Topologie

Neem aan dat \(\emptyset\notin\cF\) en voor alle \(F\subseteq X\) geldt \(F\in\cF\) of \(X\setminus F\in\cF\text{.}\) Dan geldt \(\cF\ne\cP(X)\text{.}\) Zij \(\cF'\) een filter dat strikt groter is dan \(\cF\text{.}\) Dan is er een \(F\in\cF'\setminus\cF\text{,}\) en deze voldoet aan \(X\setminus F\in\cF\subset\cF'\text{.}\) Er volgt \(\emptyset=F\cap(X\setminus F)\in\cF'\text{,}\) dus \(\cF'=\cP(X)\text{.}\) We concluderen dat \(\cF\) een ultrafilter is.

Neem omgekeerd aan dat \(\cF\) een ultrafilter is. Dan geldt \(\emptyset\notin\cF\text{,}\) anders zou \(\cF\) gelijk zijn aan \(\cP(X)\text{.}\) Zij \(F\subseteq X\text{,}\) en zij \(\cF_F\) de collectie van alle deelverzamelingen \(H\subseteq X\) waarvoor er een \(G\in\cF\) bestaat met \(F\cap G\subseteq H\text{.}\) De volgende beweringen zijn nu niet moeilijk te bewijzen:

• \(\cF_F\) is een filter;
• er geldt \(\cF\subseteq\cF_F\text{;}\)
• er geldt \(F\in\cF_F\text{.}\)

Stel nu dat \(X\setminus F\) niet in \(\cF\) zit. Dan volgt \(\cF_F\ne\cP(X)\text{,}\) en omdat \(\cF\) een ultrafilter is, is \(\cF_F\) gelijk aan \(\cF\text{.}\) In het bijzonder geldt \(F\in\cF\text{.}\)

Dit is een gevolg van het lemma van Zorn, dat op zijn beurt equivalent is met het keuzeaxioma. We verwijzen naar paragraaf 15 van het dictaat Algebra II voor een inleiding en meer toepassingen van het lemma van Zorn.

De collectie \(\Omega_\cF\) van filters \(\cF'\supseteq\cF\) met \(\emptyset\notin\cF'\) is een niet-lege partieel geordende verzameling onder inclusie. Elke keten (totaal geordende deelverzameling) in \(\Omega_\cF\) heeft een bovengrens, namelijk de vereniging van de keten. Wegens het lemma van Zorn bevat \(\Omega_\cF\) een maximaal element \(\cF'\text{.}\) Zo'n \(\cF'\) is per constructie een ultrafilter dat \(\cF\) bevat.

1. Zij \(N\) een omgeving van \(x\) en \(F\in\cF\text{.}\) Omdat \(x\) een limiet van \(\cF\) is, geldt ook \(N\in\cF\text{,}\) dus \(N\cap F\in\cF\text{,}\) en omdat \(\emptyset\notin\cF\) volgt \(N\cap F\ne\emptyset\text{.}\)
2. Zij \(N\) een omgeving van \(x\text{.}\) Omdat \(N\) niet-lege doorsnede heeft met elk element van \(\cF\text{,}\) geldt \(X\setminus N\notin\cF\text{.}\) Wegens lemma A.7 en de aanname dat \(\cF\) een ultrafilter is, volgt \(N\in\cF\text{.}\)

(1)\(\;\Longrightarrow\;\)(2)

Neem aan dat elk ultrafilter op \(X\) convergeert, en zij \(\cF\) een filter op \(X\) met \(\cF\ne\cP(X)\text{.}\) Wegens lemma A.8 is \(\cF\) bevat in een ultrafilter \(\cF'\text{.}\) Per aanname heeft \(\cF'\) een limiet \(x\text{.}\) Uit lemma A.12 volgt dat \(x\) een ophopingspunt van \(\cF'\) is, en dus ook van \(\cF\text{.}\)

(2)\(\;\Longrightarrow\;\)(3)

Neem aan dat elk filter op \(X\) ongelijk aan \(\cP(X)\) een ophopingspunt heeft. Zij \(\cG\) een collectie gesloten deelverzamelingen van \(X\) zodanig dat elke eindige deelcollectie van \(\cG\) niet-lege doorsnede heeft. Dan is de collectie

\begin{equation*} \cF = \{F\subseteq X\mid F \text{ bevat een eindige doorsnede van elementen van }\cG\} \end{equation*}

een filter op \(X\) met \(\emptyset\notin\cF\text{.}\) Per aanname heeft \(\cF\) een ophopingspunt \(x\text{.}\) Voor alle \(G\in\cG\) geldt \(x\in G\text{,}\) anders zou \(X\setminus G\) een omgeving van \(x\) zijn die lege doorsnede had met \(G\in\cF\text{.}\) We concluderen dat \(\bigcap_{G\in\cG}G\) niet leeg is.

(3)\(\;\Longrightarrow\;\)(4)

Dit hebben we gezien in propositie 9.15.

