Lineaire deelruimten

6. Lineaire deelruimten#

6.1. Homogene stelsels lineaire vergelijkingen#

We hebben gezien hoe we de oplossingsverzameling van een matrix-vectorvergelijking \(A\vx=\vb\) in parametervorm kunnen schrijven. Hierbij is de structuur steeds hetzelfde: gegeven één particuliere oplossing \(\vx_0\) van \(A\vx_0=\vb\) zijn alle oplossingen van de vorm \(\vx_0+\vx_1\), waarbij \(\vx_1\) een oplossing is van de homogene vergelijking \(A\vx_1=\mathbf{0}\). De oplossingsverzameling van zo’n homogene vergelijking is steeds het opspansel van een aantal vectoren.

Het blijkt dat de concepten ‘opspansel van een stel vectoren’ en ‘oplossingsverzameling van een matrix-vectorvergelijking’ beide gezien kunnen worden als voorbeelden van lineaire deelruimten.

6.2. Lineaire deelruimten#

Definitie 6.1 (Lineaire deelruimte)

Een lineaire deelruimte van \(\RR^n\) is een deelverzameling \(W\) van \(\RR^n\) waarvoor de volgende eigenschappen gelden:

  1. De nulvector ligt in \(W\).

  2. Voor alle vectoren \(\vw_1,\vw_2\in W\) geldt \(\vw_1+\vw_2\in W\).

  3. Voor elke vector \(\vw\in W\) en elke scalar \(c\in\RR\) geldt \(c\vw\in W\).

Met andere woorden: \(W\) bevat de nulvector en is gesloten onder vectoroptelling en scalaire vermenigvuldiging.

De deelverzameling

\[ W=\{(x_1,x_2)\in\RR^2\mid x_1-2x_2=0\} \]

is een lineaire deelruimte van \(\RR^2\). Als bijvoorbeeld \((x_1,x_2)\) en \((y_1,y_2)\) in \(W\) liggen, dan geldt \(x_1-2_x=0\) en \(y_1-2y_2=0\), dus ook \((x_1+y_1)-2(x_2+y_2)=(x_1-2x_2)+(y_1-2y_2)=0\).

De deelverzameling

\[ W=\{(x_1,x_2)\in\RR^2\mid x_1=0\text{ of }x_2=0\} \]

is geen lineaire deelruimte. De standaardbasisvectoren \(\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}\) en \(\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix}\) liggen namelijk wel in \(W\), maar hun som niet.

De deelverzameling

\[ W=\{(x_1,x_2)\in\RR^2\mid x_1\ge0\text{ en }x_2\ge0\} \]

is ook geen lineaire deelruimte. Deze deelverzameling is weliswaar gesloten onder optelling, maar niet onder vermenigvuldiging met negatieve scalairen.

Stelling 6.1

Gegeven \(k\) vectoren \(\vw_1,\ldots,\vw_k\) in \(\RR^n\) is het opspansel \(W=\opsp\{\vw_1,\ldots\vw_k\}\) een lineaire deelruimte van \(\RR^n\).

Bewijs. De nulvector ligt in \(W\), want er geldt

\[ \mathbf{0} = \sum_{i=1}^k 0\vw_i. \]

Gegeven twee vectoren \(\vx,\vy\in W\) kunnen we \(\vx\) en \(\vy\) schrijven als

\[ \vx = \sum_{i=1}^k c_i\vw_i,\quad \vy = \sum_{i=1}^k d_i\vw_i. \]

Dan geldt

\[ \vx + \vy = \sum_{i=1}^k(c_i+d_i)\vw_i. \]

Verder kunnen voor alle \(e\in\RR\) de vector \(e\vx\) schrijven als

\[ e\vx = \sum_{i=1}^k (ec_i)\vw_i. \]

Dit laat zien dat \(W\) gesloten is onder optelling en scalaire vermenigvuldiging. We concluderen dat \(W\) een lineaire deelruimte van \(\RR^n\) is.

Stelling 6.2

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A\) is de oplossingsverzameling \(W\) van het homogene stelsel \(A\vx=\mathbf{0}\) een lineaire deelruimte van \(\RR^n\).

Bewijs. De nulvector ligt in \(W\), want er geldt \(A\mathbf{0}=\mathbf{0}\).

Gegeven twee vectoren \(\vx,\vy\in W\) geldt \(A(\vx+\vy)=A\vx+A\vy=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0}\), dus \(\vx+\vy\in W\).

Gegeven \(\vx\in W\) en \(c\in\RR\) geldt \(A(c\vx)=c(A\vx)=c\mathbf{0}=\mathbf{0}\), dus \(c\vx\in W\).

