9. Lineaire afbeeldingen

Het concept lineaire afbeelding is zeer belangrijk, zowel binnen de lineaire algebra als in allerlei toepassingen.

9.1. Definitie en voorbeelden

Definitie 9.1

Een afbeelding \(f\colon X\to Y\) wordt gegeven door

• een verzameling \(X\), het domein;

• een verzameling \(Y\), het codomein;

• voor elk element \(x\in X\) een element \(f(x)\in Y\).

Het beeld (of bereik) van een afbeelding \(f\) is

\[ \im f = \{f(x) \mid x\in X\}. \]

Het beeld van \(f\) is een deelverzameling van \(Y\). We kunnen deze ook omschrijven als de verzameling van alle \(y\in Y\) waarvoor er een \(x\in X\) bestaat met \(f(x)=y\).

Voorbeeld 9.1

De functie \(f\colon\RR\to\RR\) gedefinieerd door \(f(x)=x^2-2\) is een afbeelding. Ook de rotatie \(r\colon\RR^2\to\RR^2\) om een hoek \(\pi/3\) rond de oorsprong is een afbeelding.

We bekijken nu afbeeldingen tussen ruimten van de vorm \(\RR^n\) (of algemener tussen lineaire deelruimten hiervan).

Definitie 9.2

Een afbeelding \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) heet lineair als

• voor alle \(\vu,\vv\in\RR^n\) geldt \(f(\vu+\vv)=f(\vu)+f(\vv)\);

• voor alle \(\vu\in\RR^n\) en \(c\in\RR\) geldt \(f(c\vu)=cf(\vu)\).

We weten al dat deze eigenschappen gelden wanneer \(f\) “gegeven is door een matrix”, d.w.z. wanneer er een \(m\times n\)-matrix \(A\) bestaat zodanig dat voor alle \(\vu\in\RR^n\) geldt \(f(\vu)=A\vu\).

Voorbeeld 9.2

De projectie op de \(x\)-as in \(\RR^2\) is gedefinieerd door

\[ P(x,y)=(x,0). \]

Deze afbeelding wordt gegeven door de matrix \(\pmatrix{1& 0\\ 0& 0}\), en is dus een lineaire afbeelding.

Voorbeeld 9.3

De rotatie over een hoek \(\alpha\) om de oorsprong in \(\RR^2\) is ook lineair. Dit kun je formeel bewijzen door een formule op te schrijven, maar het is nuttig om een plaatje te tekenen met het effect van zo’n rotatie op de som van twee vectoren, of op een scalair veelvoud van een vector.

Voorbeeld 9.4

We gaan alle lineaire afbeeldingen \(f\colon\RR\to\RR\) bepalen. Stel \(f\) is lineair. We schrijven \(a=f(1)\). Dan geldt voor alle \(x\in\RR\)

\[ f(x)=f(x\cdot 1)=xf(x)=ax. \]

Omgekeerd is de afbeelding \(f\colon\RR\to\RR\) gedefinieerd door \(f(x)=ax\) voor elke \(a\in\RR\) een lineaire afbeelding.

Opmerking 9.1

Als \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) lineair is, dan geldt

\[ f(\mathbf{0})=f(0\mathbf{0})=0f(\mathbf{0})=\mathbf{0}. \]

Verder geldt voor alle \(\vv_1,\ldots,\vv_k\) in \(\RR^n\) en alle \(c_1,\ldots,c_k\in\RR\) dat

\[ f(c_1\vv_1+\cdots+c_k\vv_k)=c_1f(\vv_1)+\cdots+c_kf(\vv_k). \]

Als \(\vv_1,\ldots,\vv_k\) de hele ruimte \(\RR^n\) opspannen, dan wordt \(f\) dus vastgelegd door de waarden \(f(\vv_1),\ldots,f(\vv_k)\). Dit is vooral handig wanneer voor we deze vectoren een basis voor \(\RR^n\) kiezen.

9.2. De standaardmatrix van een lineaire afbeelding

Gegeven een lineaire afbeelding \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) definiëren we een \(m\times n\)-matrix \(A\) door

(9.1)\[\begin{split} A=\begin{pmatrix}|&|&&|\\ f(\ve_1)& f(\ve_2)&\cdots&f(\ve_n)\\ |&|&&|\end{pmatrix}. \end{split}\]

Dan geldt voor alle \(\vv\in\RR^n\)

\[\begin{split} \begin{aligned} f(\vv)&=f(v_1\ve_1+\cdots+v_n\ve_n)\\ &=v_1 f(\ve_1)+\cdots+v_n f(\ve_n)\\ &=A\vv. \end{aligned} \end{split}\]

Definitie 9.3

De matrix (9.1) heet de standaardmatrixrepresentatie van \(f\), of de matrix van \(f\) ten opzichte van de standaardbasis.

