Constructies van topologische ruimten

Paragraaf 8 Constructies van topologische ruimten

We hebben al gezien dat het nemen van deelruimten een manier is om “nieuwe” topologische ruimten te construeren. In deze paragraaf beschrijven we drie andere constructies: disjuncte verenigingen, quotiënten en producten van topologische ruimten.

Definitie 8.1.

Zijn \(X\) en \(Y\) twee verzamelingen. De disjuncte vereniging van \(X\) en \(Y\) is de verzameling

\begin{equation*} X\sqcup Y = \{(0,x)\mid x\in X\}\cup\{(1,y)\mid y\in Y\}. \end{equation*}

We kunnen \(X\) als deelverzameling van \(X\sqcup Y\) opvatten via de injectieve afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} X&\to X\sqcup Y\\ x&\mapsto(0,x), \end{aligned} \end{equation*}

en net zo voor \(Y\text{.}\) De disjuncte vereniging verschilt van een “gewone” vereniging doordat \(X\) en \(Y\) per definitie lege doorsnede hebben als deelverzamelingen van \(X\sqcup Y\text{.}\)

Definitie 8.2.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) twee topologische ruimten. De topologie van de disjuncte vereniging is de collectie deelverzamelingen van \(X\sqcup Y\) gedefinieerd door

\begin{equation*} \T_{X\sqcup Y} = \{U\sqcup V\subseteq X\sqcup Y\mid U\in\T_X,V\in\T_Y\}. \end{equation*}

Het is niet moeilijk na te gaan dat \(\T_{X\sqcup Y}\) inderdaad een topologie op \(X\sqcup Y\) is, dat \(X\) en \(Y\) open deelverzamelingen van \(X\sqcup Y\) zijn en dat de deelruimtetopologie van \(X\) (respectievelijk \(Y\)) als deelruimte van \(X\sqcup Y\) precies de oorspronkelijke topologie \(\T_X\) (respectievelijk \(\T_Y\)) is.

Voorbeeld 8.3.

Bekijk de deelruimten \(X,Y\subseteq\R^2\) gedefinieerd door \(X=\{(x,0)\mid x\in\R\}\) en \(Y=\{(0,y)\mid y\in\R\}\text{.}\) In de “gewone” vereniging \(X\cup Y\) hebben \(X\) en \(Y\) doorsnede \(\{(0,0)\}\text{.}\) In de disjuncte vereniging zijn \((0,0)\in X\) en \((0,0)\in Y\) daarentegen twee verschillende punten; zie figuur 8.4.

Figuur 8.4. Vereniging (links) en disjuncte vereniging (rechts) van de \(x\)- en \(y\)-as in \(\R^2\text{.}\)

Als \(X\) een verzameling is en \(\sim\) een equivalentierelatie op \(X\text{,}\) noteren we de equivalentieklasse van een element \(x\in X\) met \([x]\text{,}\) en de verzameling equivalentieklassen met \(X/{\sim}\text{.}\) Er bestaat een kanonieke afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} q\colon X&\to X/{\sim}\\ x&\mapsto[x]. \end{aligned} \end{equation*}

Per definitie is \(q\) invariant voor de equivalentierelatie \(\sim\text{,}\) d.w.z. voor alle \(x,y\in X\) geldt de implicatie

\begin{equation*} x\sim y\;\Longrightarrow\;q(x)=q(y). \end{equation*}

Deze heeft de volgende universele eigenschap: als \(Z\) een verzameling is en \(f\colon X\to Z\) is een functie die invariant is voor \(\sim\text{,}\) d.w.z. die voldoet aan

\begin{equation*} x\sim y\;\Longrightarrow\;f(x)=f(y), \end{equation*}

dan bestaat er een unieke functie \(g\colon X/{\sim}\to Z\) die voldoet aan \(g\circ q=f\text{,}\) namelijk de functie die gegeven wordt door

\begin{equation*} g([x]) = f(x)\quad\text{voor alle }x\in X; \end{equation*}

merk op dat \(g\) goed gedefinieerd is wegens de aanname dat \(f\) invariant is voor \(\sim\text{.}\)

Stelling 8.5.

Zij \((X,\T_X)\) een topologische ruimte. Zij \(\sim\) een equivalentierelatie op de verzameling \(X\text{,}\) zij \(Q=X/{\sim}\) de quotiëntverzameling, en zij \(q\colon X\to Q\) de quotiëntafbeelding.

