Vectoren en het inproduct

Inhoud

2. Vectoren en het inproduct#

2.1. Vectoren in coördinaten: euclidische ruimten#

De $n$-dimensionale euclidische ruimte is

\[ \RR^n = \text{de verzameling van alle $n$-tallen $(x_1,\ldots,x_n)$ van reële getallen}. \]

(Het woord euclidisch verwijst naar het feit dat het gaat om ‘vlakke’ ruimten die niet gekromd zijn, net als in de vlakke meetkunde van Euclides. In de algemene relativiteitstheorie wordt daarentegen een wiskundig model gegeven voor de 4-dimensionale ruimtetijd, die door de zwaartekracht gekromd is.)

In verzamelingsnotatie:

\[ \RR^n = \{(x_1,\ldots,x_n)\mid x_1,\ldots,x_n\in\RR\}. \]

Deze notatie wordt zowel voor punten in $\RR^n$ als voor vectoren gebruikt. Met andere woorden, een vector is niets anders dan een rijtje van $n$ reële getallen.

2.2. Vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging#

We kennen het optellen van krachten uit de mechanica. Ook weten we dat vectoren in de natuurkunde met scalairen vermenigvuldigd kunnen worden; denk aan de formule $\mathbf{F}_{\mathrm{g}}=m\mathbf{g}$ voor de zwaartekracht op een voorwerp met massa $m$.

In de euclidische ruimte gaat het rekenen met vectoren ‘coördinaatsgewijs’. In formulevorm:

voor twee vectoren $\vv=(v_1,\ldots,v_n)$ en $\vw=(w_1,\ldots,w_n)$ is $\vv+\vw$ gedefinieerd als $\vv+\vw=(v_1+w_1,\ldots,v_n+w_n)$;
voor een vector $\vv=(v_1,\ldots,v_n)$ en een scalar $c$ is $c\vv$ gedefinieerd als $(cv_1,\ldots,cv_n)$.

Voorbeeld 2.1

Vectoroptelling:

\[ (2,-1,0) + (3, 1, 4) = (2 + 3, -1 + 1, 0 + 4) = (5, 0, 4) \]

Scalaire vermenigvuldiging:

\[ 2(3, 1, 4) = (2\cdot 3, 2\cdot 1, 2\cdot 4) = (6, 2, 8) \]

Stelling 2.1 (Eigenschappen van optelling en scalaire vermenigvuldiging)

$(\vu+\vv)+\vw = \vu+(\vv+\vw)$
$\vv+\vw = \vw+\vv$
$\mathbf{0}+\vv=\vv$
$\vv+(-\vv)=\mathbf{0}$
$c(\vv+\vw)=c\vv+c\vw$
$(c+d)\vv=c\vv+d\vv$
$c(d\vv)=(cd)\vv$
$1\vv=\vv$

Definitie 2.1 (Scalaire veelvouden, evenwijdigheid)

Gegeven twee vectoren $\vv$ en $\vw$ noemen we $\vv$ een scalair veelvoud van $\vw$ als er een scalar $c$ bestaat met $\vv=c\vw$.

We noemen twee vectoren $\vv$ en $\vw$ parallel of evenwijdig als $\vv$ en $\vw$ beide niet de nulvector zijn en er een scalar $c$ bestaat met $\vv=c\vw$ (oftewel $\vw=\frac{1}{c}\vv$). Notatie: $\vv\mathbin{/\!/}\vw$ of $\vv\parallel\vw$.

2.3. Lineaire combinaties, opspansel#

Gegeven een aantal vectoren $\vv_1,\ldots,\vv_k$ in $\RR^n$ is het vaak nuttig om te kijken naar alle vectoren die we uit $\vv_1,\ldots,\vv_k$ kunnen maken met behulp van optelling en scalaire vermenigvuldiging.

Definitie 2.2 (Lineaire combinatie)

Gegeven vectoren $\vv_1,\ldots,\vv_k$ in $\RR^n$ en scalairen $c_1,\ldots,c_k$ in $\RR$ noemen we de vector

\[ c_1\vv_1+\cdots+c_k\vv_k \]

de lineaire combinatie van $\vv_1,\ldots,\vv_k$ met coëfficiënten $c_1,\ldots,c_k$.

Voorbeeld 2.2

Neem $\vv_1=(1,3,-2)$, $\vv_2=(-2,0,3)$, $c_1=2$ en $c_2=-1$. De corresponderende lineaire combinatie is de vector

\[ c_1\vv_1+c_2\vv_2 = 2(1,3,-2)+(-1)(-2,0,3) = (2,6,-4)+(2,0,-3) = (4,6,-7). \]

Definitie 2.3 (Standaardbasis van $\RR^n$)

In $\RR^n$ definiëren we de standaardbasisvectoren als

\[\begin{split} \begin{aligned} \ve_1&=(1,0,0,\ldots,0),\\ \ve_2&=(0,1,0,\ldots,0),\\ \vdots\\ \ve_n&=(0,0,0,\ldots,1). \end{aligned} \end{split}\]

