Spring

Paragraaf 1 Metrische ruimten

In de topologie wordt onder andere het begrip continuïteit uit de analyse gegeneraliseerd.

Definitie 1.1.

Zij \(D\) een deelverzameling van \(\R\text{.}\) Een functie \(f\colon D\to\R\) is continu in een punt \(x\) als er voor alle \(\epsilon>0\) een \(\delta>0\) bestaat zodat voor alle \(y\in D\) geldt

\begin{equation*} |y-x|\lt\delta\;\Longrightarrow\;|f(y)-f(x)|\lt\epsilon. \end{equation*}

Onnauwkeurig gezegd: als \(y\) dicht genoeg bij \(x\) ligt, dan ligt \(f(y)\) dicht bij \(f(x)\text{.}\) Het begrip afstand lijkt voor de notie van continuïteit dus van belang te zijn. De eerste stap in de richting van een algemene definitie van continue afbeeldingen (hiervoor zullen we later het begrip topologische ruimte introduceren) is het definiëren van ruimten die voorzien zijn van een afstandsfunctie. We zullen later echter een definitie van continuïteit invoeren die niet naar een afstandsfunctie verwijst.

Definitie 1.2.

Een metriek of afstandsfunctie op een verzameling \(X\) is een functie

\begin{equation*} d\colon X\times X\to\R \end{equation*}

met de volgende eigenschappen:

  1. Voor alle \(x,y\in X\) geldt \(d(x,y)\ge0\text{,}\) met gelijkheid dan en slechts dan als geldt \(x=y\) (positief-definietheid).
  2. Voor alle \(x,y\in X\) geldt \(d(x,y)=d(y,x)\) (symmetrie).
  3. Voor alle \(x,y,z\in X\) geldt \(d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)\) (driehoeksongelijkheid).

Een metrische ruimte is een paar \((X,d)\) waarbij \(X\) een verzameling is en \(d\colon X\times X\to\R\) een metriek.

Als de metriek \(d\) uit de context duidelijk is, wordt \((X,d)\) vaak afgekort tot \(X\text{.}\)

Voorbeeld 1.3.

Zij \(X=\R^n\) met \(n\ge0\text{.}\) De functie

\begin{equation*} \begin{aligned} d\colon\R^n\times\R^n&\longrightarrow\R\\ (x,y)&\longmapsto\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2} \end{aligned} \end{equation*}

is een metriek. Deze heet de euclidische metriek op \(\R^n\text{.}\)

Voorbeeld 1.4.

De functie

\begin{equation*} \begin{aligned} d\colon\Z^2\times\Z^2&\longrightarrow\R\\ ((x,y),(x',y'))&\longmapsto|x-x'|+|y-y'| \end{aligned} \end{equation*}

is een metriek op \(\Z^2\text{.}\) Deze staat bekend als de Manhattan- of taximetriek.

Voorbeeld 1.5.

Zij \((F,d)\) een metrische ruimte en \(p\in F\text{.}\) Stel dat voor alle \(x,y\in F\) geldt

\begin{equation*} x\ne y\;\Longrightarrow\;d(x,y)=d(x,p)+d(p,y). \end{equation*}

Dan noemen we \(d\) een Franse-spoorwegmetriek met centrum \(p\text{.}\) (De snelste treinreis tussen twee Franse steden loopt vaak via Parijs.)

Voorbeeld 1.6.

Zij \(X\) een verzameling en definieer \(d\colon X\times X\to\R\) door

\begin{equation*} d(x,y)=\begin{cases} 0& \text{voor } x=y,\\ 1& \text{voor } x\ne y. \end{cases} \end{equation*}

Dan is \((X,d)\) een metrische ruimte. Dit is een voorbeeld van een discrete metrische ruimte.

Voorbeeld 1.7.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zij \(Y\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Dan is de beperking \(d|_{Y\times Y}\) van \(d\) tot de deelverzameling \(Y\times Y\) van \(X\times X\) een metriek op \(Y\) (ga na). Metrische ruimten van de vorm \((Y,d|_{Y\times Y})\) heten metrische deelruimten van \((X,d)\text{.}\)

Naar analogie met de euclidische metriek op \(\R^n\) zullen we nu achtereenvolgens open ballen, open verzamelingen en gesloten verzamelingen in algemene metrische ruimten definiëren.