Zij \(\T_Q\) de collectie van deelverzamelingen van \(Q\) gedefinieerd door
\begin{equation*} \T_Q = \{ U\subseteq Q\mid q^{-1}U\text{ is open in }X \}. \end{equation*}
Dan is \(\T_Q\) een topologie op \(Q\text{.}\)
De afbeelding \(q\) definieert een continue afbeelding \((X,\T_X)\to(Q,\T_Q)\text{.}\)
We voorzien \(Q\) van de topologie \(\T_Q\) uit (a). Zij \(Z\) een topologische ruimte, en zij \(f\colon X\to Z\) een continue afbeelding zodanig dat voor alle \(x,x'\in X\) geldt \(x\sim x'\Rightarrow f(x)=f(x')\text{.}\) Dan bestaat er een unieke continue afbeelding \(g\colon Q\to Z\) waarvoor geldt \(f=g\circ q\text{.}\)

Bewijs.

Omdat \(q^{-1}\emptyset=\emptyset\) en \(q^{-1}Q=X\) open zijn in \(X\text{,}\) geldt \(\emptyset,Q\in\T_Q\text{.}\) Voor een willekeurige collectie \(\cU\) van elementen van \(\T_Q\) is de deelverzameling
\begin{equation*} q^{-1}\bigcup_{U\in\cU}U = \bigcup_{U\in\cU} q^{-1}U \end{equation*}
van \(X\) open, dus geldt \(\bigcup_{U\in\cU}U\in\T_Q\text{;}\) dit laat zien dat willekeurige verenigingen van elementen van \(\T_Q\) weer in \(\T_Q\) liggen. Een soortgelijk argument laat zien dat eindige doorsneden van elementen van \(\T_Q\) weer in \(\T_Q\) liggen.
De continuïteit van \(q\) volgt uit de constructie van \(\T_Q\) en de definitie van continuïteit.
We merken als hierboven op dat de gezochte afbeelding \(g\) noodzakelijk gegeven wordt door \(g([x])=f(x)\text{;}\) we moeten laten zien dat deze \(g\) continu is. Voor elke open deelverzameling \(U\subseteq Z\) is de deelverzameling
\begin{equation*} q^{-1}(g^{-1}U) = (g\circ q)^{-1} U = f^{-1}U \end{equation*}
van \(X\) open wegens de continuïteit van \(f\text{;}\) de definitie van \(\T_Q\) impliceert nu \(g^{-1}U\in\T_Q\text{,}\) hetgeen we moesten bewijzen.

Definitie 8.6.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(\sim\) een equivalentierelatie op \(X\text{,}\) en zij \(Q=X/{\sim}\) de quotiëntverzameling. De topologie \(\T_Q\) uit stelling 8.5 heet de quotiënttopologie op \(Q\text{,}\) en de topologische ruimte \((Q,\T_Q)\) heet het quotiënt van de ruimte \(X\) naar de equivalentierelatie \(\sim\text{.}\)

Stelling 8.5(c) laat zien dat wanneer we \(Q=X/{\sim}\) voorzien van de quotiënttopologie, de bovengenoemde universele eigenschap van quotiëntverzamelingen betekenis blijft houden in de context van continue afbeeldingen. De topologie \(\T_Q\) is te karakteriseren als de fijnste topologie op \(Q\) waarvoor de afbeelding \(q\colon X\to Q\) continu is.

Voorbeeld 8.7.

Zij \(I\) het eenheidsinterval \([0,1]\text{,}\) en zij \(\sim\) de equivalentierelatie op \(I\) waarvoor geldt \(x\sim y\) dan en slechts dan als geldt \(x=y\) of \(\{x,y\}=\{0,1\}\text{.}\) Door het quotiënt te nemen, plakken we de uiteinden \(0\) en \(1\) aan elkaar; intuïtief levert dit een cirkel op. Dit is precies te maken door na te gaan dat de continue afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} I&\longrightarrow\R^2\\ t&\longmapsto(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \end{aligned} \end{equation*}

een homeomorfisme induceert van \(I/{\sim}\) naar \(S^1=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\text{.}\) Zie hiervoor opgave 8.1.

Voorbeeld 8.8.

Zij \(R\) de rechthoek \([0,L]\times[0,1]\) in \(\R^2\) voor een \(L>0\text{.}\) We definiëren een equivalentierelatie \(\sim\) op \(R\) door voor te schrijven dat twee punten \((x,y),(x',y')\in R\) equivalent zijn dan en slechts dan als ze ofwel gelijk zijn, ofwel er een \(t\in[0,1]\) bestaat waarvoor geldt

\begin{equation*} \{(x,y),(x',y')\} = \{(0,t),(L,1-t)\}. \end{equation*}

De quotiëntruimte \(R/{\sim}\) staat bekend als de Möbiusband.

Figuur 8.9. Constructie van de Möbiusband.

Voorbeeld 8.10.

