Overdekkingsruimten en het liften van wegen

Paragraaf 13 Overdekkingsruimten en het liften van wegen

Tot nu toe is er geen topologische ruimte waarvan we kunnen bewijzen dat hij een niet-triviale fundamentaalgroep heeft. In stelling 14.3 zullen we zien dat de fundamentaalgroep van de cirkel \(S^1\) isomorf is met de oneindige cyclische groep \(\Z\text{.}\) Om dit te bewijzen, hebben we een aantal nieuwe noties nodig.

Definitie 13.1.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Een overdekkingsruimte van \(X\) is een paar \((Y,p)\) met \(Y\) een topologische ruimte en \(p\colon Y\to X\) een surjectieve continue afbeelding met de volgende eigenschap: \(X\) heeft een open overdekking \(\cU\) zodanig dat voor elke \(U\in\cU\) de deelruimte \(p^{-1}U\subseteq Y\) een vereniging is van paarsgewijs disjuncte open deelverzamelingen \(V\subseteq Y\) waarvoor de afbeelding \(p|_V\colon V\to U\) een homeomorfisme is. De open verzamelingen \(V\subseteq Y\) heten bladen van \(Y\) over \(U\text{.}\) De afbeelding \(p\) heet een overdekkingsafbeelding.

Opmerking 13.2.

De eis dat \(p^{-1}U\subseteq Y\) een vereniging van paarsgewijs disjuncte open verzamelingen \(V\subseteq Y\) is, impliceert dat de deelruimtetopologie op \(p^{-1}U\) gelijk is aan de topologie van de disjuncte vereniging van de deelruimten \(V\text{.}\) Hieruit volgt dat de voorwaarde op \(p^{-1}U\) in de definitie ook als volgt geformuleerd kan worden: er bestaan een niet-lege discrete topologische ruimte \(S\) en een homeomorfisme \(p^{-1} U\isom S\times U\) zodanig dat de afbeelding \(p^{-1}U\to U\) correspondeert met de projectie \(S\times U\to U\) op de tweede coördinaat.

Voorbeeld 13.3.

We nemen \(X=S^1\) en bekijken de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} p\colon\R&\longrightarrow S^1\\ t&\longmapsto(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)). \end{aligned} \end{equation*}

We beweren dat \(p\) een overdekkingsafbeelding is. We bekijken de open deelverzameling \(U=\{(x,y)\in S^1\mid x>0\}\text{.}\) Er geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} p^{-1}U&=\{t\in\R\mid\cos(2\pi t)>0\}\\ &=\bigsqcup_{n\in\Z}\biggl(n-{1\over4},n+{1\over4}\biggr). \end{aligned} \end{equation*}

Dan is \(p\) voor elke \(n\in\Z\) een homeomorfisme \(\bigl(n-{1\over4},n+{1\over4})\isom U\text{.}\) Een soortgelijke uitspraak geldt voor de open deelverzamelingen van \(S^1\) gedefinieerd door \(x\lt 0\text{,}\) \(y>0\) respectievelijk \(y\lt 0\text{.}\) Hiermee krijgen we een open overdekking van \(S^1\) met de vereiste eigenschap.

Lemma 13.4.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(\gamma\colon[0,1]\to X\) een weg en zij \(\cU\) een open overdekking van \(X\text{.}\) Dan bestaan er \(t_0,t_1,\ldots,t_n\in[0,1]\) met

\begin{equation*} 0=t_0\lt t_1\lt \ldots\lt t_n=1 \end{equation*}

en open verzamelingen \(U_1,U_2,\ldots,U_n\in\cU\) zodanig dat voor alle \(j\in\{1,2,\ldots,n\}\) geldt \(\gamma([t_{j-1},t_j])\subseteq U_j\text{.}\)

Bewijs.