We merken nu op dat elke vector $\vw=(w_1,\ldots,w_n)$ op precies één manier te schrijven is als lineaire combinatie van $\ve_1,\ldots,\ve_n$, namelijk

\[ \vw=w_1\ve_1+\cdots+w_n\ve_n. \]

Definitie 2.4 (Opspansel)

Het opspansel van een stel vectoren $\vv_1,\ldots,\vv_k$ in $\RR^n$ is de verzameling van alle lineaire combinaties van $\vv_1,\ldots,\vv_k$. In formulevorm:

\[ \opsp\{\vv_1,\ldots,\vv_k\} = \{c_1\vv_1+\cdots+c_k\vv_k\mid c_1,\ldots,c_k\in\RR\}. \]

Voorbeeld 2.3

In $\RR^3$ is het opspansel van de eerste twee standaardbasisvectoren $\ve_1$ en $\ve_2$ het $(x,y)$-vlak. Er geldt namelijk

\[ c_1\ve_1+c_2\ve_2=(c_1,c_2,0), \]

en de vectoren $(x,y,z)$ die op deze manier te maken zijn, zijn precies de vectoren met $z=0$.

2.4. Norm en inproduct#

Definitie 2.5 (Norm (lengte) van een vector)

De norm of lengte van een vector $\vv=(v_1,\ldots,v_n)$ in $\RR^n$ is

\[\begin{split} \begin{aligned} \|\vv\|&=\sqrt{v_1^2+\cdots+v_n^2}\\ &=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i^2}. \end{aligned} \end{split}\]

Voorbeeld 2.4

De norm van de vector $\vv=(2,-1,3,0,1)$ in $\RR^5$ is

\[ \vv=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2+0^2+1^2}=\sqrt{15}. \]

Stelling 2.2 (Eigenschappen van de norm)

Voor alle $\vv,\vw\in\RR^n$ en $c\in\RR$ geldt

$\|\vv\|\ge0$, en $\|\vv\|=0$ geldt alleen voor $\vv=\mathbf{0}$;
$\|c\vv\|=|c|\|\vv\|$;
$\|\vv+\vw\|\le\|\vv\|+\|\vw\|$ (driehoeksongelijkheid).

Dankzij de norm kunnen we nu eenheidsvectoren definiëren; deze kunnen opgevat worden als richtingen in $\RR^n$.

Definitie 2.6 (Eenheidsvector)

Een eenheidsvector in $\RR^n$ is een vector $\vu\in\RR^n$ met $\|\vu\|=1$.

Een belangrijk voorbeeld van eenheidsvectoren zijn de standaardbasisvectoren. Ook bijvoorbeeld $(3/5,4/5)$ in $\RR^2$ is een eenheidsvector. Verder merken we op dat gegeven een vector $\vv\ne\mathbf{0}$ het scalair veelvoud $\frac{1}{\|\vv\|}\vv$ een eenheidsvector is. Dit noemen we de eenheidsvector in de richting van $\vv$.

In de meetkunde zijn we vaak niet alleen geïnteresseerd in afstanden, maar ook in hoeken. Hiervoor introduceren we het begrip inproduct van twee vectoren. Als motivatie roepen we de cosinusregel uit de meetkunde in herinnering. Gegeven een driehoek in het vlak met hoekpunten $A$, $B$, $C$ noemen we de lengten van de zijden tegenover deze hoekpunten $a$, $b$, $c$, en schrijven we $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ voor de hoeken bij deze hoekpunten. Er geldt dan

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos\alpha. \]

We willen nu de hoek tussen twee vectoren in $\RR^n$ definiëren op een manier die in twee of drie dimensies correspondeert met de bekende ‘fysieke’ hoek tussen twee vectoren. In het bijzonder zal blijken dat wanneer we dit op zo’n manier willen doen dat de cosinusregel geldt, er precies één manier is om de hoek te definiëren.

Plaatsen we het hoekpunt $A$ in de oorsprong, dan kunnen we de zijden $AB$ en $AC$ zien als vectoren $\vv$ en $\vw$, en daarmee de zijde $BC$ als de vector $\vw-\vv$. We kunnen de cosinusregel dus schrijven (met het voorbehoud dat $\alpha$ en $\cos\alpha$ voor algemene $n$ nog geen betekenis hebben) als

\[ \|\vw-\vv\|^2 = \|\vv\|^2+\|\vw\|^2-2\|\vv\|\|\vw\|\cos\alpha. \]

Dit kunnen we herschrijven tot

\[ (w_1-v_1)^2+\cdots+(w_n-v_n)^2 = v_1^2+\cdots+v_n^2+w_1^2+\cdots+w_n^2 -2\|\vv\|\|\vw\|\cos\alpha, \]

en vervolgens vereenvoudigen (ga zelf na) tot

\[ v_1w_1+\cdots+v_nw_n = \|\vv\|\|\vw\|\cos\alpha. \]

Definitie 2.7 (Inproduct van twee vectoren)

