Determinant, kruisproduct

10. Determinant, kruisproduct#

We hebben eerder de definitie van determinant van een \(2\times 2\)-matrix gezien. We gaan deze nu uitbreiden naar algemene vierkante matrices. Enkele toepassingen zijn

  • inverteerbaarheid

  • oppervlakten, volumes

  • kruisproduct van vectoren

  • in de quantummechanica: de toestand van een systeem van \(n\) identieke deeltjes.

De resultaten over oppervlakten en volumes in \(\RR^2\) en \(\RR^3\) zijn in het college in meer detail behandeld dan in deze aantekeningen. We geven hieronder alleen de resultaten, en verwijzen hiervoor naar paragraaf 4.1 in het boek voor de details.

Bekijk een parallellogram \(P\) in \(\RR^2\) waarvan twee zijden de vectoren \(\va=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}\) en \(\vb=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix}\) zijn. De oppervlakte van \(P\) is \(|a_1b_2-a_2b_1|\); dit is gelijk aan \(|\det(A)|\), waarbij \(A\) de matrix met rijen (of kolommen) \(\va\) en \(\vb\) is.

10.1. Kruisproduct in \(\RR^3\)#

Definitie 10.1 (Het kruisproduct van twee vectoren)

\(\va=\begin{pmatrix}a_1\\ a_2\\ a_3\end{pmatrix}\) en \(\vb=\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\\ b_3\end{pmatrix}\) in \(\RR^3\) is de vector

\[\begin{split} \va\times\vb = \left( \det\begin{pmatrix}a_2& a_3\\ b_2& b_3\end{pmatrix}, -\det\begin{pmatrix}a_1& a_3\\ b_1& b_3\end{pmatrix}, \det\begin{pmatrix}a_1& a_2\\ b_1& b_2\end{pmatrix}\right) = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2\\ -a_1 b_3 + a_3 b_1\\ a_1 b_2 - a_1 b_2\end{pmatrix}. \end{split}\]

Een berekening van de inproducten \(\va\cdot(\va\cdot\vb)\) en \(\vb\cdot(\va\cdot\vb)\) laat zien dat beide gelijk zijn aan 0. De vector \(\va\times\vb\) staat dus loodrecht op \(\va\) en op \(\vb\).

Stelling 10.1 (Eigenschappen van het kruisproduct)

Voor alle vectoren \(\va,\vb,\vc\) in \(\RR^3\) geldt

  • \(\va\times\vb=-(\vb\times\va)\);

  • \(\va\times(\vb+\vc)=\va\times\vb+\va\times\vc\);

  • \((\va+\vb)\times\vc=\va\times\vc+\vb\times\vc\);

  • \(\va\times(\va\times\vb)=0=\vb\times(\va\times\vb)\);

  • \(\va\times(\vb\times\vc)=(\va\cdot\vc)\vb-(\va\cdot\vb)\vc\).

10.2. De determinant van een \(3\times 3\)-matrix#

Definitie 10.2

Voor een \(3\times 3\)-matrix

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix} a_{1,1}& a_{1,2}& a_{1,3}\\ a_{2,1}& a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,2}& a_{3,3} \end{pmatrix} \end{split}\]

schijrven we

\[\begin{split} \det(A) = a_{1,1}\det\begin{pmatrix}a_{2,2}& a_{2,3}\\ a_{3,2}& a_{3,3}\end{pmatrix} -a_{1,2}\det\begin{pmatrix}a_{2,1}& a_{2,3}\\ a_{3,1}& a_{3,3}\end{pmatrix} +a_{1,3}\det\begin{pmatrix}a_{2,1}& a_{2,2}\\ a_{3,1}& a_{3,2}\end{pmatrix}. \end{split}\]

Een ezelsbruggetje voor het kruisproduct: gegeven twee vectoren \(\va,\vb\) in \(\RR^3\) is \(\va\times\vb\) de determinant van \(\begin{pmatrix}\ve_1& \ve_2& \ve_3\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{pmatrix}\).

Voorbeeld 10.1

De determinant van de matrix \(\begin{pmatrix}1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{pmatrix}\) is

\[\begin{split} \begin{aligned} \left|\begin{matrix}1& 2& 3\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{matrix}\right| &= 1\left|\begin{matrix}0& 1\\ 1& 1\end{matrix}\right| -2\left|\begin{matrix}1& 1\\ 0& 1\end{matrix}\right| +3\left|\begin{matrix}1& 0\\ 0& 1\end{matrix}\right|\\ &= 1\cdot-1-2\cdot1+3\cdot1\\ &=0. \end{aligned} \end{split}\]

Stelling 10.2

Voor alle \(1\le r\le n\) en \(1\le s\le n\) geldt

\[ \det(A) = a_{r,1}a'_{r,1}+a_{r,2}a'_{r,2}+\cdots+a_{r,n}a'_{r,n} \]

en

\[ \det(A) = a_{1,s}a'_{1,s}+a_{2,s}a'_{2,s}+\cdots+a_{n,s}a'_{n,s}. \]

Bewijs. Zie Appendix B van het boek.

