Mededelingen

Rooster

Hoorcollege

Behandelde stof

(Toekomstige datums zijn planning.)
DatumBehandelde stof
13 februari§ 1 helemaal: wat is algebra?
20 februari§ 2 tot 2.7 groepen, permutatiegroepen
27 februarirest van § 2: ondergroepen, voortbrengers, permutatiegroepen
6 maart§ 3 helemaal: symmetrieën van het vlak
13 maart(geen college: hertentamenweek)
20 maart§ 4 eerste deel: homomorfismen, kern, beeld, (linker)nevenklasse, stelling van Lagrange, conjugatie
27 maart§ 4 tweede deel: (linker)nevenklasse, stelling van Lagrange, isomorfiestelling, centrum, normaaldeler
3 april§ 4 rest: quotientgroep
§ 5 begin: groepswerkingen, baan, stabilisator, Stelling 5.3
10 april§ 5 verder: banenformule, reguliere werking
17 april(geen college: hertentamenweek)
24 april§ 5 rest: conjugatiewerking, stelling van Cauchy
1 mei§ 6 begin: ggd, priemfactorisatie, ringen, Z/nZ
8 mei§ 6 rest: Euclidische algoritme, Chinese reststelling, stellingen van Euler en Fermat;
7.7, 7.8
15 mei§ 8 tot en met 8.7 en (8.15): homomorfiestelling, commutatorondergroep, quaternionengroep, automorfismengroep van Z/nZ
22 meiHoorcollege: § 7: het RSA-cryptosysteem
Werkcollege: tentamen 9 juni 2004 (pagina 156 van de syllabus)
Tentamenstof: hoofdstukken 1 t/m 6 helemaal, 7.7, 7.8, van hoofdstuk 8 datgene dat hierboven genoemd wordt. Dit is inclusief sommige opgaven, zoals 2.46, 2.49, 8.13.

Werkcollege

Tentamen

Huiswerk

Per week moeten 3 opgaven ingeleverd worden, te kiezen uit de opgaven die hieronder wekelijks bekend zullen worden gemaakt. Het huiswerk bepaalt 25% van het eindcijfer en is wegens de oefening sowieso essentieel voor het halen van het vak.

Het huiswerkcijfer wordt bepaald door de volgende formule: cijfer = punten + 1. Dit betekent ook dat als je alleen maar 2-puntsopgaven maakt, je maximaal een 7 kan halen.

Als je vastzit bij het maken van een opgave, kan je altijd voor hulp langslopen bij een van de werkgroepbegeleiders of de docent.

Inleverdatum 2-puntsopgaven 3-puntsopgaven overige goede opgaven (geen punten)
20 februari §1: 9, 17, 19, 20, 21, 25 §1: 12, 16, 181, 22, 26 §1: 10, 13, 15, 23, 24
27 februari §2: 15, 16, 18, 22, 25 §2: 232, 24, 31, 37 §2: 17, 19, 20, 26, 35, 36, 43 - 46
6 maart §2: 93, 27, 30, 32, 46 §2: 28, 39, 40, 51, 564 §2:34, 38, 41, 42, 47, 48, 50, 52 - 55
20 maart §3: 3, 11, 20, 21 §3: 245, 296,7, 307, 317 15, 22, 23, 25, 268, 27, 28, 32, 33, 34
27 maart §4: 16, 19, 21, 25 §4: 20, 27, 28, 439 §4: 12 -- 15, 17, 18, 37
3 april §4: 7, 9, 45, 46 §4: 29, 31, 5110, 53 §4: 30, 32 -- 36, 47, 49, 50, 52, 58
10 april §4: 55, 5611; §5: 11, 1312a/b §4: 59, 6013; §5: 1414, 2015 §5
24 april §2: 46; §5: 18, 2112b, 16, 3417 (*)18; §5: 2419, 4720, 4921 §5
1 mei §5: 922, 27, 2823, 51 §5: 29, 3924, 45, 5025 §5
8 mei §6: 426, 15, 20, 2527 §6: 1128, 24, 262, 28 §5; §6: 16, 17, 18, 19, 30, 47, 48
15 mei §6: 1329, 4130, 55; §7: 1731 §6: 29, 36, 4332, 45 §6: 21, 22, 31 -- 42, 49; §7: 11, 12, 15, 16, 19
22 mei, laatste huiswerk §8: 1233, 16, 18, 21 §8: 10, 1334, 1535, 17 §8: 11, 14, 19, 20

