Dimensies van lineaire deelruimten, rangen van matrices

8. Dimensies van lineaire deelruimten, rangen van matrices#

8.1. Dimensie#

Een lineaire deelruimte van \(\RR^n\) heeft (met uitzondering van de nulruimte, die alleen uit de nulvector bestaat) oneindig veel verschillende bases. We zullen nu laten zien dat al deze bases even veel vectoren bevatten.

Stelling 8.1

Gegeven een lineaire deelruimte \(W\) van \(\RR^n\) en twee rijtjes vectoren

  • \(\vv_1,\ldots,\vv_k\in W\) lineair onafhankelijk

  • \(\vw_1,\ldots,\vw_l\in W\) met \(\opsp\{\vw_1,\ldots,\vw_l\}=W\)

geldt \(k\le l\).

Bewijs. We schrijven \(A\) voor de \(n\times k\)-matrix met kolommen \(\vv_1,\ldots,\vv_k\) en \(B\) voor de \(n\times l\)-matrix met kolommen \(\vw_1,\ldots,\vw_l\). Omdat \(\vv_1,\ldots,\vv_k\) in \(W\) liggen en \(\vw_1,\ldots,\vw_l\) deze ruimte opspannen, bestaan er scalairen \(c_{j,i}\) (voor \(1\le i\le k\) en \(1\le j\le l\)) met

\[ \vv_i = \sum_{j=1}^l c_{j,i} \vw_j\quad(1\le i\le k). \]

Schrijven we \(C=(c_{j,i})_{1\le j\le l\atop 1\le i\le k}\), dan komt bovenstaande vergelijking neer op

\[ A=BC. \]

Omdat de kolommen van \(A\) lineair onafhankelijk zijn, geldt \(\ker A=\{\mathbf{0}\}\). Uit de vergelijking hierboven volgt nu \(\ker C=\{\mathbf{0}\}\), dus de kolommen van \(C\) zijn lineair onafhankelijk. Omdat \(C\) een \(l\times k\)-matrix is, bevat de rijtrapvorm van \(C\) dus \(k\) spillen. Dit is alleen mogelijk wanneer \(l\ge k\) geldt.

Stelling 8.2

Elke lineaire deelruimte \(W\) van \(\RR^n\) heeft een basis, en een basis van \(W\) heeft hooguit \(n\) elementen.

Bewijs. We gaan stap voor stap een rijtje \((\vb_1\ldots,\vb_k)\) van vectoren construeren dat steeds lineair onafhankelijk blijft. We beginnen met \(k=0\) (de lege lijst). We doen nu herhaald het volgende:

  • Als \(\opsp\{\vb_1,\ldots,\vb_k\}\) gelijk is aan \(W\), dan is \((\vb_1,\ldots,\vb_k)\) een basis voor \(W\).

  • Als \(\opsp\{\vb_1,\ldots,\vb_k\}\) niet gelijk is aan \(W\), dan bestaat er een \(\vb_{k+1}\in W\) die niet in \(\opsp\{\vb_1,\ldots,\vb_k\}\) ligt. Dan is het rijtje vectoren \((\vb_1,\ldots,\vb_{k+1})\) nog steeds lineair onafhankelijk. (Stel namelijk dat \((c_1,\ldots,c_{k+1})\) een lineaire relatie is, dus \(c_1\vb_1+\cdots+c_{k+1}\vb_{k+1}=\mathbf{0}\). Dan geldt \(c_{k+1}=0\), anders zou \(\vb_{k+1}=-c_{k+1}^{-1}(c_1\vb_1+\cdots+c_k\vb_k)\) in het opspansel van \(\vb_1,\ldots,\vb_k\) liggen. Dit geeft vervolgens \(c_1\vb_1+\cdots+c_k\vb_k=\mathbf{0}\). Omdat \(\vb_1,\ldots,\vb_k\) lineair onafhankelijk zijn, volgt \(c_1=\cdots=c_k=0\).)

Merk op dat \(\vb_1,\ldots,\vb_k\) een lineair onafhankelijk rijtje vectoren in \(\RR^n\) is en de standaardbasisvectoren \((\ve_1,\ldots,\ve_n)\) de ruimte \(\RR^n\) opspannen, dus wegens de vorige stelling geldt \(k\le n\); met andere woorden, na hooguit \(n\) stappen houdt dit proces op.

Gevolg 8.1

Als \(\vb_1,\ldots,\vb_k\) en \(\vw_1,\ldots,\vw_l\) twee bases van \(W\) zijn, dan geldt \(k=l\).

Bewijs. Omdat het \(k\)-tal \((\vb_1,\ldots,\vb_k)\) lineair onafhankelijk is en het \(l\)-tal \((\vw_1,\ldots,\vw_l)\) de ruimte \(W\) opspant, volgt wegens de vorige stelling \(k\le l\). Draaien we de rollen van de twee bases om, dan geeft hetzelfde argument \(l\le k\). We concluderen dat \(k=l\) geldt.