Definitie 1.8.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, zij \(x\in X\) en zij \(r\) een positief reëel getal. De open bal van straal \(r\) om \(x\) is de deelverzameling \(B_r(x)\subseteq X\) gedefinieerd door

\begin{equation*} B_r(x)=\{y\in X\mid d(x,y)\lt r\}. \end{equation*}
Voorbeeld 1.9.

In het geval \(X=\R\) (met de euclidische metriek) zijn open ballen hetzelfde als niet-lege, begrensde, open intervallen.

Definitie 1.10.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Een open deelverzameling van \(X\) is een deelverzameling \(U\subseteq X\) zodanig dat er voor elke \(x\in U\) een \(\epsilon>0\) bestaat zodanig dat \(B_\epsilon(x)\) bevat is in \(U\text{.}\)

  1. Zij \(B_\epsilon(x)\) een open bal van straal \(\epsilon>0\) om een punt \(x\in X\text{,}\) en zij \(y\in B_\epsilon(x)\text{.}\) We moeten bewijzen dat er een \(\delta>0\) bestaat zodanig dat de open bal \(B_\delta(y)\) van straal \(\delta\) om \(y\) in \(B_\epsilon(x)\) bevat is. We kiezen \(\delta=\epsilon-d(x,y)\text{;}\) dit is positief omdat \(y\) in \(B_\epsilon(x)\) ligt. Voor alle \(z\in B_\delta(y)\) geldt nu
    \begin{equation*} \begin{aligned} d(x,z)&\le d(x,y)+d(y,z)\\ &\lt d(x,y)+\delta\\ &=\epsilon, \end{aligned} \end{equation*}
    en hiermee is bewezen dat \(B_\delta(y)\) bevat is in \(B_\epsilon(x)\text{.}\)
  2. Zij \(U\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Stel dat \(U\) een vereniging van open ballen is, en zij \(x\in U\text{.}\) Wegens de aanname bestaan er \(y\in X\) en \(\epsilon>0\) zodanig dat
    \begin{equation*} x\in B_\epsilon(y)\subseteq U. \end{equation*}
    Wegens (a) is \(B_\epsilon(y)\) open, dus er is een open bal rond \(x\) die bevat is in \(B_\epsilon(y)\) en dus in \(U\text{.}\) Omdat dit voor alle \(x\in U\) geldt, volgt dat \(U\) open is. Stel omgekeerd dat \(U\) open is. Dan is voor elke \(x\in U\) de verzameling
    \begin{equation*} E(x,U)=\{\epsilon>0\mid B_\epsilon(x)\subseteq U\} \end{equation*}
    niet-leeg. Er geldt dus
    \begin{equation*} x\in\bigcup_{\epsilon\in E(x,U)} B_\epsilon(x)\subseteq U. \end{equation*}
    Nemen we nu de vereniging over alle \(x\in U\text{,}\) dan zien we
    \begin{equation*} U=\bigcup_{x\in U}\bigcup_{\epsilon\in E(x,U)} B_\epsilon(x), \end{equation*}
    dus \(U\) is een vereniging van open ballen.
Definitie 1.12.

Zij \(X\) een metrische ruimte. Een gesloten deelverzameling van \(X\) is een deelverzameling \(F\subseteq X\) zodanig dat het complement \(X\setminus F\) een open deelverzameling van \(X\) is.

Voorbeeld 1.13.

Zij \(X\) een metrische ruimte, \(x\in X\) en \(r>0\text{.}\) De gesloten bal van straal \(r\) om \(x\) is gedefinieerd als

\begin{equation*} B_r[x]=\{y\in X\mid d(x,y)\le r\}. \end{equation*}

We beweren dat \(B_r[x]\) inderdaad een gesloten deelverzameling van \(X\) is, met andere woorden dat \(X\setminus B_r[x]\) open is. Zij \(y\in X\setminus B_r[x]\text{;}\) dan geldt \(d(x,y)>r\text{.}\) We schrijven \(\epsilon = d(x,y) - r\text{.}\) Voor alle \(z\) in de open bal \(B_\epsilon(y)\) geeft de driehoeksongelijkheid

\begin{equation*} d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)\lt d(x,z)+\epsilon. \end{equation*}

Hieruit volgt

\begin{equation*} d(x,z)>d(x,y)-\epsilon = r, \end{equation*}

dus \(B_\epsilon(y)\) is bevat in \(X\setminus B_r[x]\text{,}\) hetgeen we moesten bewijzen.