We merken op dat \(\{\gamma^{-1} U\mid U\in\cU\}\) een open overdekking van \([0,1]\) is. Door deze overdekking te verfijnen, krijgen we een open overdekking \(\cV\) van \([0,1]\) met intervallen die open zijn in \([0,1]\) en zodanig dat voor elke \(V\in\cV\) geldt \(\gamma(V)\subseteq U\) voor een \(U\in\cU\text{.}\) Aangezien \([0,1]\) compact is, mogen we aannemen dat \(\cV\) eindig is. Zij \(t_0=0\text{,}\) en zij \(V_1\in\cV\) zodanig dat \(t_0\) in \(V_1\) ligt. Als \(1\) in \(V_1\) ligt, nemen we \(t_1=1\) en zijn we klaar. We kunnen dus aannemen dat \(1\) niet in \(V_1\) ligt. Dan is \(V_1\) te schrijven als \([t_0,b_1)\) met \(b_1\in(t_0,1]\text{;}\) er geldt \(V_1\cap[b_1,1]=\emptyset\text{,}\) dus \(\cV\setminus\{V_1\}\) is een overdekking van \([b_1,1]\) met open deelverzamelingen van \([0,1]\text{.}\) In het bijzonder is \(\bigcup_{V\in\cV\setminus\{V_1\}} V\) een open omgeving van \(b_1\text{;}\) hieruit volgt dat er een element \(t_1\in(t_0,b_1)\) is zodanig dat ook \([t_1,1]\) overdekt wordt door \(\cV\setminus\{V_1\}\text{.}\) We passen het voorgaande argument toe op het interval \([t_1,1]\) en de open overdekking \(\{V\cap[t_1,1]\mid V\in\cV\setminus\{V_1\}\}\text{.}\) Door dit te herhalen (eindig vaak omdat \(\cV\) eindig is), krijgen we de gevraagde \(t_0,t_1,\ldots,t_n\in[0,1]\text{.}\) Voor elke \(j\in\{1,2,\ldots,n\}\) bestaat er per constructie een \(U_j\in\cU\) met \(\gamma([t_{j-1},t_j])\subseteq\gamma(V_j)\subseteq U_j\text{;}\) dit geeft de gevraagde \(U_1,\ldots,U_n\in\cU\text{.}\)

Propositie 13.5.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(x_0\in X\text{,}\) en zij \(\gamma\colon[0,1]\to X\) een weg met \(\gamma(0)=x_0\text{.}\) Zij \(p\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding, en zij \(y\in p^{-1}\{x_0\}\text{.}\) Dan is er een unieke weg \(\tilde\gamma_y\colon[0,1]\to Y\) waarvoor geldt \(p\circ\tilde\gamma_y=\gamma\) en \(\tilde\gamma_y(0)=y\text{.}\)

Bewijs.

Zij \(\cU\) een open overdekking van \(X\) als in de definitie van overdekkingsruimten. We kiezen \(0=t_0\lt t_1\lt \ldots\lt t_n=1\) en \(U_1,\ldots,U_n\in\cU\) als in het bovenstaande lemma. Voor alle \(1\le j\le n\) schrijven we

\begin{equation*} x_j = \gamma(t_j)\in U_{j-1}\cap U_j \end{equation*}

en schrijven we \(p^{-1} U_j\) als een disjuncte vereniging van bladen, dus

\begin{equation*} p^{-1} U_j = \bigsqcup_{V\in\cV_j} V \end{equation*}

met \(\cV_j\) een collectie open deelverzamelingen van \(p^{-1}U_j\) zodanig dat voor elke \(V\in\cV_j\) de continue afbeelding \(p|_V\colon V\to U_j\) een homeomorfisme is. Zij \(y_0=y\text{,}\) en zij \(V_1\in\cV_1\) het blad van \(p^{-1}U_1\) dat \(y_0\) bevat. Per aanname is de afbeelding

\begin{equation*} p|_{V_1}\colon V_1\to U_1 \end{equation*}

een homeomorfisme. We definiëren

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde\gamma_1\colon[t_0,t_1]&\longrightarrow V_1\\ t&\longmapsto(p|_{V_1})^{-1}(\gamma(t)). \end{aligned} \end{equation*}

Dan is \(\tilde\gamma_1\colon[t_0,t_1]\to Y\) een weg van \(y_0\) naar een tweede punt \(y_1=\tilde\gamma_1(t_1)\in V_1\subseteq Y\text{.}\) Zij \(V_2\in\cV_2\) het blad van \(p^{-1}U_2\) dat \(y_1\) bevat. We definiëren

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde\gamma_2\colon[t_1,t_2]&\longrightarrow V_2\\ t&\longmapsto (p|_{V_2})^{-1}(\gamma(t)) \end{aligned} \end{equation*}

en \(y_2 = \tilde\gamma_2(t_2)\text{.}\) Zo verdergaand vinden we achtereenvolgens open deelverzamelingen \(V_j\subseteq Y\text{,}\) punten \(y_j\in V_j\) met \(p(y_j)=x_j\) en continue afbeeldingen

