Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten

Paragraaf 3 Continue afbeeldingen tussen metrische ruimten

Ook de bekende definitie van continuïteit is zonder problemen te generaliseren naar metrische ruimen. Er blijkt een nuttige karakterisering van continue afbeeldingen te bestaan in termen van open verzamelingen.

Definitie 3.1.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) twee metrische ruimten. Een continue afbeelding van \(X\) naar \(Y\) is een afbeelding \(f\colon X\to Y\) zodanig dat er voor elke \(a\in X\) en elke \(\epsilon>0\) een \(\delta>0\) bestaat zodanig dat voor alle \(x\in X\) geldt

\begin{equation*} d_X(x,a)\lt\delta\;\Longrightarrow\;d_Y(f(x),f(a))\lt\epsilon. \end{equation*}

Stelling 3.2.

Zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding tussen metrische ruimten. De volgende uitspraken zijn equivalent:

\(f\) is continu;
voor alle \(a\in X\) en alle \(\epsilon>0\) is er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{;}\)
voor elke convergente rij \((x_n)_{n\ge 0}\) in \(X\) met limiet \(a\) is de rij \((f(x_n))_{n\ge0}\) in \(Y\) convergent met limiet \(f(a)\text{;}\)
voor elke gesloten deelverzameling \(G\subseteq Y\) is \(f^{-1}G\) een gesloten deelverzameling van \(X\text{;}\)
voor elke open deelverzameling \(V\subseteq Y\) is \(f^{-1}V\) een open deelverzameling van \(X\text{.}\)

Bewijs.

We bewijzen de onderstaande implicaties.

(1)\(\iff\)(2): Deze twee uitspraken zijn slechts herformuleringen van elkaar.
(2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3): Neem aan dat (2) geldt en zij \((x_n)_{n\ge0}\) een convergente rij in \(X\) met limiet \(a\text{.}\) Zij \(\epsilon>0\) willekeurig gegeven. Per aanname is er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de convergentie van \((x_n)_{n\ge0}\) is er een \(N\ge0\) zodanig dat voor alle \(n\ge N\) geldt \(x_n\in B_\delta(a)\text{.}\) Hieruit volgt \(f(x_n)\in B_\epsilon(f(a))\) voor alle \(n\ge N\text{.}\) Omdat \(\epsilon\) willekeurig was, concluderen we dat \((f(x_n))_{n\ge0}\) in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\)
(3)\(\;\Longrightarrow\;\)(4): Neem aan dat (3) geldt, zij \(G\subseteq Y\) gesloten, en zij \(F=f^{-1}G\text{.}\) We gaan bewijzen dat elke rij in \(F\) die in \(X\) convergeert haar limiet in \(F\) heeft; wegens gevolg 2.4 is \(F\) dan gesloten. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(F\) met limiet \(a\in X\text{.}\) Dan is \((f(x_n))_{n\ge0}\) een rij in \(G\) die in \(Y\) convergeert naar \(f(a)\text{.}\) Omdat \(G\) gesloten is, geldt \(f(a)\in G\) wegens gevolg 2.4. Dit is equivalent met \(a\in F\text{,}\) hetgeen we moesten bewijzen.
(4)\(\;\Longrightarrow\;\)(5): Dit volgt uit \(f^{-1}(Y\setminus V) = X\setminus f^{-1}V\text{.}\)
(5)\(\;\Longrightarrow\;\)(2): Neem aan dat (5) geldt, en laten \(a\in X\) en \(\epsilon>0\) gegeven zijn. Dan is \(B_\epsilon(f(a))\) open in \(Y\text{,}\) dus per aanname is \(f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\) open in \(X\text{.}\) Bovendien geldt \(a\in f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\) Wegens de definitie van open verzamelingen bestaat er een \(\delta>0\) waarvoor geldt \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\text{.}\)

Opmerking 3.3.

Voor elke afbeelding van verzamelingen \(f\colon X\to Y\) en alle deelverzamelingen \(S\subseteq X\) en \(T\subseteq Y\) is \(S\subseteq f^{-1}T\) equivalent met \(f(S)\subseteq T\text{.}\) In de eigenschap (2) hierboven is de voorwaarde \(B_\delta(a)\subseteq f^{-1}(B_\epsilon(f(a)))\) dus equivalent met \(f(B_\delta(a))\subseteq B_\epsilon(f(a))\text{.}\) De gegeven formulering van (2) is echter meer in de geest van de eigenschappen (4) en (5).

