Topologie

1.

Zij \(S\) een niet-lege verzameling, zij \(E\) een reële vectorruimte voorzien van een norm \(\|\blank\|\text{,}\) en zij \(\B(S,E)\) de verzameling van begrensde functies \(S\to E\text{.}\) Voor \(f\in\B(S,E)\) definiëren we

Laat zien dat \(\|\blank\|_\infty\) een norm op \(\B(S,E)\) is. Wat is het verband met opgave 2.3?

2.

Bekijk op \(V=\R^2\) de euclidische norm

en de Manhattannorm

We schrijven \(d_{\rm E}\) en \(d_{\rm M}\) voor de door deze normen gedefinieerde metrieken op \(V\text{,}\) en voor \(x\in V\) en \(\epsilon>0\) definiëren we

en

1. Laat zien dat voor alle \(x\in V\) geldt
   \begin{equation*} \|x\|_{\rm E}\le \|x\|_{\rm M}\le \sqrt{2}\|x\|_{\rm E}. \end{equation*}
2. Zij \(x\in V\) en zij \(\epsilon>0\text{.}\) Bewijs dat er een \(\delta>0\) bestaat waarvoor geldt \(B_\delta^{\rm E}(x)\subseteq B_\epsilon^{\rm M}(x)\text{.}\)
3. Bewijs omgekeerd dat er voor alle \(x\in V\) en \(\epsilon>0\) een \(\delta>0\) bestaat waarvoor geldt \(B_\delta^{\rm M}(x)\subseteq B_\epsilon^{\rm E}(x)\text{.}\)
4. Leid hieruit af dat een deelverzameling \(Y\subseteq V\) open is in \((V,d_{\rm E})\) dan en slechts dan als \(Y\) open is in \((V,d_{\rm M})\text{.}\)

3.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een genormeerde \(\R\)-vectorruimte. Laat zien dat de normafbeelding \(\|\blank\|\colon V\to\R\) continu is.

4.

Zij \(V\) een \(\R\)-vectorruimte. Bewijs dat de relatie \(\sim\) op de verzameling van alle normen op \(V\) een equivalentierelatie is.

5.

Zij \(V\) een \(\R\)-vectorruimte, zijn \(\|\blank\|\text{,}\) \(\|\blank\|'\) twee normen op \(V\text{,}\) en zijn \(d\text{,}\) \(d'\) de hierdoor gedefinieerde metrieken. Bewijs dat de volgende twee uitspraken equivalent zijn:

1. er geldt \(\|\blank\|\sim\|\blank\|'\text{;}\)
2. voor elke deelverzameling \(U\subseteq V\) geldt: \(U\) is open in \((V,d)\) dan en slechts dan als \(U\) open is in \((V,d')\text{.}\)

6.

Zijn \((E,\|\blank\|_E)\) en \((F,\|\blank\|)_F)\) genormeerde \(\R\)-vectorruimten, en zij \(T\colon E\to F\) een \(\R\)-lineaire afbeelding. Bewijs dat de volgende uitspraken equivalent zijn:

1. \(T\) is continu;
2. \(T\) is continu in \(0\text{;}\)
3. er bestaat een reëel getal \(C\) zodanig dat voor alle \(x\in E\) geldt \(\|T(x)\|_F\le C\|x\|_E\text{.}\)

7.

1. Zij \(V\) de ruimte van continue functies \(f\colon[0,1]\to\R\) voorzien van de norm \(\|f\|=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|\text{.}\) Laat zien dat \((V,\|\blank\|)\) een Banachruimte is. (Aanwijzing: elke continue functie \([0,1]\to\R\) is begrensd.)
2. Zij \(V\) de vectorruimte van alle rijen \((x_n)_{n\ge0}\) in \(\R\) zodanig dat er een \(N\ge0\) bestaat met \(x_n=0\) voor alle \(n\ge N\text{.}\) We voorzien \(V\) van de norm
   \begin{equation*} \|(x_n)_{n\ge0}\| = \Biggl(\sum_{n\ge0}x_n^2\Biggr)^{1/2}. \end{equation*}
   Laat zien dat \(V\) geen Banachruimte is.

8.

Bewijs (in de context van het bewijs van stelling 5.6) de bewering dat de functie \(\|\blank\|\colon V\to\R\) continu is met betrekking tot de metriek op \(V\) gedefinieerd door \(\|\blank\|_1\) en de euclidische metriek op \(\R\text{.}\)

9.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een eindigdimensionale genormeerde \(\R\)-vectorruimte.

1. Laat zien dat elke lineaire afbeelding \(V\to\R\) continu is (met betrekking tot de metriek op \(V\) gedefinieerd door \(\|\blank\|\) en de euclidische metriek op \(\R\)).
2. Laat zien dat \((V,\|\blank\|)\) een Banachruimte is.

(Aanwijzing: gebruik stelling 5.6.)

10.

Zij \((V,\|\blank\|)\) een genormeerde \(\R\)-vectorruimte. Zij \(i\colon V\to V'\) de completering van \(V\) met betrekking tot de door \(\|\blank\|\) gedefinieerde metriek.

1. Laat zien dat \(V'\) een natuurlijke \(\R\)-vectorruimtestructuur heeft.
2. Laat zien dat er een unieke norm \(\|\blank\|'\) op \(V'\) bestaat zodanig dat voor alle \(v\in V\) geldt \(\|i(v)\|'=\|v\|\text{.}\)
3. Laat zien dat \(V'\) een Banachruimte is.