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde\gamma_j\colon[t_{j-1},t_j]&\longrightarrow V_j\\ t&\longmapsto(p|_{V_j})^{-1}(\gamma(t)) \end{aligned} \end{equation*}

met \(\tilde\gamma_j(t_{j-1})=y_{j-1}\) en \(\tilde\gamma_j(t_j)=y_j\text{.}\) Wegens \(\tilde\gamma_j(t_j)=y_j=\tilde\gamma_{j+1}(t_j)\) is er een unieke weg

\begin{equation*} \tilde\gamma\colon[0,1]\to Y \end{equation*}

waarvan de beperking tot \([t_{j-1},t_j]\) voor alle \(j\in\{1,2,\ldots,n\}\) gelijk is aan \(\tilde\gamma_j\text{.}\) We moeten nog bewijzen dat \(\tilde\gamma_j\) de unieke continue afbeelding \([t_{j-1},t_j]\to Y\) is die voldoet aan \(\tilde\gamma_j(t_{j-1})=y_{j-1}\) en \(p\circ\tilde\gamma_j=\gamma|_{[t_{j-1},t_j]}\text{.}\) Wegens \(\gamma([t_{j-1},t_j])\subseteq U_j\) is het beeld \(\tilde\gamma_j([t_{j-1},t_j])\) van zo'n afbeelding \(\tilde\gamma_j\) bevat in \(p^{-1}U_j\text{.}\) Dit beeld is bovendien samenhangend, bevat het punt \(y_{j-1}\in V_j\) en is dus (omdat \(V_j\) een vereniging van samenhangscomponenten van \(p^{-1}U_j\) is) bevat in \(V_j\text{.}\) Omdat \(p|_{V_j}\) een homeomorfisme is, volgt dat zo'n afbeelding \(\tilde\gamma_j\) noodzakelijkerwijs gegeven wordt door de bovenstaande definitie. We concluderen dat \(\tilde\gamma\) de unieke weg met de gevraagde eigenschap is.

Definitie 13.6.

De weg \(\tilde\gamma_y\) als boven heet de lift van \(\gamma\) naar de overdekkingsruimte \(Y\) met beginpunt \(y\text{.}\)

Voorbeeld 13.7.

Zij \(X=S^1\text{,}\) en zij \(x_0=(1,0)\in S^1\text{.}\) Voor elke \(n\in\Z\) definiëren we een lus \(\gamma^n\in P(S^1;x_0)\) door

\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma^n\colon[0,1]&\longrightarrow S^1\\ s&\longmapsto(\cos(2\pi n s),\sin(2\pi n s)). \end{aligned} \end{equation*}

We bekijken opnieuw de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} p\colon\R&\longrightarrow S^1\\ t&\longmapsto(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t)). \end{aligned} \end{equation*}

Er geldt

\begin{equation*} p^{-1}\{x_0\}=\Z\subseteq\R. \end{equation*}

Voor alle \(m\in p^{-1}\{x_0\}=\Z\) en alle \(n\in\Z\) is de weg \(\widetilde{(\gamma^n)}_m\colon[0,1]\to\R\) gegeven door

\begin{equation*} \widetilde{(\gamma^n)}_m(s) = m + ns. \end{equation*}

Propositie 13.8.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(x_0\in X\text{,}\) en zij \(\Gamma\colon [0,1]\times[0,1]\to X\) een continue afbeelding met \(\Gamma(0,0)=x_0\text{.}\) Zij \(p\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding, en zij \(y\in p^{-1}\{x_0\}\text{.}\)

Er bestaat een unieke continue afbeelding \(\tilde\Gamma\colon[0,1]\times[0,1]\to Y\) zodanig dat \(p\circ\tilde\Gamma=\Gamma\) en \(\tilde\Gamma(0,0)=y\text{.}\)
Als \(\Gamma\) een weghomotopie is, dan is \(\tilde\Gamma\) ook een weghomotopie.

Bewijs.

Dit gaat op een soortgelijke manier als het bewijs van propositie 13.5. We geven hier een constructie die niet direct laat zien dat \(\tilde\Gamma\) continu is; zie bijvoorbeeld [Runde, Lemma 5.2.4] voor een volledig bewijs. We definiëren eerst
\begin{equation*} \begin{aligned} \Gamma_0\colon[0,1]&\longrightarrow X\\ t&\longmapsto\Gamma(t,0). \end{aligned} \end{equation*}
Wegens propositie 13.5 is er een unieke weg \(\tilde\Gamma_0\colon[0,1]\to Y\) waarvoor geldt \(p\circ\tilde\Gamma_0 = \Gamma_0\) en \(\tilde\Gamma_0(0)=x_0\text{.}\) Voor elke \(t\in[0,1]\) bekijken we nu de weg
\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_t\colon[0,1]&\longrightarrow X\\ s&\longmapsto\Gamma(t,s). \end{aligned} \end{equation*}
Er geldt
\begin{equation*} \begin{aligned} \gamma_t(0)&=\Gamma(t,0)\\ &=\Gamma_0(t)\\ &=p(\tilde\Gamma_0(t)). \end{aligned} \end{equation*}
Wegens propositie 13.5 is er een unieke weg \(\tilde\gamma_t\colon[0,1]\to Y\) zodanig dat \(p\circ\tilde\gamma_t=\gamma_t\) en \(\tilde\gamma_t(0)=\Gamma_0(t)\text{.}\) We definiëren
\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde\Gamma\colon[0,1]\times[0,1]&\longrightarrow Y\\ (t,s)&\longmapsto\tilde\gamma_t(s). \end{aligned} \end{equation*}
Zoals gezegd, bewijzen we hier niet dat \(\tilde\Gamma\) continu is.
Stel dat \(\Gamma\) een weghomotopie is. Dan geldt \(\Gamma(t,0)=x_0\) voor alle \(t\in[0,1]\text{.}\) Hieruit volgt dat de afbeelding \(t\mapsto\tilde\Gamma(t,0)\) een lift van de constante weg \(t\mapsto x_0\) is met beginpunt \(y\text{.}\) Ook de afbeelding \(t\mapsto y\) is zo'n lift. Wegens uniciteit van lifts impliceert dit \(\tilde\Gamma(t,0)=y\) voor alle \(t\in[0,1]\text{.}\) Op dezelfde manier zien we dat \(t\mapsto\tilde\Gamma(t,1)\) een constante weg is. Hieruit volgt dat \(\tilde\Gamma\) een weghomotopie is.

