Inleiding in de algebraïsche topologie, najaar 2018


Dit is the webpagina voor het college Inleiding in de algebraïsche topologie van najaar 2018.

BELANGRIJK: dit college is bedoeld voor (derdejaars) bachelor-studenten. Master students interested in this topic are strongly recommended to take the mastermath course Algebraic Topology (M1).

In dit college zetten we de in het college Topologie aangevangen studie van de fundamentaalgroep en van overdekkingsruimten voort. We zullen zien dat er een nauw verband tussen de twee concepten bestaat, die wordt uitgedrukt via de zogenaamde monodromiewerking. Verdere onderwerpen die aan bod komen zijn bijvoorbeeld windingsgetallen en de stelling van Van Kampen. We zullen de stelling van Borsuk-Ulam bewijzen. Op een informeel niveau zegt deze stelling dat op elk moment er op de aarde twee antipodale plekken zijn waar zowel de luchtdruk als de temperatuur hetzelfde zijn. We komen ook toepassingen in de algebra tegen, bijvoorbeeld: een ondergroep van eindige index in een vrije groep is vrij.

Rooster: maandagen van 9--10:45, in zaal 174. LET OP: het college begint op maandag 10 september 2018. Het volledige rooster vind je hier.

Literatuur: we behandelen enkele hoofdstukken uit het onderstaande boek. Het boek is als e-boek verkrijgbaar op het universitaire netwerk, via SpringerLink.

  • W. Fulton: Algebraic Topology: A First Course, Springer Graduate Texts in Mathematics 153.
  • Benodigde voorkennis: Algebra 1 & 2, Lineaire Algebra 1 & 2, Topologie.

    Eindcijfer: het eindcijfer wordt gebaseerd op zowel huiswerkopdrachten als een (mondeling of schriftelijk, afhankelijk van het aantal deelnemers) tentamen. Het huiswerk telt voor 25 % en het tentamen voor 75 %. Om te slagen voor dit vak moet voor zowel huiswerk als tentamen minstens een 5 zijn behaald.

    Aanmelding voor het tentamen: indien je tentamen voor dit vak wilt doen moet je je daarvoor registreren in usis. Een aanvraag voor extra tijd op het tentamen dien je ruim van tevoren in bij de onderwijscoordinator Laura van Kempen-Helmsing.

    Huiswerkopgaven (voorlopige planning):

  • Homework set 1, issued 17 September, deadline 28 September.
  • Homework set 2, issued 8 October, deadline 19 October.
  • Huiswerkset 3, opgegeven op 29 oktober, deadline 9 november.
  • Huiswerkset 4, opgegeven op 19 november, deadline 30 november.
  • Huiswerkset 5, opgegeven op 10 december, deadline 21 december.
  • Vragenuur: the weekly question hour is cancelled. The teaching assistants are Wout Gevaert (woutgevaert*funny symbol*gmail.com), Mathé Hertogh (m.c.hertogh*funny symbol*gmail.com) and Stefan van der Lugt.

    Behandelde stof en oefenopgaven:

    College 1 (10 september):

  • Inhoud: introduction, recap of fundamental group and covering spaces. Examples. A contractible space is simply connected. Functoriality of the fundamental group. A retraction induces an injection on the level of fundamental groups. Classification of all covering spaces of the circle with source path connected - to be proven later during the course.
  • Literatuur: please have another look at the sections 11-15 of the Topologie syllabus (Fall 2017). Alternatively/additionally, from Fulton: sections 11a,b and 12a,b. Warning: in Fulton, for each topological space X, the empty set mapping to X is a covering map. With our definition (that we copy from the Topologie syllabus), if the empty set mapping to X is a covering map, then X itself is necessarily the empty set. One concludes that the definition of covering space is not uniform over all literature.
  • Oefenopgaven: see here.

  • College 2 (17 september):
  • Inhoud: definition of covering, examples, properties, non-examples, monodromy action by fundamental group, even actions by automorphisms, an even action gives rise to a covering space by taking the quotient, G-coverings, examples, automorphisms of coverings, theorem about the unicity of lifts, corollary: if Y -> X is a G-covering with Y connected, then the natural inclusion of Y into Aut(Y/X) is an isomorphism.
  • Literatuur: Fulton, 11a, b, c, d.
  • Oefenopgaven: see the homework above.

  • College 3 (24 september):
  • Inhoud: fundamental group of S^n/\mu_2, theorem about the unicity of lifts, corollary: if Y -> X is a covering with Y connected then the action of Aut(Y/X) on Y is free. Moreover the cardinality of Aut(Y/X) is bounded by the cardinality of a fiber. Proof of theorem about unicity of lifts. Theorem about the existence of lifts. Definition of locally path connected spaces. Proof of theorem about the existence of lifts.
  • Literatuur: Fulton, 11a, b, d, 13a. The theorem about unicity of lifts is Fulton, Lemma 11.5. The theorem about existence of lifts is Fulton, Proposition 13.5. (it contains a typo: the H should be f-tilde).
  • Oefenopgaven: see here.

  • College 4 (8 oktober):
  • Inhoud: proof of Borsuk-Ulam. There is no homeomorphism from R^3 to R^2. Degree (or winding number) of a self-map of S^1. Basic properties of degrees. A self-map of S^1 that is the restriction to the boundary of a map from D^2 to S^1 has degree zero. An odd map has odd degree. Assume from now on that the base space of a covering is locally path-connected. If Y -> X is a connected covering then Aut(Y/X) acts evenly on Y. For every subgroup H of Aut(Y/X), the induced map Y/H -> X is a covering. If Aut(Y/X) acts transitively on each fiber then the induced map Y/Aut(Y/X) -> X is a homeomorphism. Notion of regular (aka Galois) covering. Universal coverings. Examples. Universal property.
  • Literatuur: Fulton 4c, 11d, esp. Proposition 11.38. Our proof of Borsuk-Ulam for the 2-sphere is based on Fulton, pp. 185--186.
  • Oefenopgaven: see the homework above.

  • College 5 (15 oktober, lecture given by Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: assume from now on that the base space of a covering is locally path-connected. Regular and universal coverings. Universal property of universal coverings. A pointed universal covering is unique up to a unique isomorphism of coverings, if it exists. Corollaries: the automorphism group of a universal covering acts transitively on each of its fibers, hence a universal covering is regular. The unique map as described in the universal property of universal covering is a covering, once the target is connected. Galois correspondence. Description of all connected coverings of the circle. Connection with monodromy action.
  • Literatuur: Fulton 13b, c, d.
  • Oefenopgaven: see the homework above.

  • College 6 (22 oktober, lecture given by Stefan van der Lugt):
  • Inhoud: further discussion of connection with monodromy action. Normal subgroups of the fundamental group correspond with regular coverings. For (Y,y) -> (X,x) a regular covering, description of a natural group homomorphism from fundamental group of (X,x) to Aut(Y/X). This is surjective, with kernel the fundamental group of (Y,y). If (X',x') -> (X,x) universal, then have a natural isomorphism of groups \pi_1(X,x) -> Aut(X'/X). Examples. Discussion of existence/construction of a universal covering. Universal covering of the figure-eight.
  • Literatuur: Fulton 13b, c, d.
  • Oefenopgaven: see here.

  • College 7 (29 oktober):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 8 (12 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 9 (19 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 10 (26 november):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 11 (3 december):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 12 (10 december):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven:

  • College 13 (17 december):
  • Inhoud:
  • Literatuur:
  • Oefenopgaven: