Spring

Paragraaf 6 Topologische ruimten

Het gedrag van open en gesloten deelverzamelingen van een metrische ruimte met betrekking tot het nemen van verenigingen en doorsneden (propositie 1.14) blijkt zo fundamenteel te zijn dat deze eigenschappen als basis dienen voor de algemene definitie van topologische ruimten.

Definitie 6.1.

Zij \(X\) een verzameling. Een topologie op \(X\) is een collectie \(\T\) van deelverzamelingen van \(X\) met de volgende eigenschappen:

  1. \(\emptyset\) en \(X\) zijn elementen van \(\T\text{;}\)

  2. elke vereniging van elementen van \(\T\) is een element van \(\T\text{;}\)

  3. elke eindige doorsnede van elementen van \(\T\) is een element van \(\T\text{.}\)

Een topologische ruimte is een paar \((X,\T)\) met \(X\) een verzameling en \(\T\) een topologie op \(X\text{.}\) De elementen van \(\T\) heten open deelverzamelingen van \((X,\T)\text{.}\) Een gesloten deelverzameling van \((X,\T)\) is een deelverzameling \(F\subseteq X\) waarvoor geldt \(X\setminus F\in\T\text{.}\)

Opmerking 6.2.

Omdat de vereniging (respectievelijk doorsnede) van de lege collectie deelverzamelingen van \(X\) gelijk is aan \(\emptyset\) (respectievelijk \(X\)) volgt (0) in feite uit (1) en (2).

Opmerking 6.3.

Uit de definitie volgen direct de eigenschappen van gesloten verzamelingen met betrekking tot verenigingen en doorsneden:

  1. \(\emptyset\) en \(X\) zijn gesloten deelverzamelingen van \((X,\T)\text{;}\)

  2. elke doorsnede van gesloten deelverzamelingen van \((X,\T)\) is een gesloten deelverzameling van \((X,\T)\text{;}\)

  3. elke eindige vereniging van gesloten deelverzamelingen van \((X,\T)\) is een gesloten deelverzameling van \((X,\T)\text{.}\)

Voorbeeld 6.4.

Voor elke verzameling \(X\) is \(\T=\{\emptyset,X\}\) een topologie op \(X\text{.}\) Deze heet de triviale topologie.

Voorbeeld 6.5.

Voor elke verzameling \(X\) is de machtsverzameling \(\cP(X)\) (de collectie van alle deelverzamelingen van \(X\)) een topologie op \(X\text{.}\) Deze heet de discrete topologie.

Voorbeeld 6.6.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zij \(\T_d\) de verzameling van open deelverzamelingen van \((X,d)\) (volgens de definitie van open deelverzamelingen in een metrische ruimte). Dan is \(\T_d\) een topologie op \(X\) wegens propositie 1.14.

Voorbeeld 6.7.

Zij \(\T\) de collectie deelverzamelingen van het complexe vlak \(\C\) gedefinieerd door

\begin{equation*} \T=\{\emptyset\}\cup\{U\subseteq\C\mid\C\setminus U \text{ is eindig}\}. \end{equation*}

Dan is \((\C,\T)\) een topologische ruimte.

Voorbeeld 6.8.

Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(Y\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) We definiëren

\begin{equation*} \T_Y=\{Y\cap U\mid U\in\T\}. \end{equation*}

Dit is een topologie op \(Y\text{;}\) deze heet de deelruimtetopologie op \(Y\text{,}\) en \((Y,\T_Y)\) heet een (topologische) deelruimte van \((X,\T_X)\text{.}\)

In plaats van een topologie te beschrijven door alle open verzamelingen te geven, is het vaak praktischer om een kleinere collectie open verzamelingen aan te geven waaruit alle open verzamelingen verkregen kunnen worden door het nemen van verenigingen en eventueel eindige doorsneden. Dit geeft aanleiding tot de definitie van bases en subbases.

Definitie 6.9.

Een basis van een topologische ruimte \((X,\T)\) is een deelverzameling \(\cB\subseteq\T\) zodanig dat elke open verzameling van \(X\) een vereniging van elementen van \(\cB\) is. Een subbasis van \((X,\T)\) is een deelverzameling \(\cS\subseteq\T\) zodanig dat de collectie van eindige doorsneden van elementen van \(\cS\) een basis van \(\T\) is.

