Fundamentaalgroepen, continue afbeeldingen en homotopie

Paragraaf 15 Fundamentaalgroepen, continue afbeeldingen en homotopie

We gaan nu bekijken hoe de fundamentaalgroep zich gedraagt onder continue afbeeldingen. Een belangrijke conclusie (stelling 15.3) is dat de fundamentaalgroep een “invariant is op homotopie-equivalentieklassen van topologische ruimten”. Dit generaliseert het in opgave 12.3 bewezen resultaat dat de fundamentaalgroep “invariant is onder homeomorfismen”.

Stelling 15.1.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding, zij \(x_0\in X\text{,}\) en zij \(y_0=f(x_0)\text{.}\)

Er is een unieke afbeelding
\begin{equation*} f_*\colon\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0) \end{equation*}
met de eigenschap dat voor alle \(\gamma\in P(X;x_0)\) geldt
\begin{equation*} f_*([\gamma]) = [f\circ\gamma]. \end{equation*}
De afbeelding \(f_*\) is een groepshomomorfisme.
Zij \(g\colon Y\to Z\) een tweede continue afbeelding, en zij \(z_0=g(y_0)\text{.}\) Dan geldt
\begin{equation*} g_*\circ f_*=(g\circ f)_* \end{equation*}
als groepshomomorfismen van \(\pi_1(X,x_0)\) naar \(\pi_1(Z,z_0)\text{.}\)

Bewijs.

Zie opgave 15.1.

We bekijken nu hoe de zojuist ingevoerde geïnduceerde afbeeldingen op fundamentaalgroepen zich verhouden tot homotopieën.

Propositie 15.2.

Zijn \(X\) en \(Y\) topologische ruimten, en zij \(x_0\in X\text{.}\) Zijn \(f,g\colon X\to Y\) twee continue afbeeldingen, en zij \(F\colon[0,1]\times X\to Y\) een homotopie van \(f\) naar \(g\text{.}\) Zij \(\alpha\) de weg in \(Y\) gedefinieerd door \(\alpha(t)=F(t,x_0)\text{.}\) Dan voldoet het isomorfisme

\begin{equation*} \phi_\alpha\colon\pi_1(Y,f(x_0))\isom\pi_1(Y,g(x_0)) \end{equation*}

geïnduceerd door \(\alpha\) (zie opgave 12.5 of [Runde, Proposition 5.1.23]) aan de vergelijking

\begin{equation*} \phi_\alpha\circ f_*=g_*. \end{equation*}

Bewijs.

Zij \(\gamma\in P(X;x_0)\) een lus. We schrijven

\begin{equation*} \gamma_t(s) = F(t,\gamma(s)). \end{equation*}

In het bijzonder geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_0(s) &= f(\gamma(s)),\\ \gamma_1(s) &= g(\gamma(s)). \end{aligned} \end{equation*}

We moeten bewijzen dat de wegen

\begin{equation*} \gamma_0\odot\alpha \quad\text{en}\quad \alpha\odot\gamma_1 \end{equation*}

van \(f(x_0)\) naar \(g(x_0)\) weghomotoop zijn. We definiëren een afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} H\colon[0,1]\times[0,1]&\longrightarrow Y\\ (t,s)&\longmapsto\begin{cases} \alpha(2s)& \text{voor }0\le s\le t/2,\\ \gamma_t(2s-t)& \text{voor }t/2\le s\le (t+1)/2,\\ \alpha(2s-1)& \text{voor }(t+1)/2\le s\le 1.\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Het is eenvoudig na te gaan dat \(H\) continu is. Voor alle \(s\in[0,1]\) geldt

\begin{equation*} H(0,s)=\begin{cases} \gamma_0(2s)& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \alpha(2s-1)& \text{voor }1/2\le s\le 1\end{cases} \end{equation*}

\begin{equation*} H(1,s)=\begin{cases} \alpha(2s)& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \gamma_1(2s-1)& \text{voor }1/2\le s\le 1,\end{cases} \end{equation*}

dus \(H\) is een homotopie van \(\gamma_0\odot\alpha\) naar \(\alpha\odot\gamma_1\text{.}\) Tot slot merken we op dat voor alle \(t\in[0,1]\) geldt

\begin{equation*} H(t,0) = \alpha(0) = f(x_0) \quad\text{en}\quad H(t,1) = \alpha(1) = g(x_0) \end{equation*}

dus \(H\) is een weghomotopie.

