Topologie

De equivalentie van (1) en (2) is in te zien door op te merken dat verzamelingen \(U\) en \(V\) als in (2) zowel open als gesloten zijn, aangezien ze elkaars complement zijn. De equivalentie van (1) en (3) is opgave 10.1.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding. Stel dat \(U\) en \(V\) open deelverzamelingen van \(f(X)\) zijn waarvoor geldt \(U\cap V = \emptyset\) en \(U\cup V = f(X)\text{.}\) Zij \(U'=f^{-1}U\) en \(V'=f^{-1}V\text{.}\) Dan geldt \(U'\cap V'=\emptyset\) en \(U'\cup V'=X\text{.}\) Omdat \(X\) samenhangend is, geldt \(U'=\emptyset\) of \(V'=\emptyset\text{.}\) Hieruit volgt \(U=\emptyset\) of \(V=\emptyset\text{.}\) We concluderen dat \(f(X)\) samenhangend is.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding. Gegeven twee punten in \(f(X)\text{,}\) die we kunnen schrijven als \(f(x)\) en \(f(y)\) met \(x,y\in X\text{,}\) bestaat er wegens de wegsamenhang van \(X\) een weg \(\gamma\colon[0,1]\to X\) van \(x\) naar \(y\text{.}\) De afbeelding \(f\circ\gamma\colon[0,1]\to f(X)\) is nu een weg van \(f(x)\) naar \(f(y)\text{.}\) We concluderen dat \(f(X)\) wegsamenhangend is.

Stel dat \(X\) een wegsamenhangende ruimte is die niet samenhangend is. Dan kunnen we \(X\) schrijven als disjuncte vereniging \(U\sqcup V\) met \(U,V\) open en verschillend van \(\emptyset\) en \(X\text{.}\) De functie

is continu. Kies \(x\in U\) en \(y\in V\text{;}\) dan bestaat er een weg \(\gamma\colon[0,1]\to X\) van \(x\) naar \(y\text{.}\) De functie \(g=f\circ\gamma\) is nu echter een continue functie met \(g(0)=f(x)=0\) en \(g(1)=f(y)=1\text{,}\) hetgeen de samenhang van \([0,1]\) tegenspreekt.

Stel dat \(U\text{,}\) \(V\) open deelverzamelingen van \(X\) zijn waarvoor geldt \(U\cap V=\emptyset\) en \(U\cup V=X\text{.}\) We schrijven \(U'=U\cap Y\) en \(V'=V\cap Y\text{.}\) Dan geldt \(U'\cap V'=\emptyset\) en \(U'\cup V'=Y\text{.}\) Uit de aanname dat \(Y\) samenhangend is, volgt \(U'=\emptyset\) of \(V'=\emptyset\text{.}\) Wegens symmetrie mogen we aannemen \(V'=\emptyset\text{.}\) Hieruit volgt \(Y\subseteq U\text{.}\) Omdat \(Y\) dicht is in \(X\text{,}\) impliceert dit \(\bar U=X\text{.}\) Aangezien \(U\) gesloten is, concluderen we \(U=X\text{.}\)

Dit volgt uit het feit dat een verzameling door een equivalentierelatie opgedeeld wordt in een disjuncte vereniging van equivalentieklassen.

Zij \(Y\) een wegsamenhangscomponent van \(X\text{,}\) en zij \(y\in Y\text{.}\) Per aanname is er een wegsamenhangende omgeving \(N\) van \(y\) in \(X\text{.}\) Omdat \(Y\) de wegsamenhangscomponent van \(y\) is, geldt \(N\subseteq Y\text{.}\) Elke \(y\in Y\) heeft dus een omgeving die in \(Y\) bevat is, dus \(Y\) is open. Uit het feit dat \(Y\) het complement is van de vereniging van alle wegsamenhangscomponenten verschillend van \(Y\text{,}\) en deze zelf open zijn, volgt dat \(Y\) gesloten is.

Stel dat \(Z\) niet samenhangend is. Aangezien \(Z\) per constructie niet leeg is, bestaat er dan een continue, niet-constante functie \(f\colon Z\to\{0,1\}\text{;}\) zie opgave 10.1. Omdat elke \(Y\in\cS\) samenhangend is, is \(f\) op elke \(Y\in\cS\) constant. Kies \(Y\in\cS\) waarop \(f\) constant 0 is, en \(Y'\in\cS\) waarop \(f\) constant 1 is. Op de niet-lege doorsnede van \(Y\) en \(Y'\) is \(f\) dan zowel 0 als 1, tegenspraak.

