Inleverdatum

Donderdag 18 mei, 09.00 uur.

Achtpuntsopgaven

Opgave 5.55.

• Hint voor het laatste deel: wat wordt er precies over \(t\) bewezen in een van de bewijzen in hoofdstuk 5?

Opgave 6.4.

• Gebruik geen resultaten die later in het dictaat staan.

Opgave 6.25.

• Voor een toepassing, zie 6.26.

Negenpuntsopgaven

Opgave 6.11.

• Dit moet zonder opgave 5.39 te gebruiken. Hint: waarop werkt de groep \(\operatorname{GL}_2(\mathbb F_2)\)?

Opgave 6.24.

Opgave 5.57.

• In het dictaat van 2017 staat een duidelijke en correcte versie van de opgave. Voor wie een dictaat uit 2016 of eerder heeft: Zij \(G\) een groep van orde \(n = p^k m\) met \(p\) priem en \(p \not \mid m\). Een Sylow-\(p\)-ondergroep van \(G\) is een ondergroep \(H \subseteq G\) van orde \(p^k\). We gaan bewijzen dat zo'n \(H\) bestaat. Neem \(X\) gelijk aan de collectie van \({\it deelverzamelingen}\) van \(G\) van cardinaliteit \(p^k\), en laat \(G\) werken op \(X\) door linksvermenigvuldiging: \(gV = \{gv : v \in V\}\) voor \(g \in G\) en \(V \in X\). (En dan a, b, c als in het dictaat).