Matrices

3. Matrices#

3.1. Matrices#

Een \(m\times n\)-matrix bestaat uit \(m\) rijen en \(n\) kolommen waarin (reële of complexe) getallen gerangschikt zijn. Deze getallen heten de coefficiënten of elementen van de matrix. De coëfficiënten van een matrix \(A\) worden vaak genoteerd als \(A_{i,j}\) of \(a_{ij}\), waarbij de eerste index naar de rij verwijst en de tweede naar de kolom. Een matrix ziet er dus uit als

(3.1)#\[\begin{split} A = \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots& \vdots& \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}. \end{split}\]

Vaak wordt notatie als \(A=(a_{i,j})\) or \(A=(a_{i,j})_{1\le i\le m\atop 1\le j\le n}\) gebruikt om aan te geven hoe de coëfficiënten genoteerd worden, en hoeveel rijen en kolommen de matrix heeft.

3.2. Matrix als lineaire afbeelding#

Eén van de belangrijkste toepassingen van matrices is dat ze bepaalde ‘functies’ van \(\RR^n\) naar \(\RR^m\) representeren. We zullen hiervoor later het concept lineaire afbeelding introduceren. We zullen later ook zien dat matrices en lineaire afbeeldingen gebruikt kunnen worden om bijvoorbeeld rotaties en spiegelingen te beschrijven.

De manier waarop een matrix een vector in \(\RR^n\) naar een vector in \(\RR^m\) stuurt, is via matrix-vectorvermenigvuldiging.

We schrijven vectoren in deze context meestal als kolomvectoren.

Definitie 3.1 (Matrix-vectorproduct)

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A=(a_{i,j})\) en een vector \(\vv=\begin{pmatrix}v_1\\ \vdots\\ v_n\end{pmatrix}\) in \(\RR^n\) is de vector \(\vw=A\vv\) in \(\RR^m\) gedefinieerd door

\[\begin{split} \vw = \begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ \vdots\\ w_m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} v_1 + \cdots + a_{1,n} v_n\\ a_{2,1} v_1 + \cdots + a_{2,n} v_n\\ \vdots\\ a_{m,1} v_1 + \cdots + a_{m,n} v_n \end{pmatrix}. \end{split}\]

Dit kunnen we zien als het nemen van de inproducten van elk van de rijen van \(A\) met de kolomvector \(\vv\): als \(\va_1,\ldots,\va_m\) de rijen van \(A\) zijn, dan geldt

\[\begin{split} \vw = A\vv = \begin{pmatrix} \va_1\cdot\vv\\ \va_2\cdot\vv\\ \vdots\\ \va_m\cdot\vv \end{pmatrix}. \end{split}\]

Een andere interpretatie van \(A\vv\) is als lineaire combinatie van de kolommen van \(A\). Als \(\vb_1, \ldots, \vb_n\) namelijk de kolommen van \(A\) zijn, dan geldt ook (ga zelf na!)

\[ \vw = A\vv = v_1\vb_1+\cdots+v_n\vb_n. \]

Voorbeeld 3.1

Bekijk de matrix

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix} 3& -2& 1\\ 2& 0& -2 \end{pmatrix} \end{split}\]

en de vector

\[\begin{split} \vv=\begin{pmatrix}1\\ 3\\ 5\end{pmatrix}. \end{split}\]

We berekenen

\[\begin{split} A\vv = \begin{pmatrix}3\cdot 1+(-2)\cdot 3+1\cdot 5\\ 2\cdot 1+0\cdot 3+(-2)\cdot 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ -8\end{pmatrix}. \end{split}\]

3.3. Optelling en scalaire vermenigvuldiging van matrices#

Matrices van dezelfde grootte kunnen net als vectoren coëfficiëntsgewijs opgeteld worden. Ook kan een matrix coëfficiëntsgewijs met een scalar vermenigvuldigd worden.

Voorbeeld 3.2

\[\begin{split} 4\begin{pmatrix}1& 0\\ 3& -1\end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix}0& 2\\ 1& -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4& 0\\ 12& -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}0& 4\\ 2& -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4& -4\\ 10& -2\end{pmatrix}. \end{split}\]

3.4. Matrixvermenigvuldiging#

Het blijkt zinvol om matrices niet alleen te vermenigvuldigen met vectoren, maar ook met andere matrices.

Definitie 3.2 (Matrixproduct)

Als \(A\) een \(m\times n\)-matrix is en \(B\) een \(n\times p\)-matrix, dan definiëren we het matrixproduct van \(A\) en \(B\) als de \(m\times p\)-matrix \(AB\) die we krijgen door \(A\) met elk van de \(p\) kolommen van \(B\) te vermenigvuldigen en de resulterende vectoren naast elkaar in een \(m\times p\)-matrix te zetten.

