Spring

Paragraaf 4 Volledigheid en completering

Het begrip Cauchyrij speelt een belangrijke rol in de constructie van de reële getallen. We voeren dit begrip ook in de context van metrische ruimten in en gebruiken dit om volledigheid van metrische ruimten te definiëren.

Definitie 4.1.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Een Cauchyrij in \(X\) is een rij \((x_n)_{n\ge0}\) met de eigenschap dat er voor alle \(\epsilon>0\) een \(N\ge0\) bestaat zodanig dat voor alle \(m,n\ge N\) geldt \(d(x_m,x_n)\lt\epsilon\text{.}\)

Het is niet moeilijk na te gaan dat elke convergente rij een Cauchyrij is. Het omgekeerde geldt echter niet automatisch.

Definitie 4.2.

Een metrische ruimte \((X,d)\) heet volledig als elke Cauchyrij in \(X\) convergeert.

Voorbeeld 4.3.

De metrische ruimte \(\R\) is volledig. Dit volgt uit de constructie van \(\R\) met behulp van equivalentieklassen van Cauchyrijen in \(\Q\text{.}\) Algemener is voor elke \(n\ge0\) de metrische ruimte \(\R^n\) (met de euclidische metriek) volledig.

Voorbeeld 4.4.

Zij \(S\) een verzameling met de metriek \(d\) gegeven door \(d(x,y)=0\) voor \(x=y\) en \(d(x,y)=1\) voor \(x\ne y\text{.}\) Dan is elke Cauchyrij in \(S\) uiteindelijk constant, dus \((S,d)\) is volledig.

Voorbeeld 4.5.

Zij \(S\) een niet-lege verzameling, zij \((Y,d)\) een volledige metrische ruimte, en zij \(\B(S,Y)\) de verzameling van begrensde functies \(f\colon S\to Y\text{,}\) voorzien van de uniforme metriek \(D\) (zie de voorbeelden na gevolg 2.4). We beweren dat \(\B(S,Y)\) volledig is met betrekking tot \(D\text{.}\) Zij dus \((f_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij in \(\B(S,Y)\text{.}\) Voor alle \(s\in S\) en alle \(m,n\ge0\) geldt \(d(f_m(s),f_n(s))\le D(f_m,f_n)\text{;}\) hieruit volgt dat voor alle \(s\in S\) de rij \((f_n(s))_{n\ge0}\) in \(Y\) een Cauchyrij is. Omdat \(Y\) volledig is, kunnen we een functie \(f\colon S\to Y\) definiëren als de puntsgewijze limiet

\begin{equation*} f(s)=\lim_{n\to\infty} f_n(s). \end{equation*}

We moeten bewijzen dat \(f\) begrensd is. Zij \(\epsilon>0\text{,}\) en zij \(N\) zodanig dat voor alle \(m,n\ge N\) geldt \(D(f_m,f_n)\lt\epsilon\text{.}\) Voor alle \(x\in S\) en \(n\ge N\) geldt (omdat \(f\) de puntsgewijze limiet van \((f_n)_{n\ge0}\) is, en wegens de continuïteit van \(d\))

\begin{equation*} d(f(x),f_n(x))=\lim_{m\to\infty} d(f_m(x),f_n(x))\le \lim_{m\to\infty} D(f_m,f_n)\le\epsilon. \end{equation*}

Zij \(R=\sup_{s,t\in S} d(f_N(s),f_N(t))\text{.}\) Voor alle \(s,t\in S\) geldt nu

\begin{equation*} \begin{aligned} d(f(s),f(t))&\le d(f(s),f_N(s)) + d(f_N(s), f_N(t)) + d(f_N(t),f(t))\\ &\lt \epsilon + R + \epsilon. \end{aligned} \end{equation*}

Hieruit volgt dat \(f\) in \(\B(S,Y)\) ligt. We beweren vervolgens dat \(f_n\to f\) als \(n\to\infty\text{.}\) Dit volgt uit het feit dat voor alle \(\epsilon>0\) en \(n\ge N\) (met \(N\) als boven) geldt

\begin{equation*} D(f,f_n) = \sup_{x\in S} d(f(x),f_n(x)) \le \epsilon. \end{equation*}

  1. Stel \(X\) is volledig en \(Y\) is gesloten in \(X\text{.}\) Elke Cauchyrij \((x_n)_{n\ge0}\) in \(Y\) is ook een Cauchyrij in \(X\) en heeft dus een limiet \(x\in X\text{.}\) Aangezien \(Y\) gesloten is, geldt \(x\in Y\) wegens gevolg 2.4. Hieruit volgt dat \(Y\) volledig is.