Als gelijktijdige toepassing van disjuncte verenigingen en quotiënten kunnen we twee topologische ruimten “aan elkaar plakken”. Hiertoe nemen we aan dat de volgende data gegeven zijn:

twee topologische ruimten \(X_1\) en \(X_2\text{;}\)
topologische deelruimten \(U_1\subseteq X_1\) respectievelijk \(U_2\subseteq X_2\text{;}\)
een homeomorfisme \(\phi\colon U_1\isom U_2\text{.}\)

We nemen \(X=X_1\sqcup X_2\) met de topologie van de disjuncte vereniging, en we beschouwen \(X_1\) en \(X_2\) als deelruimten van \(X\text{.}\) We definiëren een equivalentierelatie \(\sim\) op \(X\) door voor te schrijven dat twee punten \(x,x'\in X\) equivalent zijn dan en slechts dan als ze ofwel gelijk zijn, ofwel er een \(x_1\in U_1\) bestaat waarvoor geldt \(\{x,x'\} = \{x_1,\phi(x_1)\}\text{.}\) De oorspronkelijke ruimten \(X_1\) en \(X_2\) zijn op te vatten als deelruimten van de quotiëntruimte \(X/{\sim}\text{,}\) en de doorsnede van deze deelruimten is homeomorf met zowel \(U_1\) als \(U_2\text{.}\)

Figuur 8.11. Twee ruimten \(X_1\) en \(X_2\) met homeomorfe deelruimten (boven) en het resultaat van plakken langs deze deelruimten (onder)

Een ander type constructie waarmee we nieuwe ruimten kunnen maken, is het nemen van producten. We kunnen op het product van twee metrische ruimten \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) een “productmetriek” definiëren (opgave 3.4). Net zo kunnen we op het product van twee topologische ruimten \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) een producttopologie definiëren. Dit is de grofste topologie op \(X\times Y\) zodanig dat de projectieafbeeldingen \(X\times Y\to X\) en \(X\times Y\to Y\) continu zijn.

Definitie 8.12.

De producttopologie op \(X\times Y\) is de topologie \(\T\) zodanig dat de verzameling

\begin{equation*} \cS = \{U\times Y\mid U\subseteq X\text{ open}\} \cup \{X\times V\mid V\subseteq Y\text{ open}\} \end{equation*}

een subbasis voor \(\T\) is.

Stelling 8.13.

Zijn \(X\) en \(Y\) twee topologische ruimten, en zijn \(p\colon X\times Y\to X\) en \(q\colon X\times Y\to Y\) de projectieafbeeldingen. Dan bestaat er voor elke topologische ruimte \(Z\) en elk tweetal continue afbeeldingen \(g\colon Z\to X\) en \(h\colon Z\to Y\) een unieke continue afbeelding \(f\colon Z\to X\times Y\) die voldoet aan \(p\circ f=g\) en \(q\circ f=h\text{.}\)

Bewijs.

Op het niveau van verzamelingen is de afbeelding \(f\colon Z\to X\times Y\) gedefinieerd door \(f(z)=(g(z),h(z))\) de unieke afbeelding met de gewenste eigenschap. We moeten dus nagaan dat \(f\) continu is; zie hiervoor opgave 8.8.

Voorbeeld 8.14.

De producttopologie op \(\R\times\R\) is gelijk aan de euclidische topologie op \(\R^2\text{;}\) zie opgave 8.5.

Voorbeeld 8.15.

Het product \(S^1\times S^1\) van twee exemplaren van de cirkel staat bekend als de torus. Deze kan ook verkregen worden door de randen van een vierkant op een geschikte manier aan elkaar te plakken; zie opgave 8.9.

De definitie van de producttopologie is zonder problemen te generaliseren naar producten van willekeurig veel topologische ruimten.

Definitie 8.16.

Zij \(I\) een verzameling, zij voor elke \(i\in I\) een topologische ruimte \(X_i\) gegeven, zij \(X\) de productverzameling \(\prod_{i\in I} X_i\text{,}\) en zij \(p_i\colon X\to X_i\) de \(i\)-de projectieafbeelding. De producttopologie op \(X\) is de topologie \(\T\) zodanig dat de verzameling

\begin{equation*} \cS = \{p_i^{-1}U\mid i\in I,U\subseteq X_i\text{ open}\} \end{equation*}

een subbasis voor \(\T\) is.

Evenals in het eindige geval volgt uit de definitie dat \(\T\) de grofste topologie op \(X\) is waarvoor alle projectieafbeeldingen \(p_i\colon X\to X_i\) met \(i\in I\) continu zijn.

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(\sim\) de equivalentierelatie op het eenheidsinterval \([0,1]\) waarvoor geldt \(x\sim y\) dan en slechts dan als geldt \(x=y\) of \(\{x,y\}=\{0,1\}\text{.}\) Bewijs dat de continue afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} [0,1]&\longrightarrow\R^2\\ t&\longmapsto(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)) \end{aligned} \end{equation*}

een homeomorfisme van de quotiëntruimte \([0,1]/{\sim}\) naar de cirkel \(S^1=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\) induceert.

