Topologie

Dit is af te leiden uit het feit dat de open deelverzamelingen van \(S\) precies de verzamelingen van de vorm \(U\cap S\) zijn met \(U\) een open deelverzameling van \(X\text{.}\) De details worden als opgave aan de lezer overgelaten.

1. Zij \(\cU\) een overdekking van \(Y\) door open verzamelingen van \(X\text{.}\) Omdat \(Y\) gesloten is in \(X\text{,}\) is \(\cU\cup\{X\setminus Y\}\) een open overdekking van \(X\text{.}\) Wegens de compactheid van \(X\) heeft deze open overdekking een eindige deeloverdekking \(\cU'\text{.}\) De doorsnede \(\cU\cap\cU'\) is nu een eindige deelverzameling van \(\cU\) die \(Y\) overdekt.

2. We bewijzen dat \(X\setminus Y\) open is. Zij \(x\in X\setminus Y\text{.}\) Omdat \(X\) een Hausdorffruimte is, bestaan er voor alle \(y\in Y\) open verzamelingen \(U_y,V_y\subseteq X\) waarvoor geldt \(x\in U_y\text{,}\) \(y\in V_y\) en \(U_y\cap V_y = \emptyset\text{.}\) De verzameling \(\cV=\{V_y\mid y\in Y\}\) is een overdekking van \(Y\) met open deelverzamelingen van \(X\text{.}\) Wegens de compactheid van \(Y\) is er een eindige deeloverdekking \(\cV'\subseteq\cV\text{;}\) deze heeft de vorm \(\{V_y\mid y\in S\}\) voor een eindige deelverzameling \(S\subseteq Y\text{.}\) Bekijk nu de open verzameling \(U=\bigcap_{y\in S} U_y\text{.}\) Deze \(U\) heeft lege doorsnede met \(V_y\) voor elke \(y\in S\text{,}\) en dus geldt \(U\cap Y=\emptyset\text{.}\) Hieruit volgt dat \(U\) een open omgeving van \(x\) is die binnen \(X\setminus Y\) ligt.

We mogen aannemen dat geldt \(C=X\) en \(f(C)=Y\text{.}\) Zij \(\cV\) een open overdekking van \(Y\text{,}\) en zij \(\cU=\{f^{-1}V\mid V\in\cV\}\text{.}\) Dan is \(\cU\) een open overdekking van \(X\text{.}\) Wegens de compactheid van \(X\) is er een eindige deeloverdekking \(\cU'\subseteq\cU\text{.}\) Deze is van de vorm \(\cU'=\{f^{-1}V\mid V\in\cV'\}\) voor een eindige deelverzameling \(\cV'\subseteq\cV\text{.}\) Als \(x\in X\) bevat is in \(f^{-1}V\text{,}\) dan is \(f(x)\) bevat in \(f(f^{-1}V)\subseteq V\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\cV'\) een overdekking van \(Y\) is.

Zij \(F\subseteq X\) een gesloten deelverzameling. Wegens propositie 9.10(a) is \(F\) compact. Uit propositie 9.11 volgt dat \(f(F)\) compact is. Tot slot volgt uit propositie 9.10(b) dat \(f(F)\) gesloten is in \(Y\text{.}\)

Wegens propositie 7.10 volstaat het om te bewijzen dat \(f\) gesloten is. Dit hebben we echter gezien in gevolg 9.12.

Dit volgt uit de definitie door het nemen van complementen.

Omdat \(X\) compact is, is \(f(X)\) compact wegens propositie 9.11. Uit propositie 9.10(b) volgt nu dat \(f(X)\) gesloten is; gezien het eerder opgemerkte feit dat compacte metrische ruimten begrensd zijn, is \(f(X)\) begrensd. Omdat \(X\) niet-leeg is, geldt hetzelfde voor \(f(X)\text{;}\) dit impliceert dat \(f(X)\) een minimaal en een maximaal element heeft.