  2. Stel \(Y\) is volledig, en zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(Y\) die convergent is in \(X\text{.}\) Dan is \((x_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij in \(X\) en dus ook in \(Y\text{.}\) Aangezien \(Y\) volledig is, convergeert \((x_n)_{n\ge0}\) in \(Y\text{.}\) Wegens gevolg 2.4 is \(Y\) gesloten.

Voorbeeld 4.7.

In \(\R^n\) (of algemener in elke volledige metrische ruimte) zijn de volledige metrische deelruimten wegens de propositie precies de gesloten deelverzamelingen.

Voorbeeld 4.8.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) metrische ruimten met \(X\ne\emptyset\) en \(Y\) volledig. Zij \(\BC(X,Y)\subseteq\B(X,Y)\) de verzameling van begrensde continue functies \(X\to Y\text{.}\) We beperken de uniforme metriek \(D\) op \(\B(X,Y)\) tot een metriek op \(\BC(X,Y)\text{.}\) We beweren dat \(\BC(X,Y)\) gesloten is in \(\B(X,Y)\text{;}\) wegens propositie 4.6 en de volledigheid van \(\B(X,Y)\) is \(\BC(X,Y)\) dan ook volledig. Zij dus \((f_n)_{n\ge0}\) een rij in \(\BC(X,Y)\) die in \(\B(X,Y)\) convergeert naar \(f\text{.}\) We moeten bewijzen dat \(f\) continu is. Zij \(a\in X\) en zij \(\epsilon>0\text{.}\) We zoeken \(\delta>0\) waarvoor geldt

\begin{equation*} d_X(t,a)\lt\delta\;\Longrightarrow\;d_Y(f(t),f(a))\lt\epsilon. \end{equation*}

Zij \(n\ge0\) zodanig dat geldt \(D(f_n,f)\lt\epsilon/3\text{,}\) en zij \(\delta\) zodanig dat geldt

\begin{equation*} d_X(t,a)\lt\delta\;\Longrightarrow\;d_Y(f_n(t),f_n(a))\lt\epsilon/3. \end{equation*}

Voor alle \(t\in B_\delta(a)\) geldt dan

\begin{equation*} \begin{aligned} d_Y(f(t),f(a)) &\le d_Y(f(t),f_n(t)) + d_Y(f_n(t),f_n(a)) + d_Y(f_n(a),f(a))\\ &\le D(f,f_n) + d_Y(f_n(t),f_n(a)) + D(f_n,f)\\ &\lt \epsilon/3 + \epsilon/3 + \epsilon/3\\ &= \epsilon. \end{aligned} \end{equation*}

Aangezien \(a\) en \(\epsilon\) willekeurig waren, is \(f\) continu. Hieruit volgt de bewering.

Stelling 4.10 hieronder is een representatief voorbeeld van het gebruik van volledigheid, in dit geval om het niet-leeg zijn van een bepaalde deelverzameling te bewijzen.

Definitie 4.9.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. De diameter van een niet-lege deelverzameling \(S\subseteq X\) is

\begin{equation*} \diam(S)=\sup\{d(x,y)\mid x,y\in S\}\in\R\cup\{\infty\}. \end{equation*}

We kiezen een rij \((x_n)_{n\ge0}\) in \(X\) met \(x_n\in F_n\) voor alle \(n\text{.}\) Dan is \((x_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij en heeft wegens de volledigheid van \(X\) een limiet \(x\text{.}\) Deze limiet ligt in \(F=\bigcap_{n\ge0} F_n\) omdat de \(F_n\) gesloten zijn. Tot slot is het eenvoudig na te gaan dat \(\diam(F)\) gelijk is aan \(0\text{,}\) zodat \(F\) niet meer dan één punt kan bevatten; zie opgave 4.4.

De constructie van de reële getallen als de verzameling van equivalentieklassen van Cauchyrijen in \(\Q\) kunnen we generaliseren naar algemene metrische ruimten.