Opmerkingen

1 Met bewijs.
2 Hier mag je, zoals meestal, de opgave ervoor gebruiken. Voor opgave n geeft opgave n-1 vaak een bruikbaar resultaat of opgave n+1 een toepassing. Het is zeer aan te raden een paar minuten te besteden aan het lezen van verschillende opgaven en te kijken wat het "nut" of de "bedoeling" van elke opgave is.
3Tip: controleer na afloop voor n=5 dat je precies 120 elementen krijgt.
4Hint: je mag opgave 46 gebruiken. Hint: doe eerst opgave 6.
5Gebruik Stelling 3.11.
6Lees 'met een positieve factor' als 'met dezelfde positieve factor'.
7Bij deze opgaven mag je voorgaande opgaven gebruiken, dus bij opgave 30 mag je 29 gebruiken, en bij opgave 31 mag je 29 en 30 gebruiken. Kies je er juist voor om bijvoorbeeld bij opgave 29 gebruik te maken van opgave 30, dan moet je (1) opgave 30 ook maken, (2) bij opgave 30 geen gebruik maken van opgave 29, en (3) dit allemaal duidelijk aangeven.
8Bewijs dat er een a in R2 is zodat voor alle φ in Sym(F) geldt φ(a)=a, en neem die a als oorsprong.
Enige hints. Laat zien dat de afbeelding L:Sym(F)→ O2(R) injectief is, dat iedere niet-triviale φ in Sym(F)+ een uniek vast punt aφ heeft, en dat Sym(F)+ commutatief is.
9Je moet de hint uitwerken en precies maken als je hem gebruikt. Zie voor de definitie van Map (en de groepsstructuur daarop) opgave 42, die je mag gebruiken.
10Lees de laatste vraag als: Geef een isomorfisme van S4/H2 naar een ''bekende'' groep (van orde 6) uit een eerder hoofdstuk.
11Alleen het tweede deel: ''Bewijs dat de groep A/Ator buiten het eenheidselement geen elementen van eindige orde bevat.'' Je mag dus gebruiken dat Ator een ondergroep is voor abelse groepen A en hoeft dit niet te bewijzen.
12aGeef ook een verzameling representanten (een deelverzameling R van X die van iedere baan precies 1 element bevat).
12bOpgave 5.2 mag gebruikt worden, en die wordt voorgedaan in het college.
13Hints. Laat G werken op G/H1 × G/H2 en gebruik Stelling 5.3. Voor het 2e deel: bekijk G = S3. Voor de duidelijkheid: je mag Stelling 5.3 uit het college in dit geval gebruiken ondanks het feit dat deze opgave in een eerder hoofdstuk gedrukt staat.
14Je mag gebruiken dat isometrieën van R3 die O bewaren lineair zijn.
15Je mag opgave 5.19 gebruiken.
16ζ3 is optioneel. Geef eindige groepen expliciet door de (eindige) lijst van elementen te geven.
17Zonder de laatste zin.
18Bepaal het aantal kleuringen met n (n ≥ 1) kleuren van de hoekpunten van de kubus, op rotatiesymmetrie (de groep K+) na. Voor de duidelijkheid: zij K een verzameling bestaande uit n verschillende kleuren, bepaal het aantal kleuringen van de hoekpunten van de kubus waarbij alleen kleuren uit K gebruikt worden, op rotatiesymmetrie na. Een kleuring hoeft hierbij niet alle kleuren uit K te gebruiken. Deze opgave werkt dus precies zoals opgaves 16, 17 en 18, behalve dat het antwoord een functie is van het getal n.
19Hint: gebruik opgave 5.20(a).
20Hint: gebruik de reguliere werking op G/H en de isomorfiestelling.
21Hint: gebruik de banenformule.
22Alleen A4. Hint: gebruik Stelling 5.3 en de normalisator.
23Je mag opgave 5.27 gebruiken, en de uitkomst van opgave 5.9 voor A5: (1, 20, 15, 12, 12).
24Je moet Stellingen 5.14 en 5.9 gebruiken.
25Hint: Stel H is een ondergroep van G die niet gelijk is aan G. Gebruik opgave 5.49 om te bewijzen dat G niet de vereniging is van de geconjugeerden van H.
26Gebruik geen resultaten die later in het dictaat staan.
27Hint: bepaal de orde van x in (Z/pZ)* en bepaal de orde van die groep.
28Dit moet zonder opgave 5.39 te gebruiken. Hint: waarop werkt de groep GL2(F2)?
29Maar dan met a = 54321 en b=98765. Laat je berekening zien.
30Laat je berekening zien. Vergeet het tweede deel niet.
31Je mag de antwoorden vinden met de computer, maar je moet de antwoorden bewijzen met de hand.
32Doe opgave 4.23 en laat zien dat de ondergroepen cyclisch zijn. Je mag opgave 6.42 gebruiken zonder die te bewijzen.
33Hint: probeer G = D4.
34Je mag opgave 2.23 gebruiken.
35Je mag opgave 8.13 gebruiken, en let op het geval n = 1.

Reglement voor huiswerk

Huiswerk wordt op de volgende manier behandeld:

Inhoud

In dit eerste college uit de algebracyclus wordt een aantal onderwerpen uit het vak wiskundige structuren, zoals gehele getallen, permutaties, symmetriegroepen en restklassen, geabstraheerd en geünificeerd in het begrip `groep'. Er wordt aandacht geschonken aan toepassingen in de combinatoriek, de vlakke meetkunde, de getaltheorie en de cryptografie.

Behandeld worden: permutaties, vlakke symmetrieën, groepshomomorfismen, groepswerkingen, rekenen modulo n, het RSA-cryptosysteem, producten en quotiënten van groepen, abelse groepen en Sylowondergroepen.

Tijdens het werkcollege zal tevens aandacht geschonken worden aan het correct opschrijven van bewijzen.

Voorkennis

Het helpt aanzienlijk als het vak wiskundige structuren met goed gevolg doorlopen is. We gebruiken de taal van de verzamelingenleer, zie de eerste twee hoofdstukken van het dictaat wiskundige structuren.

Literatuur

Het dictaat Algebra 1 van Prof. Stevenhagen zal als richtlijn dienen voor het college. Dit dictaat is te koop voor 9 euro bij het eerste werkcollege en bij het secretariaat (kamer 203a). Het wordt zeer gewaardeerd als gepast betaald wordt met zoveel mogelijk munten van 1 euro. Daarnaast is het hier online beschikbaar.

Tentamenregeling

Het eindcijfer is 75% van het tentamencijfer plus 25% van het cijfer voor de wekelijkse huiswerkopgaven. Bij het tentamen mogen boeken, dictaten en aantekeningen gebruikt worden, maar geen rekenmachines of andere electronische hulpmiddelen.

Succesvolle deelname aan dit vak wordt beloond met 6 ECTS studiepunten. Hiervoor moet het cijfer voor het tentamen ten minste een 5,0 bedragen en het eindcijfer ten minste een 5,5.