(4)\(\;\Longrightarrow\;\)(1)

Neem aan dat \((X,\T)\) compact is, en zij \(\cF\) een ultrafilter op \(X\text{.}\) Stel dat \(\cF\) niet convergeert. Dan heeft elk punt \(x\in X\) een open omgeving die niet in \(\cF\) ligt. Zij \(\cU\) de collectie van alle open verzamelingen van \((X,\T)\) die niet in \(\cF\) liggen. Dan is \(\cU\) een open overdekking van \(X\) en heeft dus een eindige deeloverdekking \(\cU'\text{.}\) Wegens lemma A.7 bevat \(\cF\) de verzamelingen \(X\setminus U\) met \(U\in\cU'\text{,}\) dus ook de doorsnede van deze verzamelingen. Omdat \(\cU'\) een overdekking van \(X\) is, is deze doorsnede echter leeg, een tegenspraak. We concluderen dat \(\cF\) convergeert.

1. Dit volgt uit lemma A.7.

2. Stel dat \(\cF\) naar \(x\) convergeert. Zij \(i\in I\text{,}\) en zij \(N\) een omgeving van \(x_i\) in \(X_i\text{.}\) Dan is \(p_i^{-1}N\) een omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\) Per aanname geldt \(p_i^{-1}N\in\cF\text{,}\) dus \(N\in\cF_i\text{.}\) Hieruit volgt dat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert.

   Stel nu dat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert voor alle \(i\in I\text{.}\) Bekijk eerst een \(i\in I\) en een open omgeving \(U\) van \(x_i\) in \(X_i\text{.}\) Omdat \(\cF_i\) naar \(x_i\) convergeert, geldt \(U\in\cF_i\text{,}\) en dus \(p_i^{-1}U\in\cF\text{.}\) Door eindige doorsneden te nemen, zien we dat \(\cF\) elke open omgeving van \(x\) in \(X\) bevat, en hiermee ook elke omgeving van \(x\) in \(X\text{.}\) We concluderen dat \(\cF\) naar \(x\) convergeert.

Zij \((X_i)_{i\in I}\) een geïndexeerde collectie van compacte topologische ruimten, zij \(X=\prod_{i\in I}X_i\) de productruimte. Wegens stelling A.13 convergeren alle ultrafilters op de ruimten \(X_i\) en volstaat het om te bewijzen dat elk ultrafilter op \(X\) convergeert.

Zij \(\cF\) een ultrafilter op \(X\text{.}\) We bekijken de ultrafilters \(\cF_i\) op de \(X_i\) zoals in lemma A.14. Per aanname convergeren deze \(\cF_i\text{.}\) Wegens het keuzeaxioma bestaat er een punt \(x=(x_i)_{i\in I}\in X\) zodanig dat \(x_i\) een limiet van \(\cF_i\) is voor elke \(i\in I\text{.}\) Uit lemma A.14 volgt nu dat \(x\) een limiet van \(\cF\) is.

We hebben hierboven een bewijs gegeven van de stelling van Tichonov. We gaan nu bewijzen dat de stelling van Tichonov het keuzeaxioma impliceert.

Zij \((X_i)_{i\in I}\) een willekeurige geïndexeerde collectie niet-lege verzamelingen, en zij \(X=\prod_{i\in I}X_i\) de productverzameling. We moeten bewijzen dat \(X\) niet leeg is.

Voor elke \(i\in I\) definiëren we de topologische ruimte \(Y_i=X_i\sqcup\{\infty\}\text{,}\) waarbij \(X_i\) en \(\{\infty\}\) beide de triviale topologie hebben en \(Y_i\) de topologie van de disjuncte vereniging heeft. Dan heeft elke \(Y_i\) slechts 4 open deelverzamelingen en is dus compact. Zij \(Y\) de productruimte \(\prod_{i\in I} Y_i\text{.}\) Voor elke \(i\in I\) definiëren we een gesloten deelverzameling \(F_i = p_i^{-1} X_i\subseteq Y\text{,}\) waarbij \(p_i\colon Y\to Y_i\) de projectieafbeelding is en we \(X_i\) zien als deelruimte van \(Y_i\text{.}\)

Wegens de stelling van Tichonov is \(Y\) compact. In het bijzonder heeft \(Y\) de eindige-doorsnijdingseigenschap. Voor alle eindige deelverzamelingen \(J\subseteq I\) is de doorsnede \(\bigcap_{j\in J} F_j\) niet leeg: we kunnen namelijk een element \(y=(y_i)_{i\in I}\) in deze doorsnede construeren door voor elke \(j\in J\) een \(y_j\in X_j\) te kiezen en \(y_i=\infty\) te nemen voor \(i\in I\setminus J\text{.}\) Uit de eindige-doorsnijdingseigenschap volgt dat de doorsnede \(\bigcap_{i\in I} F_i\) niet leeg is. Tot slot merken we op dat deze doorsnede precies gelijk is aan \(X\text{.}\)