Definitie 4.11.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Een completering van \((X,d)\) is een volledige metrische ruimte \((\tilde X,\tilde d)\) samen met een isometrie \(\iota\colon(X,d)\to(\tilde X,\tilde d)\) met de volgende eigenschap: voor elke volledige metrische ruimte \((Y,d_Y)\) en elke isometrie \(f\colon(X,d)\to(Y,d_Y)\) is er een unieke isometrie \(g\colon(\tilde X,\tilde d)\to(Y,d_Y)\) waarvoor geldt \(f=g\circ\iota\text{.}\)

Een completering is “uniek op een unieke bijectieve isometrie na”. Preciezer gezegd:

Wegens de eigenschap van de completering voor \(\tilde X_1\) en de volledigheid van \(\tilde X_2\) is er een unieke isometrie \(g\colon\tilde X_1\to\tilde X_2\) die voldoet aan \(\iota_2=g\circ\iota_1\text{.}\) We moeten nog bewijzen dat \(g\) een bijectieve isometrie is. Hiertoe merken we op dat er wegens de eigenschap van de completering voor \(\tilde X_2\) en de volledigheid van \(\tilde X_1\) een unieke isometrie \(h\colon\tilde X_2\to\tilde X_1\) is die voldoet aan \(\iota_1=h\circ\iota_2\text{.}\) Hieruit volgt \(\iota_1=h\circ(g\circ\iota_1)=(h\circ g)\circ\iota_1\text{.}\) De identiteit op \(\tilde X_1\) is echter ook een isometrie \(k\colon\tilde X_1\to\tilde X_1\) met \(\iota_1=k\circ\iota_1\text{;}\) per aanname is \(h\circ g\) dus de identiteit op \(\tilde X_1\text{.}\) Net zo is \(g\circ h\) de identiteit op \(\tilde X_2\text{.}\) We concluderen dat \(g\colon\tilde X_1\to\tilde X_2\) een bijectieve isometrie is.

Zij \(R\) de verzameling van alle Cauchyrijen in \(X\text{.}\) We definiëren eerst een equivalentierelatie op \(R\text{.}\) Twee Cauchyrijen \((x_n)_{n\ge0}\) en \((y_n)_{n\ge0}\) noemen we equivalent (notatie: \((x_n)_{n\ge0}\sim(y_n)_{n\ge0}\)) als \(d(x_n,y_n)\to 0\) voor \(n\to\infty\text{,}\) d.w.z. als er voor elke \(\epsilon>0\) een \(N>0\) bestaat zodanig dat voor alle \(n\ge N\) geldt \(d(x_n,y_n)\lt\epsilon\text{.}\) Het is eenvoudig na te gaan dat \(\sim\) inderdaad een equivalentierelatie is.

We schrijven \(\tilde X\) voor de quotiëntverzameling \(R/{\sim}\text{.}\) De equivalentieklasse van een Cauchyrij \((x_n)_{n\ge0}\) noteren we met \([(x_n)_{n\ge0}]\text{.}\) We definiëren een metriek \(\tilde d\) op \(\tilde X\) door

\begin{equation} \tilde d(\tilde x,\tilde y) = \lim_{n\to\infty} d(x_n,y_n) \quad\text{als }\tilde x=[(x_n)_{n\ge0}] \text{ en }\tilde y=[(y_n)_{n\ge0}].\label{eq-metriek-completering}\tag{4.1} \end{equation}

Voor het bewijs dat de limiet bestaat, niet afhangt van de gekozen representanten van de klassen \(\tilde x\) en \(\tilde y\text{,}\) en een metriek op \(\tilde X\) definieert, verwijzen we naar opgave 4.9, evenals voor het bewijs dat de metrische ruimte \((\tilde X,\tilde d)\) volledig is.

We definiëren \(\iota\colon X\to\tilde X\) als volgt: voor \(x\in X\) is \(\iota(x)\) de klasse van de constante rij \((x_n)_{n\ge0}\) met \(x_n=x\) voor alle \(n\ge0\text{.}\) Dan is \(\iota\) duidelijk een isometrie.

Zij \((Y,d_Y)\) een volledige metrische ruimte, en zij \(f\colon(X,d)\to(Y,d_Y)\) een isometrie. Dan definiëren we

\begin{equation*} \begin{aligned} g\colon(\tilde X,\tilde d)&\longrightarrow(Y,d_Y)\\ \tilde x&\longmapsto\lim_{n\to\infty} f(x_n) \quad\text{als }\tilde x=[(x_n)_{n\ge0}]. \end{aligned} \end{equation*}