Voorbeeld 9.5

Bekijk de afbeelding \(f\colon\RR^3\to\RR^2\) gedefinieerd door

\[ f(x,y,z)=(5x+y-3z,2x-z). \]

We berekenen

\[\begin{split} f(\ve_1)=f\left(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}5\\ 2\end{pmatrix},\quad f(\ve_2)=f\left(\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix},\quad f(\ve_3)=f\left(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right)= \begin{pmatrix}-3\\ -1\end{pmatrix}. \end{split}\]

De standaardmatrixrepresentatie van \(f\) is dus

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix}5& 1& -3\\ 2& 0& -1\end{pmatrix}. \end{split}\]

9.3. Rotaties

We bekijken de rotatie \(R_\alpha\colon\RR^2\to\RR^2\) over een hoek \(\alpha\) om de oorsprong in \(\RR^2\). Een gegeven vector \(\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\) kunnen we in poolcoördinaten schrijven als \(\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}\) met \(r\ge0\) en \(\phi\in[0,2\pi)\). We berekenen het effect van \(R_\alpha\) als volgt:

\[\begin{split} \begin{aligned} R_\alpha\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix} &= R_\alpha\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix}r\cos(\alpha+\phi)\\ r\sin(\alpha+\phi)\end{pmatrix}\\ &= r\begin{pmatrix}\cos\alpha\cos\phi-\sin\alpha\sin\phi\\ \sin\alpha\cos\phi+\cos\alpha\sin\phi\end{pmatrix}\\ &= r\begin{pmatrix}\cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\end{pmatrix}\\ &= A\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}, \end{aligned} \end{split}\]

waarbij \(A\) de matrix \(\begin{pmatrix}\cos\alpha& -\sin\alpha\\ \sin\alpha& \cos\alpha\end{pmatrix}\) is. Deze berekening laat zien dat \(R_\alpha\) een lineaire afbeelding is, en dat \(A\) de standaardmatrixrepresentatie hiervan is.

Kern en beeld van een lineaire afbeelding

Als \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) een lineaire afbeelding is, definiëren we het beeld van \(f\) net als voor elke afbeelding, dus

\[ \im f=\{f(\vx)\mid \vx\in\RR^n\}. \]

Definitie 9.4 (Kern van een lineaire afbeelding)

De kern van een lineaire afbeelding \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) is

\[ \ker f = \{\vx\in\RR^n\mid f(\vx)=\mathbf{0}\}. \]

Net als voor matrices zijn het beeld en de kern van een lineaire afbeelding lineaire deelruimten van \(\RR^m\) respectievelijk \(\RR^n\).

Definitie 9.5 (Rang van een lineaire afbeelding)

De rang van een lineaire afbeelding \(f\colon\RR^n\to\RR^m\) is

\[ \rang f = \dim(\im f). \]

Als \(f\) gegeven wordt door vermenigvuldiging met een matrix \(A\) (dus \(A\) is de standaardmatrixrepresentatie van \(f\)), dan geldt

\[ \im f = \im A,\quad \ker f = \ker A,\quad \rang f = \rang A. \]

Opmerking 9.2

Aan de kant van lineaire afbeeldingen is er geen voor de hand liggende tegenhanger van het begrip rijruimte van een matrix. Dit verklaart waarom de rijruimte een minder prominente rol speelt dan de kern en het beeld.

Opmerking 9.3

We hebben gezien dat lineaire afbeeldingen tussen euclidische ruimten corresponderen met matrices. Het is echter nuttig om lineair afbeeldingen als apart begrip te introduceren. We noemen hiervoor twee redenen:

• Het begrip ‘lineaire afbeelding’ is conceptueler; het refereert bijvoorbeeld niet aan de keuze van een basis.

• Er zijn ook oneindigdimensionale vectorruimten. Bekijk bijvoorbeeld de ruimte \(V\) van alle oneindig differentieerbare functies \(\RR\to\RR\). De afbeelding \(D\colon V\to V\) gedefinieerd door \(D(f)=f'\) (de afgeleide van \(f\)) is een lineaire afbeelding, maar is niet op een zinvolle manier voor te stellen door een matrix.