Het gaat erom dat je met de behandelde theorie en technieken op een creatieve manier kunt werken en de ideeën erachter begrijpt. Feitenkennis is natuurlijk onontbeerlijk, maar er wordt niet gevraagd naar technische details of naar het reproduceren van bewijzen. Wat betreft "bewijzen": er kan wel een eenvoudiger theoretische opgave voorkomen waarin zelf iets bewezen moet worden.
De "Terzijdes" in het dictaat, die bedoeld zijn om de stof in een breder verband te plaatsen, behoren niet tot de tentamenstof.
Bij een aantal opgaven in Appendix B wordt soms de theorie wat verder uitgewerkt: als deze opgave niet op de werkgroep behandeld is, dan behoort dit extra stukje theorie niet tot de tentamenstof.
Op de werkgroep is verder nog een aantal MATLAB-oefeningen behandeld. Deze zijn niet op deze pagina opgenomen: kennis van MATLAB behoort niet tot de vereisten voor het tentamen.
Meer in detail:
1. Inleiding:
Plaats en rol van de numerieke wiskunde. Criteria voor numerieke methoden. De verschillende foutbronnen. De rol van foutschattingen. Floating point representatie en de schatting voor de relatieve nauwkeurigheid hiervan. Conditiegetallen en verschillende manieren om hetzelfde te berekenen. Waarom je moet oppassen bij verschillen van vrijwel gelijke getallen.
2. Rode draad en vooruitblik:
Niet.
3. Polynomiale approximatie:
De begrippen interpolatie en extrapolatie. Lagrange-polynomen. Interpolatieformule van Lagrange. Interpolatiemethode van Newton. Foutschatting in Stelling 3.4.1 en Gevolg 3.4.4 (niet die in Stelling 3.4.6). Mogelijk pathologisch gedrag bij verhogen van de graad en behouden van het interval. Niet: paragraaf 3.5 en 3.6.
4. Numerieke integratie en extrapolatie:
De begrippen kwadratuurregel en precisie. Het begrip enkelvoudige kwadratuurregel. Definitie van de middelpuntsregel en trapeziumregel (niet de Simpson-regel, ook niet de precieze uitdrukkingen voor de foutschattingen). Het begrip samengestelde kwadratuurregel. Definitie van de samengestelde middelpuntsregel en samengestelde trapeziumregel (niet de precieze uitdrukkingen voor de foutschattingen). De asymptotiek voor de samengestelde trapeziumregel in Stelling 4.5.6, voor oneindig vaak continu differentieerbare functies (Euler-Maclaurin niet). Het algemene idee achter extrapolatie naar h=0 (zoals in voorbeeld 4.6.4) en de relevantie hiervan voor numerieke integratie. Het kunnen opstellen en berekenen van een Romberg-schema. Kolommen hierin convergeren sneller naarmate ze meer naar rechts staan (niet de precieze gladheidseisen); de Romberg-rij is de diagonaalrij (convergeert i.h.a. zeer snel). Reductie van meerdimensionale problemen naar de eendimensionale situatie.
5. Lineaire stelsels:
De begrippen directe methoden en iteratieve methoden. Berekenen van een LU-ontbinding en de voorwaarden voor de existentie hiervan (Stelling 5.1.8). Oplossen van een stelsel m.b.v. een LU-ontbinding; waarom dit voor herhaalde stelsels beter is dan steeds vegen. Pivoting. Stelling 5.3.2 en het berekenen van een dergelijke Cholesky-decompositie. Bandstructuur en skyline; Lemma 5.3.8 en Gevolg 5.3.9. Double sweep method.
Het idee achter iteratieve methoden na keuze van een splitsing A=N-P. Stelling 5.4.4 (maar niet de foutschattingen). De methode van Jacobi. Strikt diagonaal dominante matrices en de regulariteit daarvan. Stelling 5.4.9 over de methode van Jacobi (maar niet de onderdelen 1 en 2). De methode van Gauss-Seidel. Stelling 5.4.12 over de methode van Gauss-Seidel. Waarom iteratieve methoden niet principieel slechter zijn dan directe methoden en soms zelfs beter.
6. Eindige elementen methode:
Niet.
Bijlage A. Functionaalanalytisch kader:
De begrippen genormeerde lineaire ruimte en de bijbehorende metrische ruimte. Euclidische norm, somnorm en supremumnorm op Rn en Cn. Supremumnorm op C[a,b]. Begrijpen waarom genormeerde lineaire ruimte het natuurlijke kader vormen voor convergentievragen over numerieke methoden. Begrensde lineaire afbeeldingen en de operatornorm. Equivalentie van normen en Propositie A.2.6. Stelling A.3.1, Gevolg A.3.2 en A.3.3. De begrippen spectrum en spectraalstraal. Propositie A.3.7 en Stelling A.3.8. Gevolg A.3.11. Stelling A.3.12 en het navolgende commentaar. Niet: paragraaf A4 en A5.
Bijlage B. Opgaven:
De op de werkgroep behandelde opgaven behoren tot de tentamenstof. Het gaat hierbij om:
| 1. Nulpunten van reële functies | 1 t/m 10, 14 | |
| 2. Fouten en hun doorwerking | 1 t/m 8 | |
| 3. Polynomiale approximatie | 1 t/m 10 | |
| 4. Numerieke integratie en extrapolatie | 1 t/m 13 | |
| 5. Lineaire stelsels | 1 t/m 13 | |
| 6. Eindige elementen methode | Niet |
Let op: in B.1 wordt de theorie van de bisectiemethode en van de methode van Newton-Raphson ontwikkeld. De definitie en de convergentie-eigenschappen hiervan behoren eveneens tot de tentamenstof (maar niet de precieze intervallen en schattingen in Stelling B.1.11). Dit geldt evenzeer voor de basisideeeën m.b.t. contracties (Opgave B.1.4) en de begrippen a priori schatting en a posteriori schatting.
Hieronder volgt een aantal links naar tentamens over het college in een oudere opzet, zoals vroeger gegeven door Dhr. van de Griend. Per tentamen is aangegeven welke (onderdelen van) opgaven er ook bij de huidige opzet van het college relevant zijn.
| Juni 1998 | 1, 2a | |
| Augustus 1998 | 2, 4ab | |
| Juni 1999 | 3cde, 5ab | |
| Augustus 1999 | 1, 3, 5ab(geen demping)cd | |
| Mei 2000 | 2a, 3a(vervang Neville door welke methode dan ook)b, 5 | |
| Augustus 2000 | 1a, 3ab(geen demping)cdef | |
| Mei 2001 | 1ab, 3a(vervang Neville door welke methode dan ook)bc | |
| Augustus 2001 | 2, 4 |
Deze oude tentamens bevatten geen materiaal over lineaire stelsels zoals dat in Hoofdstuk 5 van het dictaat behandeld wordt. Wie de betreffende opgaven uit Appendix B in het dictaat kan oplossen, mag het tentamen wat die onderwerpen betreft met vertrouwen tegemoet zien.