerate}
\item Gegeven twee vectoren $v,w \in \R^n$. Als er geldt $\langle v, w\rangle = 0$, dan 
geldt ook $v=0$ of $w=0$. 
\item Gegeven twee vectoren $v,w \in \R^n$. Dan geldt $||v+w||=||v-w||$ 
dan en slechts dan als $v$ en $w$ loodrecht op elkaar staan. 
\item Voor elke twee vectoren $v,w$ in $\R^n$ geldt 
$||v-w|| \leq ||v|| + ||w||$. 
\end{enumerate}

{\bf Oplossing:} 

\begin{enumerate}
\item Niet waar. De vectoren $v=(1,0)$ en $w=(0,1)$ vormen een tegenvoorbeeld.  
\item Omdat lengtes niet negatief zijn mogen we kwadrateren en is het voldoende om te laten zien dat $v$ en $w$ loodrecht op elkaar staan dan en slechts dan als $\|v+w\|^2=\|v-w\|^2$. Nu geldt  
$$
\|v+w\|^2 = \langle v+w,v+w\rangle = \langle v,v \rangle +\langle w,w \rangle +2\langle v,w \rangle 
$$  
en 
$$
\|v-w\|^2 = \langle v-w,v-w\rangle = \langle v,v \rangle +\langle w,w \rangle -2\langle v,w \rangle 
$$  
wegens bilineariteit van het inproduct. Dit impliceert dat er geldt $\|v+w\|^2=\|v-w\|^2$ dan en slechts dan als 
$2\langle v,w \rangle = -2\langle v,w \rangle$, dus als $\langle v,w \rangle = 0$, wat per definitie betekent dat $v$ en $w$ loodrecht op elkaar staan.
\item We passen de driehoeksongelijkheid toe op de vectoren $v$ en $-w$. Dan volgt 
$$
\|v-w\| = \|v+(-w) \| \leq \|v\| +\|-w\| = \|v\| +\|w\|, 
$$
waarbij de laatste gelijkheid volgt uit $\|\lambda w\| = |\lambda| \cdot \|w\|$ met $\lambda =-1$. 
\end{enumerate}

\newpage

\item \underline{\textbf{Opgave 3:}}

Gegeven drie punten $P_1 = (1,1,3)$, $P_2 = (2,2,4)$ en $P_3 = (3,1,2)$  in $\mathbb{R}^3$.
\begin{enumerate}
\item Bepaal een vergelijking voor het vlak $V_1$ door de punten $P_1$, $P_2$ en $P_3$.
\end{enumerate}
Een tweede vlak $V_2$ gaat door het punt $Q = (0,2,1)$ en wordt gekarakteriseerd door een normaalvector $n = (1,0,1)$.
\begin{enumerate}
 \setcounter{enumi}{1}
\item Bepaal een vergelijking voor vlak $V_2$.
\item Bepaal de afstand van het punt $P_1$ tot het vlak $V_2$.
\item Bepaal de hoek tussen de vlakken $V_1$ en $V_2$ (dat is de hoek tussen de normaalvectoren).
\item Bepaal met behulp van het uitproduct de richtingsvector van de snijlijn van de vlakken $V_1$ en $V_2$. Geef nu een parameter--representatie van de snijlijn van de vlakken $V_1$ en $V_2$.
 \end{enumerate}

