Inleiding.
De topologie is het deelgebied van de wiskunde waarin begrippen als ruimte, convergentie en continuïteit systematisch worden gedefinieerd en bestudeerd. Net als in bijvoorbeeld de algebra zijn de definities van de basisconcepten relatief algemeen en daardoor enerzijds abstract, maar anderzijds ook zeer breed toepasbaar. Uiteenlopende toepassingen van de topologie zijn te vinden in de meetkunde, de analyse, de natuurkunde en zelfs de getaltheorie.
Het eerste onderwerp dat in dit dictaat aan bod komt, is de theorie van metrische ruimten. Dit zijn verzamelingen voorzien van een afstandsfunctie. Met behulp hiervan worden begrippen als convergentie van rijen en continuïteit van functies in een breder kader gezet. Ook leggen we de basis voor de theorie van genormeerde vectorruimten.
De behandeling van metrische ruimten is erop gericht om intuïtie en motivatie te bieden voor de overstap naar topologische ruimten. Hier wordt een aantal van de eerder behandelde concepten gegeneraliseerd naar situaties waarin de afstandsfunctie wordt vervangen door een algemenere structuur (een topologie) waarmee men continuïteit van afbeeldingen betekenis kan geven. We bestuderen eigenschappen van individuele topologische ruimten en afbeeldingen daartussen, en vervolgens het begrip homotopie, waarmee het “continu vervormen” van afbeeldingen en ruimten uitgedrukt kan worden.
Het laatste deel van het dictaat gaat over de fundamentaalgroep, een algebraïsch object dat aan een topologische ruimte toegekend kan worden en informatie geeft over de verschillende niet-equivalente manieren waarop men “in een topologische ruimte rond kan lopen”. De fundamentaalgroep en zijn eigenschappen vormen het hoofdingrediënt van het bewijs van de dekpuntsstelling van Brouwer: elke continue afbeelding van de gesloten eenheidsschijf naar zichzelf heeft een vast punt.
Dit dictaat is grotendeels gebaseerd op (delen van) de hoofdstukken 2, 3 en 5 van het boek A Taste of Topology van Volker Runde. Dit boek wordt aanbevolen als aanvullende referentie voor de in dit dictaat behandelde stof. Het dictaat bevat een aantal verwijzingen naar het boek; deze hebben de vorm [Runde, …].