Homotopie en weghomotopie

Paragraaf 11 Homotopie en weghomotopie

Het begrip homotopie betekent intuïtief dat twee continue afbeeldingen \(f,g\colon X\to Y\) “in elkaar vervormd kunnen worden”.

Definitie 11.1.

Zijn \(X\) en \(Y\) twee topologische ruimten, en zijn \(f,g\colon X\to Y\) twee continue afbeeldingen. Een homotopie van \(f\) naar \(g\) is een continue afbeelding

\begin{equation*} F\colon[0,1]\times X\to Y \end{equation*}

(waarbij \([0,1]\times X\) voorzien is van de producttopologie) zodanig dat voor alle \(x\in X\) geldt

\begin{equation*} F(0,x)=f(x)\quad\text{en}\quad F(1,x)=g(x). \end{equation*}

We zeggen dat \(f\) en \(g\) homotoop zijn, notatie \(f\sim g\text{,}\) als er een homotopie van \(f\) naar \(g\) bestaat.

Gegeven twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\) schrijven we \(C(X,Y)\) voor de verzameling van alle continue afbeeldingen \(X\to Y\text{.}\)

Propositie 11.2.

De homotopierelatie \(\sim\) op \(C(X,Y)\) is een equivalentierelatie.

Bewijs.

Elke continue afbeelding \(f\colon X\to Y\) is homotoop met zichzelf via de homotopie

\begin{equation*} \begin{aligned} F\colon[0,1]\times X&\longrightarrow Y\\ (t,x)&\longmapsto f(x). \end{aligned} \end{equation*}

Dit betekent dat \(\sim\) reflexief is. Als \(F\colon[0,1]\times X\to Y\) een homotopie van \(f\) naar \(g\) is, dan is de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} G\colon[0,1]\times X&\longrightarrow Y\\ (t,x)&\longmapsto F(1-t,x) \end{aligned} \end{equation*}

een homotopie van \(g\) naar \(f\text{.}\) Dit betekent dat \(\sim\) symmetrisch is. Zij \(F\colon[0,1]\times X\to Y\) een homotopie van \(f\) naar \(g\text{,}\) en zij \(G\colon[0,1]\times X\to Y\) een homotopie van \(g\) naar \(h\text{.}\) Dan is

\begin{equation*} \begin{aligned} H\colon[0,1]\times X&\longrightarrow Y\\ (t,x)&\longmapsto\begin{cases} F(2t,x)& \text{voor }t\in[0,1/2],\\ G(2t-1,x)& \text{voor }t\in[1/2,1]\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

een homotopie van \(f\) naar \(h\text{.}\) Dit betekent dat \(\sim\) transitief is.

Voorbeeld 11.3.

De twee afbeeldingen \(f,g\colon\R^2\to\R^2\) gedefinieerd door

\begin{equation*} f(x,y)=(x,y)\quad\text{en}\quad g(x,y)=(0,0) \end{equation*}

zijn homotoop via de homotopie

\begin{equation*} F(t,(x,y))=(1-t)(x,y). \end{equation*}

Voorbeeld 11.4.

Bekijk de eenheidscirkel

\begin{equation*} S^1 = \{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\} \end{equation*}

en de eenheidsbol

\begin{equation*} S^2 = \{(x,y,z)\in\R^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}. \end{equation*}

De twee afbeeldingen \(f,g\colon S^1\to S^2\) gedefinieerd door

\begin{equation*} f(x,y)=(0,0,1)\quad\text{en}\quad g(x,y)=(x,y,0) \end{equation*}

zijn homotoop via de homotopie

\begin{equation*} \begin{aligned} F\colon [0,1]\times S^1 &\longrightarrow S^2\\ (t,(x,y)) &\longmapsto (tx,ty,\sqrt{1-t^2}). \end{aligned} \end{equation*}

Naast het begrip homeomorfisme, dat zegt wanneer twee ruimten “topologisch hetzelfde” zijn, voeren we nu een flexibelere manier in om topologische ruimten met elkaar te vergelijken, en wel door middel van homotopieën tussen continue afbeeldingen.

Definitie 11.5.