Als \(A=\begin{pmatrix} ―\enspace\va_1\enspace―\\ ―\enspace\va_2\enspace―\\ \vdots\\ ―\enspace\va_m\enspace― \end{pmatrix}\) en \(B=\begin{pmatrix}|&|&&|\\ \vb_1&\vb_2&\cdots&\vb_p\\|&|&&|\end{pmatrix}\) (waarbij de rijen van \(A\) en de kolommen van \(B\) allemaal lengte \(n\) hebben), dan is de matrix \(AB\) dus gegeven door

\[\begin{split} AB=\begin{pmatrix} \va_1\cdot\vb_1& \va_1\cdot\vb_2& \cdots& \va_1\cdot\vb_p\\ \va_2\cdot\vb_1& \va_2\cdot\vb_2& \cdots& \va_2\cdot\vb_p\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ \va_m\cdot\vb_1& \va_m\cdot\vb_2& \cdots& \va_m\cdot\vb_p \end{pmatrix}. \end{split}\]

Als \(C=AB\), dan zijn de coëfficiënten dus gegeven door

(3.2)#\[ (AB)_{i,k} = c_{i,k} = \va_i\cdot\vb_k = \sum_{j=1}^n a_{i,j}b_{j,k} \quad(1\le i\le m,1\le k\le p). \]

Voorbeeld 3.3

Bekijk de \(2\times 3\)-matrix

\[\begin{split} A=\begin{pmatrix} 1& 0& 3\\ -2& 1& 2 \end{pmatrix} \end{split}\]

en de \(3\times 2\)-matrix

\[\begin{split} B=\begin{pmatrix} 0& 2\\ 3& 1\\ -1& 0 \end{pmatrix}. \end{split}\]

We berekenen

\[\begin{split} AB = \begin{pmatrix} -3& 2\\ 1& -3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Anderzijds geldt

\[\begin{split} BA = \begin{pmatrix} -4& 2& 4\\ 1& 1& 11\\ -1& 0& -3 \end{pmatrix}. \end{split}\]

3.5. Matrixvermenigvuldiging en samenstelling van lineaire afbeeldingen#

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A=(a_{i,j})\) en een \(n\times p\)-matrix \(B=(b_{j,k})\) hebben we de corresponderende functie van \(\RR^p\) naar \(\RR^n\) die een vector \(\vx\in\RR^p\) naar \(B\vx\in\RR^n\) stuurt en de functie van \(\RR^n\) naar \(\RR^m\) die een vector \(\vy\in\RR^n\) naar \(A\vy\in\RR^m\) stuurt.

We bekijken nu wat er gebeurt als we deze twee functies achter elkaar toepassen. Gegeven \(\vx\in\RR^p\) schrijven we \(\vy=B\vx\) en \(\vz=A\vy=A(B\vx)\). We hebben

\[ y_j = \sum_{k=1}^p b_{j,k} x_k \]

en dus

\[\begin{split} \begin{aligned} z_i &= \sum_{j=1}^n a_{i,j} y_j\\ &= \sum_{j=1}^n a_{i,j} \sum_{k=1}^p b_{j,k} x_k\\ &= \sum_{k=1}^p \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} b_{j,k}\right) x_k, \end{aligned} \end{split}\]

waarbij we de sommatievolgorde omgedraaid hebben. We merken nu op dat de uitdrukking tussen haakjes precies de \((i,k)\)-coëfficiënt van de matrix \(AB\) is; zie (3.2). We concluderen dat \(\vz\) gelijk is aan \((AB)\vx\), oftewel

\[ A(B\vx) = (AB)\vx. \]

3.6. Rekenregels voor matrixbewerkingen#

We geven hieronder een aantal rekenregels voor het rekenen met matrices. Het is handig om eerst twee speciale typen matrices te introduceren, die we in het vervolg vaker zullen tegenkomen.

De \(m\times n\)-nulmatrix is

\[\begin{split} O = \begin{pmatrix} 0& \cdots& 0\\ \vdots& \ddots& \vdots\\ 0& \cdots& 0 \end{pmatrix}. \end{split}\]

De \(n\times n\)-eenheidsmatrix is

\[\begin{split} I = I_n = \begin{pmatrix} 1& 0& 0& \cdots& 0\\ 0& 1& 0& \cdots& 0\\ 0& 0& 1& \cdots& 0\\ \vdots& \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ 0& 0& 0& \cdots& 1 \end{pmatrix}. \end{split}\]

Stelling 3.1 (Eigenschappen van matrixbewerkingen)

De volgende eigenschappen gelden voor matrices \(A\), \(B\), \(C\) (van geschikte grootte), scalairen \(r\) en \(s\) en vectoren \(\vv\):

  • \(A+B=B+A\)

  • \((A+B)+C=A+(B+C)\)

  • \(A+O=A=O+A\)

  • \(r(A+B)=rA+rB\)

  • \((r+s)A=rA+sA\)

  • \((rs)A = r(sA)\)

  • \((rA)B = r(AB)=A(rB)\)

  • \((AB)C=A(BC)\)

  • \((AB)\vv=A(B\vv)\)

  • \(I_m A=A=AI_n\) voor \(A\) een \(m\times n\)-matrix

  • \(A(B+C)=AB+AC\)

  • \((A+B)C=AC+BC\)

Inhoud