Spring

Paragraaf 2 Convergentie van rijen

De bekende definitie van convergentie voor rijen van reële getallen is zonder problemen te vertalen naar de context van metrische ruimten.

Definitie 2.1.

Zij \((X,d)\) een metrische ruimte, zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(X\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\) De rij \((x_n)_{n\ge 0}\) is convergent (met limiet \(x\)), of convergeert naar \(x\), als er voor alle \(\epsilon>0\) een \(N\ge0\) bestaat zodanig dat voor alle \(n\ge N\) geldt \(d(x,x_n)\lt\epsilon\text{.}\) Notatie: \(x_n\to x\) als \(n\to\infty\text{,}\) of \(\lim_{n\to\infty} x_n = x\text{.}\)

Stel dat de rij twee verschillende limieten \(x\) en \(x'\) heeft. Zij \(\delta=d(x,x')>0\text{.}\) Wegens de definitie van convergentie bestaat er een \(n\ge0\) waarvoor geldt \(d(x,x_n)\lt\delta/2\) en \(d(x',x_n)\lt\delta/2\text{.}\) Hieruit volgt

\begin{equation*} \delta = d(x,x')\le d(x,x_n)+d(x_n,x')\lt\delta/2+\delta/2 = \delta, \end{equation*}

een tegenspraak.

Zij \((x_n)_{n\ge0}\) een rij in \(S\) die in \(X\) convergeert naar \(x\text{.}\) Voor alle \(\epsilon>0\) is er dan een \(n\ge 0\) waarvoor geldt \(x_n\in B_\epsilon(x)\text{,}\) dus \(B_\epsilon(x)\) heeft niet-lege doorsnede met \(S\text{.}\) Hieruit volgt \(x\in\bar S\) wegens propositie 1.21. Zij omgekeerd \(x\in\bar S\text{.}\) Dan is voor elke \(n\ge0\) de doorsnede van \(B_{2^{-n}}(x)\) met \(S\) niet-leeg, dus er bestaat een \(x_n\in S\) met \(d(x_n,x)\lt 2^{-n}\text{.}\) De rij \((x_n)_{n\ge0}\) convergeert dus naar \(x\text{.}\)

Voor de volgende voorbeelden introduceren we het begrip begrensde functie.

Definitie 2.5.

Zij \(S\) een niet-lege verzameling, en zij \((Y,d)\) een metrische ruimte. Een functie \(f\colon S\to Y\) heet begrensd als er een positief reëel getal \(M\) bestaat zodanig dat voor alle \(s,t\in S\) geldt \(d(f(s),f(t))\lt M\text{.}\)

Voorbeeld 2.6.

Zij \(\B([0,1],\R)\) de verzameling van alle begrensde functies \(f\colon[0,1]\to\R\text{.}\) De uniforme metriek op \(\B([0,1],\R)\) is gedefinieerd door

\begin{equation*} D(f,g)=\sup_{[0,1]}|f-g|=\sup_{t\in[0,1]}|f(t)-g(t)| \quad\text{voor alle }f,g\in\B([0,1],\R). \end{equation*}

Het is niet moeilijk na te gaan dat \(D\) inderdaad een metriek op \(\B([0,1],\R)\) is. Een rij functies \((f_n)_{n\ge0}\) in \(\B([0,1],\R)\) convergeert met betrekking tot \(D\) dan en slechts dan als \((f_n)_{n\ge0}\) uniform convergeert.

Voorbeeld 2.7.

Algemener introduceren we voor een niet-lege verzameling \(S\) en een metrische ruimte \((Y,d)\) de verzameling \(\B(S,Y)\) van begrensde functies \(S\to Y\) voorzien van de uniforme metriek

\begin{equation*} D(f,g)=\sup_{s\in S}d(f(s),g(s)). \end{equation*}

(Zie opgave 2.3 voor het bewijs dat \(D\) een metriek is.) Dit geeft een algemene context voor het begrip uniforme convergentie: we zeggen dat een rij functies \((f_n)_{n\ge0}\) in \(\B(S,Y)\) uniform convergeert als de rij convergeert met betrekking tot de metriek \(D\text{.}\)

Opgaven Opgaven

1.

Zij \((a_n)_{n\ge0}\) een rij reële getallen die convergeert naar \(a\in\R\text{.}\)

  1. Zij \(X\) een gesloten deelverzameling van \(\R\) die alle \(a_n\) (\(n\ge0\)) bevat. Laat zien dat ook \(a\) in \(X\) ligt.
  2. Zij \(A=\{a_n\mid n\ge0\}\text{.}\) Bewijs de gelijkheden \(\bar A=A\cup\{a\}\) en \(A^\circ=\emptyset\text{.}\)
2.

Zij \(p\) een priemgetal, zij \(|\blank|_p\) de \(p\)-adische absolute waarde op \(\Q\) en zij \(d_p(x,y)=|x-y|_p\) de \(p\)-adische metriek (zie opgave 1.10).

  1. Bewijs dat de rij \((1,p,p^2,p^3,\ldots)\) in \((\Q,d_p)\) naar 0 convergeert.
  2. Construeer een rij in \(\Q\) die in \(\R\) naar 0 convergeert en in \((\Q,d_2)\) naar 1.
3.

Zij \(S\) een niet-lege verzameling, zij \((Y,d)\) een metrische ruimte, en zij \(\B(S,Y)\) de verzameling van begrensde functies \(S\to Y\text{.}\) Voor \(f,g\in\B(S,Y)\) definiëren we

\begin{equation*} D(f,g)=\sup_{x\in S} d(f(x),g(x)). \end{equation*}

Laat zien dat \(D\) een metriek op \(\B(S,Y)\) is.