We bewijzen de implicaties \((1)\;\Longrightarrow\;(2)\;\Longrightarrow\; (3)\;\Longrightarrow\;(1)\text{.}\)

(1)\(\;\Longrightarrow\;\)(2)

Neem aan dat \(X\) compact is. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(X\text{.}\) We willen een convergente deelrij \((x_{n_k})_{k\ge0}\) construeren. Voor alle \(n\ge0\) definiëren we \(F_n\) als de afsluiting van de verzameling \(\{x_m\mid m\ge n\}\text{.}\) Dan is de doorsnede van eindig veel \(F_n\) niet-leeg. Wegens de eindige-doorsnijdingseigenschap is de doorsnede van alle \(F_n\) ook niet-leeg. We kiezen een punt \(x\in\bigcap_{n\ge0}F_n\text{.}\) Zij \(n_0=0\text{.}\) Voor alle \(k\ge1\) is er wegens het feit dat \(x\) in \(F_{n_{k-1}+1}\) ligt een \(n_k>n_{k-1}\) waarvoor geldt \(d(x_{n_k},x)\lt 2^{-k}\text{.}\) De rij \((x_{n_k})_{k\ge0}\) convergeert nu naar \(x\text{.}\)

(2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3)

Neem aan dat \(X\) rijcompact is. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij in \(X\text{.}\) Wegens de rijcompactheid heeft \((x_n)_{n\ge0}\) een convergente deelrij. Zij \(x\) de limiet van deze deelrij. Dan convergeert ook de hele rij \((x_n)_{n\ge0}\) naar \(x\text{.}\) Hieruit volgt dat \(X\) volledig is.

Stel nu dat \(X\) niet totaal begrensd is. Dan is er een \(\epsilon>0\) zodanig dat \(X\) niet overdekt kan worden door eindig veel ballen van straal \(\epsilon\text{.}\) We willen een rij construeren zonder convergente deelrij. Kies \(x_0\in X\text{.}\) Dan is \(B_\epsilon(x_0)\) niet gelijk aan \(X\text{,}\) dus er bestaat \(x_1\in X\setminus B_\epsilon(x_0)\text{.}\) Nu is ook \(B_\epsilon(x_0)\cup B_\epsilon(x_1)\) niet gelijk aan \(X\text{,}\) dus er bestaat \(x_2\in X\setminus(B_\epsilon(x_0)\cup B_\epsilon(x_1))\text{.}\) Inductief construeren we zo een rij \((x_n)_{n\ge0}\) die voldoet aan \(x_{n+1}\notin B_\epsilon(x_0)\cup\ldots\cup B_\epsilon(x_n)\) voor alle \(n\ge0\text{.}\) Hieruit volgt dat \((x_n)_{n\ge0}\) geen deelrij heeft die een Cauchyrij is (twee verschillende punten liggen altijd minstens \(\epsilon\) van elkaar vandaan), tegenspraak. Dus \(X\) is totaal begrensd.

(3)\(\;\Longrightarrow\;\)(1)

