Inverteren van matrices

Inhoud

5. Inverteren van matrices#

5.1. Elementaire matrices#

Definitie 5.1 (Elementaire matrix)

Een elementaire matrix is een $n\times n$-matrix verkregen door één elementaire rij-operatie op de $n\times n$-eenheidsmatrix toe te passen.

Voorbeelden:

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix} \qquad(\text{vanuit $I$: }R_1\leftrightarrow R_3) \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& -2& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \qquad(\text{vanuit $I$: }R_2\leftarrow -2R_2) \end{split}\]

\[\begin{split} \begin{pmatrix} 1& 3& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1 \end{pmatrix} \qquad(\text{vanuit $I$: }R_1\leftarrow R_1+3R_2) \end{split}\]

Stelling 5.1

Als $A$ een matrix is en $E$ een elementaire matrix, dan is $EA$ de matrix die je krijgt door op $A$ de rijoperatie uit te voeren die correspondeert met $E$.

Een direct gevolg hiervan is dat twee matrices $A$ en $B$ rij-equivalent zijn precies wanneer er elementaire matrices $E_1,\ldots,E_t$ bestaan zodanig dat

\[ B = E_t E_{t-1}\cdots E_2 E_1 A. \]

5.2. Inverteerbare matrices#

Definitie 5.2 (Inverteerbare matrix)

Een $n\times n$-matrix $A$ heet inverteerbaar als er een $n\times n$-matrix $C$ bestaat met

\[ CA=I\quad\text{en}\quad AC=I. \]

Als zo’n $C$ bestaat, dan heet $C$ de inverse van $A$, notatie $A^{-1}$.

Merk op dat we de inverse niet noteren als $1/A$.

Stelling 5.2

Als $A$ een inverteerbare matrix is, dan heeft $A$ precies één inverse.

Om dit te bewijzen, nemen we aan dat $C$ en $D$ twee inversen van $A$ zijn. Er geldt dan

\[ C=CI=C(AD)=(CA)D=ID=D, \]

dus $C$ en $D$ zijn dezelfde matrix.

Voorbeeld 5.1

Bekijk de matrices

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix} 3& -5\\ -1& 2 \end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix} 2& 5\\ 1& 3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Dan is direct na te gaan dat $AC$ en $CA$ beide gelijk zijn aan de $2\times 2$-eenheidsmatrix. Dit betekent dat $C$ de inverse van $A$ is (en dat $A$ de inverse van $C$ is).

In het geval van een $2\times2$-matrix is er een algemene manier om te bepalen of deze inverteerbaar is, en in dat geval is er een formule voor de inverse. Gegeven een $2\times 2$-matrix

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix}a& b\\c& d\end{pmatrix} \end{split}\]

definiëren we de determinant van $A$ als

\[ \det A=ad-bc. \]

Er geldt: $A$ is inverteerbaar precies wanneer $\det A\ne0$, en in dat geval is de inverse gelijk aan

\[\begin{split} A^{-1} = \frac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d& -b\\ -c& a\end{pmatrix}. \end{split}\]

Definitie 5.3 (Machten van een matrix)

Voor een vierkante matrix $A$ en een geheel getal $n$ schrijven we

\[\begin{split} A^n = \begin{cases} AA\cdots A\quad(n\text{ factoren})& \text{als }n>0\\ I& \text{als }n=0\\ (A^{-1})^{-n}& \text{als }n<0. \end{cases} \end{split}\]

Een toepassing van het inverteren van matrices is het oplossen van meerdere matrix-vectorvergelijkingen $A\vx=\vb$ voor een vaste matrix $A$ en variërende vectoren $\vb$. Als $A$ namelijk inverteerbaar is, dan kunnen we de vergelijking $A\vx=\vb$ vermenigvuldigen met $A^{-1}$ en krijgen we

\[ A\vx=\vb\iff A^{-1}(A\vx)=A^{-1}\vb\iff \vx=A^{-1}\vb, \]

aangezien $A^{-1}(A\vx)=(A^{-1}A)\vx=I\vx=\vx$.

Stelling 5.3 (Eigenschappen van inverteerbare matrices)

Elementaire matrices zijn inverteerbaar. Als $E$ een elementaire matrix is die overeenkomt met een rijoperatie, dan is $E^{-1}$ de elementaire matrix die overeenkomt met het ongedaan maken van die rijoperatie.
Als $A$ inverteerbaar is, dan is $A^{-1}$ inverteerbaar en de inverse is $(A^{-1})^{-1}=A$.
Als $A$ en $B$ inverteerbaar zijn, dan is $AB$ inverteerbaar en $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$.
Als $H$ in rijtrapvorm staat en inverteerbaar is, dan bevat elke kolom van $A$ een spil. Anders zou de onderste rij van $H$ namelijk een nulrij zijn, maar dit zou betekenen dat ook de onderste rij van $HH^{-1}=I$ een nulrij zou zijn, een tegenspraak.

