Appendix A Filters, convergentie en de stelling van Tichonov
In deze appendix geven we een introductie tot het begrip filter en de hierop gebaseerde theorie van convergentie in algemene topologische ruimten. Vervolgens geven we een compact bewijs van de stelling van Tichonov. Een alternatieve aanpak is het begrip net; hiervoor verwijzen we naar het boek van Runde. Tot slot bewijzen we dat de stelling van Tichonov equivalent is met het keuzeaxioma.
Definitie A.1.
Een filter op een verzameling \(X\) is een collectie \(\cF\) van deelverzamelingen van \(X\) met de volgende eigenschappen:
\(X\in\cF\text{;}\)
voor alle deelverzamelingen \(F\subseteq G\subseteq X\) met \(F\in\cF\) geldt \(G\in\cF\text{;}\)
voor alle \(F,G\in\cF\) geldt \(F\cap G\in\cF\text{.}\)
Voorbeeld A.2.
Voor elke verzameling \(X\) zijn \(\{X\}\) en de machtsverzameling \(\cP(X)\) filters op \(X\text{,}\) en voor elk filter \(\cF\) op \(X\) geldt
Voorbeeld A.3.
Zij \(X\) een verzameling, en zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(X\text{.}\) We definiëren
Dan is \(\cF\) een filter op \(X\text{.}\)
Voorbeeld A.4.
Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(x\in X\text{.}\) De collectie
is een filter op \(X\text{.}\)
Definitie A.5.
Een ultrafilter of maximaal filter op een verzameling \(X\) is een filter \(\cF\) op \(X\) met \(\cF\ne\cP(X)\) zodanig dat voor elk filter \(\cF'\) op \(X\) met \(\cF\subseteq\cF'\subseteq\cP(X)\) geldt \(\cF'=\cF\) of \(\cF'=\cP(X)\text{.}\)
Voorbeeld A.6.
Voor alle \(x\in X\) is het filter \(\cF_x = \{F\subseteq X\mid x\in F\}\) een ultrafilter op \(X\text{.}\)
Lemma A.7.
Zij \(\cF\) een filter op een verzameling \(X\text{.}\) Dan is \(\cF\) een ultrafilter dan en slechts dan als \(\emptyset\notin\cF\) en voor alle \(F\subseteq X\) geldt \(F\in\cF\) of \(X\setminus F\in\cF\text{.}\)
Bewijs.
Neem aan dat \(\emptyset\notin\cF\) en voor alle \(F\subseteq X\) geldt \(F\in\cF\) of \(X\setminus F\in\cF\text{.}\) Dan geldt \(\cF\ne\cP(X)\text{.}\) Zij \(\cF'\) een filter dat strikt groter is dan \(\cF\text{.}\) Dan is er een \(F\in\cF'\setminus\cF\text{,}\) en deze voldoet aan \(X\setminus F\in\cF\subset\cF'\text{.}\) Er volgt \(\emptyset=F\cap(X\setminus F)\in\cF'\text{,}\) dus \(\cF'=\cP(X)\text{.}\) We concluderen dat \(\cF\) een ultrafilter is.
Neem omgekeerd aan dat \(\cF\) een ultrafilter is. Dan geldt \(\emptyset\notin\cF\text{,}\) anders zou \(\cF\) gelijk zijn aan \(\cP(X)\text{.}\) Zij \(F\subseteq X\text{,}\) en zij \(\cF_F\) de collectie van alle deelverzamelingen \(H\subseteq X\) waarvoor er een \(G\in\cF\) bestaat met \(F\cap G\subseteq H\text{.}\) De volgende beweringen zijn nu niet moeilijk te bewijzen:
\(\cF_F\) is een filter;
er geldt \(\cF\subseteq\cF_F\text{;}\)
er geldt \(F\in\cF_F\text{.}\)
Stel nu dat \(X\setminus F\) niet in \(\cF\) zit. Dan volgt \(\cF_F\ne\cP(X)\text{,}\) en omdat \(\cF\) een ultrafilter is, is \(\cF_F\) gelijk aan \(\cF\text{.}\) In het bijzonder geldt \(F\in\cF\text{.}\)
Lemma A.8.
Zij \(X\) een verzameling, en zij \(\cF\) een filter op \(X\) met \(\cF\ne\cP(X)\text{.}\) Dan bestaat er een ultrafilter \(\cF'\) op \(X\) met \(\cF\subseteq\cF'\text{.}\)
Bewijs.
Dit is een gevolg van het lemma van Zorn, dat op zijn beurt equivalent is met het keuzeaxioma. We verwijzen naar paragraaf 15 van het dictaat Algebra II voor een inleiding en meer toepassingen van het lemma van Zorn.
De collectie \(\Omega_\cF\) van filters \(\cF'\supseteq\cF\) met \(\emptyset\notin\cF'\) is een niet-lege partieel geordende verzameling onder inclusie. Elke keten (totaal geordende deelverzameling) in \(\Omega_\cF\) heeft een bovengrens, namelijk de vereniging van de keten. Wegens het lemma van Zorn bevat \(\Omega_\cF\) een maximaal element \(\cF'\text{.}\) Zo'n \(\cF'\) is per constructie een ultrafilter dat \(\cF\) bevat.