Dit laat zien dat \(W\) een lineaire deelruimte van \(\RR^n\) is.

Voorbeeld 6.1

Bekijk de aangevulde matrix

\[\begin{split} A=\left(\begin{array}{cccc|c} 1& 0& 3& -1& 0\\ 1& 1& 0& 1& 0\\ 3& 2& 3& 1& 0\\ 1& -1& 6& -3& 0 \end{array}\right) \end{split}\]

Omdat de constantenkolom uit nullen bestaat, hoort hierbij een homogeen lineair stelsel. De oplossingsverzameling hiervan is een lineaire deelruimte \(W\) van \(\RR^4\). We gaan \(W\) nu concreter beschrijven als het opspansel van een aantal vectoren.

We brengen \(A\) in rijtrapvorm:

\[\begin{split} \begin{aligned} A &\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1& 0& 3& -1& 0\\ 0& 1& -3& 2& 0\\ 0& 2& -6& 4& 0\\ 0& -1& 3& -2& 0 \end{array}\right)\\ &\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1& 0& 3& -1& 0\\ 0& 1& -3& 2& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0 \end{array}\right) \end{aligned} \end{split}\]

Deze aangevulde matrix staat in gereduceerde rijtrapvorm, en het bijbehorende stelsel is

\[\begin{split} \left\{ \begin{array}{rcrcrcrcr} x_1 & & & + & 3x_3 & - & x_4 & = & 0\\ & & x_2 & - & 3x_3 & + & 2x_4 & = & 0\rlap. \end{array} \right. \end{split}\]

Er zijn twee vrije variabelen, namelijk \(x_3\) en \(x_4\); we introduceren hiervoor parameters \(s\) en \(t\), en vinden de volgende oplossing van het homogene stelsel:

\[\begin{split} \left\{ \begin{aligned} x_1 &= -3s + t\\ x_2 &= 3s - 2t\\ x_3 &= s\\ x_4 &= t \end{aligned} \right. \end{split}\]

In vectorvorm:

\[\begin{split} \vx = s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 1\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{split}\]

We concluderen dat \(W\) ook te schrijven is als

\[\begin{split} W = \opsp\left\{\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 1\\ 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\right\}. \end{split}\]

Opmerking 6.1

Aangezien voor een homogeen stelsel de constantenkolom van de aangevulde matrix altijd uit nullen bestaat, kan deze weggelaten worden.

6.3. Kern en beeld van een matrix#

De twee manieren die we hierboven gezien hebben om een lineaire deelruimte te beschrijven (als oplossingsverzameling van een homogeen stelsel en als opspansel van een aantal vectoren) zijn in het bijzonder van belang.

Definitie 6.2 (Kern (nulruimte) van een matrix)

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A\) is de kern of nulruimte van \(A\) (notatie: \(\ker(A)\) of \(\ker A\)) de oplossingsverzameling van de homogene vergelijking \(A\vx=\mathbf{0}\). In formulevorm:

\[ \ker(A) = \{\vx\in\RR^n\mid A\vx=\mathbf{0}\}. \]

Definitie 6.3 (Beeld (kolomruimte) van een matrix)

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A\) is het beeld of de kolomruimte van \(A\) (notatie: \(\im(A)\) of \(\im A\)) het opspansel van de kolommen van \(A\). In formulevorm: als \(A=\begin{pmatrix}|&|&&|\\ \va_1&\va_2&\cdots&\va_n\\|&|&&|\end{pmatrix}\), dan

\[ \im A = \opsp\{\va_1,\ldots,\va_n\}. \]

Merk op dat de kern van een \(m\times n\)-matrix een lineaire deelruimte van \(\RR^n\) is, terwijl het beeld van zo’n matrix een lineaire deelruimte van \(\RR^m\) is.

De volgende definitie is ook nuttig, maar niet wordt in de praktijk minder vaak gebruikt dan de vorige twee.

Definitie 6.4 (Rijruimte van een matrix)

Gegeven een \(m\times n\)-matrix \(A\) is de rijruimte van \(A\) het opspansel van de rijen van \(A\).

De rijruimte is (net als de kern) een lineaire deelruimte van \(\RR^n\).

Opmerking 6.2

We hebben eerder gezien dat \(A\vx\) een lineaire combinatie van kolommen van \(A\) is. De volgende uitspraken zijn dus equivalent:

  • \(A\vx=\vb\) is oplosbaar;

  • \(\vb\) is een lineaire combinatie van kolommen van \(A\);

  • \(\vb\) ligt in de kolomruimte van \(A\).

Inhoud