De fundamentaalgroep

Paragraaf 12 De fundamentaalgroep

Het blijkt bijzonder nuttig te zijn om wegen van een punt naar zichzelf te bekijken. Dit geeft aanleiding tot een belangrijke “invariant” van een topologische ruimte, de fundamentaalgroep. Om deze te kunnen introduceren, hebben we nog enkele hulpresultaten nodig. Hieronder is \(X\) steeds een topologische ruimte.

Lemma 12.1.

Zijn \(x_0,x_1,x_2,x_3\in X\) vier punten. Voor elk drietal wegen

\begin{equation*} \gamma_0\in P(X;x_0,x_1),\quad \gamma_1\in P(X;x_1,x_2),\quad \gamma_2\in P(X;x_2,x_3) \end{equation*}

zijn de wegen \((\gamma_0\odot\gamma_1)\odot\gamma_2\) en \(\gamma_0\odot(\gamma_1\odot\gamma_2)\) weghomotoop.

Bewijs.

We geven eerst de vergelijkingen voor de wegen in kwestie:

\begin{equation*} \begin{aligned} ((\gamma_0\odot\gamma_1)\odot\gamma_2)(s) &= \begin{cases} \gamma_0(4s)& \text{voor }0\le s\le 1/4,\\ \gamma_1(4s-1)& \text{voor }1/4\le s\le 1/2,\\ \gamma_2(2s-1)& \text{voor }1/2\le s\le 1,\end{cases}\\ (\gamma_0\odot(\gamma_1\odot\gamma_2))(s) &= \begin{cases} \gamma_0(2s)& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \gamma_1(4s-2)& \text{voor }1/2\le s\le 3/4,\\ \gamma_2(4s-3)& \text{voor }3/4\le s\le 1.\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

We passen lemma 11.15 toe met

\begin{equation*} \gamma=(\gamma_0\odot\gamma_1)\odot\gamma_2 \end{equation*}

\begin{equation*} \phi_0(s) = s,\quad \phi_1(s) = \begin{cases} s/2& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ s - 1/4& \text{voor }1/2\le s\le 3/4,\\ 2s - 1& \text{voor }3/4\le s\le 1.\end{cases} \end{equation*}

Dan geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} (\gamma\circ\phi_0)(s) &= \gamma(s)\\ &=((\gamma_0\odot\gamma_1)\odot\gamma_2)(s),\\ (\gamma\circ\phi_1)(s) &=\begin{cases} \gamma(s/2) = \gamma_0(2s)& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \gamma(s - 1/4) = \gamma_1(4s-2)& \text{voor }1/2\le s\le 3/4,\\ \gamma(2s - 1) = \gamma_2(4s-3)& \text{voor }3/4\le s\le 1\end{cases}\\ &=(\gamma_0\odot(\gamma_1\circ\gamma_2))(s). \end{aligned} \end{equation*}

We zien dus dat \((\gamma_0\odot\gamma_1)\odot\gamma_2\) en \(\gamma_0\odot(\gamma_1\odot\gamma_2)\) herparametrisaties van elkaar zijn, en daarmee weghomotoop zijn.

Lemma 12.2.

Zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten, en zij \(\gamma\in P(X;x_0,x_1)\) een weg. We schrijven \(\gamma_0\) en \(\gamma_1\) voor de constante wegen \(s\mapsto x_0\) respectievelijk \(s\mapsto x_1\text{.}\) Dan geldt

\begin{equation*} \gamma\simeq\gamma_0\odot\gamma\simeq\gamma\odot\gamma_1. \end{equation*}

Bewijs.

We nemen

\begin{equation*} \begin{aligned} \phi_0(s) &= s,\\ \phi_1(s) &= \begin{cases} 0& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ 2s-1& \text{voor }1/2\le s\le 1.\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Dan geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} (\gamma\circ\phi_0)(s) &= \gamma(s),\\ (\gamma\circ\phi_1)(s) &= \begin{cases} \gamma(0) = s_0 = \gamma_0(2s) & \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \gamma(2s-1)& \text{voor }1/2\le s\le 1\end{cases}\\ &=(\gamma_0\odot\gamma)(s). \end{aligned} \end{equation*}

Dit laat zien dat \(\gamma\) en \(\gamma_0\odot\gamma\) weghomotoop zijn. Het bewijs dat \(\gamma\) en \(\gamma\odot\gamma_1\) weghomotoop zijn, gaat net zo.

