Introduction to Algebraic topology, fall 2017


This is the webpage for the course Introduction to Algebraic topology in fall 2017.

PLEASE NOTE: this course is intended for (3rd year) bachelor students. Master students interested in this topic are strongly recommended to take the mastermath course Algebraic Topology (M1).

In this course we develop two important ways to study a topological space: (1) via its coverings and its fundamental group, (2) via its singular homology.

We shall try to emphasize both formal/abstract properties and concrete examples. Part (1) will eventually focus on the equivalence (under some mild conditions on the topological space) between coverings, on the one hand, and representations of the fundamental group, on the other hand. Part (2) will end with a discussion of the famous Brouwer fixpoint theorem in arbitrary dimension, and the hairy ball theorem.

The course will use on a modest level the tools and language of category theory and homological algebra. All required notions are introduced during the course.

Schedule: Mondays from 9--10:45, in room Sn405.

Literature: we will treat parts of

  • J. M. Lee: Introduction to topological manifolds, Springer GTM 202.
  • W. Fulton: Algebraic Topology: A First Course, Springer GTM 153.
  • Both books are available as e-book through the university network, via SpringerLink.

    Prerequisites: the local courses Algebra 1--2, Linear Algebra 1--2, Topology.

    Final grade: the final grade is based on homework and a final exam (oral or written, depending on the number of students). Homework counts for 40 %, the final exam for 60 %.

    Homework: the teaching assistants for this course are Stefan van der Lugt and Martin Heemskerk. Solutions to the homework sets need to be given to them, via Stefan van der Lugt's mailbox in the common room (preferred), or by email via this mail address. Students are encouraged to work on solving the homework problems together, but everybody has to write down the solutions individually. Copying another student's solutions is not acceptable and will result in a lower grade. If you decide to hand in handwritten homework then make sure your homework is legible. If it takes too long to decypher your handwriting your homework will not be graded. LaTeX is strongly encouraged.

    Huiswerkopgaven (voorlopige planning):

  • Huiswerkset 1, opgegeven 18 september, deadline 2 oktober: zie hier.
  • Huiswerkset 2, opgegeven 16 oktober, deadline 30 oktober: TBA.
  • Huiswerkset 3, opgegeven 13 november, deadline 27 november: TBA.
  • Huiswerkset 4, opgegeven 4 december, deadline 18 december: TBA.
  • Vragenuur: De studentassistenten Stefan van der Lugt en Martin Heemskerk houden een vragenuur op donderdagen van 14:45--15:30. Lokatie: de studentassistentenkamer (kamer Sn207). Vragen kunnen ook per email gestuurd worden aan Stefan of Martin. Gebruik voor het opsturen van het huiswerk dit mailadres (opmerking: op papier inleveren heeft de voorkeur. Zie boven onder "Homework").

    Behandelde stof en oefenopgaven:

    College 1 (4 september):

  • Inhoud: herinnering fundamentaalgroep, voorbeelden, functorialiteit, gedrag onder retracties, is S^{n-1} een retract van D^n?, gedrag onder homotopie-equivalenties, wanneer zijn S^m en S^n homotopie-equivalent?, en R^m en R^n homeomorf?, overdekkingsafbeeldingen, monodromiewerking, vraag naar de classificatie van overdekkingsafbeeldingen naar een gegeven topologische ruimte.
  • Literatuur: uit syllabus Topologie: secties 19--25, en/of uit Fulton: secties 11a,b en 12a,b.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 2 (11 september):
  • Inhoud: voorbeelden (en niet-voorbeelden) van overdekkingsafbeeldingen, G-overdekkingen, voorbeelden, een G-overdekking is een overdekkingsafbeelding, lifts, uniciteit van lifts, gevolgen: voor een samenhangende overdekkingsruimte is de werking van de automorfismengroep dekpuntsvrij; voor een samenhangende overdekkingsruimte met n bladen heeft de automorfismengroep hoogstens n elementen; voor een G-overdekking is de inclusie van G in de automorfismengroep een isomorfisme. Voorbeelden van automorfismengroepen. Discussie over 'takken' van de logaritme.
  • Literatuur: Fulton, secties 11a, b, c, d.
  • Oefenopgaven: zie hier.

  • College 3 (18 september):
  • Inhoud: bewijs van de stelling over uniciteit van lifts, vraag naar de existentie van lifts in de context van gepunte ruimtes, hoofdstelling over existentie van lifts, voorbereidingen voor het bewijs (weglifts) en bewijs.
  • Literatuur: Fulton, sectie 13a. De hoofdstelling over existentie van lifts is Proposition 13.5.
  • Oefenopgaven: zie het huiswerk hierboven.

  • College 4 (25 september):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 5 (9 oktober):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 6 (16 oktober):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 7 (23 oktober):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 8 (30 oktober):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 9 (13 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 10 (20 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 11 (27 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 12 (4 december):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 13 (11 december):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven: