Topologie

1. Als \(\gamma,\gamma'\in P(X;x_0)\) hetzelfde element van \(\pi_1(X,x_0)\) representeren, dan zijn \(\gamma\) en \(\gamma'\) weghomotoop. Wegens gevolg 13.9 zijn dan ook \(\tilde\gamma_y\) en \(\tilde\gamma'_y\) weghomotoop; in het bijzonder geldt \(\tilde\gamma_y(1)=\tilde\gamma'_y(1)\text{.}\) Dit laat zien dat de afbeelding \(\star\) goed gedefinieerd is.

2. We moeten twee uitspraken bewijzen: (1) als \(\gamma_0\) de constante lus \(s\mapsto x_0\) is, dan geldt voor alle \(y\in Y_0\) de identiteit

   \begin{equation*} y\star[\gamma_0] = y, \end{equation*}
   en (2) voor alle \(\gamma,\gamma'\in P(X;x_0)\) en \(y\in Y_0\) geldt de identiteit
   \begin{equation*} (y\star[\gamma])\star[\gamma'] = y\star([\gamma]\cdot[\gamma']). \end{equation*}
   De eerste uitspraak volgt uit het feit dat de lift van \(\gamma_0\) met beginpunt \(y\) de constante weg \(s\mapsto y\) is. We moeten nog de tweede uitspraak bewijzen. Zij \(\tilde\gamma_y\) de lift van \(\gamma\) met beginpunt \(y\text{,}\) en zij \(y'=\tilde\gamma_y(1)\text{.}\) Zij \(\tilde\gamma'_{y'}\) de lift van \(\gamma'\) met beginpunt \(y'\text{,}\) en zij \(y''=\tilde\gamma'_{y'}(1)\text{.}\) Dan geldt per definitie
   \begin{equation*} \begin{aligned} y'&=y\star[\gamma],\\ y''&=y'\star[\gamma']\\ &=(y\star[\gamma])\star[\gamma']. \end{aligned} \end{equation*}
   Anderzijds is het eindpunt van \(\tilde\gamma_y\) gelijk aan het beginpunt van \(\tilde\gamma'_{y'}\text{,}\) namelijk \(y'\text{,}\) en is de aaneenschakeling \(\tilde\gamma_y\odot\tilde\gamma'_{y'}\) de unieke lift van \(\gamma\odot\gamma'\) met beginpunt \(y\text{.}\) Hieruit volgt
   \begin{equation*} \begin{aligned} y''&=(\tilde\gamma_y\odot\tilde\gamma'_{y'})(1)\\ &=\widetilde{(\gamma\odot\gamma')}_y(1)\\ &=y\star[\gamma\odot\gamma']\\ &=y\star([\gamma]\cdot[\gamma']), \end{aligned} \end{equation*}
   hetgeen te bewijzen was.

3. Omdat \(p\) surjectief is, bestaat er een punt \(y\in Y_0\text{.}\) Gegeven een tweede punt \(y'\in Y_0\) bestaat er een weg \(\delta\) van \(y\) naar \(y'\) in \(Y\text{.}\) Nu is de weg \(\gamma=p\circ\delta\) per definitie een lus waarvan de lift \(\tilde\gamma_y\) met beginpunt \(y\) gelijk is aan \(\delta\text{.}\) Er geldt dus \(y\star[\gamma]=\delta(1)=y'\text{.}\) Dit laat zien dat de baan van \(y\) gelijk is aan \(Y_0\text{,}\) dus dat \(\pi_1(X,x_0)\) transitief op \(Y_0\) werkt.

4. Zij \(y\in Y_0\text{.}\) We moeten laten zien dat de stabilisator van \(y\) in \(\pi_1(X,x_0)\) triviaal is. Zij \([\gamma]\) een element van deze stabilisator. Dan heeft de lift \(\tilde\gamma_y\) van \(\gamma\) met beginpunt \(y\) ook eindpunt \(y\text{,}\) dus \(\tilde\gamma_y\) is een lus in \(Y\) met basispunt \(y\text{.}\) Omdat \(Y\) enkelvoudig samenhangend is, is \(\tilde\gamma_y\) weghomotoop met de constante weg \(s\mapsto y\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\gamma\) weghomotoop is met de constante weg \(s\mapsto x_0\text{,}\) dus dat \([\gamma]\) het eenheidselement van \(\pi_1(X,x_0)\) is.

We bekijken opnieuw de overdekkingsafbeelding

Omdat \(\R\) wegsamenhangend en enkelvoudig samenhangend is, werkt de groep \(\pi_1(S^1,x_0)\) vrij en transitief op de verzameling \(Y_0=p^{-1}\{x_0\}=\Z\subseteq\R\) wegens stelling 14.1. Dit betekent dat de afbeelding

een bijectie is. We merken op dat \([\gamma^1]\in\pi_1(S^1,x_0)\) op \(Y_0=\Z\) werkt als translatie over \(1\text{,}\) d.w.z. er geldt \(m\star[\gamma^1]=m+1\) en hiermee \(m\star[\gamma^1]^n=m+n\) voor alle \(m,n\in\Z\text{.}\) Dit impliceert dat voor alle \(n\in\Z\) geldt

Dus \(\omega\) is de inverse van \(\sigma\) en hiermee ook een bijectie. We berekenen

wegens de injectiviteit van \(\sigma\) volgt \([\gamma^n]=[\gamma^1]^n\text{.}\)