Gevolg 13.9.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zijn \(x_0,x_1\in X\text{,}\) en zijn \(\gamma,\gamma'\in P(X;x_0,x_1)\) twee wegen die weghomotoop zijn. Zij \(p\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding, en zijn \(\tilde\gamma,\tilde\gamma'\colon[0,1]\to Y\) lifts van \(\gamma\) respectievelijk \(\gamma'\text{.}\) Als \(\tilde\gamma\) en \(\tilde\gamma'\) hetzelfde beginpunt hebben, dan hebben ze ook hetzelfde eindpunt.

Opgaven Opgaven

1.

Beschouw de eenheidscirkel \(S^1\) als de deelruimte \(\{z\in\C\mid |z|=1\}\text{.}\) Zij \(n\) een positief geheel getal. Laat zien dat de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} f_n\colon S^1&\longrightarrow S^1\\ z&\longmapsto z^n \end{aligned} \end{equation*}

een overdekkingsafbeelding is.

2.

Zijn \(X\) en \(S\) topologische ruimten met \(S\) discreet en niet leeg. We definiëren een continue afbeelding \(p\colon X\times S\to X\) door \(p(x,s)=x\text{.}\) Bewijs dat \(p\) een overdekkingsafbeelding is.

3.

Zij \(f\colon Y\to X\) een continue afbeelding. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:

\(f\) is een overdekkingsafbeelding;
voor elke \(x\in X\) is er een open omgeving \(U\) van \(x\) in \(X\) zodanig dat \(f|_V\colon V\to U\) een overdekkingsafbeelding is, waarbij \(V=f^{-1}U\text{.}\)

4.

Zij \(f\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding zodanig dat voor elke \(x\in X\) de verzameling \(f^{-1}\{x\}\) eindig is. We definiëren een functie \(d\colon X\to\Z\) door \(d(x)=\#(f^{-1}\{x\})\text{.}\)

Zij \(x\in X\text{.}\) Bewijs dat er een open omgeving \(U\) van \(x\) in \(X\) bestaat zodanig dat voor alle \(x'\in U\) geldt \(d(x')=d(x)\text{.}\)
Laat zien dat voor elke \(n\in\Z\) de verzameling \(\{x\in X\mid d(x)=n\}\) zowel open als gesloten is.
Stel dat \(X\) samenhangend is. Laat zien dat de functie \(d\colon X\to\Z\) constant is.

5.

Zij \(f\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding.

Stel dat \(X\) een Hausdorffruimte is. Bewijs dat \(Y\) een Hausdorffruimte is.
Stel dat \(Y\) een Hausdorffruimte is en dat voor elke \(x\in X\) de deelverzameling \(f^{-1}\{x\}\subseteq Y\) eindig is. Bewijs dat \(X\) een Hausdorffruimte is.

6.

Zij \(Y=\R^2\setminus\{(0,0)\}\text{,}\) en zij \(\sim\) de equivalentierelatie op \(Y\) waarvoor geldt \((x,y)\sim(x',y')\) dan en slechts dan als er een \(n\in\Z\) bestaat met \((x',y')=(2^nx,2^{-n}y)\text{.}\) Zij \(X\) de quotiëntruimte \(Y/{\sim}\text{,}\) en zij \(q\colon Y\to X\) de quotiëntafbeelding.

Laat zien dat \(q\) een overdekkingsafbeelding is.
Laat zien dat \(X\) geen Hausdorffruimte is.