Stelling 15.3.

Zij \(f\colon X\to Y\) een homotopie-equivalentie. Zij \(x_0\in X\) en zij \(y_0=f(x_0)\text{.}\) Dan is \(f_*\colon\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,y_0)\) een isomorfisme.

Bewijs.

Zij \(g\colon Y\to X\) een continue afbeelding zodanig dat \(g\circ f\sim\id_X\) en \(f\circ g\sim\id_Y\text{.}\) We schrijven \(x_1=g(y_0)\) en \(y_1=f(x_1)\text{.}\) Zij \(F\colon[0,1]\times X\to Y\) een homotopie van \(\id_X\) naar \(g\circ f\text{,}\) en zij \(G\colon[0,1]\times Y\to X\) een homotopie van \(\id_Y\) naar \(f\circ g\text{.}\) We schrijven verder \(\alpha(t)=F(t,x_0)\) en \(\beta(t)=G(t,y_0)\text{.}\) Dan is er een commutatief diagram

De diagonale afbeelding in het linker vierkant is een isomorfisme, dus \(g_*\) is surjectief. Ook de diagonale afbeelding in het rechter vierkant is een isomorfisme, dus \(g_*\) is injectief. Hieruit volgt dat \(g_*\) een isomorfisme is, dus ook \(f_*\) is een isomorfisme.

Gevolg 15.4.

Zij \(X\) een samentrekbare topologische ruimte. Dan is \(X\) enkelvoudig samenhangend.

Bewijs.

Wegens lemma 11.11 is \(X\) homotopie-equivalent met de eenpuntsruimte. Uit stelling 15.3 volgt nu dat de fundamentaalgroep van \(X\) isomorf is met de fundamentaalgroep van de eenpuntsruimte; deze is triviaal, dus hetzelfde geldt voor de fundamentaalgroep van \(X\text{.}\)

Opmerking 15.5.

De omkering geldt niet. De eenheidsbol \(S^2\) is enkelvoudig samenhangend; zie opgave 14.2. Anderzijds kan (met behulp van meer machinerie dan we hier ontwikkelen) aangetoond worden dat \(S^2\) niet samentrekbaar is.

Voorbeeld 15.6.

We hebben in paragraaf 11 gezien dat de standaardinbedding van de cirkel \(S^1\) in \(\R^2\setminus\{0\}\) een homotopie-equivalentie is. Hieruit volgt dat de fundamentaalgroep van \(\R^2\setminus\{0\}\) (voor elke keuze van het basispunt) isomorf is met \(\Z\text{.}\)

We geven nu een variant op stelling 15.3 die we zullen gebruiken in het bewijs van het laatste resultaat uit dit dictaat, de dekpuntsstelling van Brouwer.

Definitie 15.7.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zij \(Y\) een deelruimte van \(X\text{.}\) Een retractie van \(X\) op \(Y\) is een continue afbeelding \(f\colon X\to Y\) zodanig dat \(f|_Y\) de identiteit op \(Y\) is.

Propositie 15.8.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(Y\) een deelruimte van \(X\text{,}\) en zij \(x_0\in Y\subseteq X\text{.}\) Als er een retractie van \(X\) op \(Y\) bestaat, dan is het groepshomomorfisme \(i_*\colon\pi_1(Y,x_0)\to\pi_1(X,x_0)\) geïnduceerd door de inclusieafbeelding \(i\colon Y\to X\) injectief.

Bewijs.

We kiezen een retractie \(f\colon X\to Y\) van \(X\) op \(Y\text{.}\) Per definitie geldt \(f\circ i=\id_Y\text{.}\) Dit impliceert dat \(f_*\circ i_*=(f\circ i)_*\) de identiteit op \(\pi_1(Y,x_0)\) is. In het bijzonder is \(i_*\) injectief en \(f_*\) surjectief.