{\bf Oplossing:}

\begin{enumerate}
\item
Merk allereerst op dat $P_2 - P_1 = (1,1,1)$ en dat $P_3 - P_1 = (2,0,-1)$, en dat de parametrisatie van $V_1$ gegeven wordt door
$$
x = P_1 + s(P_2 - P_1) + t(P_3 - P_1).
$$
Om hiervan een vergelijking van de vorm $\langle a,x \rangle = b$ te maken, merken we op dat voor zo'n vector $a$ moet gelden dat $\langle a,P_2-P_1 \rangle = \langle a,P_3-P_1 \rangle = 0$. We vinden deze $a$ dan door $P_2 - P_1$ en $P_3 - P_1$ als rijen in een matrix te zetten, en dan Gauss-eliminatie toe te passen om de matrix in rijtrapvorm te krijgen.
\begin{align*}
%Het pakket AMSMath bevat al een matrix-"environment" (zoals dat in LaTeX heet) die je prima kunt gebruiken om matrices te maken. Let wel op dat iedere rij even veel elementen heeft!
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 %Een "\\" hoeft dus niet altijd aan het einde van de regel *in je code* te staan. Let wel: voor kleine matrices is dit wel handig, maar voor grotere matrices wordt dit al snel onoverzichtelijk.
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\ -2R_1
\end{matrix}
\rightarrow
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 0 & -2 & -3
\end{pmatrix}
\begin{matrix}
\\ \times -\frac{1}{2}
\end{matrix}
\end{align*}

\begin{align*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{3}{2}
\end{pmatrix}
\end{align*}
We bekijken de (enige) kolom zonder hoofdelement (Nederlands voor {\em pivot}). Voor de vector $a = (a_1, a_2, a_3)$ nemen we dus alleen de laatste co\"ordinaat vrij. In dit geval zal $a_3 = 2$ een handige keuze blijken, omdat we daarmee noemers vermijden. Bij de rijen van onze matrix horen de volgende vergelijkingen:
\begin{align*}%LaTeX negeert alle spaties die je in de code van formules typt, dus er is geen verschil tussen wat hieronder staat, en wat je zou krijgen als je alle overbodige spaties zou weglaten. Gebruik dit om je code overzichtelijk te houden.
a_1 + a_2 +             a_3 &= 0\\
      a_2 + \tfrac{3}{2}a_3 &= 0 %\tfrac is voor de "simpele" breuken (1/2 of 25/139) in de align- en $$-omgevingen.
\end{align*}
We zien dan (van onder naar boven) dat $a_2 = -3$ en $a_1 = 1$. Dus $a = (1,-3,2)$. Vervolgens bepalen we de constante $b$. Deze is namelijk gelijk aan $\langle a,P_1 \rangle = 4$. Dus wordt $V_1$ gegeven door $\langle a,x \rangle = 4$ met $a = (1,-3,2)$.

\item
Omdat $n$ een normaalvector is van $V_2$, weten we dat een verge\-lijking van $V_2$ van de vorm $\langle n,x \rangle = b$ is, voor een zekere constante $b$. Deze constante is gelijk aan $\langle n,Q \rangle = 1$. We concluderen dat een vergelijking van $V_2$ gegeven wordt door $\langle n,x \rangle = 1$.

\item
Merk allereerst op dat $v=(1,1,0)$ in het vlak $V_2$ ligt. (Want $\langle n,v \rangle = 1$. Deze keuze van $v$ zal later handig blijken, maar elke andere vector in $V_2$ werkt ook.) Dus we transleren over $-v$. We krijgen dan:
\begin{align*}
P' &= T_{-v}(P_1) = (1,1,3)-(1,1,0) = (0,0,3)\\
V' &= T_{-v}(V_2): \langle n,x \rangle = 0,
\end{align*}
en de afstand tussen $P_1$ en $V_2$ is gelijk aan die tussen $P'$ en $V'$. Deze laatste gaan we nu uitrekenen.