Het (standaard-)inproduct (ook: dot product, scalair product of inwendig product) van twee vectoren $\vv=(v_1,\ldots,v_n)$ en $\vw=(w_1,\ldots,w_n)$ in $\RR^n$ is de scalar

\[\begin{split} \begin{aligned} \vv\cdot\vw &= v_1w_1 + \cdots + v_nw_n\\ &= \sum_{i=1}^n v_iw_i. \end{aligned} \end{split}\]

Voorbeeld 2.5

Neem $\vv=(2,1,0,-3)$ en $\vw=(1,1,-2,-1)$ in $\RR^4$. We berekenen

\[ \vv\cdot\vw = 2\cdot 1+1\cdot 1+0\cdot-2+(-3)(-1) = 2+1+0+3=6. \]

Definitie 2.8 (Hoek tussen twee vectoren)

De hoek tussen twee vectoren $\vv=(v_1,\ldots,v_n)$ en $\vw=(w_1,\ldots,w_n)$ in $\RR^n$ (beide niet de nulvector) is

\[ \angle(\vv,\vw) = \cos^{-1}\left(\frac{\vv\cdot\vw}{\|\vv\|\|\vw\|}\right). \]

We merken op dat deze hoek in het interval $[0,\pi]$ ligt. We moeten onszelf er nog van verzekeren dat deze definitie betekenis heeft. Omdat het bereik van de cosinusfunctie gelijk is aan $[-1,1]$, moeten we hiervoor nagaan dat geldt

\[ |\vv\cdot\vw|\le\|\vv\|\|\vw\|. \]

Dit staat bekend als de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz. We laten hier straks een bewijs van zien.

Stelling 2.3 (Eigenschappen van het inproduct)

Voor vectoren $\vu,\vv,\vw$ in $\RR^n$ en scalairen $c$ geldt

$\vu\cdot(\vv+\vw)=\vu\cdot\vv+\vu\cdot\vw$
$(c\vu)\cdot\vv=c(\vu\cdot\vv)=\vu\cdot(c\vv)$
$\vu\cdot\vv=\vv\cdot\vu$
$\vv\cdot\vv=\|\vv\|^2\ge0$, en $\vv\cdot\vv=0$ geldt alleen voor $\vv=0$

2.5. Ongelijkheden#

Stelling 2.4 (Ongelijkheid van Cauchy–Schwarz)

Voor alle $\vv,\vw\in\RR^n$ geldt

\[ |\vv\cdot\vw|\le\|\vv\|\|\vw\|. \]

Stelling 2.5 (Driehoeksongelijkheid)

Voor alle $\vv,\vw\in\RR^n$ geldt

\[ \|\vv+\vw\|\le\|\vv\|+\|\vw\|. \]

We gaan nu de eerst ongelijkheid van Cauchy–Schwarz bewijzen. Merk op dat deze (na kwadrateren van beide zijden) equivalent is met de ongelijkheid

\[ (\vv\cdot\vv)(\vw\cdot\vw)-(\vv\cdot\vw)^2\ge0. \]

We schrijven de linkerzijde van deze ongelijkheid om met behulp van de definitie van het inproduct:

\[\begin{split} \begin{aligned} (\vv\cdot\vv)(\vw\cdot\vw)-(\vv\cdot\vw)^2 &= (v_1^2+\cdots+v_n^2)(w_1^2+\cdots+w_n^2)-(v_1w_1+\cdots+v_nw_n)^2\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n v_i^2\sum_{j=1}^n w_j^2 +\frac{1}{2}\sum_{j=1}^n v_j^2\sum_{i=1}^n w_i^2 - \sum_{i=1}^n v_i w_i\sum_{j=1}^n v_j w_j\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (v_i^2 w_j^2 + v_j^2 w_i^2 - 2v_i w_j v_j w_i)\\ &=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (v_i w_j - v_j w_i)^2\\ &\ge0. \end{aligned} \end{split}\]

Dit laat zien dat de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz inderdaad geldt.

We gaan nu de driehoeksongelijkheid hieruit afleiden. Ook hier kwadrateren we eerst:

\[\begin{split} \begin{aligned} \|\vv+\vw\|^2 &= (\vv+\vw)\cdot(\vv+\vw)\\ &=\vv\cdot\vv+\vv\cdot\vw+\vw\cdot\vv+\vw\cdot\vw. \end{aligned} \end{split}\]

Omdat $\vw\cdot\vv=\vv\cdot\vw$ en $\vv\cdot\vw\le|\vv\cdot\vw|$ volgt

\[ \|\vv+\vw\|^2 \le \|\vv\|^2+2|\vv\cdot\vw|+\|\vw\|^2. \]

Passen we nu de ongelijkheid van Cauchy–Schwarz toe, dan krijgen we

\[\begin{split} \begin{aligned} \|\vv+\vw\|^2 &\le \|\vv\|^2+2\|\vv\|\|\vw\|+\|\vw\|^2\\ &=(\|\vv\|+\|\vw\|)^2. \end{aligned} \end{split}\]

Door aan beide kanten de wortel te nemen, volgt tot slot de driehoeksongelijkheid.