Een belangrijke toepassing van propositie 15.8 heeft betrekking op continue afbeeldingen \(D^2\to D^2\text{,}\) waarbij

\begin{equation*} \begin{aligned} D^2&=\{z\in\C\mid |z|\le 1\}\\ &\cong\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\le 1\} \end{aligned} \end{equation*}

de gesloten eenheidsschijf is.

Stelling 15.9. (Dekpuntsstelling van Brouwer).

Zij \(f\colon D^2\to D^2\) een continue afbeelding. Dan bestaat er een \(z\in D^2\) waarvoor geldt \(f(z)=z\text{.}\)

Bewijs.

Stel dat \(f\) geen dekpunt heeft. We definiëren een afbeelding \(g\colon D^2\to S^1\) als volgt: voor \(z\in D^2\) is \(g(z)\) het snijpunt van de lijn door \(z\) en \(f(z)\) met \(S^1\) zodanig dat \(z\) tussen \(f(z)\) en \(g(z)\) op deze lijn ligt. Het is eenvoudig na te gaan (bijvoorbeeld door een formule voor \(g(z)\) op te schrijven) dat \(g\) continu is. Verder geldt duidelijk \(g(z)=z\) voor alle \(z\in S^1\text{,}\) dus \(g\) is een retractie. Uit propositie 15.8 volgt nu dat het groepshomomorfisme

\begin{equation*} i_*\colon \pi_1(S^1,(1,0))\longrightarrow\pi_1(D^2,(1,0)) \end{equation*}

geïnduceerd door de inclusieafbeelding \(i\colon S^1\to D^2\) injectief is. De fundamentaalgroep van \(S^1\) is echter isomorf met \(\Z\text{,}\) terwijl de fundamentaalgroep van \(D^2\) triviaal is, een tegenspraak. We concluderen dat \(f\) een dekpunt heeft.

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding van topologische ruimten, zij \(x_0\in X\text{,}\) en zij \(y_0=f(x_0)\text{.}\)

Bewijs dat er een unieke afbeelding van verzamelingen
\begin{equation*} f_*\colon\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0) \end{equation*}
bestaat zodanig dat voor alle \(\gamma\in P(X;x_0)\) geldt
\begin{equation*} f_*([\gamma]) = [f\circ\gamma]. \end{equation*}
Bewijs dat \(f_*\) een groepshomomorfisme is.
Zij \(g\colon Y\to Z\) een tweede continue afbeelding, en zij \(z_0=g(y_0)\text{.}\) Bewijs dat de groepshomomorfismen
\begin{gather*} f_*\colon\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0),\quad g_*\colon\pi_1(Y,y_0)\longrightarrow\pi_1(Z,z_0),\\ (g\circ f)_*\colon \pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Z,z_0) \end{gather*}
voldoen aan
\begin{equation*} (g\circ f)_* = g_*\circ f_*. \end{equation*}

2.

Zijn \(X\) en \(Y\) topologische ruimten, en zijn \(x_0\in X\) en \(y_0\in Y\text{.}\)

Construeer een groepsisomorfisme
\begin{equation*} \pi_1(X\times Y, (x_0,y_0)) \isom \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0). \end{equation*}
(Aanwijzing: gebruik opgave 15.1 om een groepshomomorfisme te construeren, en laat vervolgens zien dat dit een inverse heeft.)
Concludeer dat de fundamentaalgroep van de torus \(S^1\times S^1\) isomorf is met \(\Z\times\Z\text{.}\)

3.

Zij \(p\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding, zij \(y_0\in Y\) en zij \(x_0=p(y_0)\text{.}\) Bewijs dat het groepshomomorfisme \(p_*\colon\pi_1(Y,y_0)\to\pi_1(X,x_0)\) injectief is.

4.

Zij \(n\) een positief geheel getal.