Zijn \(X\) en \(Y\) topologische ruimten. Een homotopie-equivalentie van \(X\) naar \(Y\) is een continue afbeelding

\begin{equation*} f\colon X\to Y \end{equation*}

zodanig dat er een continue afbeelding \(g\colon Y\to X\) bestaat waarvoor \(g\circ f\) (respectievelijk \(f\circ g\)) homotoop is met de identiteit op \(X\) (respectievelijk \(Y\)).

Als \(f\colon X\to Y\) een homotopie-equivalentie is, dan is een afbeelding \(g\colon Y\to X\) als in de bovenstaande definitie duidelijk ook een homotopie-equivalentie. Verder is de samenstelling van twee homotopie-equivalenties weer een homotopie-equivalentie; zie hiervoor opgave 11.6.

Definitie 11.6.

Twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\) worden homotopie-equivalent genoemd als er een homotopie-equivalentie van \(X\) naar \(Y\) bestaat.

Voorbeeld 11.7.

Zij \(f\colon X\to Y\) een homeomorfisme. Dan is \(f\) een homotopie-equivalentie. In de definitie van homotopie-equivalenties kunnen we namelijk \(g=f^{-1}\) nemen; dan is \(g\circ f\) (respectievelijk \(f\circ g\)) niet slechts homotoop, maar zelfs gelijk aan de identiteit op \(X\) (respectievelijk \(Y\)).

Voorbeeld 11.8.

Zij \(X=\R^n\text{,}\) en zij \(Y=\{0\}\text{.}\) Bekijk de afbeeldingen

\begin{equation*} \begin{aligned} f\colon\R^n&\to\{0\}\\ x&\mapsto 0 \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} g\colon\{0\}&\to\R^n\\ 0&\mapsto 0. \end{aligned} \end{equation*}

Dan is \(g\circ f\) homotoop met de identiteit op \(\R^n\) (zie het voorbeeld na propositie 11.2), en \(f\circ g\) is de identiteit op \(\{0\}\text{.}\) Hieruit volgt dat \(f\) en \(g\) homotopie-equivalenties zijn en dat \(\R^n\) en \(\{0\}\) homotopie-equivalent zijn.

Voorbeeld 11.9.

Zij \(X=S^1\text{,}\) en zij \(Y=\R^2\setminus\{0\}\text{.}\) Bekijk de afbeeldingen

\begin{equation*} \begin{aligned} f\colon S^1&\longrightarrow\R^2\setminus\{0\}\\ (x,y)&\longmapsto(x,y) \end{aligned} \end{equation*}

\begin{equation*} \begin{aligned} g\colon\R^2\setminus\{0\}&\longrightarrow S^1\\ (x,y)&\longmapsto{1\over\sqrt{x^2+y^2}}(x,y). \end{aligned} \end{equation*}

Dan is \(g\circ f\) gelijk aan de identiteit op \(S^1\text{,}\) en \(f\circ g\) is homotoop met de identiteit op \(\R^2\setminus\{0\}\) via de homotopie

\begin{equation*} \begin{aligned} F\colon[0,1]\times(\R^2\setminus\{0\})&\longrightarrow \R^2\setminus\{0\}\\ (t,(x,y))&\longmapsto{1\over t+(1-t)\sqrt{x^2+y^2}}(x,y). \end{aligned} \end{equation*}

Hieruit volgt dat \(f\) en \(g\) homotopie-equivalenties zijn en dat \(S^1\) en \(\R^2\setminus\{0\}\) homotopie-equivalent zijn.

Definitie 11.10.

Een topologische ruimte \(X\) heet samentrekbaar als er een \(x_0\in X\) bestaat zodanig dat de constante afbeelding \(f_0\colon X\to X\) met beeld \(\{x_0\}\) homotoop is met de identiteit op \(X\text{.}\)

Lemma 11.11.

Een topologische ruimte \(X\) is samentrekbaar dan en slechts dan als \(X\) homotopie-equivalent is met de eenpuntsruimte \(\{0\}\text{.}\)

Bewijs.

Zie opgave 11.5.

