Spring

Paragraaf 3 Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten

Ook de bekende definitie van continuΓ―teit is zonder problemen te generaliseren naar metrische ruimen. Er blijkt een nuttige karakterisering van continue afbeeldingen te bestaan in termen van open verzamelingen.

Definitie 3.1.

Zijn (X,dX) en (Y,dY) twee metrische ruimten. Een continue afbeelding van X naar Y is een afbeelding f:Xβ†’Y zodanig dat er voor elke a∈X en elke Ο΅>0 een Ξ΄>0 bestaat zodanig dat voor alle x∈X geldt

dX(x,a)<δ⟹dY(f(x),f(a))<ϡ.

We bewijzen de onderstaande implicaties.

(1)\(\iff\)(2)

Deze twee uitspraken zijn slechts herformuleringen van elkaar.

(2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3)

Neem aan dat (2) geldt en zij \((x_n)_{n\ge0}\) een convergente rij in \(X\) met limiet \(a\text{.}\) Zij \(\epsilon>0\) willekeurig gegeven. Per aanname is er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de convergentie van \((x_n)_{n\ge0}\) is er een \(N\ge0\) zodanig dat voor alle \(n\ge N\) geldt \(x_n\in B_\delta(a)\text{.}\) Hieruit volgt \(f(x_n)\in B_\epsilon(f(a))\) voor alle \(n\ge N\text{.}\) Omdat \(\epsilon\) willekeurig was, concluderen we dat \((f(x_n))_{n\ge0}\) in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\)

(3)\(\;\Longrightarrow\;\)(4)

Neem aan dat (3) geldt, zij \(G\subseteq Y\) gesloten, en zij \(F=f^{-1}G\text{.}\) We gaan bewijzen dat elke rij in \(F\) die in \(X\) convergeert haar limiet in \(F\) heeft; wegens gevolg 2.4 is \(F\) dan gesloten. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(F\) met limiet \(a\in X\text{.}\) Dan is \((f(x_n))_{n\ge0}\) een rij in \(G\) die in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\) Omdat \(G\) gesloten is, geldt \(f(a)\in G\) wegens gevolg 2.4. Dit is equivalent met \(a\in F\text{,}\) hetgeen we moesten bewijzen.

(4)\(\;\Longrightarrow\;\)(5)

Dit volgt uit \(f^{-1}(Y\setminus V) = X\setminus f^{-1}V\text{.}\)

(5)\(\;\Longrightarrow\;\)(2)

Neem aan dat (5) geldt, en laten \(a\in X\) en \(\epsilon>0\) gegeven zijn. Dan is \(B_\epsilon(f(a))\) open in \(Y\text{,}\) dus per aanname is \(f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\) open in \(X\text{.}\) Bovendien geldt \(a\in f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de definitie van open verzamelingen bestaat er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\)

Opmerking 3.3.

Voor elke afbeelding van verzamelingen f:Xβ†’Y en alle deelverzamelingen SβŠ†X en TβŠ†Y is SβŠ†fβˆ’1T equivalent met f(S)βŠ†T. In de eigenschap (2) hierboven is de voorwaarde BΞ΄(a)βŠ†fβˆ’1(BΟ΅(f(a))) dus equivalent met f(BΞ΄(a))βŠ†BΟ΅(f(a)). De gegeven formulering van (2) is echter meer in de geest van de eigenschappen (4) en (5).

Voorbeeld 3.4.

Als X een discrete metrische ruimte is, dan is elke deelverzameling van X open, dus elke afbeelding van X naar een metrische ruimte Y is continu.

Voorbeeld 3.5.

Zij (X,d) een metrische ruimte. We voorzien de verzameling X2=XΓ—X van de metriek

d~:X2Γ—X2⟢R((x,y),(xβ€²,yβ€²))⟼d(x,xβ€²)+d(y,yβ€²).

(Dit is een generalisatie van de Manhattanmetriek op R2.) We beweren dat d:(X2,d~)β†’R een continue afbeelding is. Zij P0=(x0,y0)∈X2, en zij Ο΅>0. Voor alle P=(x,y)∈X2 geldt

|d(P)βˆ’d(P0)|=|d(x,y)βˆ’d(x0,y0)|≀d(x,x0)+d(y,y0)=d~(P,P0).

Hieruit volgt dat voor alle P in de open bal BΟ΅(P0) in (X2,d~) het punt d(P) in de open bal BΟ΅(d(P0)) in R ligt. Dit geldt voor alle Ο΅>0, dus d is continu.

Definitie 3.6.

Zijn (X,d) en (Xβ€²,dβ€²) twee metrische ruimten. Een isometrie van (X,d) naar (Xβ€²,dβ€²) is een afbeelding f:Xβ†’Xβ€² zodanig dat voor alle x,y∈X geldt dβ€²(f(x),f(y))=d(x,y).