Dit is een welgedefinieerde afbeelding, aangezien \((f(x_n))_{n\ge0}\) een Cauchyrij in de volledige metrische ruimte \(Y\) is en de limiet niet afhangt van de keuze van een representant \((x_n)_{n\ge0}\) voor de equivalentieklasse \(\tilde x\text{.}\) Verder is \(g\) een isometrie omdat voor alle \(\tilde x,\tilde y\in\tilde X\) geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} d_Y(g(\tilde x),g(\tilde y)) &=d_Y\Bigl(\lim_{n\to\infty} f(x_n),\lim_{n\to\infty} f(y_n)\Bigr)\\ &=d_Y\Bigl(\lim_{n\to\infty}(f(x_n), f(y_n))\Bigr)\\ &=\lim_{n\to\infty} d_Y(f(x_n), f(y_n))\\ &=\lim_{n\to\infty} d(x_n, y_n)\\ &=\tilde d(\tilde x,\tilde y). \end{aligned} \end{equation*}

Voor alle \(x\in X\) geldt

\begin{equation*} g(\iota(x))=g([(x)_{n\ge0}])=\lim_{n\to\infty} f(x)=f(x), \end{equation*}

dus \(g\circ\iota = f\text{.}\) We moeten nagaan dat \(g\) de unieke voortzetting van \(f\) tot een isometrie \(\tilde X\to Y\) is. Hiervoor merken we op dat

\begin{equation*} \tilde x=\lim_{n\to\infty}\iota(x_n) \quad\text{als }\tilde x=[(x_n)_{n\ge 0}], \end{equation*}

en dus, als \(h\colon\tilde X\to Y\) een isometrie is met \(h\circ\iota=f\text{,}\)

\begin{equation*} \begin{aligned} h(\tilde x)&=h\Bigl(\lim_{n\to\infty} \iota(x_n)\Bigr)\\ &=\lim_{n\to\infty} h(\iota(x_n))\\ &=\lim_{n\to\infty} f(x_n)\\ &=g(\tilde x). \end{aligned} \end{equation*}

Hieruit volgt de uniciteit van \(g\text{.}\)

Opgaven Opgaven

1.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Laat zien dat \((X,d)\) volledig is in elk van de volgende gevallen:

  1. De verzameling \(X\) is eindig.

  2. De metriek \(d\) is een Franse-spoorwegmetriek.

  3. \(X=\R\) en \(d(x,y)={|x-y|\over 1+|x-y|}\text{.}\)

2.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Een afbeelding \(f\colon X\to X\) heet een contractie als er een reëel getal \(\theta\lt 1\) bestaat zodanig dat voor alle \(x,y\in X\) geldt

\begin{equation*} d(f(x),f(y))\le\theta d(x,y). \end{equation*}

  1. Bewijs dat elke contractie continu is.

  2. Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(X\text{.}\) Stel dat er een reëel getal \(\theta\lt 1\) bestaat zodanig dat voor alle \(n\ge1\) geldt \(d(x_{n+1},x_n)\le\theta d(x_n,x_{n-1})\text{.}\) Bewijs dat \((x_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij is.

  3. Bewijs de dekpuntsstelling van Banach: elke contractie op een volledige, niet-lege metrische ruimte heeft precies één vast punt.

  4. Onderbouw de volgende uitspraak: als je een kaart van Nederland ergens in Nederland neerlegt, ligt er precies één punt van de kaart op de goede plek.

3.

Zijn \((X,d_X)\) en \((Y,d_Y)\) twee volledige metrische ruimten. We voorzien het product \(X\times Y\) van de metriek

\begin{equation*} D((x,y),(x',y')) = d_X(x,x') + d_Y(y,y') \end{equation*}

(zie opgave 3.4). Laat zien dat \((X\times Y,D)\) volledig is.

4.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Voor elke deelverzameling \(S\subseteq X\) schrijven we \(\diam(S)\) voor de diameter van \(S\text{.}\) Bekijk een keten van deelverzamelingen \(S_0\supseteq S_1\supseteq S_2\supseteq\cdots\) van \(X\) zodanig dat

\begin{equation*} \diam(S_n)\to 0\quad\text{als }n\to\infty. \end{equation*}

Bewijs dat \(\bigcap_{n=0}^\infty S_n\) ten hoogste één punt bevat.

5.

