Spring

Paragraaf 5 Genormeerde vectorruimten

Vooral in de analyse vormen vectorruimten een belangrijke bron van metrische ruimten. Een metriek op een vectorruimte \(V\) wordt typisch geconstrueerd vanuit een norm op \(V\text{.}\)

Definitie 5.1.

Zij \(V\) een reële vectorruimte. Een norm op \(V\) is een functie

\begin{equation*} \|\blank\|\colon V\to\R \end{equation*}

met de volgende eigenschappen:

  1. voor alle \(v\in V\) geldt \(\|v\|\ge0\text{,}\) met gelijkheid dan en slechts dan als \(v=0\text{;}\)

  2. voor alle \(v\in V\) en \(c\in\R\) geldt \(\|cv\|=|c|\|v\|\text{;}\)

  3. voor alle \(v,w\in V\) geldt \(\|v+w\|\le\|v\|+\|w\|\text{.}\)

Een vectorruimte \(V\) voorzien van een norm heet een genormeerde vectorruimte.

Voorbeeld 5.2.

Laten we een aantal normen op \(V=\R^n\) bekijken. We noteren elementen van \(\R^n\) als \(x=(x_1,\ldots,x_n)\text{.}\) Het bekendste voorbeeld is de euclidische norm

\begin{equation*} \|x\|_2=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}. \end{equation*}

Andere belangrijke voorbeelden zijn de \(1\)-norm

\begin{equation*} \|x\|_1=|x_1|+\cdots+|x_n| \end{equation*}

en de maximumnorm

\begin{equation*} \|x\|_\infty=\max\{|x_1|,\ldots,|x_n|\}. \end{equation*}

De bovenstaande definitie is moeiteloos te uit te breiden tot complexe vectorruimten. Hetzelfde geldt voor de overeenkomstige voorbeelden van normen op \(\C^n\text{.}\) De enige aanpassing is dat er in de formule voor de euclidische norm nu absoluutstrepen nodig zijn:

\begin{equation*} \|x\|_2=\sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}. \end{equation*}

Uit eigenschap (1) in de definitie van de norm volgt dat \(d\) positief-definiet is. De symmetrie-eigenschap \(d(x,y)=d(y,x)\) volgt uit de berekening

\begin{equation*} \|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|{-1}|\|y-x\|=\|y-x\|, \end{equation*}

waarbij we eigenschap (2) gebruikt hebben. Tot slot volgt de driehoeksongelijkheid uit de berekening

\begin{equation*} \|x-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\le\|x-y\|+\|y-z\|, \end{equation*}

waarbij we eigenschap (3) gebruikt hebben.

Voorbeeld 5.4.

De euclidische metriek op \(\R^n\) kan op de bovenstaande manier geconstrueerd worden uit de euclidische norm. De Manhattanmetriek op \(\R^2\) kan geconstrueerd worden uit de 1-norm.

Voor sommige doeleinden is niet zozeer de norm op een vectorruimte zelf van belang, maar alleen de collectie open verzamelingen voor de metriek gedefinieerd door de norm. Hiervoor introduceren we de volgende definitie.

Definitie 5.5.

Zij \(V\) een \(\R\)-vectorruimte. Twee normen \(\|\blank\|\) en \(\|\blank\|'\) op \(V\) heten equivalent, notatie \(\|\blank\|'\sim\|\blank\|\text{,}\) als er reële getallen \(C,D>0\) bestaan zodanig dat voor alle \(x\in V\) geldt

\begin{equation*} C\|x\|\le\|x\|'\le D\|x\|. \end{equation*}

De bovenstaande definitie geeft een equivalentierelatie op de verzameling van alle normen op \(V\text{;}\) zie opgave 5.4. Twee equivalente normen op \(V\) geven aanleiding tot dezelfde noties van open deelverzamelingen van \(V\text{;}\) zie opgave 5.5.