2.

Zij \(\sim\) de equivalentierelatie op \((0,\infty)\) waarvoor geldt \(x\sim y\) dan en slechts dan als er een \(n\in\Z\) bestaat met \(y=2^nx\text{.}\) Geef een homeomorfisme van de quotiëntruimte \((0,\infty)/{\sim}\) naar de cirkel \(S^1\text{.}\)

3.

In deze en volgende opgaven is een product \(X\times Y\) van topologische ruimten steeds voorzien van de producttopologie \(\T_{X\times Y}\text{.}\)

Zijn \(X\) en \(Y\) discrete topologische ruimten. Laat zien dat \(X\times Y\) discreet is.

4.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) topologische ruimten, zij \(\cB_X\) een basis voor \(\T_X\text{,}\) en zij \(\cB_Y\) een basis voor \(\T_Y\text{.}\) Laat zien dat \(\{U\times V\mid U\in\cB_X,V\in\cB_Y\}\) een basis voor de producttopologie \(\T_{X\times Y}\) is.

5.

Zij \(X\) een verzameling, zijn \(\T_1\) en \(\T_2\) topologieën op \(X\text{,}\) zij \(\cB_1\) een basis voor \(\T_1\text{,}\) en zij \(\cB_2\) een basis voor \(\T_2\text{.}\)

Stel dat er voor alle \(x\in X\) en alle \(U_1\in\cB_1\) met \(x\in U_1\) een \(U_2\in\cB_2\) bestaat met \(x\in U_2\) en \(U_2\subseteq U_1\text{.}\) Bewijs dat \(\T_2\) fijner dan (of gelijk aan) \(\T_1\) is, d.w.z. \(\T_1\subseteq\T_2\text{.}\)
Bewijs dat de producttopologie op \(\R\times\R\) gelijk is aan de euclidische topologie op \(\R^2\text{.}\)

6.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Laat zien dat \(X\) een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als de diagonaal

\begin{equation*} \Delta_X=\{(x,x)\mid x\in X\} \end{equation*}

een gesloten deelverzameling van \(X\times X\) is.

7.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Laat zien dat \(X\) een Hausdorffruimte is dan en slechts dan als \(X\times X\) een Hausdorffruimte is.

8.

Zijn \(X\text{,}\) \(Y\text{,}\) \(Z\) drie topologische ruimten, zijn \(p\colon X\times Y\to X\) en \(q\colon X\times Y\to Y\) de projectieafbeeldingen en zij \(f\colon Z\to X\times Y\) een afbeelding. Laat zien dat \(f\) continu is dan en slechts dan als de samenstellingen

\begin{equation*} p\circ f\colon Z\to X,\quad q\circ f\colon Z\to Y \end{equation*}

continu zijn.

9.

Zij \(V\) het eenheidsvierkant \([0,1]\times[0,1]\text{,}\) en zij \(\sim\) de equivalentierelatie op \(V\) waarvoor geldt \((x,y)\sim(x',y')\) dan en slechts dan als één van de volgende uitspraken geldt:

\((x,y)=(x',y')\text{;}\)
\(\{(x,y),(x',y')\}=\{(0,0),(1,1)\}\text{;}\)
\(\{(x,y),(x',y')\}=\{(0,1),(1,0)\}\text{;}\)
er bestaat een \(t\in[0,1]\) waarvoor geldt \(\{(x,y),(x',y')\}=\{(0,t),(1,t)\}\text{;}\)
er bestaat een \(t\in[0,1]\) waarvoor geldt \(\{(x,y),(x',y')\}=\{(t,0),(t,1)\}\text{.}\)

Construeer een homeomorfisme van de quotiëntruimte \(V/{\sim}\) naar de torus \(S^1\times S^1\text{.}\)

10.

Zij \(X=\{0,1\}\) met de discrete topologie, en zij \(Y=\prod_{n=0}^\infty X\) (de verzameling van rijen in \(\{0,1\}\)) voorzien van de producttopologie.

Voor alle \(n\ge0\) en \(s_0,s_1,\ldots,s_n\in\{0,1\}\) definiëren we
\begin{equation*} B(s_0,\ldots,s_n)=\{(x_i)_{i\ge0}\in Y\mid x_0=s_0, \ldots, x_n=s_n\}\subseteq Y. \end{equation*}
Laat zien dat deze verzamelingen \(B(s_0,\ldots,s_n)\) een basis voor de topologie op \(Y\) vormen.
Laat zien dat \(Y\) niet discreet is (zonder gebruik te maken van de stelling van Tichonov; zie ook opgave 9.13).