Gegeven een willekeurige collectie \(\cS\) van deelverzamelingen van \(X\) is er een unieke topologie op \(X\) waarvoor \(\cS\) een subbasis is, namelijk de collectie van alle verenigingen van eindige doorsneden van elementen van \(\cS\text{.}\)

Voorbeeld 6.10.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zij \(\T_d\) de door \(d\) gedefinieerde topologie op \(X\text{.}\) Dan is de collectie

\begin{equation*} \cB = \{B_r(x)\mid x\in X,r>0\} \end{equation*}

van alle open ballen in \((X,d)\) wegens propositie 1.11 een basis voor \(\T_d\text{.}\)

Evenals in het geval van metrische ruimten kunnen we een topologie ook karakteriseren met behulp van de omgevingen.

Definitie 6.11.

Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(x\in X\text{.}\) Een omgeving van \(x\) in \((X,\T)\) is een deelverzameling \(N\subseteq X\) zodanig dat er een \(U\in\T\) bestaat met \(x\in U\subseteq N\text{.}\)

Net als voor metrische ruimten is een open omgeving van \(x\) een open deelverzameling \(U\subseteq X\) met \(x\in U\text{.}\)

Bewering (1) volgt direct uit de definitie. Laten \(N\text{,}\) \(N'\) omgevingen van \(x\) zijn. Dan zijn er open verzamelingen \(U\text{,}\) \(U'\) met \(x\in U\subseteq N\) en \(x\in U'\subseteq N'\text{.}\) Dan is \(U\cap U'\) een open verzameling met \(x\in U\cap U'\subseteq N\cap N'\text{;}\) dit geeft (2). Het is duidelijk dat elke open verzameling \(U\) een omgeving van elke \(x\in U\) is. Omgekeerd: stel \(U\) is een omgeving van \(x\) voor elke \(x\in U\text{.}\) Voor elke \(x\in U\) kunnen we een open verzameling \(U_x\) kiezen met \(x\in U_x\subseteq U\text{.}\) Nu geldt

\begin{equation*} U\subseteq\bigcup_{x\in U}U_x\subseteq U, \end{equation*}

dus beide inclusies zijn gelijkheden; in het bijzonder is \(U\) een vereniging van open verzamelingen en dus open.

De volgende propositie laat zien dat het begrip omgeving gebruikt kan worden om een alternatieve definitie van topologische ruimten te geven.

We nemen voor \(\T\) de collectie van alle deelverzamelingen \(U\subseteq X\) die voldoen aan \(U\in\cN_x\) voor alle \(x\in U\text{;}\) dit is de enige mogelijkheid wegens propositie 6.12(3). Het bewijs dat \(\T\) een topologie op \(X\) is, wordt aan de lezer overgelaten. Zij nu \(x\in X\) en \(N\subseteq X\text{.}\) Als \(N\) een omgeving van \(x\) in \(X\) is, bestaat er per definitie een open verzameling \(U\) met \(x\in U\subseteq N\text{;}\) uit de definitie van \(\T\) volgt \(U\in\cN_x\text{,}\) en wegens (2) ook \(N\in\cN_x\text{.}\) Omgekeerd impliceert de definitie van \(\T\) dat als \(N\in\cN_x\) geldt, een verzameling \(U\) als in (4) een open verzameling is met \(x\in U\subseteq N\text{,}\) dus \(N\) is een omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\)

Zoals we in voorbeeld (3) gezien hebben, is elke metrische ruimte op een natuurlijke manier op te vatten als topologische ruimte. Het is echter niet zo dat elke topologische ruimte op deze manier geconstrueerd kan worden. Een tegenvoorbeeld is \(X=\{p,q\}\) met \(\T=\{\emptyset,\{p\},\{p,q\}\}\text{.}\) Dan is \(\{p\}\) niet gesloten. In een metrische ruimte zijn alle eindige verzamelingen echter gesloten (opgave 1.7), dus \(\T\) komt niet van een metriek op \(X\text{.}\)

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Dan zijn er voor twee punten \(x\ne y\) altijd open omgevingen \(U\) van \(x\) en \(V\) van \(y\) te vinden met lege doorsnede. (Neem bijvoorbeeld \(U=B_r(x)\) en \(V=B_r(y)\text{,}\) waarbij \(r=d(x,y)/2\text{.}\)) Deze eigenschap is nuttig, maar geldt niet voor alle topologische ruimten. Voor de eerder genoemde topologische ruimte \(X=\{p,q\}\) met \(\T=\{\emptyset, \{p\}, \{p,q\}\}\) geldt zelfs dat elke open omgeving van \(q\) ook \(p\) bevat, dus zijn er zeker geen disjuncte open omgevingen van \(p\) en \(q\text{.}\)

Definitie 6.14.