Neem aan dat \(X\) volledig en totaal begrensd is. Zij \(\cU\) een open overdekking van \(X\text{.}\) Stel dat \(\cU\) geen eindige deeloverdekking heeft. Er bestaat daarentegen wel een eindige overdekking van \(X\) met open ballen van straal \(1\text{.}\) Omdat \(\cU\) geen eindige deeloverdekking heeft, is er dus een \(x_0\in X\) zodanig dat \(B_1(x_0)\) niet overdekt kan worden door eindig veel open verzamelingen in \(\cU\text{.}\) Wel kan \(X\text{,}\) en dus ook \(B_1(x_0)\text{,}\) overdekt worden met eindig veel open ballen van straal \(1/2\) in \(X\text{;}\) er is dus een \(x_1\in X\) zodanig dat \(B_1(x_0)\cap B_{1/2}(x_1)\) niet overdekt kan worden door eindig veel open verzamelingen in \(\cU\text{.}\) Zo verdergaand construeren we een rij \((x_n)_{n\ge0}\) in \(X\) zodanig dat de open verzameling \(V_n = B_1(x_0)\cap\cdots\cap B_{2^{-n}}(x_n)\) in \(X\) niet overdekt kan worden door eindig veel open verzamelingen in \(\cU\text{.}\) In het bijzonder geldt \(d(x_m,x_n)\lt 2^{-m}+2^{-n}\) voor alle \(m,n\ge 0\text{,}\) dus \((x_n)_{n\ge0}\) is een Cauchyrij. Wegens de volledigheid van \(X\) heeft deze rij een limiet \(x\in X\text{,}\) en deze voldoet aan \(d(x_n,x)\le 2^{-n}\) voor alle \(n\ge0\text{.}\) Kies \(U\in\cU\) met \(x\in U\text{.}\) Dan bestaat er een \(\epsilon>0\) met \(B_\epsilon(x)\subseteq U\text{.}\) Voor \(n\ge0\) met \(2^{1-n}\le\epsilon\) geldt nu \(V_n\subseteq B_{2^{-n}}(x_n)\subseteq B_\epsilon(x)\subseteq U\text{.}\) In het bijzonder is \(\{U\}\) een eindige overdekking van \(V_n\) door open verzamelingen in \(\cU\text{,}\) een tegenspraak.

Zij \(X_\infty\) de verzameling \(X\sqcup\{\infty\}\text{.}\) We definiëren een topologie \(\T_\infty\) op \(X_\infty\) door

De collectie van complementen van verzamelingen in \(\T_\infty\) is

We gaan na dat \(\T_\infty\) een topologie is door te bewijzen dat \(\cF_\infty\) de eigenschappen van de collectie van gesloten verzamelingen heeft. Ten eerste is duidelijk dat geldt \(\emptyset,X_\infty\in\cF_\infty\text{.}\) Laten \(F,F'\in\cF_\infty\) gegeven zijn. Als \(\infty\) in \(F\cup F'\) ligt, dan is \(F\cup F'\) van de vorm \(F''\cup\{\infty\}\) met \(F''\) gesloten (compacte deelverzamelingen van \(X\) zijn gesloten omdat \(X\) een Hausdorffruimte is). Anders is \(F\cup F'\) een vereniging van twee compacte verzamelingen en is dus weer compact.

Zij \(\cG\) een willekeurige deelverzameling van \(\cF_\infty\text{.}\) Als voor alle \(F\in\cG\) geldt \(\infty\in F\text{,}\) dan is \(\bigcap_{F\in\cG} F\) van de vorm \(F\cup\{\infty\}\) met \(F\) gesloten in \(X\text{.}\) Anders bevat \(\cG\) een compacte deelverzameling \(K\) van \(X\text{,}\) en geldt

De verzameling rechts is een doorsnede van gesloten deelverzamelingen van de compacte ruimte \(K\text{,}\) is dus zelf gesloten in \(K\) en is dus een compacte deelverzameling van \(X\text{.}\)

We bewijzen dat \((X_\infty,\T_\infty)\) compact is. Zij \(\cU\) een open overdekking van \(X_\infty\text{.}\) Dan is er minstens een \(U\in\cU\) met \(\infty\in U\text{.}\) Zij \(K=X_\infty\setminus U\text{;}\) dan is \(X=U\cup K\) en het volstaat te bewijzen dat \(K\) een eindige overdekking door elementen van \(\cU\) heeft. Dit volgt echter uit het feit dat \(U\cap X\) open is in \(X\) voor elke \(U\in\T_\infty\) en \(K\) compact is.