Lemma 12.3.

Zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten, zij \(\gamma\in P(X;x_0,x_1)\) een weg, en zij \(\gamma^{-1}\in P(X;x_1,x_0)\) de omkering van \(\gamma\text{.}\) We schrijven \(\gamma_0\) en \(\gamma_1\) voor de constante wegen \(s\mapsto x_0\) respectievelijk \(s\mapsto x_1\text{.}\) Dan geldt

\begin{equation*} \gamma\odot\gamma^{-1}\simeq\gamma_0 \quad\text{en}\quad \gamma^{-1}\odot\gamma\simeq\gamma_1. \end{equation*}

Bewijs.

We nemen

\begin{equation*} \begin{aligned} \phi_0(s) &= 0,\\ \phi_1(s) &= \begin{cases} 2s& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ 2-2s& \text{voor }1/2\le s\le 1.\end{cases} \end{aligned} \end{equation*}

Dan geldt

\begin{equation*} \begin{aligned} (\gamma\circ\phi_0)(s) &= \gamma(0)\\ &= \gamma_0(s),\\ (\gamma\circ\phi_1)(s) &= \begin{cases} \gamma(2s)& \text{voor }0\le s\le 1/2,\\ \gamma(2-2s) = \gamma^{-1}(2s-1)& \text{voor }1/2\le s\le 1\end{cases}\\ &=(\gamma\odot\gamma^{-1})(s). \end{aligned} \end{equation*}

Dit laat zien dat \(\gamma_0\) en \(\gamma\odot\gamma^{-1}\) weghomotoop zijn. Het bewijs dat \(\gamma_1\) en \(\gamma^{-1}\odot\gamma\) weghomotoop zijn, gaat net zo.

Definitie 12.4.

Zij \(X\) een topologische ruimte. Een weg \(\gamma\colon [0,1]\to X\) heet een lus als geldt \(\gamma(0)=\gamma(1)\text{.}\) Het punt \(\gamma(0)=\gamma(1)\) heet het basispunt van \(\gamma\text{.}\)

Zij \(X\) een topologische ruimte, en zij \(x_0\in X\text{.}\) We schrijven \(P(X;x_0)\) voor de verzameling van alle lussen met basispunt \(x_0\text{,}\) en \(\pi_1(X,x_0)\) voor het quotiënt van \(P(X;x_0)\) naar de equivalentierelatie \(\simeq\text{.}\)

Stelling 12.5.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(x_0\in X\text{,}\)

Er bestaat een unieke afbeelding
\begin{equation*} \begin{aligned} \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(X,x_0) &\longrightarrow \pi_1(X,x_0)\\ (\lambda,\lambda') &\longrightarrow \lambda\cdot\lambda' \end{aligned} \end{equation*}
zodanig dat voor alle \(\gamma,\gamma'\in P(X;x_0)\) geldt
\begin{equation*} [\gamma]\cdot[\gamma'] = [\gamma\odot\gamma']. \end{equation*}
De verzameling \(\pi_1(X,x_0)\) voorzien van de bewerking \(\cdot\) is een groep. Het eenheidselement van \(\pi_1(X,x_0)\) is de klasse van de constante lus \(\gamma_0\colon s\mapsto x_0\text{,}\) en de inverse van \([\gamma]\) is \([\gamma^{-1}]\text{.}\)

Bewijs.

Voor (a) moeten we bewijzen dat de weghomotopieklasse van \(\gamma\odot\gamma'\) niet verandert als we \(\gamma\) en \(\gamma'\) vervangen door lussen die daarmee weghomotoop zijn. Dit volgt echter uit lemma 11.14. De eigenschappen in (b) volgen uit de lemma's 12.1, 12.2 en 12.3.

Definitie 12.6.

De fundamentaalgroep van \(X\) met betrekking tot het basispunt \(x_0\) is \(\pi_1(X,x_0)\text{.}\)

Voorbeeld 12.7.