Voorbeeld 10.2

\[\begin{split} \begin{aligned} \left|\begin{matrix}3& 2& 0& 1& 3\\ -2& 4& 1& 2& 1\\ 0& -1& 0& 1& 5\\ -1& 2& 0& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0& 2\end{matrix}\right| &= 2(-1)^{5+5} \left|\begin{matrix}3& 2& 0& 1\\ -2& 4& 1& 2\\ 0& -1& 0& 1\\ -1& 2& 0& -1\end{matrix}\right|\rlap{\quad\text{(ontwikkel naar rij 5)}}\\ &= 2\cdot 1\cdot(-1)^{2+3} \left|\begin{matrix}3& 2& 1\\ 0& -1& 1\\ -1& 2& -1\end{matrix}\right|\rlap{\quad\text{(ontwikkel naar kolom 3)}}\\ &=-2\left(-1\cdot(-1)^{1+1}\left|\begin{matrix}3& 1\\ -1& -1\end{matrix}\right| +1\cdot(-1)^{2+3}\left|\begin{matrix}3& 2\\ -1& 2\end{matrix}\right|\right) \rlap{\quad\text{(ontwikkel naar kolom 3)}}\\ &=-2(-((-3+1)-(6+2)))\\ &=12. \end{aligned} \end{split}\]

Voorbeeld 10.3

De determinant van een bovendriehoeksmatrix

\[\begin{split} U=\begin{pmatrix} u_{1,1}& u_{1,2}& \cdots& u_{1,n}\\ 0& u_{2,2}& \cdots& u_{2,n}\\ \vdots& \ddots& \ddots& \vdots\\ 0& \cdots& 0& u_{n,n} \end{pmatrix} \end{split}\]

is gelijk aan \(u_{1,1}u_{2,2}\cdots u_{n,n}\); dit is in te zien door herhaald naar de eerste kolom te ontwikkelen.

Een aantal rekenregels voor determinanten:

  1. \(\det(A)=\det(A^\top)\)

  2. Als \(B\) uit \(A\) verkregen wordt door twee rijen te verwisselen, dan geldt \(\det(B)=-\det(A)\).

  3. Als \(A\) twee gelijke rijen heeft, geldt \(\det(A)=0\).

  4. Als \(B\) uit \(A\) verkregen wordt door een rij met een scalar \(s\) te vermenigvuldigen, dan geldt \(\det(B)=s\det(A)\).

  5. Als \(B\) uit \(A\) verkregen wordt door een scalair veelvoud van een rij bij een andere rij op te tellen, dan geldt \(\det(B)=\det(A)\).

Een voorbeeld is te vinden op pagina 264 van het boek.

Stelling 10.3

Een \(n\times n\)-matrix \(A\) is inverteerbaar precies wanneer \(\det(A)\ne0\).

Bewijs. Zie Theorem 4.3 in het boek.

Stelling 10.4

Voor twee \(n\times n\)-matrices \(A\) en \(B\) geldt \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\).

Bewijs. Zie Theorem 4.4 in het boek.

Definitie 10.3

De geadjungeerde van een \(n\times n\)-matrix \(A\) is de getransponeerde van de matrix van cofactoren van \(A\):

\[ \adj(A)=(a'_{i,j})_{j,i}. \]

Stelling 10.5

Voor een vierkante matrix \(A\) geldt

\[ A\adj(A)=\adj(A)A=\det(A)I. \]

Gevolg 10.1

Als \(\det(A)\ne0\), dan is \(A\) inverteerbaar met inverse

\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\adj(A). \]

Een voorbeeld is te vinden op pagina 269 van het boek.

Voorbeeld 10.4

De inverse van een \(2\times 2\)-matrix \(\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}\) is \(\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d& -b\\ -c& a\end{pmatrix}\).

Gegeven vectoren \(\va_1,\ldots,\va_n\) in \(\RR^n\) is het \(n\)-dimensionale parallellepipedum opgespannen door \(\va_1,\ldots,\va_n\) de verzameling

\[ P=\{t_1\va_1+\cdots+t_n\va_n\mid t_1,\ldots,t_n\in[0,1]\}. \]

Er bestaat een definitie van \(n\)-dimensionaal volume (zie appendix B van het boek). Hiermee is het volume van \(P\) gelijk aan de absolute waarde van \(\det(A)\), waarbij \(A\) de matrix is met kolommen \(\va_1,\ldots,\va_n\). Zie hiervoor het gevolg van stelling 4.7 op pagina 277 van het boek.

10.3. Oppervlakten en volumes in \(\RR^3\)#

Gegeven een parallellogram \(P\) in \(\RR^3\) waarvan twee zijden de vectoren \(\va\) en \(\vb\) zijn, is de oppervlakte van \(P\) de norm van de vector \(\va\times\vb\).

Gegeven een parallellepipedum (blok) \(P\) in \(\RR^3\) opgespannen door de vectoren \(\va\), \(\vb\), \(\vc\) is het volume van \(P\) de absolute waarde van \(\det A\), waarbij \(A\) de matrix met rijen \(\va\), \(\vb\), \(\vc\) is.

10.4. Algemene determinanten#

Definitie 10.4

Gegeven een \(n\times n\)-matrix \(A\) is de \((i,j)\)-minor van \(A\) de matrix met de \(i\)-de rij en \(j\)-de kolom weggelaten. Notatie: \(A_{i,j}\). De \((i,j)\)-cofactor van \(A\) is

\[ a'_{i,j} = (-1)^{i+j}\det(A_{i,j}). \]

De determinant van \(A\) (notatie: \(\det(A)\) of \(|A|\)) is

\[\begin{split} \det(A)=\begin{cases} 1& \text{als }n=0,\\ a_{1,1}& \text{als }n=1,\\ a_{1,1}a'_{1,1}+a_{1,2}a'_{1,2}+\cdots+a_{1,n}a_{1,n}'& \text{als }n\ge1. \end{cases} \end{split}\]
Inhoud