Zij \(I\) het eenheidsinterval \([0,1]\) en \(V\) het eenheidsvierkant \([0,1]\times[0,1]\text{,}\) beide met de euclidische metriek, en zij \(C(I,V)\) de verzameling van continue afbeeldingen \(I\to V\text{.}\) Aangezien \(V\) begrensd is, is \(C(I,V)\) gelijk aan de verzameling \(\BC(I,V)\) van begrensde continue afbeeldingen \(I\to V\text{.}\) In deze opgave gebruiken we de volledigheid van \(C(I,V)\) met betrekking tot de uniforme metriek \(D\) op \(C(I,V)=\BC(I,V)\) om een vlakvullende kromme te construeren, d.w.z. een surjectieve continue afbeelding \(I\to V\text{.}\)

  1. Laat zien dat het mogelijk is om \(V\) voor elke \(n\ge0\) op een zodanige manier op te delen in \(2^n\times 2^n\) vierkanten \(V_{n,k}\) met zijden van lengte \(2^{-n}\text{,}\) voor \(0\le k\le 4^n-1\) (dus \(V_{n,k} = [a_{n,k},b_{n,k}]\times[c_{n,k},d_{n,k}]\) met \(a_{n,k}\text{,}\) \(b_{n,k}\text{,}\) \(c_{n,k}\text{,}\) \(d_{n,k} \in [0,1]\cap 2^{-n}\Z\)) dat het volgende geldt: voor \(n\ge0\) en \(0\le k\lt 4^n-1\) hebben \(V_{n,k}\) en \(V_{n,k+1}\) een zijde gemeen, en voor \(n\ge0\) en \(0\le k\le 4^n - 1\) geldt

    \begin{equation*} V_{n,k} = V_{n+1,4k}\cup V_{n+1,4k+1} \cup V_{n+1,4k+2}\cup V_{n+1,4k+3}. \end{equation*}

  2. Zij \(P_{n,k}\) het middelpunt van \(V_{n,k}\text{.}\) Construeer continue afbeeldingen

    \begin{equation*} f_n\colon I\to V\qquad(n\ge0) \end{equation*}
    zodanig dat het beeld van \(f_n\) alle punten \(P_{n,k}\) bevat en zodanig dat \((f_n)_{n\ge0}\) een Cauchyrij in \(C(I,V)\) is.

  3. Laat zien dat als \(f\) de limiet van een rij als in (b) is, het beeld van \(f\) dicht ligt in \(V\text{.}\)

  4. Zij \(f\colon I\to V\) een continue afbeelding. Bewijs dat het beeld van \(f\) gesloten is in \(V\text{.}\) (Aanwijzing: gebruik de stelling van Bolzano–Weierstraß.)

  5. Concludeer dat er een surjectieve continue afbeelding \(I\to V\) bestaat.

[Het eerste voorbeeld van zo'n afbeelding werd gegeven door Peano in 1890. De constructie uit deze opgave is gebaseerd op een voorbeeld van Hilbert uit 1891.]

6.

Zij \(X\) de metrische deelruimte \(\{2^{-n}\mid n\ge0\}\) van \(\R\text{.}\)

  1. Laat zien dat \(X\) discreet, maar niet volledig is.

  2. Beschrijf de completering van \(X\text{.}\) Laat zien dat deze niet discreet is.

7.

Zijn \((X,d)\) en \((X',d')\) twee metrische ruimten, en zij \(i\colon X\to X'\) een afbeelding. Bewijs dat \(i\colon X\to X'\) een completering van \((X,d)\) is dan en slechts dan als aan de volgende drie voorwaarden voldaan is:

  1. \((X', d')\) is volledig;

  2. \(i\) is een isometrie;

  3. \(i(X)\) ligt dicht in \(X'\text{.}\)

8.

Zij \(X\) een metrische deelruimte van \(\R^n\) (met de euclidische metriek), en zij \(\bar X\) de afsluiting van \(X\) in \(\R^n\text{.}\) Bewijs dat \(\bar X\) samen met de inclusieafbeelding \(X\to\bar X\) een completering van \(X\) is.

9.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Zij \(\tilde X\) de verzameling van equivalentieklassen van Cauchyrijen in \(X\) als in het bewijs van propositie 4.13.

  1. Laat zien dat voor twee Cauchyrijen \((x_n)_{n\ge0}\) en \((y_n)_{n\ge0}\) in \(X\) de limiet aan de rechterkant van (4.1) bestaat.

  2. Laat zien dat voor twee elementen \(\tilde x,\tilde y\in\tilde X\) de limiet aan de rechterkant van (4.1) niet afhangt van de keuze van de representanten \((x_n)_{n\ge0}\) en \((y_n)_{n\ge0}\text{,}\) en dus een functie \(\tilde d\colon\tilde X\times\tilde X\to\R\) definieert.

  3. Laat zien dat \(\tilde d\) een metriek op \(\tilde X\) is.

  4. Laat zien dat de metrische ruimte \((\tilde X,\tilde d)\) volledig is.