Een belangrijk soort continue afbeeldingen zijn wegen \([0,1]\to X\text{.}\) Het hierboven gedefinieerde begrip homotopie is echter niet erg zinvol voor wegen. Als \(\gamma\colon[0,1]\to X\) namelijk een willekeurige weg is, dan is \(\gamma\) homotoop met de constante weg \(s\mapsto \gamma(0)\) via de homotopie

\begin{equation*} \begin{aligned} F\colon[0,1]\times[0,1]&\longrightarrow X\\ (t,s)&\longmapsto\gamma((1-t)s). \end{aligned} \end{equation*}

Om deze reden voeren we een gerelateerde definitie in die geschikter is voor wegen in \(X\text{.}\)

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten. We schrijven \(P(X;x_0,x_1)\) voor de verzameling van alle wegen van \(x_0\) naar \(x_1\text{.}\)

Definitie 11.12.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten, en zijn \(\gamma,\gamma'\in P(X;x_0,x_1)\) twee wegen van \(x_0\) naar \(x_1\text{.}\) Een weghomotopie van \(\gamma\) naar \(\gamma'\) is een continue afbeelding

\begin{equation*} \Gamma\colon[0,1]\times[0,1]\to X \end{equation*}

zodanig dat voor alle \(s,t\in[0,1]\) geldt

\begin{gather*} \Gamma(0,s) = \gamma(s),\quad \Gamma(1,s) = \gamma'(s),\\ \Gamma(t,0) = x_0,\quad \Gamma(t,1) = x_1. \end{gather*}

We zeggen dat \(\gamma\) en \(\gamma'\) weghomotoop zijn, notatie \(\gamma\simeq\gamma'\text{,}\) als er een weghomotopie van \(\gamma\) naar \(\gamma'\) bestaat.

Propositie 11.13.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten. Dan is de weghomotopierelatie \(\simeq\) op de verzameling \(P(X;x_0,x_1)\) een equivalentierelatie.

Bewijs.

Dit gaat op dezelfde manier als het bewijs van propositie 11.2.

Lemma 11.14.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zijn \(x_0,x_1,x_2\in X\) drie punten. Stel dat \(\gamma_0,\gamma'_0\in P(X;x_0,x_1)\) en \(\gamma_1,\gamma'_1\in P(X;x_1,x_2)\) wegen zijn waarvoor geldt \(\gamma_0\simeq\gamma'_0\) en \(\gamma_1\simeq\gamma'_1\text{.}\) Dan zijn de aaneenschakelingen \(\gamma_0\odot\gamma_1\) en \(\gamma'_0\odot\gamma'_1\) in \(P(X;x_0,x_2)\) weghomotoop.

Bewijs.

Zij \(\Gamma_0\) een weghomotopie van \(\gamma_0\) naar \(\gamma'_0\text{,}\) en zij \(\Gamma_1\) een weghomotopie van \(\gamma_1\) naar \(\gamma'_1\text{.}\) We bekijken de afbeelding

\begin{equation*} \begin{aligned} \Gamma\colon[0,1]\times[0,1]&\longrightarrow X\\ (t,s)&\longmapsto\begin{cases} \Gamma_0(t,2s)& \text{voor }s\in[0,1/2],\\ \Gamma_1(t,2s-1)& \text{voor }s\in[1/2,1].\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Dan is \(\Gamma\) continu, en door \(t=0\) en \(t=1\) in te vullen, zien we dat \(\Gamma\) een weghomotopie van \(\gamma_0\odot\gamma_1\) naar \(\gamma'_0\odot\gamma'_1\) is.

Een belangrijk voorbeeld van weghomotopie is herparametrisatie van wegen (verandering van variabelen).

Lemma 11.15.

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zij \(\gamma\colon[0,1]\to X\) een weg. Bekijk twee continue functies

\begin{equation*} \phi_0,\phi_1\colon[0,1]\to[0,1] \end{equation*}

zodanig dat voor zekere \(s_0,s_1\in[0,1]\) geldt

\begin{equation*} \phi_0(0) = \phi_1(0) = s_0,\quad \phi_0(1) = \phi_1(1) = s_1. \end{equation*}

Dan zijn de “geherparametriseerde wegen” \(\gamma\circ\phi_0\) en \(\gamma\circ\phi_1\) in \(P(X;\gamma(s_0),\gamma(s_1))\) weghomotoop.