We kiezen een \(\R\)-basis \((b_1,\ldots,b_n)\) voor \(V\) en definiëren een functie

\begin{equation*} \begin{aligned} \|\blank\|_1\colon V&\longrightarrow\R\\ \sum_{i=1}^n c_i b_i&\longmapsto\sum_{i=1}^n |c_i|. \end{aligned} \end{equation*}

Het is eenvoudig na te gaan dat \(\|\blank\|_1\) een norm op \(V\) is (als we \(V\) identificeren met \(\R^n\) via de gekozen basis, correspondeert \(\|\blank\|_1\) met de eerder gedefinieerde 1-norm op \(\R^n\)). Omdat \(\sim\) een equivalentierelatie is, volstaat het te bewijzen dat voor elke norm \(\|\blank\|\) op \(V\) geldt \(\|\blank\|\sim\|\blank\|_1\text{.}\) Hiervoor gebruiken we het feit dat \(\|\blank\|\) continu is met betrekking tot (de metriek op \(V\) gedefinieerd door) \(\|\blank\|_1\text{;}\) zie opgave 5.8 voor het bewijs van dit feit. Nu is

\begin{equation*} S=\{x\in V\mid \|x\|_1=1\} \end{equation*}

een gesloten en begrensde deelverzameling van \(V\) met betrekking tot de norm \(\|\blank\|_1\text{.}\) Hieruit volgt dat elke continue functie \(S\to\R\) een maximum en minimum aanneemt; dit zullen we later in een algemenere vorm bewijzen in stelling 9.16. In het bijzonder neemt \(\|\blank\|\) op \(S\) een minimum aan, zeg \(C\text{,}\) en een maximum, zeg \(D\text{.}\) Nu volgen voor alle \(x\in V\) de ongelijkheden

\begin{equation*} C\|x\|_1\le \|x\|\le D\|x\|_1, \end{equation*}

dus \(\|\blank\|\) is equivalent met \(\|\blank\|_1\text{.}\)

In toepassingen in de analyse is het vaak nuttig om limieten te kunnen nemen in genormeerde vectorruimten; denk aan de limiet van een rij functies op \(\R\text{.}\) Hiervoor is de volgende definitie van belang.

Definitie 5.7.

Een Banachruimte is een genormeerde \(\R\)-vectorruimte \((V,\|\blank\|)\) die volledig is met betrekking tot de metriek \(d\) gedefinieerd door \(d(x,y)=\|x-y\|\text{.}\)

Voorbeeld 5.8.

Elke eindigdimensionale genormeerde \(\R\)-vectorruimte is een Banachruimte. (Zie opgave 5.9 voor het bewijs.)

Voorbeeld 5.9.

Zij \(V\) de ruimte van continue functies \(f\colon[0,1]\to\R\) voorzien van de norm \(\|f\|=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|\text{.}\) Dan is \((V,\|\blank\|)\) een Banachruimte. (Zie opgave 5.7 voor het bewijs.)

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(S\) een niet-lege verzameling, zij \(E\) een reële vectorruimte voorzien van een norm \(\|\blank\|\text{,}\) en zij \(\B(S,E)\) de verzameling van begrensde functies \(S\to E\text{.}\) Voor \(f\in\B(S,E)\) definiëren we

\begin{equation*} \|f\|_\infty = \sup_{x\in S} \|f(x)\|. \end{equation*}

Laat zien dat \(\|\blank\|_\infty\) een norm op \(\B(S,E)\) is. Wat is het verband met opgave 2.3?

2.

Bekijk op \(V=\R^2\) de euclidische norm

\begin{equation*} \begin{aligned} \|\blank\|_{\rm E}\colon V&\longrightarrow\R\\ (x_1,x_2)&\longmapsto\sqrt{x_1^2+x_2^2} \end{aligned} \end{equation*}

en de Manhattannorm

\begin{equation*} \begin{aligned} \|\blank\|_{\rm M}\colon V&\longrightarrow\R\\ (x_1,x_2)&\longmapsto|x_1|+|x_2|. \end{aligned} \end{equation*}

We schrijven \(d_{\rm E}\) en \(d_{\rm M}\) voor de door deze normen gedefinieerde metrieken op \(V\text{,}\) en voor \(x\in V\) en \(\epsilon>0\) definiëren we

\begin{equation*} B_\epsilon^{\rm E}(x) = \{ y\in V\mid d_{\rm E}(x,y)\lt\epsilon \} \end{equation*}

en

\begin{equation*} B_\epsilon^{\rm M}(x) = \{ y\in V\mid d_{\rm M}(x,y)\lt\epsilon \}. \end{equation*}
  1. Laat zien dat voor alle \(x\in V\) geldt

    \begin{equation*} \|x\|_{\rm E}\le \|x\|_{\rm M}\le \sqrt{2}\|x\|_{\rm E}. \end{equation*}