  1. Zij \(\cU\) een collectie open deelverzamelingen van \(X\text{,}\) en zij \(U'\) de verzameling \(\bigcup_{U\in\cU} U\text{.}\) Wegens propositie 1.11 is elke \(U\in\cU\) een vereniging van open ballen, en derhalve geldt dit ook voor \(U'\text{.}\)
  2. We bewijzen met inductie naar \(n\) dat de doorsnede van \(n\) open deelverzamelingen open is. Het geval \(n=0\) (\(X\) is open) volgt uit de definitie van open deelverzamelingen. Stel dat voor gegeven \(n\ge0\) elke doorsnede van \(n\) open deelverzamelingen open is. Als \(U_0, \ldots, U_n\) open zijn, dan is \(U=\bigcap_{i=0}^{n-1} U_i\) open wegens de inductieveronderstelling; we moeten bewijzen dat \(U'=U\cap U_n\) open is. Zij \(x\in U'\text{.}\) Er bestaan \(\epsilon>0\) en \(\epsilon_n>0\) met \(B_{\epsilon}(x)\subseteq U\) en \(B_{\epsilon_n}(x)\subseteq U_n\text{.}\) Neem nu \(\epsilon'=\min\{\epsilon,\epsilon_n\}\text{;}\) dan geldt \(B_{\epsilon'}(x)\subseteq U'\text{.}\) Dit geldt voor alle \(x\in U'\text{,}\) dus \(U'\) is open.

De beweringen (c) en (d) volgen uit (a) en (b) door het nemen van complementen.

Opmerking 1.15.

Als \(\cY\) een collectie deelverzamelingen van \(X\) is, dan zijn de verzamelingen \(\bigcup_{Y\in\cY} Y\) en \(\bigcap_{Y\in\cY} Y\) voor \(\cY=\emptyset\) gelijk aan \(\emptyset\) respectievelijk \(X\text{.}\) In het bijzonder volgt uit de propositie dat \(\emptyset\) en \(X\) zowel open als gesloten deelverzamelingen van \(X\) zijn.

Voortbouwend op de noties van open en gesloten deelverzamelingen zullen we nu een aantal nieuwe begrippen invoeren. Het blijkt dat dit gedaan kan worden zonder expliciet naar de metriek te verwijzen.

Definitie 1.16.

Zij \(X\) een metrische ruimte, en zij \(x\in X\text{.}\) Een omgeving van \(x\) in \(X\) is een deelverzameling \(N\subseteq X\) zodanig dat er een \(\epsilon>0\) bestaat met \(B_\epsilon(x)\subseteq N\text{.}\)

Een open omgeving van \(x\) is uiteraard een omgeving van \(x\) in \(X\) die ook een open deelverzameling van \(X\) is, oftewel een open deelverzameling \(U\subseteq X\) waarvoor geldt \(x\in U\text{.}\)

Definitie 1.17.

Een metrische ruimte \(X\) heet discreet als voor elke \(x\in X\) de deelverzameling \(\{x\}\) open is in \(X\text{.}\)

Definitie 1.19.

Zij \(X\) een metrische ruimte, en zij \(S\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Het inwendige van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(S^\circ\text{,}\) is de grootste open deelverzameling \(U\subseteq X\) waarvoor geldt \(U\subseteq S\text{.}\) De afsluiting van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(\bar S\text{,}\) is de kleinste gesloten deelverzameling \(F\subseteq X\) waarvoor geldt \(S\subseteq F\text{.}\)

Om er zeker van te zijn dat de definitie van het inwendige betekenis heeft, moeten we nagaan dat er daadwerkelijk zo'n grootste open deelverzameling \(U\subseteq X\) bestaat. Preciezer gezegd betekent dit het volgende. Zij \(\cU\) de verzameling van alle open deelverzamelingen van \(X\) die in \(S\) bevat zijn; dan is \(\cU\) een partieel geordende verzameling onder inclusie. We beweren dat \(\cU\) een (noodzakelijkerwijs uniek) grootste element heeft. Om dit te bewijzen, merken we op dat de verzameling \(U'=\bigcup_{U\in\cU} U\) open is in \(X\) en bevat is in \(S\text{,}\) dus \(U'\) is het (unieke) grootste element van \(\cU\text{.}\) Om een soortgelijke reden heeft ook de definitie van de afsluiting betekenis: de doorsnede van alle gesloten deelverzamelingen die \(S\) bevatten is zelf ook een gesloten deelverzameling die \(S\) bevat, en daarmee automatisch de kleinste.