Een Hausdorffruimte is een topologische ruimte \((X,\T)\) zodanig dat er voor alle \(x,y\in X\) met \(x\ne y\) open omgevingen \(U\) van \(x\) en \(V\) van \(y\) bestaan waarvoor geldt \(U\cap V=\emptyset\text{.}\)

Voorbeeld 6.15.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zij \(\T_d\) de topologie op \(X\) gedefinieerd door \(d\text{.}\) Dan is \((X,\T_d)\) een Hausdorffruimte: als \(x\text{,}\) \(y\) twee verschillende punten van \(X\) zijn en \(r=d(x,y)/2\text{,}\) dan zijn \(B_r(x)\) en \(B_r(y)\) disjuncte open omgevingen van \(x\) en \(y\text{.}\)

Het is vaak zinvol om verschillende topologieën op dezelfde verzameling met elkaar te vergelijken.

Definitie 6.16.

Zij \(X\) een verzameling, en zijn \(\T\) en \(\T'\) twee topologieën op \(X\text{.}\) We zeggen dat \(\T'\) fijner is dan \(\T\text{,}\) of dat \(\T\) grover is dan \(\T'\text{,}\) als geldt \(\T\subseteq\T'\text{.}\)

Op precies dezelfde manier als voor metrische ruimten kunnen we nu het inwendige, de afsluiting en de rand van deelverzamelingen van topologische ruimten definiëren, evenals het begrip dichtheid.

Definitie 6.17.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zij \(S\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Het inwendige van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(S^\circ\text{,}\) is de grootste open deelverzameling \(U\subseteq X\) waarvoor geldt \(U\subseteq S\text{.}\) De afsluiting van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(\bar S\text{,}\) is de kleinste gesloten deelverzameling \(F\subseteq X\) waarvoor geldt \(S\subseteq F\text{.}\) De rand van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(\partial S\text{,}\) is de gesloten deelverzameling van \(X\) gedefinieerd door

\begin{equation*} \partial S = \bar S\cap\overline{X\setminus S}. \end{equation*}

We zeggen dat \(S\) dicht is in \(X\) als geldt \(\bar S=X\text{.}\)

Opgaven Opgaven

1.

Bewijs dat er een unieke topologie op \(\R^2\) bestaat waarvoor de gesloten verzamelingen (behalve \(\R^2\) zelf) precies de eindige verenigingen van punten en lijnen zijn.

2.

  1. Laat zien dat als \((X,\T)\) een Hausdorffruimte is en \(x\in X\text{,}\) de deelverzameling \(\{x\}\subseteq X\) gesloten is.

  2. Laat zien dat elke topologische deelruimte van een Hausdorffruimte weer een Hausdorffruimte is.

3.

Laat zien dat er voor de euclidische topologie op \(\R^n\) een aftelbare basis bestaat.

4.

Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte, en zij \(\cB\) een basis voor \(\T\text{.}\) Zij \(Y\) een deelruimte van \(X\text{.}\) Laat zien dat \(\{U\cap Y\mid U\in\cB\}\) een basis voor de deelruimtetopologie op \(Y\) is.

5.

Zij \((X,\T_X)\) een topologische ruimte, en zij \(S\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Bewijs de gelijkheden \(X\setminus S^\circ = \overline{X\setminus S}\) en \(X\setminus\bar S = (X\setminus S)^\circ\text{.}\)

6.

Voor alle \(a,b\in\Z\) met \(b>0\) definiëren we

\begin{equation*} N_{a,b}=\{a+nb\mid n\in\Z\}. \end{equation*}

Voor \(a\in\Z\) definiëren we \({\frak N}_a\) als de verzameling van alle deelverzamelingen \(N\subseteq\Z\) zodanig dat er een \(b>0\) is met \(N_{a,b}\subseteq N\text{.}\)

  1. Bewijs dat er een unieke topologie \(\T\) op \(\Z\) is zodanig de omgevingen van \(a\in\Z\) met betrekking tot \(\T\) precies de elementen van \({\frak N}_a\) zijn. (Aanwijzing: gebruik propositie 6.13.)

  2. Bewijs dat elke open deelverzameling van \((\Z,\T)\) ofwel oneindig ofwel leeg is.

  3. Bewijs dat alle verzamelingen \(N_{a,b}\) zowel open als gesloten zijn.

  4. Bewijs dat \(\Z\setminus\{-1,1\}\) de vereniging is van de verzamelingen \(N_{0,p}\) met \(p\) een priemgetal.

  5. Leid uit de eerdere onderdelen af dat er oneindig veel priemgetallen zijn.