We gaan filters nu gebruiken om een definitie van convergentie in topologische ruimten te geven.
Definitie A.9.
Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(\cF\) een filter op \(X\text{.}\) Een limiet van \(\cF\) in \((X,\T)\) is een punt \(x\in X\) zodanig dat elke omgeving van \(x\) in \((X,\T)\) een element van \(\cF\) is. Als zo'n \(x\) bestaat, zeggen we dat \(\cF\) convergeert (naar \(x\)).
Voorbeeld A.10.
Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(X\text{,}\) en zij \(\cF\) het filter uit voorbeeld A.3. Dan convergeert \(\cF\) dan en slechts dan als de rij \((x_n)_{n\ge0}\) convergeert.
Definitie A.11.
Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(\cF\) een filter op \(X\text{.}\) Een ophopingspunt van \(\cF\) in \((X,\T)\) is een punt \(x\in X\) zodanig dat elke omgeving van \(x\) in \((X,\T)\) niet-lege doorsnede heeft met elk element van \(\cF\text{.}\)
Lemma A.12.
Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, zij \(\cF\) een filter op \(X\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\)
Als \(\cF\) niet gelijk is aan \(\cP(X)\) en \(x\) een limiet van \(\cF\) is, dan is \(x\) een ophopingspunt van \(\cF\text{.}\)
Als \(\cF\) een ultrafilter is en \(x\) een ophopingspunt van \(\cF\) is, dan is \(x\) een limiet van \(\cF\text{.}\)
Bewijs.
Zij \(N\) een omgeving van \(x\) en \(F\in\cF\text{.}\) Omdat \(x\) een limiet van \(\cF\) is, geldt ook \(N\in\cF\text{,}\) dus \(N\cap F\in\cF\text{,}\) en omdat \(\emptyset\notin\cF\) volgt \(N\cap F\ne\emptyset\text{.}\)
Zij \(N\) een omgeving van \(x\text{.}\) Omdat \(N\) niet-lege doorsnede heeft met elk element van \(\cF\text{,}\) geldt \(X\setminus N\notin\cF\text{.}\) Wegens lemma A.7 en de aanname dat \(\cF\) een ultrafilter is, volgt \(N\in\cF\text{.}\)
Stelling A.13.
Voor een topologische ruimte \((X,\T)\) zijn de volgende uitspraken equivalent:
elk ultrafilter op \(X\) convergeert;
elk filter op \(X\) ongelijk aan \(\cP(X)\) heeft een ophopingspunt;
\(X\) heeft de eindige-doorsnijdingseigenschap;
\(X\) is compact.
Bewijs.
- (1)\(\;\Longrightarrow\;\)(2)
Neem aan dat elk ultrafilter op \(X\) convergeert, en zij \(\cF\) een filter op \(X\) met \(\cF\ne\cP(X)\text{.}\) Wegens lemma A.8 is \(\cF\) bevat in een ultrafilter \(\cF'\text{.}\) Per aanname heeft \(\cF'\) een limiet \(x\text{.}\) Uit lemma A.12 volgt dat \(x\) een ophopingspunt van \(\cF'\) is, en dus ook van \(\cF\text{.}\)
- (2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3)
-
Neem aan dat elk filter op \(X\) ongelijk aan \(\cP(X)\) een ophopingspunt heeft. Zij \(\cG\) een collectie gesloten deelverzamelingen van \(X\) zodanig dat elke eindige deelcollectie van \(\cG\) niet-lege doorsnede heeft. Dan is de collectie
\begin{equation*} \cF = \{F\subseteq X\mid F \text{ bevat een eindige doorsnede van elementen van }\cG\} \end{equation*}een filter op \(X\) met \(\emptyset\notin\cF\text{.}\) Per aanname heeft \(\cF\) een ophopingspunt \(x\text{.}\) Voor alle \(G\in\cG\) geldt \(x\in G\text{,}\) anders zou \(X\setminus G\) een omgeving van \(x\) zijn die lege doorsnede had met \(G\in\cF\text{.}\) We concluderen dat \(\bigcap_{G\in\cG}G\) niet leeg is.
- (3)\(\;\Longrightarrow\;\)(4)
Dit hebben we gezien in propositie 9.15.
- (4)\(\;\Longrightarrow\;\)(1)
Neem aan dat \((X,\T)\) compact is, en zij \(\cF\) een ultrafilter op \(X\text{.}\) Stel dat \(\cF\) niet convergeert. Dan heeft elk punt \(x\in X\) een open omgeving die niet in \(\cF\) ligt. Zij \(\cU\) de collectie van alle open verzamelingen van \((X,\T)\) die niet in \(\cF\) liggen. Dan is \(\cU\) een open overdekking van \(X\) en heeft dus een eindige deeloverdekking \(\cU'\text{.}\) Wegens lemma A.7 bevat \(\cF\) de verzamelingen \(X\setminus U\) met \(U\in\cU'\text{,}\) dus ook de doorsnede van deze verzamelingen. Omdat \(\cU'\) een overdekking van \(X\) is, is deze doorsnede echter leeg, een tegenspraak. We concluderen dat \(\cF\) convergeert.