Uit de definities volgt direct dat elke isometrie continu is.

Opgaven Opgaven

1.

Zijn (X,dX) en (Y,dY) metrische ruimten en zij a∈X. Een afbeelding f:Xβ†’Y heet continu in a als er voor alle Ο΅>0 een Ξ΄>0 bestaat zodanig dat voor alle x∈X geldt dX(x,a)<δ⟹dY(f(x),f(a))<Ο΅. Op Rn en C beschouwen we de euclidische metriek dE, op R2 tevens de Manhattanmetriek dM, en op R tevens de Franse-spoorwegmetriek dF gedefinieerd door

dF(x,y)={0voor x=y,|x|+|y|voor xβ‰ y.

Bepaal voor elk van de onderstaande afbeeldingen f:Xβ†’Y de verzameling van punten van X waar f continu is.

  1. (Q,dE)β†’(C,dE),x↦x;

  2. (R2,dE)β†’(R2,dM),x↦x;

  3. (C,dE)β†’(C,dE),z↦{(exp⁑(z)βˆ’1)/zvoor zβ‰ 0,0voor z=0;

  4. (R,dE)β†’(R,dF),x↦x;

  5. (R,dE)β†’(R,dE),x↦{xvoor x∈Q,βˆ’xvoor xβˆ‰Q.

  6. (R,dF)β†’(R,dE),x↦{xvoor x∈Q,βˆ’xvoor xβˆ‰Q.

2.

Bewijs dat een samenstelling van twee continue afbeeldingen tussen metrische ruimten zelf ook continu is.

3.

Zij (X,d) een metrische ruimte, SβŠ†X een niet-lege deelverzameling en x∈X. De afstand van x tot S is

dist(x,S)=inf{d(x,y)∣y∈S}.
  1. Bewijs dat S¯ de verzameling van alle x∈X is waarvoor geldt dist(x,S)=0.

  2. Bewijs dat de functie X→R die x op dist(x,S) afbeeldt continu is.

4.

Zijn (X,dX) en (Y,dY) twee metrische ruimten.

  1. Laat zien dat de functie

    D:(XΓ—Y)Γ—(XΓ—Y)⟢R((x,y),(xβ€²,yβ€²))⟼dX(x,xβ€²)+dY(y,yβ€²)
    een metriek op het product XΓ—Y is. Wat is het verband met de Manhattanmetriek?

  2. Bewijs dat de projectieafbeeldingen XΓ—Yβ†’X en XΓ—Yβ†’Y (gedefinieerd door (x,y)↦x respectievelijk (x,y)↦y) continu zijn.

  3. Zij (T,dT) een metrische ruimte. Gegeven twee afbeeldingen f:T→X en g:T→Y definiëren we de afbeelding

    fΓ—g:T⟢XΓ—Yt⟼(f(t),g(t)).
    Laat zien dat fΓ—g continu is dan en slechts dan als f en g beide continu zijn.

5.

Zij N de verzameling {0,1,2,…}βˆͺ{∞}. Construeer een metriek op N met de volgende eigenschap: een rij (yn)nβ‰₯0 in een metrische ruimte Y is convergent dan en slechts dan als er een continue afbeelding f:Nβ†’Y bestaat met f(n)=yn voor alle n∈{0,1,2,…}.

6.

Zijn (X,dX) en (Y,dY) metrische ruimten, en zij f:Xβ†’Y een afbeelding. We zeggen dat f lokaal constant is als er voor elke x∈X een Ο΅>0 bestaat zodanig dat f constant is op BΟ΅(x). Stel dat (Y,dY) discreet is. Laat zien dat f continu is dan en slechts als f lokaal constant is.

7.

Zijn (X,dX) en (Y,dY) metrische ruimten, en zijn f,g:X→Y continue afbeeldingen.

  1. Laat zien dat de verzameling {x∈X∣f(x)=g(x)} gesloten is in X.

  2. Zij S een dichte deelverzameling van X, en neem aan dat voor alle x∈S geldt f(x)=g(x). Laat zien dat f en g gelijk zijn.

8.
  1. Laat zien dat elke isometrie injectief is.

  2. Bepaal alle isometrieën R→R.

9.

Zij X een verzameling van drie elementen met de metriek

d(x,y)={0voor x=y,1voor xβ‰ y.
  1. Geef een isometrie X→R2.

  2. Bewijs dat er geen isometrie X→R bestaat.

10.

Zij d de euclidische metriek op R, en zij d~ de metriek uit opgave 1.11.

  1. Bestaat er een isometrie (R,d)β†’(R,d~)?

  2. Bestaat er een isometrie (R,d~)β†’(R,d)?