  2. Zij \(x\in V\) en zij \(\epsilon>0\text{.}\) Bewijs dat er een \(\delta>0\) bestaat waarvoor geldt \(B_\delta^{\rm E}(x)\subseteq B_\epsilon^{\rm M}(x)\text{.}\)

  3. Bewijs omgekeerd dat er voor alle \(x\in V\) en \(\epsilon>0\) een \(\delta>0\) bestaat waarvoor geldt \(B_\delta^{\rm M}(x)\subseteq B_\epsilon^{\rm E}(x)\text{.}\)

  4. Leid hieruit af dat een deelverzameling \(Y\subseteq V\) open is in \((V,d_{\rm E})\) dan en slechts dan als \(Y\) open is in \((V,d_{\rm M})\text{.}\)

3.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een genormeerde \(\R\)-vectorruimte. Laat zien dat de normafbeelding \(\|\blank\|\colon V\to\R\) continu is.

4.

Zij \(V\) een \(\R\)-vectorruimte. Bewijs dat de relatie \(\sim\) op de verzameling van alle normen op \(V\) een equivalentierelatie is.

5.

Zij \(V\) een \(\R\)-vectorruimte, zijn \(\|\blank\|\text{,}\) \(\|\blank\|'\) twee normen op \(V\text{,}\) en zijn \(d\text{,}\) \(d'\) de hierdoor gedefinieerde metrieken. Bewijs dat de volgende twee uitspraken equivalent zijn:

  1. er geldt \(\|\blank\|\sim\|\blank\|'\text{;}\)

  2. voor elke deelverzameling \(U\subseteq V\) geldt: \(U\) is open in \((V,d)\) dan en slechts dan als \(U\) open is in \((V,d')\text{.}\)

6.

Zijn \((E,\|\blank\|_E)\) en \((F,\|\blank\|)_F)\) genormeerde \(\R\)-vectorruimten, en zij \(T\colon E\to F\) een \(\R\)-lineaire afbeelding. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:

  1. \(T\) is continu;

  2. \(T\) is continu in \(0\text{;}\)

  3. er bestaat een reëel getal \(C\) zodanig dat voor alle \(x\in E\) geldt \(\|T(x)\|_F\le C\|x\|_E\text{.}\)

7.
  1. Zij \(V\) de ruimte van continue functies \(f\colon[0,1]\to\R\) voorzien van de norm \(\|f\|=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|\text{.}\) Laat zien dat \((V,\|\blank\|)\) een Banachruimte is. (Aanwijzing: elke continue functie \([0,1]\to\R\) is begrensd. TODO: zonder bewijs aannemen)

  2. Zij \(V\) de vectorruimte van alle rijen \((x_n)_{n\ge0}\) in \(\R\) zodanig dat er een \(N\ge0\) bestaat met \(x_n=0\) voor alle \(n\ge N\text{.}\) We voorzien \(V\) van de norm

    \begin{equation*} \|(x_n)_{n\ge0}\| = \Biggl(\sum_{n\ge0}x_n^2\Biggr)^{1/2}. \end{equation*}
    Laat zien dat \(V\) geen Banachruimte is.

8.

Bewijs (in de context van het bewijs van stelling 5.6) de bewering dat de functie \(\|\blank\|\colon V\to\R\) continu is met betrekking tot de metriek op \(V\) gedefinieerd door \(\|\blank\|_1\) en de euclidische metriek op \(\R\text{.}\)

9.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een eindigdimensionale genormeerde \(\R\)-vectorruimte.

  1. Laat zien dat elke lineaire afbeelding \(V\to\R\) continu is (met betrekking tot de metriek op \(V\) gedefinieerd door \(\|\blank\|\) en de euclidische metriek op \(\R\)).

  2. Laat zien dat \((V,\|\blank\|)\) een Banachruimte is.

(Aanwijzing: gebruik stelling 5.6.)

10.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een genormeerde \(\R\)-vectorruimte. Zij \(i\colon V\to V'\) de completering van \(V\) met betrekking tot de door \(\|\blank\|\) gedefinieerde metriek.

  1. Laat zien dat \(V'\) een natuurlijke \(\R\)-vectorruimtestructuur heeft.

  2. Laat zien dat er een unieke norm \(\|\blank\|'\) op \(V'\) bestaat zodanig dat voor alle \(v\in V\) geldt \(\|i(v)\|'=\|v\|\text{.}\)

  3. Laat zien dat \(V'\) een Banachruimte is.