Lemma A.14.
Zij \((X_i)_{i\in I}\) een geïndexeerde collectie topologische ruimten, zij \(X=\prod_{i\in I}\) de productruimte, en zij \(p_i\colon X\to X_i\) voor elke \(i\in I\) de projectie op de \(i\)-de coördinaat. Zij \(\cF\) een ultrafilter op \(X\text{.}\)
Voor elke \(i\in I\) is
\begin{equation*} \cF_i = \{F\subseteq X_i\mid p_i^{-1}F\in\cF\}. \end{equation*}een ultrafilter op \(X_i\text{.}\)Zij \(x=(x_i)_{i\in I}\in X\text{.}\) Dan is \(x\) een limiet van \(\cF\) dan en slechts dan als \(x_i\) een limiet van \(\cF_i\) is voor alle \(i\in I\text{.}\)
Bewijs.
Dit volgt uit lemma A.7.
-
Stel dat \(\cF\) naar \(x\) convergeert. Zij \(i\in I\text{,}\) en zij \(N\) een omgeving van \(x_i\) in \(X_i\text{.}\) Dan is \(p_i^{-1}N\) een omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\) Per aanname geldt \(p_i^{-1}N\in\cF\text{,}\) dus \(N\in\cF_i\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert.
Stel nu dat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert voor alle \(i\in I\text{.}\) Bekijk eerst een \(i\in I\) en een open omgeving \(U\) van \(x_i\) in \(X_i\text{.}\) Omdat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert, geldt \(U\in\cF_i\text{,}\) en dus \(p_i^{-1}U\in\cF\text{.}\) Door eindige doorsneden te nemen, zien we dat \(\cF\) elke open omgeving van \(x\) in \(X\) bevat, en hiermee ook elke omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\) We concluderen dat \(\cF\) naar \(x\) convergeert.
Stelling A.15. (Tichonov).
Elk product van compacte topologische ruimten is compact.
Bewijs.
Zij \((X_i)_{i\in I}\) een geïndexeerde collectie van compacte topologische ruimten, zij \(X=\prod_{i\in I}X_i\) de productruimte. Wegens stelling A.13 convergeren alle ultrafilters op de ruimten \(X_i\) en volstaat het om te bewijzen dat elk ultrafilter op \(X\) convergeert.
Zij \(\cF\) een ultrafilter op \(X\text{.}\) We bekijken de ultrafilters \(\cF_i\) op de \(X_i\) zoals in lemma A.14. Per aanname convergeren deze \(\cF_i\text{.}\) Wegens het keuzeaxioma bestaat er een punt \(x=(x_i)_{i\in I}\in X\) zodanig dat \(x_i\) een limiet van \(\cF_i\) is voor elke \(i\in I\text{.}\) Uit lemma A.14 volgt nu dat \(x\) een limiet van \(\cF\) is.
Stelling A.16.
De stelling van Tichonov is equivalent met het keuzeaxioma (in het axiomastelstel van Zermelo–Fraenkel).
Bewijs.
We hebben hierboven een bewijs gegeven van de stelling van Tichonov. We gaan nu bewijzen dat de stelling van Tichonov het keuzeaxioma impliceert.
Zij \((X_i)_{i\in I}\) een willekeurige geïndexeerde collectie niet-lege verzamelingen, en zij \(X=\prod_{i\in I}X_i\) de productverzameling. We moeten bewijzen dat \(X\) niet leeg is.
Voor elke \(i\in I\) definiëren we de topologische ruimte \(Y_i=X_i\sqcup\{\infty\}\text{,}\) waarbij \(X_i\) en \(\{\infty\}\) beide de triviale topologie hebben en \(Y_i\) de topologie van de disjuncte vereniging heeft. Dan heeft elke \(Y_i\) slechts 4 open deelverzamelingen en is dus compact. Zij \(Y\) de productruimte \(\prod_{i\in I} Y_i\text{.}\) Voor elke \(i\in I\) definiëren we een gesloten deelverzameling \(F_i = p_i^{-1} X_i\subseteq Y\text{,}\) waarbij \(p_i\colon Y\to Y_i\) de projectieafbeelding is en we \(X_i\) zien als deelruimte van \(Y_i\text{.}\)
Wegens de stelling van Tichonov is \(Y\) compact. In het bijzonder heeft \(Y\) de eindige-doorsnijdingseigenschap. Voor alle eindige deelverzamelingen \(J\subseteq I\) is de doorsnede \(\bigcap_{j\in J} F_j\) niet leeg: we kunnen namelijk een element \(y=(y_i)_{i\in I}\) in deze doorsnede construeren door voor elke \(j\in J\) een \(y_j\in X_j\) te kiezen en \(y_i=\infty\) te nemen voor \(i\in I\setminus J\text{.}\) Uit de eindige-doorsnijdingseigenschap volgt dat de doorsnede \(\bigcap_{i\in I} F_i\) niet leeg is. Tot slot merken we op dat deze doorsnede precies gelijk is aan \(X\text{.}\)