Zij \(X=\{p\}\) een eenpuntsruimte. Dan zijn alle wegen in \(X\) gelijk, dus \(P(X;p)\) en \(\pi_1(X,p)\) hebben beide slechts één element. Met andere woorden: \(X\) heeft triviale fundamentaalgroep.

Propositie 12.8.

Zij \(X\) een wegsamenhangende topologische ruimte, en zijn \(x_0,x_1\in X\) twee punten. Dan bestaat er een groepsisomorfisme \(\pi_1(X,x_0)\isom\pi_1(X,x_1)\text{.}\)

Bewijs.

Zie opgave 12.5.

Opmerking 12.9.

Uit de constructie in de opgave volgt dat een isomorfisme als boven in het algemeen niet uniek is, maar afhangt van de keuze van een weg van \(x_0\) naar \(x_1\text{.}\)

Definitie 12.10.

Een topologische ruimte \(X\) heet enkelvoudig samenhangend als \(X\) wegsamenhangend is en de groep \(\pi_1(X,x_0)\) triviaal is (voor een willekeurig gekozen \(x_0\in X\text{;}\) de keuze maakt niet uit wegens propositie 12.8).

Voorbeeld 12.11.

Elke samentrekbare topologische ruimte is enkelvoudig samenhangend. Dit zullen we als speciaal geval van een algemenere stelling bewijzen in gevolg 15.4.

Opgaven Opgaven

1.

Zij \(X\) een stervormige deelruimte van \(\R^n\text{,}\) en zij \(x_0\in X\) als in de definitie van “stervormig” (zie opgave 10.10).

Zij \(Y\) een topologische ruimte. Laat zien dat elke continue afbeelding \(Y\to X\) homotoop is met de constante afbeelding \(Y\to X\) met beeld \(\{x_0\}\text{.}\)
Bewijs dat elke lus \(\gamma\in P(X;x_0)\) weghomotoop is met de constante lus \(t\mapsto x_0\text{.}\)
Laat zien dat voor elke \(x\in X\) de fundamentaalgroep \(\pi_1(X,x)\) triviaal is.

2.

Zij \(S^1\) de eenheidscirkel \(\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2=1\}\text{.}\) Geef een surjectieve continue afbeelding \(\gamma\colon[0,1]\to S^1\) met \(\gamma(0)=\gamma(1)=(1,0)\) (gezien als lus in \(S^1\)) zodanig dat \(\gamma\) weghomotoop is met de constante weg \(\gamma_0\colon[0,1]\to S^1\) met beeld \(\{(1,0)\}\text{.}\) Geef ook een weghomotopie tussen \(\gamma\) en \(\gamma_0\text{.}\)

3.

Zijn \(X\) en \(Y\) twee topologische ruimten, zij \(f\colon X\to Y\) een homeomorfisme, zij \(x_0\in X\) en zij \(y_0=f(x_0)\text{.}\) Laat zien dat \(f\) een isomorfisme

\begin{equation*} \pi_1(X,x_0)\isom\pi_1(Y,y_0) \end{equation*}

van fundamentaalgroepen induceert.

4.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(Y\) een wegsamenhangscomponent van \(X\text{,}\) en zij \(x_0\in Y\text{.}\) Laat zien dat de inclusie \(Y\to X\) een isomorfisme

\begin{equation*} \pi_1(Y,x_0)\isom\pi_1(X,x_0) \end{equation*}

van fundamentaalgroepen induceert.

5.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zijn \(x_0,x_1\in X\text{,}\) en zij \(\alpha\in P(X;x_0,x_1)\) een weg. Bewijs dat er tussen de fundamentaalgroepen \(\pi_1(X,x_0)\) en \(\pi_1(X,x_1)\) een groepsisomorfisme

\begin{equation*} \phi_\alpha\colon \pi_1(X,x_0)\isom\pi_1(X,x_1) \end{equation*}

bestaat dat voor elke weg \(\gamma\in P(X;x_0)\) de klasse \([\gamma]\in\pi_1(X,x_0)\) afbeeldt op de klasse \([\alpha^{-1}\odot\gamma\odot\alpha]\in\pi_1(X,x_1)\text{.}\)