Zij \(B^n=\{(x_1,\ldots, x_n)\in\R^n\mid x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\lt 1\}\) de open eenheidsbal in \(\R^n\text{.}\) Beschrijf een continue afbeelding \(B^n\to B^n\) zonder dekpunten.
Zij \(S^n=\{(x_0,\ldots, x_n)\in\R^{n+1}\mid x_0^2+x_1^2+\cdots+x_n^2=1\}\) de \(n\)-dimensionale eenheidsbol. Beschrijf een continue afbeelding \(S^n\to S^n\) zonder dekpunten.

5.

Zij \(D^1=\{x\in\R\mid x^2\le 1\}\text{.}\) Bewijs dat elke continue afbeelding \(f\colon D^1\to D^1\) een dekpunt heeft.

6.

Zij \(f\colon\R^2\to\R^2\) een continue afbeelding. Bewijs dat er \(\lambda>0\) en \(x\in\R^2\) bestaan waarvoor geldt \(f(x)=\lambda x\text{.}\)

7.

Beschouw de eenheidscirkel \(S^1\) als de deelruimte \(\{z\in\C\mid |z|=1\}\text{.}\) Bekijk voor \(n\in\Z\) de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} f_n\colon S^1&\longrightarrow S^1\\ z&\longmapsto z^n. \end{aligned} \end{equation*}

Hoe ziet het geïnduceerde groepshomomorfisme

\begin{equation*} (f_n)_*\colon\pi_1(S^1,1)\to\pi_1(S^1,1) \end{equation*}

eruit onder de identificatie van \(\pi_1(S^1,1)\) met \(\Z\text{?}\)

8.

Gegeven zijn twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\) en vier continue afbeeldingen \(f,f'\colon X\to X\) en \(g,g'\colon Y\to Y\) zodanig dat \(f\) homotoop is met \(f'\text{,}\) en \(g\) met \(g'\text{.}\) We definiëren twee afbeeldingen \(h,h'\colon X\times Y\longrightarrow X\times Y\) door \(h(x,y)=(f(x),g(y))\) en \(h'(x,y)=(f'(x),g'(y))\text{.}\) Bewijs dat \(h\) en \(h'\) continu zijn en homotoop met elkaar zijn.
Zijn \(X_1\text{,}\) \(X_2\text{,}\) \(Y_1\) en \(Y_2\) vier topologische ruimten zodanig dat \(X_1\) homotopie-equivalent is met \(X_2\text{,}\) en \(Y_1\) met \(Y_2\text{.}\) Bewijs dat \(X_1\times Y_1\) homotopie-equivalent is met \(X_2\times Y_2\text{.}\)

9.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(Y\) een deelruimte van \(X\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\) Zij \(r\colon X\to Y\) een retractie van \(X\) op \(Y\text{.}\)

Neem aan dat \(x\) in \(Y\) ligt. Bewijs dat de afbeelding \(r_*\colon\pi_1(X,x)\to\pi_1(Y,r(x))\) surjectief is.
Geldt de uitspraak in (a) ook zonder de aanname dat \(x\) in \(Y\) ligt? Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.

10.

Bekijk de deelruimten \(Y\subseteq X\subseteq\R^2\) gedefinieerd door
\begin{equation*} \begin{aligned} X&=\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\},\\ Y&=\{(x,y)\in\R^2\mid (x-1)^2+y^2=1\text{ of }(x+1)^2+y^2=1\}. \end{aligned} \end{equation*}
Laat zien dat de inclusie \(i\colon Y\to X\) een homotopie-equivalentie is.
Zijn \(p,q,r\in\R^2\) drie verschillende punten. Bewijs dat de fundamentaalgroep \(\pi_1(\R^2\setminus\{q,r\},p)\) niet abels is. (Aanwijzing: gebruik opgave 14.3.)

11.

Beschouw in \(\R^3\) de cirkel \(C\) en de lijn \(Z\) gegeven door

\begin{equation*} \begin{aligned} C&=\{(x,y,0)\mid x,y\in\R,x^2+y^2=1\},\\ Z&=\{(0,0,z)\mid z\in\R\}. \end{aligned} \end{equation*}

Definieer \(X=\R^3\setminus(C\cup Z)\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\) Laat zien dat de fundamentaalgroep \(\pi_1(X,x)\) isomorf is met \(\Z\times\Z\text{.}\)