  1. Stel dat \(x\) in \(S^\circ\) ligt. Omdat \(S^\circ\) open is in \(X\text{,}\) is \(S^\circ\) zelf een omgeving van \(x\) die bevat is in \(S\text{.}\) Stel omgekeerd dat \(x\) een omgeving heeft die bevat is in \(S\text{.}\) Dan heeft \(x\) ook een open omgeving die geheel binnen \(S\) ligt, en deze open omgeving is op haar beurt bevat in \(S^\circ\text{.}\)
  2. Dit volgt uit de volgende keten van equivalenties:
    \begin{equation*} \begin{aligned} x\in\bar S &\iff x\notin(X\setminus S)^\circ\\ &\iff\text{geen enkele omgeving van }x\text{ is bevat in }X\setminus S\\ &\iff\text{elke omgeving van }x\text{ heeft niet-lege doorsnede met }S, \end{aligned} \end{equation*}
    waarbij we in de eerste stap propositie 1.20 gebruikt hebben.
Definitie 1.22.

Zij \(X\) een metrische ruimte, en zij \(S\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) De rand van \(S\) in \(X\text{,}\) notatie \(\partial S\text{,}\) is de gesloten deelverzameling van \(X\) gedefinieerd door

\begin{equation*} \partial S = \bar S\cap\overline{X\setminus S}. \end{equation*}

Dit volgt uit de definitie van \(\partial S\) en propositie 1.21.

Voor elke deelverzameling \(S\subseteq X\) is \(\partial S\) wegens de definitie en propositie 1.20 te schrijven als

\begin{equation*} \partial S = \bar S\setminus S^\circ. \end{equation*}

Dit betekent dat \(X\) te schrijven is als een disjuncte vereniging (d.w.z. een vereniging van deelverzamelingen met paarsgewijs lege doorsnede)

\begin{equation*} \begin{aligned} X &= \bar S \sqcup (X\setminus\bar S)\\ &= \bar S \sqcup (X\setminus S)^\circ\\ &= S^\circ \sqcup \partial S \sqcup (X\setminus S)^\circ. \end{aligned} \end{equation*}
Definitie 1.24.

Zij \(X\) een metrische ruimte. Een deelverzameling \(S\subseteq X\) heet dicht in \(X\) als de afsluiting van \(S\) gelijk is aan \(X\text{.}\)

Waarschuwing 1.25.

Bij het gebruiken van de hierboven ingevoerde begrippen (open en gesloten verzamelingen, inwendige, afsluiting, rand en dichtheid) is het belangrijk om steeds in gedachten te houden op welke omliggende metrische ruimte \(X\) ze betrekking hebben. Bekijk bijvoorbeeld de metrische deelruimte \(X=[0,1)\) van \(\R\text{.}\) Met betrekking tot de metrische ruimte \(X\) geldt: \(X\) is zowel open als gesloten, dus \(X^\circ=X=\bar X\) en \(\partial X=\emptyset\text{,}\) en \(X\) is dicht. Met betrekking tot de metrische ruimte \(\R\) geldt echter: \(X\) is noch open noch gesloten, \(X^\circ=(0,1)\text{,}\) \(\bar X=[0,1]\text{,}\) \(\partial X=\{0,1\}\) en \(X\) is niet dicht.

Opgaven Opgaven

In alle opgaven beschouwen we \(\R^n\text{,}\) tenzij anders aangegeven, als metrische ruimte met behulp van de euclidische metriek

\begin{equation*} d(x,y)=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2}. \end{equation*}
1.

Ga van de volgende deelverzamelingen van \(\R\) na of ze open en of ze gesloten zijn.

