Spring

Paragraaf 7 Continue afbeeldingen tussen topologische ruimten

In stelling 3.2 hebben we gezien dat continuïteit van afbeeldingen tussen metrische ruimten uitgedrukt kan worden in termen van open verzamelingen. Hierop baseren we de definitie van continue afbeeldingen tussen algemene topologische ruimten.

Definitie 7.1.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) topologische ruimten. Een continue afbeelding van \((X,\T_X)\) naar \((Y,\T_Y)\) is een afbeelding \(f\colon X\to Y\) zodanig dat voor elke \(U\in\T_Y\) geldt \(f^{-1}U\in\T_X\text{.}\)

Voorbeeld 7.2.

Elke afbeelding van een verzameling met de discrete topologie naar een willekeurige topologische ruimte is continu.

Voorbeeld 7.3.

Elke afbeelding van een willekeurige topologische ruimte naar een verzameling met de triviale topologie is continu.

Voorbeeld 7.4.

De samenstelling van twee continue afbeeldingen is continu.

Voorbeeld 7.5.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) twee metrische ruimten, en zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding. Dan is \(f\) continu als afbeelding van metrische ruimten dan en slechts dan als \(f\) continu is als afbeelding van topologische ruimten van \((X,\T_{d_X})\) naar \((Y,\T_{d_Y})\text{.}\)

Voorbeeld 7.6.

Neem \(X=\C\) en zij \(\T=\{\emptyset\} \cup \{U\subseteq\C\mid\C\setminus U\text{ is eindig}\}\text{.}\) Dan geldt \(\T\subseteq\T_d\text{,}\) dus de identieke afbeelding op \(\C\) definieert een continue afbeelding \((\C,\T_d)\to(\C,\T)\text{.}\)

Voorbeeld 7.7.

Zijn \(\T\) en \(\T'\) twee topologieën op een verzameling \(X\text{.}\) Dan is de identiteit op \(X\) een continue afbeelding van \((X,\T')\) naar \((X,\T)\) dan en slechts dan als \(\T'\) fijner is dan \(\T\text{.}\)

We voeren nu een begrip in dat zegt wanneer twee topologische ruimten “topologisch hetzelfde” zijn.

Definitie 7.8.

Een homeomorfisme tussen topologische ruimten \(X\) en \(Y\) is een continue afbeelding \(f\colon X\to Y\) met de eigenschap dat er een continue afbeelding \(g\colon Y\to X\) bestaat zodanig dat \(g\circ f\) de identiteit op \(X\) is en \(f\circ g\) de identiteit op \(Y\) is. We zeggen dat \(X\) en \(Y\) homeomorf zijn als er een homeomorfisme van \(X\) naar \(Y\) bestaat.

Definitie 7.9.

Een afbeelding \(f\colon X\to Y\) tussen topologische ruimten heet open als voor elke open deelverzameling \(U\subseteq X\) de verzameling \(f(U)\) open is in \(Y\text{.}\) Net zo heet een afbeelding \(f\colon X\to Y\) gesloten als voor elke gesloten deelverzameling \(F\subseteq X\) de verzameling \(f(F)\) gesloten is in \(Y\text{.}\)

Zie opgave 7.8.

Voorbeeld 7.11.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) metrische ruimten, en zij \(f\colon X\to Y\) een bijectieve isometrie. Vatten we \(X\) en \(Y\) op als topologische ruimten, dan is \(f\) een homeomorfisme.

Voorbeeld 7.12.

De afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} (-\pi/2,\pi/2)&\longrightarrow\R\\ x&\longmapsto\tan x \end{aligned} \end{equation*}

is een homeomorfisme met inverse \(y\mapsto\arctan y\text{.}\)

Voorbeeld 7.13.

De afbeelding van de open eenheidsschijf naar \(\R^2\) die in poolcoördinaten gegeven wordt door \((r,\theta)\mapsto(r/(1-r),\theta)\) is een homeomorfisme met inverse \((u,\theta)\mapsto(u/(1+u),\theta)\text{.}\)

Voorbeeld 7.14.

Een koffiekop en een donut zijn homeomorf.

Een type afbeelding dat later een belangrijke rol zal spelen, zijn continue afbeeldingen vanaf het eenheidsinterval \([0,1]\text{.}\)

Definitie 7.15.

Zij \((X,\T)\) een topologische ruimte. Een weg of pad in \(X\) is een continue afbeelding

\begin{equation*} \gamma\colon[0,1]\to X. \end{equation*}

Als \(x=\gamma(0)\) en \(y=\gamma(1)\) het begin- en eindpunt van \(\gamma\) zijn, dan noemen we \(\gamma\) een weg (of pad) van \(x\) naar \(y\).

De volgende begrippen zijn erg nuttig bij het redeneren over wegen.