Voorbeeld 3.4.

Als \(X\) een discrete metrische ruimte is, dan is elke deelverzameling van \(X\) open, dus elke afbeelding van \(X\) naar een metrische ruimte \(Y\) is continu.

Voorbeeld 3.5.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. We voorzien de verzameling \(X^2=X\times X\) van de metriek

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde d\colon X^2\times X^2&\longrightarrow\R\\ ((x,y),(x',y'))&\longmapsto d(x,x')+d(y,y'). \end{aligned} \end{equation*}

(Dit is een generalisatie van de Manhattanmetriek op \(\R^2\text{.}\)) We beweren dat \(d\colon (X^2,\tilde d)\to\R\) een continue afbeelding is. Zij \(P_0=(x_0,y_0)\in X^2\text{,}\) en zij \(\epsilon>0\text{.}\) Voor alle \(P=(x,y)\in X^2\) geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} |d(P)-d(P_0)| &= |d(x,y)-d(x_0,y_0)|\\ &\le d(x,x_0)+d(y,y_0)\\ &= \tilde d(P,P_0). \end{aligned} \end{equation*}

Hieruit volgt dat voor alle \(P\) in de open bal \(B_\epsilon(P_0)\) in \((X^2,\tilde d)\) het punt \(d(P)\) in de open bal \(B_\epsilon(d(P_0))\) in \(\R\) ligt. Dit geldt voor alle \(\epsilon>0\text{,}\) dus \(d\) is continu.

Definitie 3.6.

Zijn \((X,d)\) en \((X',d')\) twee metrische ruimten. Een isometrie van \((X,d)\) naar \((X',d')\) is een afbeelding \(f\colon X\to X'\) zodanig dat voor alle \(x,y\in X\) geldt \(d'(f(x),f(y)) = d(x,y)\text{.}\)

Uit de definities volgt direct dat elke isometrie continu is.

Opgaven Opgaven

1.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) metrische ruimten en zij \(a\in X\text{.}\) Een afbeelding \(f\colon X\to Y\) heet continu in \(a\) als er voor alle \(\epsilon>0\) een \(\delta>0\) bestaat zodanig dat voor alle \(x\in X\) geldt \(d_X(x,a)\lt\delta\;\Longrightarrow\; d_Y(f(x),f(a))\lt\epsilon\text{.}\) Op \(\R^n\) en \(\C\) beschouwen we de euclidische metriek \(d_{\rm E}\text{,}\) op \(\R^2\) tevens de Manhattanmetriek \(d_{\rm M}\text{,}\) en op \(\R\) tevens de Franse-spoorwegmetriek \(d_{\rm F}\) gedefinieerd door

\begin{equation*} d_{\rm F}(x,y)=\begin{cases} 0&\text{voor }x=y,\\ |x|+|y|&\text{voor }x\ne y. \end{cases} \end{equation*}

Bepaal voor elk van de onderstaande afbeeldingen \(f\colon X\to Y\) de verzameling van punten van \(X\) waar \(f\) continu is.

\((\Q,d_{\rm E})\to(\C,d_{\rm E}),\quad x\mapsto x\text{;}\)
\((\R^2,d_{\rm E})\to(\R^2,d_{\rm M}),\quad x\mapsto x\text{;}\)
\(\displaystyle (\C,d_{\rm E})\to(\C,d_{\rm E}),\quad z\mapsto\begin{cases} (\exp(z)-1)/z& \text{voor }z\ne 0,\\ 0& \text{voor }z=0; \end{cases}\)
\((\R,d_{\rm E})\to(\R,d_{\rm F}),\quad x\mapsto x\text{;}\)
\(\displaystyle (\R,d_{\rm E})\to(\R,d_{\rm E}),\quad x\mapsto\begin{cases} x& \text{voor }x\in\Q,\\ -x& \text{voor }x\notin\Q.\end{cases}\)
\(\displaystyle (\R,d_{\rm F})\to(\R,d_{\rm E}),\quad x\mapsto\begin{cases} x& \text{voor }x\in\Q,\\ -x& \text{voor }x\notin\Q.\end{cases}\)

2.