Merk op dat we $P'$ kunnen opschrijven als $P' = x + y$, waar $x \perp V'$ (dus $x = \lambda n$ voor zekere $\lambda \in \mathbb{R}$), en waar $y \in V'$. Dan is de afstand van $P'$ tot $V'$ gelijk aan $\|x\|$. Merk nu op dat $x$ gelijk is aan de projectie van $P'$ op $n$. Dus:
\begin{align*}
x &= \frac{ \langle P',n \rangle }{ \|n\|^2 } n \\
  &= \tfrac{3}{2}n.
\end{align*}
Dus de afstand van $P_1$ tot $V_2$ is gelijk aan $\|x\| = \frac{3}{2}\|n\| = \frac{3}{2}\sqrt{2}$. %Het is (zeker wanneer je nog niet zo lang met LaTeX gewerkt hebt) een goede gewoonte om bij commando's als \frac, \sqrt, _ en ^, het zgn. "argument" *altijd* tussen accolades te plaatsen.

\item
Merk op dat de hoek tussen $V_1$ en $V_2$ gelijk is aan de hoek $\alpha$ tussen hun normaalvectoren $a$ en $n$. Hiervoor geldt:
\begin{align*}
\cos \alpha &= \frac{ \langle a,n \rangle }{\|a\| \|n\|} \\
            &= \tfrac{3}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{2}} \\
            &= \tfrac{3}{14}\sqrt{7}.
\end{align*}
Dus $\alpha = \arccos\left(\frac{3}{14}\sqrt{7}\right)$.

\item
De snijlijn $L$ van de vlakken $V_1$ en $V_2$ ligt per definitie in beide vlakken. De richtingsvector $v$ van $L$ staat dus loodrecht op beide normaalvectoren $a$ en $n$ van $V_1$ en $V_2$ respectievelijk. Dit betekent dat we voor $v = a \times n = (-3,1,3)$ kunnen nemen. Hieruit volgt ook dat $L$ een parametrisatie van de vorm $x = p + tv$ heeft, waar $p$ een vector is in $L$. Dat wil zeggen, $p$ voldoet aan de verge\-lijkingen $\langle a,p \rangle = 4$ en $\langle n,p \rangle = 1$. Dus we vinden deze $p$ door in een matrix als eerste rij $n$ en $1$ en als tweede rij $a$ en $4$ te zetten, en dan Gauss-eliminatie toe te passen.
$$
\left(\begin{array}{ccc|c}  
1 &  0 & 1 & 1 \\
1 & -3 & 2 & 4
\end{array}
\right)
\begin{matrix}
\\-R_1
\end{matrix}
\rightarrow
\left(\begin{array}{ccc|c}  
1 &  0 & 1 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 3
\end{array}
\right)
\begin{matrix}
\\ \times -\frac{1}{3}
\end{matrix}
$$

$$
\left(\begin{array}{ccc|c}  
1 & 0 &            1 &  1 \\
0 & 1 & -\frac{1}{3} & -1
\end{array}
\right)
$$

Merk op dat alleen de derde kolom geen hoofdelement bevat. We kunnen voor $p = (p_1, p_2, p_3)$ de derde co\"ordinaat vrij kiezen. Neem bijvoorbeeld $p_3 = 0$. Bij de rijen van onze matrix horen de vergelijkingen
\begin{align*}
p_1 + p_3            &= 1 \\
p_2 - \tfrac{1}{3}p_3 &= -1,
\end{align*}
en dus volgt direct uit $p_3 = 0$ dat $p_1 = 1$ en $p_2 = -1$. We kunnen dus $p = (1,-1,0)$ nemen, en onze parametrisatie wordt dan $L: x = p + tv$ met $p = (1,-1,0)$, $v = (-3,1,3)$.
\end{enumerate}

\newpage




\item \underline{\textbf{Opgave 4:}}

Gegeven zijn de vectoren
\begin{align*}
v_1 &= (1,0,-1,3), \\
v_2 &= (2,1,0,2), \\
v_3 &= (1,1,1,1), \\
v_4 &= (0,-3,1,2), \\
v_5 &= (1,-1,0,1). \\
\end{align*}
Zij $V\subset \R^4$ geparametriseerd met parameters $s$ en $t$ door $x = sv_1+tv_2$ en zij 
$W\subset \R^4$ geparametriseerd met parameters $r,s,t$ door $x = rv_3+sv_4+tv_5$. Parametriseer de doorsnede $V\cap W$.

