Paragraaf 3 Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten
Ook de bekende definitie van continuΓ―teit is zonder problemen te generaliseren naar metrische ruimen. Er blijkt een nuttige karakterisering van continue afbeeldingen te bestaan in termen van open verzamelingen.Definitie 3.1.
Zijn
Stelling 3.2.
Zij
is continu;voor alle
en alle is er een waarvoor geldtvoor elke convergente rij
in met limiet is de rij in convergent met limietvoor elke gesloten deelverzameling
is een gesloten deelverzameling vanvoor elke open deelverzameling
is een open deelverzameling van
Bewijs.
We bewijzen de onderstaande implicaties.
- (1)\(\iff\)(2)
Deze twee uitspraken zijn slechts herformuleringen van elkaar.
- (2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3)
Neem aan dat (2) geldt en zij \((x_n)_{n\ge0}\) een convergente rij in \(X\) met limiet \(a\text{.}\) Zij \(\epsilon>0\) willekeurig gegeven. Per aanname is er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de convergentie van \((x_n)_{n\ge0}\) is er een \(N\ge0\) zodanig dat voor alle \(n\ge N\) geldt \(x_n\in B_\delta(a)\text{.}\) Hieruit volgt \(f(x_n)\in B_\epsilon(f(a))\) voor alle \(n\ge N\text{.}\) Omdat \(\epsilon\) willekeurig was, concluderen we dat \((f(x_n))_{n\ge0}\) in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\)
- (3)\(\;\Longrightarrow\;\)(4)
Neem aan dat (3) geldt, zij \(G\subseteq Y\) gesloten, en zij \(F=f^{-1}G\text{.}\) We gaan bewijzen dat elke rij in \(F\) die in \(X\) convergeert haar limiet in \(F\) heeft; wegens gevolg 2.4 is \(F\) dan gesloten. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(F\) met limiet \(a\in X\text{.}\) Dan is \((f(x_n))_{n\ge0}\) een rij in \(G\) die in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\) Omdat \(G\) gesloten is, geldt \(f(a)\in G\) wegens gevolg 2.4. Dit is equivalent met \(a\in F\text{,}\) hetgeen we moesten bewijzen.
- (4)\(\;\Longrightarrow\;\)(5)
Dit volgt uit \(f^{-1}(Y\setminus V) = X\setminus f^{-1}V\text{.}\)
- (5)\(\;\Longrightarrow\;\)(2)
Neem aan dat (5) geldt, en laten \(a\in X\) en \(\epsilon>0\) gegeven zijn. Dan is \(B_\epsilon(f(a))\) open in \(Y\text{,}\) dus per aanname is \(f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\) open in \(X\text{.}\) Bovendien geldt \(a\in f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de definitie van open verzamelingen bestaat er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\)
Opmerking 3.3.
Voor elke afbeelding van verzamelingen
Voorbeeld 3.4.
Als
Voorbeeld 3.5.
Zij
(Dit is een generalisatie van de Manhattanmetriek op
Hieruit volgt dat voor alle
Definitie 3.6.
Zijn
Opgaven Opgaven
1.
Zijn
Bepaal voor elk van de onderstaande afbeeldingen
2.
Bewijs dat een samenstelling van twee continue afbeeldingen tussen metrische ruimten zelf ook continu is.
3.
Zij
Bewijs dat
de verzameling van alle is waarvoor geldtBewijs dat de functie
die op afbeeldt continu is.
4.
Zijn
Laat zien dat de functie
is. Wat is het verband met de Manhattanmetriek?Bewijs dat de projectieafbeeldingen
en (gedefinieerd door respectievelijk ) continu zijn.Zij
een metrische ruimte. Gegeven twee afbeeldingen en definiΓ«ren we de afbeelding continu is dan en slechts dan als en beide continu zijn.
5.
Zij
6.
Zijn
7.
Zijn
Laat zien dat de verzameling
gesloten is inZij
een dichte deelverzameling van en neem aan dat voor alle geldt Laat zien dat en gelijk zijn.
8.
Laat zien dat elke isometrie injectief is.
Bepaal alle isometrieΓ«n
9.
Zij
Geef een isometrie
Bewijs dat er geen isometrie
bestaat.
10.
Zij
Bestaat er een isometrie
Bestaat er een isometrie