We bewijzen dat \((X_\infty,\T_\infty)\) een Hausdorffruimte is. Zijn \(x,y\in X_\infty\) verschillend. Als \(x\) en \(y\) beide verschillend zijn van \(\infty\text{,}\) dan bestaan er disjuncte open omgevingen van \(x\) en \(y\) in \(X\) (en dus in \(X_\infty\)) omdat \(X\) een Hausdorffruimte is. We mogen dus aannemen dat \(x\in X\) en \(y=\infty\text{.}\) Omdat \(X\) lokaal compact is, bestaan er \(U\subseteq X\) open en \(K\subseteq X\) compact met \(x\in U\subseteq K\text{.}\) Verder is \(X_\infty\setminus K\) een open omgeving van \(\infty\) in \(X_\infty\text{.}\) Hiermee zijn \(U\) en \(X_\infty\setminus K\) disjuncte open omgevingen van \(x\) en \(\infty\) in \(X_\infty\text{.}\)

De natuurlijke inbedding \(\iota\colon X\to X_\infty\) is een homeomorfisme naar \(\iota(X)\) omdat \(\{U\cap X\mid U\in\T_\infty\}=\T\text{.}\)

Om te bewijzen dat \((X_\infty,\T_\infty)\) op homeomorfismen na uniek is, nemen we aan dat \((X_\infty',\T_\infty')\) een andere eenpuntscompactificatie is. Dan kunnen we een voor de hand liggende bijectie \(f\colon X_\infty'\to X_\infty\) construeren. We merken nu op dat de topologie \(\T_\infty\) “minimaal” is in de zin dat voor alle \(U\in\T_\infty\) de eis dat \((X_\infty',\T_\infty')\) een compacte Hausdorffruimte is, impliceert dat \(f^{-1}U\) open is. Dit betekent dat \(f\) een continue afbeelding van een compacte ruimte naar een Hausdorffruimte is. Wegens gevolg 9.13 is \(f\) een homeomorfisme.

Zij \(\cW\) een open overdekking van \(X\times Y\text{.}\) Laten we een deelverzameling \(Z\subseteq X\times Y\) klein noemen als \(Z\) overdekt kan worden door eindig veel verzamelingen in \(\cW\text{.}\) We moeten dus bewijzen dat \(X\times Y\) klein is. We merken eerst op dat er voor elke \((a,b)\in X\times Y\) een \(W\in\cW\) is met \((a,b)\in W\text{,}\) en dat er open verzamelingen \(U_{a,b}\subseteq X\) en \(V_{a,b}\subseteq Y\) zijn met \((a,b)\in U_{a,b}\times V_{a,b}\subseteq W\text{.}\) De verzamelingen \(U_{a,b}\times V_{a,b}\) met \((a,b)\in X\times Y\) vormen dus een open overdekking van \(X\times Y\) door kleine deelverzamelingen.

We beweren nu dat er voor elke \(a\in X\) een open omgeving \(U_a\) van \(a\) bestaat zodanig dat \(U_a\times Y\) klein is. Aangezien \(\{V_{a,b}\mid b\in Y\}\) een open overdekking van \(Y\) is en \(Y\) compact is, bestaat er een eindige deelverzameling \(T_a\subseteq Y\) waarvoor geldt \(\bigcup_{b\in T_a} V_{a,b} = Y\text{.}\) Zij \(U_a=\bigcap_{b\in T_a} U_{a,b}\text{;}\) dan geldt \(U_a\times Y\subseteq \bigcup_{b\in T_a} U_{a,b}\times V_{a,b}\text{,}\) dus \(U_a\times Y\) is klein.

De open verzamelingen \(U_a\) met \(a\in X\) overdekken \(X\text{.}\) Omdat \(X\) compact is, bestaat er een eindige deelverzameling \(S\subseteq X\) waarvoor geldt \(\bigcup_{a\in S} U_a = X\text{.}\) We merken nu op dat \(X\times Y = \bigcup_{a\in S} U_a\times Y\text{,}\) dus \(X\times Y\) is klein.