{\bf Oplossing:} 

We bepalen eerst genoeg vergelijkingen van de vorm $\langle a ,x \rangle = b$ die $W$ defini\"eren. Voor zulke $a \in \R^4$ geldt 
$\langle a, v_3 \rangle = \langle a, v_4 \rangle =\langle a, v_5 \rangle = 0$. We zetten de vectoren $v_3,v_4,v_5$ als rijen in een matrix en bepalen middels Gaussian elimination een row echelon vorm. 
$$
\left(\begin{array}{cccc}  
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 2 \\
1 & -1 & 0 & 1
\end{array}
\right) 
\begin{array}{l}
\mbox{} \\
\mbox{} \\
-R_1
\end{array}
\rightarrow 
\left(\begin{array}{cccc}  
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & -3 & 1 & 2 \\
0 & -2 & -1 & 0
\end{array}
\right) 
\begin{array}{l}
\mbox{} \\
-2R_3\\
\mbox{} 
\end{array}
$$
$$
\left(\begin{array}{cccc}  
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & -2 & -1 & 0
\end{array}
\right) 
\begin{array}{l}
\mbox{} \\
\mbox{} \\
+2R_2
\end{array}
\rightarrow 
\left(\begin{array}{cccc}  
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 5 & 4
\end{array}
\right) 
\begin{array}{l}
\mbox{} \\
\mbox{} \\
\cdot \frac{1}{5}
\end{array}
$$
$$
\rightarrow 
\left(\begin{array}{cccc}  
1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 3 & 2 \\
0 & 0 & 1 & \tfrac{4}{5}
\end{array}
\right)_.
$$
[Merk op dat we in stap $2$ niet rij $2$ door $-3$ gedeeld hebben. Dat zou noemers gecre\"eerd hebben, dus in plaats daarvan hebben we er een slim veelvoud van een andere rij erbij opgeteld om toch een $1$ als pivot te krijgen zonder noemers in de matrix. ]

Er is maar \'e\'en kolom zonder pivot, namelijk de vierde. We krijgen dan ook maar \'e\'en vergelijking voor $W$. Voor de vector $a = (a_1,a_2,a_3,a_4)$ kiezen we alleen de vierde co\"ordinaat vrij, zeg $a_4 =5$ (om noemers te voorkomen). De drie rijen horen bij de vergelijkingen 
\begin{align*}
a_1+a_2+a_3+a_4 & =0,\\
a_2+3a_3+2a_4 &=0, \\
a_3+\tfrac{4}{5}a_4 &=0. 
\end{align*}
Van onder naar boven gebruiken we deze vergelijkingen om te vinden $a_3 = -4$, $a_2 = 2$ en $a_1 = -3$. Omdat $W$ door de oorspong gaat hebben we $b=0$. We zien dus dat $W$ gegeven wordt door $\langle a, x \rangle =0$ met $a = (-3,2,-4,5)$.

Vullen we hierin de parametrisatie $x = sv_1+tv_2$ van $V$ in, dan krijgen we vergelijkingen voor die parameters $s,t$ 
waarvoor $ x$ in $V \cap W$ ligt. We krijgen 
$$
0 = \langle a, x \rangle = s \langle a, v_1 \rangle + t\langle a, v_2 \rangle = 16s+6t,
$$
dus $s = -\frac{3}{8}t$. Dit betekent dat $V \cap W$ geparametriseerd wordt door 
$$
x = -\frac{3}{8}t v_1 + tv_2 = \tfrac{1}{8}t(-3v_1+8v_2). 
$$
We mogen ook wel met $8$ vermenigvuldigen en zien dat $V \cap W$ wordt geparametriseerd door $x = t v$ met 
$v = -3v_1+8v_2 = (13,8,3,7)$. 



\end{itemize}

\end{document}