Definitie 7.16.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zij \(\gamma\colon[0,1]\to X\) een weg. De omkering van \(\gamma\) is de weg

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma^{-1}\colon[0,1]&\longrightarrow X\\ t&\longmapsto\gamma(1-t). \end{aligned} \end{equation*}
Definitie 7.17.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zijn \(\gamma_1,\gamma_2\colon[0,1]\to X\) twee wegen die voldoen aan \(\gamma_1(1)=\gamma_2(0)\text{.}\) De aaneenschakeling van \(\gamma_1\) en \(\gamma_2\) is de weg

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_1\odot\gamma_2\colon[0,1]&\longrightarrow X\\ t&\longmapsto\begin{cases} \gamma_1(2t)& \text{voor }0\le t\le 1/2,\\ \gamma_2(2t-1)& \text{voor }1/2\le t\le 1.\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Merk op dat \(\gamma_1\odot\gamma_2\) goed gedefinieerd is dankzij de aanname \(\gamma_1(1)=\gamma_2(0)\text{.}\) Zie opgave 7.10 voor het bewijs dat \(\gamma_1\odot\gamma_2\) continu is.

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding van topologische ruimten. Zijn \(X'\subseteq X\) en \(Y'\subseteq Y\) deelverzamelingen waarvoor geldt \(f(X')\subseteq Y'\text{.}\) Bewijs dat de door \(f\) geïnduceerde afbeelding \(f'\colon X'\to Y'\) continu is.

2.

Zijn \(X\text{,}\) \(Y\) topologische ruimten, en zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding.

  1. Zijn \(X_1\text{,}\) \(X_2\) open deelverzamelingen van \(X\) die voldoen aan \(X=X_1\cup X_2\) en zodanig dat de beperkingen \(f|_{X_1}\colon X_1\to Y\) en \(f|_{X_2}\colon X_2\to Y\) continu zijn. Bewijs dat \(f\) continu is.

  2. Zelfde vraag met “gesloten” in plaats van “open”.

3.

  1. Geef een voorbeeld van een continue afbeelding tussen topologische ruimten die niet open is.

  2. Geef een voorbeeld van een open afbeelding tussen topologische ruimten die niet continu is.

4.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) topologische ruimten, en zij \(\cB\) een basis voor \(\T_Y\text{.}\) Zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding. Laat zien dat \(f\) continu is dan en slechts dan als voor elke \(U\in\cB\) de verzameling \(f^{-1}U\) open is in \(X\text{.}\)

5.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) topologische ruimten zodanig dat \(\T_X\) de triviale topologie op \(X\) is en \((Y,\T_Y)\) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat elke continue afbeelding \(f\colon X\to Y\) constant is.

6.

Zijn \((X,\T_X)\) en \((Y,\T_Y)\) topologische ruimten, en zij \(D\subseteq X\) een dichte deelverzameling. Zijn \(f,g\colon X\to Y\) twee continue afbeeldingen waarvoor geldt \(f|_D=g|_D\text{.}\)

  1. Neem aan dat \((Y,\T_Y)\) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat \(f\) en \(g\) gelijk zijn.

  2. Geef een voorbeeld van een situatie als boven (met \(Y\) geen Hausdorffruimte) waarbij \(f\) en \(g\) ongelijk zijn.

7.

Zijn \(X\) en \(Y\) discrete topologische ruimten. Laat zien dat \(X\) en \(Y\) homeomorf zijn dan en slechts dan als \(X\) en \(Y\) dezelfde kardinaliteit hebben (als verzamelingen).

8.

Zij \(f\colon X\to Y\) een afbeelding tussen topologische ruimten. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:

  1. \(f\) is een homeomorfisme;

  2. \(f\) is bijectief, continu en open;

  3. \(f\) is bijectief, continu en gesloten.

9.

Construeer een homeomorfisme van het eenheidsvierkant

\begin{equation*} V=\{(x,y)\in\R^2\mid\max\{|x|,|y|\}=1/2\} \end{equation*}

naar de eenheidscirkel

\begin{equation*} C=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}. \end{equation*}
10.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zijn \(\gamma_1,\gamma_2\colon[0,1]\to X\) continue afbeeldingen zodanig dat \(\gamma_1(1)=\gamma_2(0)\text{.}\) Bewijs dat de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_1\odot\gamma_2\colon[0,1]&\longrightarrow X\\ t&\longmapsto\begin{cases} \gamma_1(2t)& \text{voor }0\le t\le 1/2,\\ \gamma_2(2t-1)& \text{voor }1/2\le t\le 1 \end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

continu is. (Dit laat zien dat wegen aaneengeschakeld kunnen worden: als er wegen van \(x\) naar \(y\) en van \(y\) naar \(z\) bestaan, dan bestaat er een weg van \(x\) naar \(z\text{.}\))