1. We moeten laten zien dat elk punt \(x\in X\) in precies één samenhangscomponent van \((X,\T)\) ligt. Zij \(\cS_x\) de collectie van alle samenhangende deelruimten \(Y\subseteq X\) met \(x\in Y\text{.}\) Dan is \(\cS_x\) niet-leeg (er geldt \(\{x\}\in\cS_x\)), en voor alle \(Y,Y'\in\cS_x\) geldt \(x\in Y\cap Y'\text{.}\) Uit lemma 10.17 volgt dat de verzameling \(X_x=\bigcup_{Y\in\cS_x} Y\) samenhangend is en dus het unieke maximale element van \(\cS_x\) is. Dit impliceert dat \(X_x\) een samenhangscomponent van \((X,\T)\) is. Er bestaat dus een samenhangscomponent van \(X\) waar \(x\) in ligt. Verder volgt uit lemma 10.17 dat de doorsnede van twee verschillende samenhangscomponenten leeg is. Dit betekent dat \(X_x\) de unieke samenhangscomponent van \(X\) is waar \(x\) in ligt.

2. Zij \(Z\) een samenhangscomponent van \(X\text{.}\) We merken op dat \(Z\) dicht is in de afsluiting \(\bar Z\) van \(Z\) in \(X\text{;}\) wegens propositie 10.10 is \(\bar Z\) ook samenhangend. Uit de maximaliteit van samenhangscomponenten volgt \(\bar Z=Z\text{,}\) dus \(Z\) is gesloten.

1. Zij \(Y\) een wegsamenhangscomponent van \(X\text{.}\) Dan is \(Y\) samenhangend en dus bevat in een unieke samenhangscomponent \(Z\) van \(X\text{.}\) Wegens propositie 10.15 is \(Y\) open en gesloten in \(X\text{,}\) en dus ook in \(Z\text{.}\) Uit het feit dat \(Z\) samenhangend is en \(Y\) niet-leeg is, volgt \(Y=Z\text{.}\)

2. Dit volgt direct uit (a).

Omdat \(X\) lokaal wegsamenhangend is, heeft elk punt van \(X\) een wegsamenhangende omgeving. Beide beweringen volgen nu uit propositie 10.22.

1. Zij \(x\in U\text{,}\) en zij \(N\) een omgeving van \(x\) in \(U\text{.}\) Omdat \(U\) open is in \(X\text{,}\) is \(N\) ook een omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\) Aangezien \(X\) lokaal samenhangend is, bestaat er een samenhangende omgeving \(N'\) van \(x\) in \(X\) met \(N'\subseteq N\text{.}\) Deze \(N'\) is tevens een samenhangende omgeving van \(x\) in \(U\text{.}\)

2. Zij \(Y\) een samenhangscomponent van \(X\text{.}\) Omdat \(X\) lokaal samenhangend is, heeft elke \(y\in Y\) een samenhangende omgeving \(N_y\) in \(X\text{.}\) Omdat \(Y\) een samenhangscomponent van \(X\) is, geldt \(N_y\subseteq Y\text{.}\) We zien dus dat \(Y\) de vereniging is van de verzamelingen \(N_y\) voor \(y\in Y\text{.}\) Hieruit volgt dat \(Y\) open is in \(X\text{.}\)

De implicatie \((2)\;\Longrightarrow\;(1)\) is eenvoudig na te gaan. We bewijzen \((1)\;\Longrightarrow\;(2)\text{.}\) Zij \(x\in X\text{,}\) en zij \(U\) een open omgeving van \(x\text{.}\) Wegens propositie 10.31(a) is \(U\) lokaal samenhangend. Zij \(V\) de samenhangscomponent van \(x\) in \(U\text{.}\) Dan is \(V\) open in \(U\) wegens propositie 10.31(b). Aangezien \(U\) open is in \(X\text{,}\) is \(V\) ook open in \(X\text{,}\) dus \(V\) is een samenhangende open omgeving van \(x\) in \(X\) met \(V\subseteq U\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\T\) een basis heeft die bestaat uit samenhangende verzamelingen.

We bewijzen \((1)\;\Longrightarrow(2)\text{;}\) het bewijs van de implicatie \((2)\;\Longrightarrow(1)\) wordt aan de lezer overgelaten. Stel dat \(X\) lokaal wegsamenhangend is. Zij \(U\) een open deelverzameling van \(X\text{.}\) Dan bestaat er voor elke \(x\in U\) een wegsamenhangende open omgeving \(V_x\) van \(x\) die bevat is in \(U\text{,}\) en de open verzameling \(U\) is de vereniging van de wegsamenhangende deelverzamelingen \(V_x\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\T\) een basis heeft die bestaat uit wegsamenhangende verzamelingen.