5.3. Het bepalen van de inverse#

Gegeven een vierkante matrix $A$ kunnen we als volgt bepalen of $A$ inverteerbaar is. Schrijf $H$ voor de gereduceerde rijtrapvorm van $A$. Dan is er een reeks elementaire rijoperaties die $A$ in $H$ omzet. We bekijken de bijbehorende elementaire matrices $E_1,\ldots,E_t$. Dan geldt

\[ E_t \cdots E_2 E_1 A = H. \]

We schrijven $F=E_t\cdots E_2E_1$ en merken op dat $F$ inverteerbaar is. Als $A$ inverteerbaar is, dan is dus ook $FA=H$ inverteerbaar. Omdat $H$ in rijtrapvorm staat en inverteerbaar is, betekent dit dat elke kolom van $H$ een spil bevat (zie de opmerking hierboven). Aangezien $H$ in gereduceerde rijtrapvorm staat, is $H$ zelfs de eenheidsmatrix. Met andere woorden, er geldt

\[ FA=I. \]

Dit betekent dat $A$ de inverse van $F$ is. Hieruit volgt dat $A$ inverteerbaar is en $A^{-1}=F$.

We kunnen dus bepalen of $A$ inverteerbaar is door de (gereduceerde) rijtrapvorm te bepalen. Om de inverse te vinden, moeten we bovendien de elementaire rijoperaties bijhouden die hiervoor nodig zijn. Dit geeft aanleiding tot het volgende algoritme:

Algoritme 5.1 (Inverteerbaarheid/inverse)

Gegeven een $n\times n$-matrix $A$:

Breng $(A\mid I)$ in gereduceerde rijtrapvorm; stel de resulterende matrix is $(H\mid F)$.
Als $H$ de eenheidsmatrix is, dan is $A$ inverteerbaar en geldt $A^{-1}=F$.
Als $H$ niet de eenheidsmatrix is, dan is $A$ niet inverteerbaar.

Voorbeeld 5.2

Bekijk de matrix

\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} 2& 5& 2\\ 2& 3& 1\\ -1& 2& 1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

We vormen de aangevulde matrix $(A\mid I)$ en brengen deze in gereduceerde rijtrapvorm:

\[\begin{split} \begin{aligned} (A\mid I) &= \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2& 5& 2& 1& 0& 0\\ 2& 3& 1& 0& 1& 0\\ -1& 2& 1& 0& 0& 1 \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 1& 0& 0& 1\\ 2& 3& 1& 0& 1& 0\\ 2& 5& 2& 1& 0& 0\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 1& 0& 0& 1\\ 0& 7& 3& 0& 1& 2\\ 0& 9& 4& 1& 0& 2\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 1& 0& 0& 1\\ 0& -2& -1& -1& 1& 0\\ 0& 9& 4& 1& 0& 2\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 1& 0& 0& 1\\ 0& -2& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& -1/2& -7/2& 9/2& 2\\ \end{array}\right). \end{aligned} \end{split}\]

Deze matrix staat in rijtrapvorm, en elke kolom links van de streep bevat een spil. Dit laat al zien dat $A$ inverteerbaar is. We vegen verder naar gereduceerde rijtrapvorm om de inverse te bepalen:

\[\begin{split} \begin{aligned} (A\mid I)&\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 1& 0& 0& 1\\ 0& -2& -1& -1& 1& 0\\ 0& 0& 1& 7& -9& -4\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 2& 0& -7& 9& 5\\ 0& -2& 0& 6& -8& -4\\ 0& 0& 1& 7& -9& -4\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} -1& 0& 0& -1& 1& 1\\ 0& -2& 0& 6& -8& -4\\ 0& 0& 1& 7& -9& -4\\ \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1& 0& 0& 1& -1& -1\\ 0& 1& 0& -3& 4& 2\\ 0& 0& 1& 7& -9& -4\\ \end{array}\right). \end{aligned} \end{split}\]

Links van de streep staat nu de eenheidsmatrix, dus we concluderen dat de inverse van $A$ gelijk is aan

\[\begin{split} A^{-1} = \begin{pmatrix} 1& -1& -1\\ -3& 4& 2\\ 7& -9& -4 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Opmerking 5.1

Wanneer je de inverse van een matrix $A$ met de hand berekent, is het aan te raden om $AA^{-1}$ of $A^{-1}A$ te berekenen om te controleren of je geen rekenfouten gemaakt hebt.