  1. \(\emptyset\text{;}\)
  2. \(\R\text{;}\)
  3. \(\displaystyle (0,\infty)\)
  4. \(\displaystyle [0,\infty)\)
  5. \((a,b)\) met \(a,b\in\R\) en \(a\lt b\text{;}\)
  6. \([a,b]\) met \(a,b\in\R\) en \(a\lt b\text{;}\)
  7. \((a,b]\) met \(a,b\in\R\) en \(a\lt b\text{;}\)
  8. \(\Z\text{;}\)
  9. \(\Q\text{;}\)
  10. \(\{n^{-1}\mid n\in\Z,n>0\}\text{.}\)
2.

Ga van de volgende deelverzamelingen van \(\R^2\) na of ze open en of ze gesloten zijn.

  1. \(\{(x,y)\in\R^2\mid x>0\}\text{;}\)
  2. \(\{(x,y)\in\R^2\mid x\lt 0,y\ge 0\}\text{;}\)
  3. \(\{(x,x)\mid x\in\R\}\text{;}\)
  4. \(\{(x,y)\in\R^2\mid y\ge x^2\}\text{;}\)
  5. \(\Z^2\text{;}\)
  6. \(\{(x,\sin(1/x))\mid x>0\}\text{.}\)
3.

In deze opgave laten we zien dat \(\emptyset\) en \(\R\) de enige deelverzamelingen van \(\R\) zijn die (met betrekking tot de euclidische metriek) zowel open als gesloten zijn.

  1. Neem aan dat \(U\subseteq\R\) zowel open als gesloten is. Laat (met behulp van de \(\epsilon\)-\(\delta\)-definitie) zien dat de functie
    \begin{equation*} \begin{aligned} f\colon\R&\longrightarrow\R\\ x&\longmapsto\begin{cases} 1& \text{voor }x\in U,\\ 0& \text{voor }x\notin U\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}
    continu is.
  2. Laat met behulp van de tussenwaardestelling zien dat geldt \(U\in\{\emptyset,\R\}\text{.}\)
4.

Beschrijf een oneindige collectie \(\cU\) van open deelverzamelingen van \(\R\) zodanig dat \(\bigcap_{U\in\cU} U\) géén open deelverzameling van \(\R\) is.

5.

Zij \(S\) een verzameling, en zij \(X\) de verzameling van alle eindige deelverzamelingen van \(S\text{.}\) Voor \(A,B\in X\) definiëren we het symmetrisch verschil \(A\mathbin\triangle B\) als

\begin{equation*} A\mathbin\triangle B=(A\cup B)\setminus(A\cap B). \end{equation*}

Laat zien dat de functie

\begin{equation*} \begin{aligned} d\colon X\times X&\longrightarrow\R\\ (A,B)&\longmapsto\#(A\mathbin\triangle B) \end{aligned} \end{equation*}

een metriek op \(X\) is. (We schrijven \(\#E\) voor de kardinaliteit van een eindige verzameling \(E\text{.}\))

6.

Een metriek \(d\) op een verzameling \(F\) heet een Franse-spoorwegmetriek als er een \(p\in F\) bestaat zodanig dat voor alle \(x,y\in F\) geldt

\begin{equation*} x\ne y\;\Longrightarrow\;d(x,y)=d(x,p)+d(p,y). \end{equation*}

(Zie voorbeeld 1.5.) Stel dat er twee verschillende punten \(p,q\in F\) bestaan met de bovenstaande eigenschap. Bewijs dat \(F\) gelijk is aan \(\{p,q\}\text{.}\)

7.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Laat zien dat elke eindige deelverzameling van \(X\) gesloten is.

8.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zij \(Y\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Bewijs dat een deelverzameling \(U\subseteq Y\) open is in de metrische ruimte \((Y,d|_{Y\times Y})\) dan en slechts dan als er een open deelverzameling \(V\) van \((X,d)\) bestaat waarvoor geldt \(U=Y\cap V\text{.}\)

9.

Zij \(S^1=\{(x_1,x_2)\in\R^2\mid x_1^2+x_2^2=1\}\) de eenheidscirkel in \(\R^2\text{.}\) Gegeven twee punten \(x=(x_1,x_2)\) en \(y=(y_1,y_2)\) in \(S^1\) definiëren we \(\theta(x,y)\in[0,\pi]\) als de (ongerichte) hoek tussen \(x\) en \(y\) gezien als vectoren, dus

\begin{equation*} \cos\theta(x,y)=x_1y_1+x_2y_2. \end{equation*}

Bewijs dat \(\theta\) een metriek op \(S^1\) is.