Bewijs.

Dit is intuïtief duidelijk: het enige verschil tussen de wegen \(\gamma\circ\phi_0\) en \(\gamma\circ\phi_1\) is dat ze met een andere snelheid doorlopen worden. We bekijken de functie

\begin{equation*} \begin{aligned} \Gamma\colon[0,1]\times[0,1]&\longrightarrow X\\ (t,s) &\longmapsto \gamma((1-t)\phi_0(s) + t\phi_1(s)). \end{aligned} \end{equation*}

Er geldt

\begin{align*} \Gamma(0,s) \amp= \gamma(\phi_0(s)) = (\gamma\circ\phi_0)(s), \amp \Gamma(1,s) \amp= \gamma(\phi_1(s)) = (\gamma\circ\phi_1)(s),\\ \Gamma(t,0) \amp= \gamma(s_0), \amp \Gamma(t,1) \amp= \gamma(s_1). \end{align*}

Dit laat zien dat \(\Gamma\) een weghomotopie van \(\gamma\circ\phi_0\) naar \(\gamma\circ\phi_1\) is.

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Laat zien dat \(X\) wegsamenhangend is dan en slechts dan als elk tweetal afbeeldingen van de eenpuntsruimte \(\{0\}\) naar \(X\) homotoop is.

2.

Zij \(X\) een wegsamenhangende topologische ruimte. Laat zien dat elk tweetal wegen \([0,1]\to X\) homotoop is. (Aanwijzing: laat eerst zien dat elke weg in \(X\) homotoop is met een constante weg.)

3.

Laat zien dat de twee afbeeldingen \(f,g\colon\C^\times\to\C^\times\) gedefinieerd door
\begin{equation*} f(z)= z\quad\text{en}\quad g(z)=z/|z| \end{equation*}
homotoop zijn.
Idem voor de twee afbeeldingen \(f,g\colon\C^\times\to\C^\times\) gedefinieerd door
\begin{equation*} f(z)=\bar z\quad\text{en}\quad g(z)=1/z. \end{equation*}

4.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(n\ge0\text{,}\) en zij \(f\colon\R^n\to X\) een continue afbeelding. Bewijs dat \(f\) homotoop is met een constante afbeelding \(\R^n\to X\text{.}\)

5.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Laat zien dat \(X\) samentrekbaar is dan en slechts dan als \(X\) homotopie-equivalent is met de eenpuntsruimte \(\{0\}\text{.}\)

6.

Zijn \(X\text{,}\) \(Y\) en \(Z\) topologische ruimten.

Stel dat afbeeldingen \(f,f'\in C(X,Y)\) en \(g,g'\in C(Y,Z)\) gegeven zijn die voldoen aan \(f\sim f'\) en \(g\sim g'\text{.}\) Laat zien dat de afbeeldingen \(g\circ f\) en \(g'\circ f'\) in \(C(X,Z)\) voldoen aan \(g\circ f\sim g'\circ f'\text{.}\)
Stel dat \(f\in C(X,Y)\) en \(g\in C(Y,Z)\) homotopie-equivalenties zijn. Laat zien dat \(g\circ f\in C(X,Z)\) een homotopie-equivalentie is.

7.

Gegeven twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\) definiëren we de verzameling van homotopieklassen van continue afbeeldingen van \(X\) naar \(Y\), notatie \(H(X,Y)\text{,}\) als de quotiëntverzameling

\begin{equation*} H(X,Y) = C(X,Y)/{\sim}. \end{equation*}

Voor \(f\in C(X,Y)\) noteren we de klasse van \(f\) in \(H(X,Y)\) met \(\langle f\rangle\text{.}\)

Zijn \(X\text{,}\) \(Y\) en \(Z\) topologische ruimten. Bewijs dat er een unieke afbeelding

\begin{equation*} H(Y,Z)\times H(X,Y) \buildrel *\over\longrightarrow H(X,Z) \end{equation*}

van verzamelingen bestaat zodanig dat voor alle \(f\in C(X,Y)\) en \(g\in C(Y,Z)\) geldt

\begin{equation*} \langle g\rangle * \langle f\rangle = \langle g\circ f\rangle. \end{equation*}