Topologie

1.

Zij \(f\colon X\to Y\) een continue afbeelding van topologische ruimten, zij \(x_0\in X\text{,}\) en zij \(y_0=f(x_0)\text{.}\)

1. Bewijs dat er een unieke afbeelding van verzamelingen
   \begin{equation*} f_*\colon\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0) \end{equation*}
   bestaat zodanig dat voor alle \(\gamma\in P(X;x_0)\) geldt
   \begin{equation*} f_*([\gamma]) = [f\circ\gamma]. \end{equation*}
2. Bewijs dat \(f_*\) een groepshomomorfisme is.
3. Zij \(g\colon Y\to Z\) een tweede continue afbeelding, en zij \(z_0=g(y_0)\text{.}\) Bewijs dat de groepshomomorfismen
   \begin{gather*} f_*\colon\pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Y,y_0),\quad g_*\colon\pi_1(Y,y_0)\longrightarrow\pi_1(Z,z_0),\\ (g\circ f)_*\colon \pi_1(X,x_0)\longrightarrow\pi_1(Z,z_0) \end{gather*}
   voldoen aan
   \begin{equation*} (g\circ f)_* = g_*\circ f_*. \end{equation*}

2.

Zijn \(X\) en \(Y\) topologische ruimten, en zijn \(x_0\in X\) en \(y_0\in Y\text{.}\)

1. Construeer een groepsisomorfisme
   \begin{equation*} \pi_1(X\times Y, (x_0,y_0)) \isom \pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0). \end{equation*}
   (Aanwijzing: gebruik opgave 15.1 om een groepshomomorfisme te construeren, en laat vervolgens zien dat dit een inverse heeft.)
2. Concludeer dat de fundamentaalgroep van de torus \(S^1\times S^1\) isomorf is met \(\Z\times\Z\text{.}\)

3.

Zij \(p\colon Y\to X\) een overdekkingsafbeelding, zij \(y_0\in Y\) en zij \(x_0=p(y_0)\text{.}\) Bewijs dat het groepshomomorfisme \(p_*\colon\pi_1(Y,y_0)\to\pi_1(X,x_0)\) injectief is.

4.

Zij \(n\) een positief geheel getal.

1. Zij \(B^n=\{(x_1,\ldots, x_n)\in\R^n\mid x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2\lt 1\}\) de open eenheidsbal in \(\R^n\text{.}\) Beschrijf een continue afbeelding \(B^n\to B^n\) zonder dekpunten.
2. Zij \(S^n=\{(x_0,\ldots, x_n)\in\R^{n+1}\mid x_0^2+x_1^2+\cdots+x_n^2=1\}\) de \(n\)-dimensionale eenheidsbol. Beschrijf een continue afbeelding \(S^n\to S^n\) zonder dekpunten.

5.

Zij \(D^1=\{x\in\R\mid x^2\le 1\}\text{.}\) Bewijs dat elke continue afbeelding \(f\colon D^1\to D^1\) een dekpunt heeft.

6.

Zij \(f\colon\R^2\to\R^2\) een continue afbeelding. Bewijs dat er \(\lambda>0\) en \(x\in\R^2\) bestaan waarvoor geldt \(f(x)=\lambda x\text{.}\)

7.

Beschouw de eenheidscirkel \(S^1\) als de deelruimte \(\{z\in\C\mid |z|=1\}\text{.}\) Bekijk voor \(n\in\Z\) de afbeelding

Hoe ziet het geïnduceerde groepshomomorfisme

eruit onder de identificatie van \(\pi_1(S^1,1)\) met \(\Z\text{?}\)

8.

1. Gegeven zijn twee topologische ruimten \(X\) en \(Y\) en vier continue afbeeldingen \(f,f'\colon X\to X\) en \(g,g'\colon Y\to Y\) zodanig dat \(f\) homotoop is met \(f'\text{,}\) en \(g\) met \(g'\text{.}\) We definiëren twee afbeeldingen \(h,h'\colon X\times Y\longrightarrow X\times Y\) door \(h(x,y)=(f(x),g(y))\) en \(h'(x,y)=(f'(x),g'(y))\text{.}\) Bewijs dat \(h\) en \(h'\) continu zijn en homotoop met elkaar zijn.
2. Zijn \(X_1\text{,}\) \(X_2\text{,}\) \(Y_1\) en \(Y_2\) vier topologische ruimten zodanig dat \(X_1\) homotopie-equivalent is met \(X_2\text{,}\) en \(Y_1\) met \(Y_2\text{.}\) Bewijs dat \(X_1\times Y_1\) homotopie-equivalent is met \(X_2\times Y_2\text{.}\)

9.

Zij \(X\) een topologische ruimte, zij \(Y\) een deelruimte van \(X\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\) Zij \(r\colon X\to Y\) een retractie van \(X\) op \(Y\text{.}\)

1. Neem aan dat \(x\) in \(Y\) ligt. Bewijs dat de afbeelding \(r_*\colon\pi_1(X,x)\to\pi_1(Y,r(x))\) surjectief is.
2. Geldt de uitspraak in (a) ook zonder de aanname dat \(x\) in \(Y\) ligt? Geef een bewijs of een tegenvoorbeeld.

10.

1. Bekijk de deelruimten \(Y\subseteq X\subseteq\R^2\) gedefinieerd door
   \begin{equation*} \begin{aligned} X&=\R^2\setminus\{(-1,0),(1,0)\},\\ Y&=\{(x,y)\in\R^2\mid (x-1)^2+y^2=1\text{ of }(x+1)^2+y^2=1\}. \end{aligned} \end{equation*}
   Laat zien dat de inclusie \(i\colon Y\to X\) een homotopie-equivalentie is.
2. Zijn \(p,q,r\in\R^2\) drie verschillende punten. Bewijs dat de fundamentaalgroep \(\pi_1(\R^2\setminus\{q,r\},p)\) niet abels is. (Aanwijzing: gebruik opgave 14.3.)

11.

Beschouw in \(\R^3\) de cirkel \(C\) en de lijn \(Z\) gegeven door

Definieer \(X=\R^3\setminus(C\cup Z)\text{,}\) en zij \(x\in X\text{.}\) Laat zien dat de fundamentaalgroep \(\pi_1(X,x)\) isomorf is met \(\Z\times\Z\text{.}\)