Definitie 8.1

De dimensie van een lineaire deelruimte \(W\) van \(\RR^n\), notatie \(\dim W\), is het aantal elementen van een basis van \(W\).

Opmerking 8.1

De nulruimte \(\{\mathbf{0}\}\) heeft dimensie 0; de enige basis bestaat namelijk uit 0 elementen.

Voorbeeld 8.1

We bepalen de dimensie van de lineaire deelruimte van \(\RR^3\) opgespannen door de vectoren

\[\begin{split} \vv_1 = \begin{pmatrix}0\\ 2\\ 3\end{pmatrix},\quad \vv_2 = \begin{pmatrix}1\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\quad \vv_3 = \begin{pmatrix}-2\\ 4\\ 3\end{pmatrix}. \end{split}\]

We vormen de matrix \(A\) met \(\vv_1,\vv_2,\vv_3\) als kolommen en vegen deze naar rijtrapvorm:

\[\begin{split} \begin{aligned} A &= \begin{pmatrix}0& 1& -2\\ 2& -1& 4\\ 3& 0& 3\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}3& 0& 3\\ 2& -1& 4\\ 0& 1& -2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1& 0& 1\\ 2& -1& 4\\ 0& 1& -2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1& 0& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 1& -2\end{pmatrix}\\ &\sim \begin{pmatrix}1& 0& 1\\ 0& -1& 2\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}. \end{aligned} \end{split}\]

Deze matrix staat in rijtrapvorm met een spil in kolommen 1 en 2. Dit betekent dat \((\vv_1,\vv_2)\) een basis voor \(W\) is, dus \(\dim W=2\).

8.2. Rang van een matrix#

We hebben gezien hoe we bases voor de kern, het beeld en de rijruimte van een matrix kunnen bepalen. Als \(A\) een \(m\times n\)-matrix is en er \(r\) spillen staan in een rijtrapvorm van \(A\), dan geldt

  • \(\dim(\im A)=r\);

  • \(\dim(\mathop{rowsp} A)=r\);

  • \(\dim(\ker A)=n-r\); dit is namelijk het aantal vrije variabelen in het homogene stelsel \(A\vx=\mathbf{0}\).

Definitie 8.2

De rang van een matrix \(A\) (notatie \(\rang A\)) is de dimensie van het beeld (de kolomruimte) van \(A\).

Uit wat we hierboven opmerkten over dimensies, volgt

\[ \rang A = \dim(\im A)=\dim(\mathop{rowsp} A) \]

en

\[ \rang A + \dim(\ker A) = n. \]

Verder geldt \(\rang A\le\min\{m,n\}\), en is een \(n\times n\)-matrix \(A\) inverteerbaar precies wanneer \(\rang A=n\) geldt.

Voorbeeld 8.2

Bepaal de rang van de matrix \(B=\begin{pmatrix}2& 1& -3\\ 1& 1& -2\\ 2& -1& -1\end{pmatrix}\).

De rang is het aantal spillen in de rijtrapvorm van \(B\). We vegen \(B\) dus naar rijtrapvorm:

\[\begin{split} \begin{aligned} B&\sim \begin{pmatrix}1& 1& -2\\ 2& 1& -3\\ 2& -1& -1\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1& 1& -2\\ 0& -1& 1\\ 0& -3& 3\end{pmatrix}\\ &\sim\begin{pmatrix}1& 1& -2\\ 0& -1& 1\\ 0& 0& 0\end{pmatrix}. \end{aligned} \end{split}\]

Deze matrix staat in rijtrapvorm en heeft 2 spillen, dus \(\rang B=2\). In het bijzonder is \(B\) niet inverteerbaar.

Stelling 8.3

Voor een \(m\times n\)-matrix \(A\) zijn de volgende uitspraken equivalent:

  1. Er geldt \(\rang A=m\).

  2. Voor elke \(\vb\in\RR^m\) is de vergelijking \(A\vx=\vb\) oplosbaar.

  3. De kolomruimte van \(A\) is gelijk aan \(\RR^m\).

  4. Er bestaat een \(n\times m\)-matrix \(C\) met \(AC=I_m\) (maar niet noodzakelijk \(CA=I_n\)).

Stelling 8.4

Voor een \(m\times n\)-matrix \(A\) zijn de volgende uitspraken equivalent:

  1. Er geldt \(\rang A=n\).

  2. Voor elke \(\vb\in\RR^m\) heeft de vergelijking \(A\vx=\vb\) hooguit één oplossing.

  3. De kolommen van \(A\) zijn lineair onafhankelijk.

  4. De kern van \(A\) is gelijk aan \(\{\mathbf{0}\}\).

  5. Er bestaat een \(n\times m\)-matrix \(D\) met \(DA=I_n\) (maar niet noodzakelijk \(AD=I_m\)).

Inhoud