Bewijs dat een samenstelling van twee continue afbeeldingen tussen metrische ruimten zelf ook continu is.

3.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, \(S\subseteq X\) een niet-lege deelverzameling en \(x\in X\text{.}\) De afstand van \(x\) tot \(S\) is

\begin{equation*} \dist(x,S)=\inf\{d(x,y)\mid y\in S\}. \end{equation*}

Bewijs dat \(\bar S\) de verzameling van alle \(x\in X\) is waarvoor geldt \(\dist(x,S)=0\text{.}\)
Bewijs dat de functie \(X\to\R\) die \(x\) op \(\dist(x,S)\) afbeeldt continu is.

4.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) twee metrische ruimten.

Laat zien dat de functie
\begin{equation*} \begin{aligned} D\colon(X\times Y)\times(X\times Y)&\longrightarrow\R\\ ((x,y),(x',y'))&\longmapsto d_X(x,x')+d_Y(y,y') \end{aligned} \end{equation*}
een metriek op het product \(X\times Y\) is. Wat is het verband met de Manhattanmetriek?
Bewijs dat de projectieafbeeldingen \(X\times Y\to X\) en \(X\times Y\to Y\) (gedefinieerd door \((x,y)\mapsto x\) respectievelijk \((x,y)\mapsto y\)) continu zijn.
Zij \((T,d_T)\) een metrische ruimte. Gegeven twee afbeeldingen \(f\colon T\to X\) en \(g\colon T\to Y\) definiëren we de afbeelding
\begin{equation*} \begin{aligned} f\times g\colon T&\longrightarrow X\times Y\\ t&\longmapsto(f(t),g(t)). \end{aligned} \end{equation*}
Laat zien dat \(f\times g\) continu is dan en slechts dan als \(f\) en \(g\) beide continu zijn.

5.

Zij \(N\) de verzameling \(\{0,1,2,\ldots\}\cup\{\infty\}\text{.}\) Construeer een metriek op \(N\) met de volgende eigenschap: een rij \((y_n)_{n\ge0}\) in een metrische ruimte \(Y\) is convergent dan en slechts dan als er een continue afbeelding \(f\colon N\to Y\) bestaat met \(f(n)=y_n\) voor alle \(n\in\{0,1,2,\ldots\}\text{.}\)

6.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) metrische ruimten, en zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding. We zeggen dat \(f\) lokaal constant is als er voor elke \(x\in X\) een \(\epsilon>0\) bestaat zodanig dat \(f\) constant is op \(B_\epsilon(x)\text{.}\) Stel dat \((Y,d_Y)\) discreet is. Laat zien dat \(f\) continu is dan en slechts als \(f\) lokaal constant is.

7.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) metrische ruimten, en zijn \(f,g\colon X\to Y\) continue afbeeldingen.

Laat zien dat de verzameling \(\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}\) gesloten is in \(X\text{.}\)
Zij \(S\) een dichte deelverzameling van \(X\text{,}\) en neem aan dat voor alle \(x\in S\) geldt \(f(x)=g(x)\text{.}\) Laat zien dat \(f\) en \(g\) gelijk zijn.

8.

Laat zien dat elke isometrie injectief is.
Bepaal alle isometrieën \(\R\to\R\text{.}\)

9.

Zij \(X\) een verzameling van drie elementen met de metriek

\begin{equation*} d(x,y)=\begin{cases} 0& \text{voor }x=y,\\ 1& \text{voor }x\ne y.\end{cases} \end{equation*}

Geef een isometrie \(X\to\R^2\text{.}\)
Bewijs dat er geen isometrie \(X\to\R\) bestaat.

10.

Zij \(d\) de euclidische metriek op \(\R\text{,}\) en zij \(\tilde d\) de metriek uit opgave 1.11.

Bestaat er een isometrie \((\R,d)\to(\R,\tilde d)\text{?}\)
Bestaat er een isometrie \((\R,\tilde d)\to(\R,d)\text{?}\)