10.

Zij \(p\) een priemgetal. Voor \(x\in\Q^\times\) definiëren we

\begin{equation*} \ord_p(x)=n\quad\text{als }x=p^n{a\over b}\text{ met } a,b\in\Z\setminus p\Z \end{equation*}

en voor \(x\in\Q\) definiëren we de \(p\)-adische absolute waarde van \(x\) als

\begin{equation*} |x|_p=\begin{cases} 0& \text{voor }x=0,\\ p^{-\ord_p(x)}& \text{voor }x\ne 0.\end{cases} \end{equation*}
  1. Laat zien dat \(|\blank|_p\) voldoet aan de sterke driehoeksongelijkheid: voor alle \(x,y\in\Q\) geldt
    \begin{equation*} |x+y|_p\le\max\{|x|_p,|y|_p\}. \end{equation*}
  2. Laat zien dat de functie
    \begin{equation*} \begin{aligned} d_p\colon \Q\times\Q &\longrightarrow\R\\ (x,y)&\longmapsto|x-y|_p \end{aligned} \end{equation*}
    een metriek op \(\Q\) is.
11.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Bekijk de functie

\begin{equation*} \begin{aligned} \tilde d\colon X\times X&\longrightarrow\R\\ (x,y)&\longmapsto{d(x,y)\over 1+d(x,y)}. \end{aligned} \end{equation*}
  1. Bewijs dat \(\tilde d\) een metriek op \(X\) is die voldoet aan \(\tilde d(x,y)\lt 1\) voor alle \(x,y\in X\text{.}\)
  2. Bewijs dat een deelverzameling \(Y\subseteq X\) open is in \((X,d)\) dan en slechts dan als \(Y\) open is in \((X,\tilde d)\text{.}\)
12.

Bewijs dat elke eindige metrische ruimte (d.w.z. elke metrische ruimte \((X,d)\) zodanig dat de verzameling \(X\) eindig is) discreet is.

13.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:

  1. \(X\) is discreet;
  2. voor elke \(x\in X\) bestaat er een \(\epsilon>0\) waarvoor geldt \(B_\epsilon(x) = \{x\}\text{;}\)
  3. elke deelverzameling van \(X\) is open;
  4. elke deelverzameling van \(X\) is gesloten.
14.

Bepaal voor elk van de gegeven verzamelingen \(X\) in de opgaven 1.1 en 1.2 het inwendige \(X^\circ\text{,}\) de afsluiting \(\bar X\) en de rand \(\partial X\text{.}\)

15.

Geldt voor elke metrische ruimte \((X,d)\text{,}\) elke \(x\in X\) en elke \(\epsilon>0\) dat de afsluiting van de open bal \(B_\epsilon(x)\) gelijk is aan de gesloten bal \(B_\epsilon[x]=\{y\in X\mid d(x,y)\le\epsilon\}\text{?}\) Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.

16.

Zij \(X\) een metrische ruimte. Laat zien dat voor alle deelverzamelingen \(S\subseteq X\) geldt

\begin{equation*} X\setminus \bar S = (X\setminus S)^\circ \end{equation*}

en

\begin{equation*} X\setminus S^\circ = \overline{X\setminus S}. \end{equation*}
17.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, en zijn \(A\) en \(B\) deelverzamelingen van \(X\text{.}\) Geef voor elk van de volgende uitspraken een bewijs of een tegenvoorbeeld.

  1. \(\overline{(\bar A)} = \bar A\text{;}\)
  2. \((A^\circ)^\circ = A^\circ\text{;}\)
  3. \(\partial(\partial A) = \partial A\text{;}\)
  4. \(\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B\text{;}\)
  5. \(\overline{A\cap B}=\bar A\cap\bar B\text{;}\)
  6. \((A\cup B)^\circ = A^\circ\cup B^\circ\text{;}\)
  7. \((A\cap B)^\circ = A^\circ\cap B^\circ\text{.}\)
18.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte en \(S\) een deelverzameling van \(X\text{.}\) Bewijs dat \(S\) dicht ligt in \(X\) dan en slechts dan als voor elke \(\epsilon>0\) geldt \(X=\bigcup_{s\in S} B_\epsilon(s)\text{.}\)