Inleverdatum

Donderdag , 09.00 uur.

Achtpuntsopgaven

Opgave 3.3.

Opgave 3.21.

Opgave 3.27.

Negenpuntsopgaven

Opgave 3.28.

• Voor de definities, zie opgave 27. Het is voor het huiswerk voldoende om te laten zien dat de puntgroep voor een geschikte keuze van coördinaten gelijk is aan \(C_n\) of \(D_n\) met \(n\) in \(\{1,2,3,4,5,6\}\). Je hoeft dus \(n=5\) niet uit te sluiten, maar het mag wel. Om je te helpen, staan hier een aantal deelopgaven. Het is niet verplicht, maar wel sterk aan te raden, om deze te gebruiken:
  1. Laat \(\Lambda = \{xa + yb : a,b \in \mathbb{Z}\}\) met \(x\) en \(y\) als in de opgave; we noemen dit het rooster opgespannen door \(x\) en \(y\). Laat zien dat voor alle \(\psi \in \overline{G}\) geldt \(\psi(\Lambda)\subseteq\Lambda\). Hint: bekijk \(\phi \tau_x \phi^{-1}\) voor \(\phi \in G\).
  2. Je mag zonder bewijs gebruiken dat \(\Lambda\setminus\{0\}\) een kortste element \(z\) heeft. Definieer \(V := \{x \in \Lambda : |x| = |z|\}\). Laat zien dat \(\overline{G}\) een ondergroep is van \(Sym(V)\).
  3. Laat zien dat elk tweetal elementen van \(V\) een hoek maakt van \(\geq\) 60 graden (gezien vanuit de oorsprong).
  4. Bewijs dat \(\overline{G}\) voor geschikte keuze van coordinaten gelijk is aan \(C_n\) of \(D_n\) met \(n \leq 6\). Hint: gebruik Stelling 3.8.

Opgave 3.29.

• Voor wie het dictaat van 2014 heeft: lees "met een positieve factor" als "met dezelfde positieve factor". Dit is al aangepast in het dictaat van 2015.
• Bij deze opgaven mag je voorgaande opgaven gebruiken, dus bij opgave 30 mag je 29 gebruiken, en bij opgave 31 mag je 29 en 30 gebruiken. Kies je er juist voor om bijvoorbeeld bij opgave 29 gebruik te maken van opgave 30, dan moet je (1) opgave 30 ook maken, (2) bij opgave 30 geen gebruik maken van opgave 29, en (3) dit allemaal duidelijk aangeven.

Opgave 3.30.

• Bij deze opgaven mag je voorgaande opgaven gebruiken, dus bij opgave 30 mag je 29 gebruiken, en bij opgave 31 mag je 29 en 30 gebruiken. Kies je er juist voor om bijvoorbeeld bij opgave 29 gebruik te maken van opgave 30, dan moet je (1) opgave 30 ook maken, (2) bij opgave 30 geen gebruik maken van opgave 29, en (3) dit allemaal duidelijk aangeven.